2.3.2双曲线的几何性质
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课件22张PPT。中国人民大学附属中学2.3.2双曲线的几何性质 我们利用双曲线C的标准方程
来研究双曲线的一些几何性质. 1．范围： 由方程可得，双曲线C上任意一点的坐标(x，y)都适合不等式 即x≥a，或x≤－a. 因此双曲线C位于两直线x=a和x=－a所夹平面区域的外侧。2．对称性： 类似于对椭圆对称性的讨论，可知双曲线C分别以x轴，y轴为对称轴的轴对称图形，又是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，双曲线的对称中心又叫做双曲线的中心。3．顶点： 在方程中，令y=0，得x=±a，可知双曲线C与x轴有两个交点，分别是A1(－a，0)，A2(a，0)，如果令x=0，得y2=－b2，这个方程没有实数根，说明双曲线C与y轴没有公共点，
双曲线与它的对称轴的两个交点叫双曲线的顶点。 如图，双曲线C的顶点是A1(－a，0)，A2(a，0)，这两个顶点是双曲线两支中相距最近的点。 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长等于2a，同时在y轴上作点B1(0，－b)，B2(0，b)，线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长等于2b. 相应的a，b分别是双曲线的实半轴长和虚半轴长。 4．渐近线 观察图中方程①所表示的双曲线C，在直线x=a的右侧，当x逐渐增大时，双曲线的右支向右上和右下逐渐延伸；在直线x=－a的左侧，当x逐渐减小时，双曲线的左支向左上和左下逐渐延伸。 我们再进一步分析双曲线的这一变化趋势，不妨先考虑它在第一象限内的那一部分，这一部分的曲线的方程可以表达为 由于x>a>0，可知 又因为b>0，所以 这说明在第一象限内，双曲线C上的任意一点M(x，y)总是位于直线 的下方. 过点M作平行于y轴的直线，设它与直线
相交于点P，则因为当x>a时， 随着x的增大而增大， 可知当x越来越大时，|PM|越来越接近于0. 这说明当点M以双曲线C的顶点A2开始在第一象限沿此双曲线移动并越来越远离点A2时，点M和直线 就越来越接近。 由此可见，此双曲线右支向右上方无限延伸时，它总在直线的下方，且与直线
越来越接近，但不会相交。 根据双曲线的对称性可知，双曲线C向外无限延伸时，总是局限在由直线 和直线 相交而分平面所成的、含双曲线焦点的两个区域内，并与这两条直线无限接近，但永远不会与这两条直线相交。 直线 和直线 叫做双曲线的渐近线。5．离心率 双曲线的焦距与实轴长的比 叫做双曲线的离心率。 因为c>a>0，所以e>1，
e越趋近于1，由等式c2－a2=b2，可得 因此e越大， 也越大，即渐近线 的斜率的绝对值越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔， 双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔。例1．已知双曲线的焦点在x轴上，中心在原点，如果焦距为8，实轴长为6，求此双曲线的标准方程及其渐近线的方程。 解：由已知，得2c=8，2a=6，
因此c=4，a=3，b2=c2－a2=7. 又因为双曲线的焦点在x轴上，因此双曲线的标准方程是 双曲线渐近线方程是 例2．求双曲线16x2－9y2=144的实轴长和虚轴长、顶点坐标、焦点坐标及渐近线方程。解：把双曲线方程化为标准方程 由此可知，实半轴长a=3，虚半轴长b=4，半焦距c=5， 因此实轴长 2a=6；虚轴长 2b=8； 顶点坐标是(3，0)，(－3，0)；焦点坐标是(－5，0)，(5，0)； 渐近线方程是例3．一双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小直径为24m，上口直径为26m，下口直径50m，高为55m，在所给的直角坐标系中，求此双曲线的近似方程(虚半轴长精确的0.1m)。解：在给定的直角坐标系中，设双曲线的标准方程为 由已知冷却塔的最小直径AA’=24m，上口直径CC’=26m，下口直径BB’=50m，可知a=12，点B、C的横坐标分别为25，13. 设B、C的纵坐标分别为y1，y2，其中y1<0，y2>0，因为B(25，y1)，C(13，y2)在双曲线上，所以因为塔高为55m，所以y2－y1=55，即因此双曲线的近似方程是 解得b≈24.5，例4．已知双曲线的渐近线方程为y=± ,并且焦点都在圆x2+y2=100上，求双曲线的方程。解：当焦点在x轴上时，设双曲线的方程是 因为焦点都在圆x2+y2=100上，所以c=10，又双曲线的渐近线方程为y=± 所以 由 解得 所以双曲线的方程是 当焦点在y轴上时，设双曲线的方程是 因为焦点都在圆x2+y2=100上，
所以c=10，又双曲线的渐近线方程为y=± 所以 解得 所以双曲线的方程是 由例5．双曲线 (a>1，b>0)的焦距为2，直线l过点(a，0)和(0，b)，且点(1，0)到直线l的距离与点(－1，0)到直线l的距离之和s≥ c，求双曲线的离心率e的取值范围。解：直线l的方程为即bx+ay－ab=0， 由点到直线的距离公式，且a>1，得到点(1，0)到直线l的距离 d1= 同理点(－1，0) 到直线l的距离d2= s=d1+d2= 由s≥ c，得 即 解不等式得 ≤e2≤5， 由e>1，所以e的取值范围是
来研究双曲线的一些几何性质. 1．范围： 由方程可得，双曲线C上任意一点的坐标(x，y)都适合不等式 即x≥a，或x≤－a. 因此双曲线C位于两直线x=a和x=－a所夹平面区域的外侧。2．对称性： 类似于对椭圆对称性的讨论，可知双曲线C分别以x轴，y轴为对称轴的轴对称图形，又是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，双曲线的对称中心又叫做双曲线的中心。3．顶点： 在方程中，令y=0，得x=±a，可知双曲线C与x轴有两个交点，分别是A1(－a，0)，A2(a，0)，如果令x=0，得y2=－b2，这个方程没有实数根，说明双曲线C与y轴没有公共点，
双曲线与它的对称轴的两个交点叫双曲线的顶点。 如图，双曲线C的顶点是A1(－a，0)，A2(a，0)，这两个顶点是双曲线两支中相距最近的点。 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长等于2a，同时在y轴上作点B1(0，－b)，B2(0，b)，线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长等于2b. 相应的a，b分别是双曲线的实半轴长和虚半轴长。 4．渐近线 观察图中方程①所表示的双曲线C，在直线x=a的右侧，当x逐渐增大时，双曲线的右支向右上和右下逐渐延伸；在直线x=－a的左侧，当x逐渐减小时，双曲线的左支向左上和左下逐渐延伸。 我们再进一步分析双曲线的这一变化趋势，不妨先考虑它在第一象限内的那一部分，这一部分的曲线的方程可以表达为 由于x>a>0，可知 又因为b>0，所以 这说明在第一象限内，双曲线C上的任意一点M(x，y)总是位于直线 的下方. 过点M作平行于y轴的直线，设它与直线
相交于点P，则因为当x>a时， 随着x的增大而增大， 可知当x越来越大时，|PM|越来越接近于0. 这说明当点M以双曲线C的顶点A2开始在第一象限沿此双曲线移动并越来越远离点A2时，点M和直线 就越来越接近。 由此可见，此双曲线右支向右上方无限延伸时，它总在直线的下方，且与直线
越来越接近，但不会相交。 根据双曲线的对称性可知，双曲线C向外无限延伸时，总是局限在由直线 和直线 相交而分平面所成的、含双曲线焦点的两个区域内，并与这两条直线无限接近，但永远不会与这两条直线相交。 直线 和直线 叫做双曲线的渐近线。5．离心率 双曲线的焦距与实轴长的比 叫做双曲线的离心率。 因为c>a>0，所以e>1，
e越趋近于1，由等式c2－a2=b2，可得 因此e越大， 也越大，即渐近线 的斜率的绝对值越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔， 双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔。例1．已知双曲线的焦点在x轴上，中心在原点，如果焦距为8，实轴长为6，求此双曲线的标准方程及其渐近线的方程。 解：由已知，得2c=8，2a=6，
因此c=4，a=3，b2=c2－a2=7. 又因为双曲线的焦点在x轴上，因此双曲线的标准方程是 双曲线渐近线方程是 例2．求双曲线16x2－9y2=144的实轴长和虚轴长、顶点坐标、焦点坐标及渐近线方程。解：把双曲线方程化为标准方程 由此可知，实半轴长a=3，虚半轴长b=4，半焦距c=5， 因此实轴长 2a=6；虚轴长 2b=8； 顶点坐标是(3，0)，(－3，0)；焦点坐标是(－5，0)，(5，0)； 渐近线方程是例3．一双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小直径为24m，上口直径为26m，下口直径50m，高为55m，在所给的直角坐标系中，求此双曲线的近似方程(虚半轴长精确的0.1m)。解：在给定的直角坐标系中，设双曲线的标准方程为 由已知冷却塔的最小直径AA’=24m，上口直径CC’=26m，下口直径BB’=50m，可知a=12，点B、C的横坐标分别为25，13. 设B、C的纵坐标分别为y1，y2，其中y1<0，y2>0，因为B(25，y1)，C(13，y2)在双曲线上，所以因为塔高为55m，所以y2－y1=55，即因此双曲线的近似方程是 解得b≈24.5，例4．已知双曲线的渐近线方程为y=± ,并且焦点都在圆x2+y2=100上，求双曲线的方程。解：当焦点在x轴上时，设双曲线的方程是 因为焦点都在圆x2+y2=100上，所以c=10，又双曲线的渐近线方程为y=± 所以 由 解得 所以双曲线的方程是 当焦点在y轴上时，设双曲线的方程是 因为焦点都在圆x2+y2=100上，
所以c=10，又双曲线的渐近线方程为y=± 所以 解得 所以双曲线的方程是 由例5．双曲线 (a>1，b>0)的焦距为2，直线l过点(a，0)和(0，b)，且点(1，0)到直线l的距离与点(－1，0)到直线l的距离之和s≥ c，求双曲线的离心率e的取值范围。解：直线l的方程为即bx+ay－ab=0， 由点到直线的距离公式，且a>1，得到点(1，0)到直线l的距离 d1= 同理点(－1，0) 到直线l的距离d2= s=d1+d2= 由s≥ c，得 即 解不等式得 ≤e2≤5， 由e>1，所以e的取值范围是