2.4.1抛物线的标准方程
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课件22张PPT。中国人民大学附属中学2.4.1抛物线的标准方程 定点F叫做抛物线的焦点，
定直线l叫做抛物线的准线。 下面我们根据抛物线的定义来探求它的方程。 过点F作直线l的垂线，垂足为K，以直线KF为x轴，线段KF的中垂线为y轴，建立直角坐标系xOy. 再设M(x，y)是抛物线上任意一点，点M到直线l的距离为d，由抛物线的定义可知，点M在抛物线上的充分必要条件是|MF|=d.所以 将上式两边平方并化简，得y2=2px (p>0). ① 方程①叫做抛物线的标准方程， 例1．已知抛物线的焦点坐标是(3，2)，写出它的标准方程和准线方程。因此抛物线的标准方程是y2=12x，准线方程是x=－3.例2．已知抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点到准线的距离是3，求抛物线的标准方程、焦点坐标和准线方程。解：因为抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点到准线的距离是3，所以p=3， 所求的抛物线的标准方程是y2=6x， 例3．已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，抛物线上的点M(3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值。由题意知 解得 例4．若点A的坐标为(3，2)，F为抛物线y2= 2x的焦点，点P在抛物线上移动，为使得|PA|+|PF|取得最小值，则P点的坐标为 .解：由抛物线的定义，|PF|等于点P到抛物线的准线的距离|PP’|，由图可知，当且仅当P、A、P’在同一条直线上时， |PF|+|PA|=|PP’|+|PA|最小，此时点P的纵坐标等于A点的纵坐标，即P点的坐标为(2，2).课堂练习1．抛物线y2=8x的准线方程是（ ）
（A）x=－2 （B）x=－4
（C）y=－2 （D）y=－4A 2．顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线3x－4y－12=0上的抛物线方程是（ ）
（A）y2=4x （B）y2=8x
（C）y2=16x （D）y2=12xC3．抛物线y2=x上一点P到焦点的距离是2，则P点的坐标为（ ）
（A） （B）
（C） （D）B4．设抛物线y2=8px (p>0)，F是它的焦点，则p表示（ ）
（A）F到准线的距离
（B）F到x轴的距离
（C）F到x轴距离的
（D）F到准线距离的D5．抛物线y2=4px (p>0)上一点M到焦点的距离为a，则M到y轴的距离为（ ）
（A）a－p （B）a+p
（C）a－ （D）a+2pA6．焦点在x轴的正半轴上，并且过M(2，4)点的抛物线的标准方程是 。 y2=8x 7．已知抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点到准线的距离是3，则抛物线的标准方程是 ；焦点坐标是 ；准线方程是 。y2=6x 8．已知P是抛物线y2=16x上一点，它到x轴的距离为12，则它到焦点的距离是 。139．以双曲线 的右焦点为焦点，且以原点为顶点的抛物线的标准方程是 。 y2=20x 10．斜率是1的直线经过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线相交于A、B两点，则线段AB的长等于 .8 11．方程mx+ny2=0与mx2+ny2=1(mn≠0)在同一坐标系中的图象大致是（ ）。 （A） （B） （C） （D）A 12．抛物线y2=2x上两点A, B到焦点的距离之和是5，则线段AB中点的横坐标是 .2 13．抛物线型拱桥，当水面离拱顶2m时,水面宽4m，若水面下降1m后，则水面宽是 . 14．有一个正三角形，它的两个顶点在抛物线y2=－4x上，另一个顶点在原点，则此正三角形的面积是 .
定直线l叫做抛物线的准线。 下面我们根据抛物线的定义来探求它的方程。 过点F作直线l的垂线，垂足为K，以直线KF为x轴，线段KF的中垂线为y轴，建立直角坐标系xOy. 再设M(x，y)是抛物线上任意一点，点M到直线l的距离为d，由抛物线的定义可知，点M在抛物线上的充分必要条件是|MF|=d.所以 将上式两边平方并化简，得y2=2px (p>0). ① 方程①叫做抛物线的标准方程， 例1．已知抛物线的焦点坐标是(3，2)，写出它的标准方程和准线方程。因此抛物线的标准方程是y2=12x，准线方程是x=－3.例2．已知抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点到准线的距离是3，求抛物线的标准方程、焦点坐标和准线方程。解：因为抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点到准线的距离是3，所以p=3， 所求的抛物线的标准方程是y2=6x， 例3．已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，抛物线上的点M(3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值。由题意知 解得 例4．若点A的坐标为(3，2)，F为抛物线y2= 2x的焦点，点P在抛物线上移动，为使得|PA|+|PF|取得最小值，则P点的坐标为 .解：由抛物线的定义，|PF|等于点P到抛物线的准线的距离|PP’|，由图可知，当且仅当P、A、P’在同一条直线上时， |PF|+|PA|=|PP’|+|PA|最小，此时点P的纵坐标等于A点的纵坐标，即P点的坐标为(2，2).课堂练习1．抛物线y2=8x的准线方程是（ ）
（A）x=－2 （B）x=－4
（C）y=－2 （D）y=－4A 2．顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线3x－4y－12=0上的抛物线方程是（ ）
（A）y2=4x （B）y2=8x
（C）y2=16x （D）y2=12xC3．抛物线y2=x上一点P到焦点的距离是2，则P点的坐标为（ ）
（A） （B）
（C） （D）B4．设抛物线y2=8px (p>0)，F是它的焦点，则p表示（ ）
（A）F到准线的距离
（B）F到x轴的距离
（C）F到x轴距离的
（D）F到准线距离的D5．抛物线y2=4px (p>0)上一点M到焦点的距离为a，则M到y轴的距离为（ ）
（A）a－p （B）a+p
（C）a－ （D）a+2pA6．焦点在x轴的正半轴上，并且过M(2，4)点的抛物线的标准方程是 。 y2=8x 7．已知抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点到准线的距离是3，则抛物线的标准方程是 ；焦点坐标是 ；准线方程是 。y2=6x 8．已知P是抛物线y2=16x上一点，它到x轴的距离为12，则它到焦点的距离是 。139．以双曲线 的右焦点为焦点，且以原点为顶点的抛物线的标准方程是 。 y2=20x 10．斜率是1的直线经过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线相交于A、B两点，则线段AB的长等于 .8 11．方程mx+ny2=0与mx2+ny2=1(mn≠0)在同一坐标系中的图象大致是（ ）。 （A） （B） （C） （D）A 12．抛物线y2=2x上两点A, B到焦点的距离之和是5，则线段AB中点的横坐标是 .2 13．抛物线型拱桥，当水面离拱顶2m时,水面宽4m，若水面下降1m后，则水面宽是 . 14．有一个正三角形，它的两个顶点在抛物线y2=－4x上，另一个顶点在原点，则此正三角形的面积是 .