2.3.1双曲线的标准方程
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课件25张PPT。中国人民大学附属中学2.3.1双曲线的标准方程 我们已经知道，平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹是椭圆，
那么平面内与两个定点F1，F2的距离的差等于非零常数的点的轨迹是怎样的曲线呢？ 平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线，
这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距。 以过焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy， 设M(x，y)是双曲线上的任意一点，双曲线的焦距是2c(c>0)，那么F1，F2的坐标分别为(－c，0)，(c，0)，又设点M与F1，F2的距离的差的绝对值等于2a.
则点M在双曲线上的充分必要条件是
||MF1|－|MF2||=2a，
即|MF1|－|MF2|=±2a，因为所以上述条件转化为坐标表示，就是， ① 即 得 ② 上面①，②两个式子中的右边同取“+”号或同取“－”号，①+②，整理得 ③ 将③式平方，再整理得 ④ 因为c>a>0，所以c2－a2>0，设c2－a2=b2>0，则④式化为 ⑤ 因此，方程⑤是给定的双曲线的方程。通常把这个方程叫做双曲线的标准方程。
焦点是F1(－c，0)，F2(c，0)，且c2=a2+b2.思考：如果椭双曲线的焦点在y轴上,焦点是F1(0，－c)，F2(0，c)，只要将方程⑤的x，y互换，就可以得到它的方程,其中b2=c2－a2，这个方程也是双曲线的标准方程。 将这个方程移项，两边平方，得两边再平方，得
a4－2a2cx+c2x2=a2x2－2a2cx+a2c2+a2y2,
整理得 (c2－a2)x2－a2y2=a2(c2－a2),双曲线的标准方程推导方法2由由双曲线定义可知，2c>2a, 即c>a,
∴ c2－a2>0,
设b2=c2－a2 (b>0), 得 b2x2－a2y2=a2b2,
两边除以a2b2得这个方程叫做双曲线的标准方程。例1. 求适合下列条件的双曲线的标准方程：
（1）两个焦点的坐标分别是(－5，0)，(5，0)，双曲线上任意一点与两焦点的距离的差的绝对值等于8；解：（1）由已知，得c=5，2a=8，即a=4，
因为c2=a2+b2. 所以b2=c2－a2=9. 又因为双曲线的焦点在x轴上，所以所求的双曲线的标准方程是 （2）双曲线的一个焦点的坐标分别是(0，－6)，并且经过点(－5，6).解：（2）由已知，得c=6，且焦点在y轴上，另一焦点的坐标是(0，6)， 因为点(－5，6)在双曲线上，所以点A与两焦点的距离的差的绝对值是常数2a，即2a= 得a=4，b2=20.因此所求的双曲线的标准方程是. 例2．相距2000m的两个哨所A，B，听到远处传来的炮弹爆炸声，已知当时的声速是330m/s，在A哨所听到爆炸声的时间比在B哨所听到时迟4s，试判断爆炸点在什么样的曲线上，并求出曲线的方程。解：设爆炸点P，由已知可得
|PA|－|PB|= 330×4=1320， 因为|AB|=2000>1320，又|PA|>|PB|，所以点P在以A，B为焦点的双曲线的靠近B处的那一支上. 如图，建立直角坐标系，使A，B两点在x轴上，线段AB的中点为坐标原点，由2a=1320，2c=2000，得a=660，c=1000,
b2=c2－a2=564400.因此点P所在曲线的方程是 例3．求适合下列条件的双曲线的标准方程:
（1）两个焦点的坐标分别是(－5，0)，(5，0)，双曲线上的点与两个焦点的距离之差的绝对值等于8；
（2）双曲线的一个焦点坐标是(0，－6)，且双曲线经过点A(－5，6).（1） （2） 例4．若F1、F2是双曲线 的两个焦点，P在双曲线上，且|PF1|·|PF2|=32，求∠F1PF2的大小。 解： 由双曲线的对称性，可设点P在第一象限，由双曲线的方程知 a=3，b=4，所以c=5，由双曲线的定义知|PF1|－|PF2|=2a=6，上式两边平方得|PF1|2+|PF2|2=36+2|PF1|·|PF2|=100，由余弦定理得 所以∠F1PF2=90°.课堂练习1．已知F1(－8，3)、F2(2，3)为定点，动点P满足|PF1|－|PF2|=2a，当a=3和a=5时，P点的轨迹为（ ）
（A）双曲线和一条直线
（B）双曲线的一支和一条直线
（C）双曲线和一条射线
（D）双曲线的一支和一条射线D2．在方程mx2－my2=n中，若mn<0，则方程表示的曲线是（ ）
（A）焦点在x轴上的椭圆
（B）焦点在x轴上的双曲线
（C）焦点在y轴上的椭圆
（D）焦点在y轴上的双曲线D3．若k>1，则关于x，y的方程(1－k)x2+y2 =k2－1表示的曲线是（ ）
（A）焦点在x轴上的椭圆
（B）焦点在y轴上的椭圆
（C）焦点在y轴上的双曲线
（D）焦点在x轴上的双曲线C4．已知方程 表示的图形是双曲线，那么k的取值范围是（ ）
（A）k>5
（B）k>5或－2 （C）k>2或k<－2
（D）－2 （A）1 （B）－1
（C） （D）B6．若k∈R，则“k>3”是“方程 表示双曲线”的（ ）
（A）充分不必要条件
（B）必要不充分条件
（C）充要条件
（D）既不充分也不必要条件A7．已知双曲线 的焦点F1、F2, 点M在双曲线上且 ，则点M到x轴的距离是（ ）
（A） （B）
（C） （D）C
那么平面内与两个定点F1，F2的距离的差等于非零常数的点的轨迹是怎样的曲线呢？ 平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线，
这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距。 以过焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy， 设M(x，y)是双曲线上的任意一点，双曲线的焦距是2c(c>0)，那么F1，F2的坐标分别为(－c，0)，(c，0)，又设点M与F1，F2的距离的差的绝对值等于2a.
则点M在双曲线上的充分必要条件是
||MF1|－|MF2||=2a，
即|MF1|－|MF2|=±2a，因为所以上述条件转化为坐标表示，就是， ① 即 得 ② 上面①，②两个式子中的右边同取“+”号或同取“－”号，①+②，整理得 ③ 将③式平方，再整理得 ④ 因为c>a>0，所以c2－a2>0，设c2－a2=b2>0，则④式化为 ⑤ 因此，方程⑤是给定的双曲线的方程。通常把这个方程叫做双曲线的标准方程。
焦点是F1(－c，0)，F2(c，0)，且c2=a2+b2.思考：如果椭双曲线的焦点在y轴上,焦点是F1(0，－c)，F2(0，c)，只要将方程⑤的x，y互换，就可以得到它的方程,其中b2=c2－a2，这个方程也是双曲线的标准方程。 将这个方程移项，两边平方，得两边再平方，得
a4－2a2cx+c2x2=a2x2－2a2cx+a2c2+a2y2,
整理得 (c2－a2)x2－a2y2=a2(c2－a2),双曲线的标准方程推导方法2由由双曲线定义可知，2c>2a, 即c>a,
∴ c2－a2>0,
设b2=c2－a2 (b>0), 得 b2x2－a2y2=a2b2,
两边除以a2b2得这个方程叫做双曲线的标准方程。例1. 求适合下列条件的双曲线的标准方程：
（1）两个焦点的坐标分别是(－5，0)，(5，0)，双曲线上任意一点与两焦点的距离的差的绝对值等于8；解：（1）由已知，得c=5，2a=8，即a=4，
因为c2=a2+b2. 所以b2=c2－a2=9. 又因为双曲线的焦点在x轴上，所以所求的双曲线的标准方程是 （2）双曲线的一个焦点的坐标分别是(0，－6)，并且经过点(－5，6).解：（2）由已知，得c=6，且焦点在y轴上，另一焦点的坐标是(0，6)， 因为点(－5，6)在双曲线上，所以点A与两焦点的距离的差的绝对值是常数2a，即2a= 得a=4，b2=20.因此所求的双曲线的标准方程是. 例2．相距2000m的两个哨所A，B，听到远处传来的炮弹爆炸声，已知当时的声速是330m/s，在A哨所听到爆炸声的时间比在B哨所听到时迟4s，试判断爆炸点在什么样的曲线上，并求出曲线的方程。解：设爆炸点P，由已知可得
|PA|－|PB|= 330×4=1320， 因为|AB|=2000>1320，又|PA|>|PB|，所以点P在以A，B为焦点的双曲线的靠近B处的那一支上. 如图，建立直角坐标系，使A，B两点在x轴上，线段AB的中点为坐标原点，由2a=1320，2c=2000，得a=660，c=1000,
b2=c2－a2=564400.因此点P所在曲线的方程是 例3．求适合下列条件的双曲线的标准方程:
（1）两个焦点的坐标分别是(－5，0)，(5，0)，双曲线上的点与两个焦点的距离之差的绝对值等于8；
（2）双曲线的一个焦点坐标是(0，－6)，且双曲线经过点A(－5，6).（1） （2） 例4．若F1、F2是双曲线 的两个焦点，P在双曲线上，且|PF1|·|PF2|=32，求∠F1PF2的大小。 解： 由双曲线的对称性，可设点P在第一象限，由双曲线的方程知 a=3，b=4，所以c=5，由双曲线的定义知|PF1|－|PF2|=2a=6，上式两边平方得|PF1|2+|PF2|2=36+2|PF1|·|PF2|=100，由余弦定理得 所以∠F1PF2=90°.课堂练习1．已知F1(－8，3)、F2(2，3)为定点，动点P满足|PF1|－|PF2|=2a，当a=3和a=5时，P点的轨迹为（ ）
（A）双曲线和一条直线
（B）双曲线的一支和一条直线
（C）双曲线和一条射线
（D）双曲线的一支和一条射线D2．在方程mx2－my2=n中，若mn<0，则方程表示的曲线是（ ）
（A）焦点在x轴上的椭圆
（B）焦点在x轴上的双曲线
（C）焦点在y轴上的椭圆
（D）焦点在y轴上的双曲线D3．若k>1，则关于x，y的方程(1－k)x2+y2 =k2－1表示的曲线是（ ）
（A）焦点在x轴上的椭圆
（B）焦点在y轴上的椭圆
（C）焦点在y轴上的双曲线
（D）焦点在x轴上的双曲线C4．已知方程 表示的图形是双曲线，那么k的取值范围是（ ）
（A）k>5
（B）k>5或－2
（D）－2
（C） （D）B6．若k∈R，则“k>3”是“方程 表示双曲线”的（ ）
（A）充分不必要条件
（B）必要不充分条件
（C）充要条件
（D）既不充分也不必要条件A7．已知双曲线 的焦点F1、F2, 点M在双曲线上且 ，则点M到x轴的距离是（ ）
（A） （B）
（C） （D）C