2024-2025学年河南省“天一小高考”高三（上）第二次联考数学试题（PDF版，含答案）

2024-2025 学年河南省“天一小高考”高三（上）第二次联考数学试题
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { | < 1}， = { | 1 < < 2}，则 ( ∪ ) =( )
A. ( ∞, 1] B. ( ∞, 1] ∪ [1, +∞)
C. [2, +∞) D. ( ∞, 1] ∪ [2, +∞)
2
2.( )6的展开式中， 2的系数为( )

A. 64 B. 160 C. 192 D. 240
3
3.已知抛物线 : = 2上一点 ( , 1)到准线的距离为 ，则 =( )
2
1 1
A. 2 B. C. D. 2
2 2
4.记等比数列{ }的前 项和为 ，若 3 = 9， 6 = 12，则 9 =( )
A. 13 B. 14 C. 15 D. 16
5.已知不重合的圆 1， 2都过点( 1,2)，且均与两坐标轴相切，则圆 1， 2的公共弦长为( )
A. 1 B. √ 2 C. 2√ 2 D. 3√ 2
7
6.已知 ， 和 都是函数 ( ) = sin( + )( > 0)的零点，则 的最小值是( )
4 4 12
A. 4 B. 6 C. 8 D. 12
7.已知长方体 1 1 1 1的表面积与体积在数值上相等，若 = 2 ，则该长方体的体积的最小值
为( )
81 243
A. B. 81 C. D. 243
2 2
1 2 sin cos cos sin
8.已知sin( + ) = ，cos( ) = ，则 + + + =( )
3 3 cos sin sin cos
4 4 2 2
A. B. C. D.
3 3 3 3
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知 ， ， 都是非零向量，则下列命题正确的是( )
A. 若 = ，则 =
B. 若| | = | || |，则 //
C. 若| + | = | |，则 = ( )2
D. ( ) = ( )
10.已知复数 满足(| + 2| | 2|)2 = 4，则下列说法正确的是( )
第 1 页，共 7 页
A. | | ≥ 1 B. | 2| ≥ 2
C. 若 ∈ ，则| | = 1 D. 若 2 ∈ ，则| | = 1
11.已知函数 ( ) = 3 3 2 + (3 + ) 1 ，则下列说法正确的是( )
A. ( )的图象为中心对称图形
B. ( )的图象上一定存在关于直线 = 1对称的两点
C. 若 < 0，则一定存在四个顶点都在 ( )的图象上的菱形
D. 若 = 3，则四个顶点都在 ( )的图象上的正方形有两个
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.对某校高三学生的身高进行抽样调查，一共抽查了40名男生和10名女生，若抽查的这50名学生的平均身
高为176 ，其中男生的平均身高为178 ，则抽查的女生的平均身高为 ．

13.已知实数 ， 满足2ln( 3 ) = ln(2 ) + ln(2 )，则 = ．

14.已知数列 1， 2， ， 2025中的每一项 均满足 ∈ { 2, 1,0,1,2}，记这2025项中任意两项乘积之和为
，即 = ∑1 < 2025 ，则 的最小值为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
3
在△ 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 = 5 ，cos = ．
5
(Ⅰ)求cos ;

(Ⅱ)记△ 的面积为 11，其外接圆的面积为 2，求 ． 2
16.(本小题12分)
如图，在三棱柱 1 1 1中，侧面 1 1， 1 1均垂直于底面 ， = 2， = 4， = 2√ 5，
1 = √ 13， 为 的中点．
第 2 页，共 7 页
(Ⅰ)证明： 1//平面 1 ;
(Ⅱ)求二面角 1 1的正弦值．
17.(本小题12分)
2 2 1
已知椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0)的离心率为 ，左、右顶点分别为 ， ，上顶点为 ，且△ 的面积为 2
2√ 3．
(Ⅰ)求 的方程;
(Ⅱ)设 是 上除顶点以外的动点，直线 与 轴交于点 ，直线 与 交于点 ，证明： ( 为坐标
原点)为定值．
18.(本小题12分)
1
已知函数 ( ) = 2 1， ( ) = 1 + ln .
2
(Ⅰ)求曲线 = ( )在点( , ( ))处的切线方程;
(Ⅱ)讨论 ( )的单调性;
( )
(Ⅲ)设函数 ( ) = 2 ，证明： ( ) > 0，且对任意 > 0，都存在 0 > 0，使得 ( 0) < ． ln
19.(本小题12分)
照如下方式构造一个数表：设 ， ∈ ，将数表的第 行第 列的数记为 , ，且 , 是首项为3 + 1，
公差为2 + 1的等差数列的第 项．
(Ⅰ)数表中一共有几个127 直接写出所有相应的 ,
(Ⅱ)若正整数 不在数表中，证明：2 + 1是质数. (注：只有1和自身两个因数的正整数称为质数)
(Ⅲ)设 ， ∈ ，且 ≥ 1， ≥ 2，从数表的前2 行，前(2 1)列中任取3个数，取到的偶数个数记为 ，
求 的分布列及数学期望．
第 3 页，共 7 页
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】168
13.【答案】9
14.【答案】 4048
15.【答案】解：(Ⅰ)由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 cos ，
即 2 = 2 + 25 2
3
2 5 = 20 2，所以 = 2√ 5 .
5
2
2
+ 2 2+20 2 25 2 √ 5
由余弦定理得cos = = = ．
2 2 2√ 5 5

(Ⅱ)由正弦定理知 = 2 ，
sin
其中 为△ 外接圆的半径．
√ 5 2√ 5
因为cos = ，所以sin = ，
5 5
1 1 2√ 5
1 = sin = 2√ 5 = 2
2，
2 2 5
2 125 2
2 = = ，
4sin2 16
32
于是有 1 = ．
2 125
16.【答案】解：(Ⅰ)如图，连接 1与 1 交于点 ，连接 ．
因为四边形 1 1为平行四边形，
所以 为 1的中点，
第 4 页，共 7 页
又 为 的中点，则在△ 1中，有 // 1，
又 平面 1 ， 1 平面 1 ，
所以 1//平面 1 ．
(Ⅱ)由勾股定理的逆定理知 ⊥ ，
又由侧面 1 1， 1 1均垂直于底面 ，可得 1 ⊥平面 ，
所以 ， ， 1两两垂直，以 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示．
由已知得 (0,0,0)， (2,0,0)， (0,4,0)， 1(0,0, √ 13)， 1(0,4, √ 13)， (1,2,0)．
= (1,2,0)， 1 = (0,0, √ 13)，
设平面 1的法向量为 = ( , , )，
= + 2 = 0
则{ 可取 = (2, 1,0)．
1 = √ 13 = 0
1 = (0,4, √ 13)，
设平面 1的法向量为 = ( , , )，
= + 2 = 0,
则{ 可取 = (2 13, 13, 4)．

√ √
1 = 4 + √ 13 = 0,
5√ 13 √ 65
cos < , >= = = ，
| | | | √ 5×√ 5×13+16 9
4
所以二面角 1 1的正弦值为 ． 9
√ 2 2 1
= , = 2,17.【答案】(Ⅰ)解：由题意知{ 2 解得{ = √ 3,
= 2√ 3,
2 2
故 E 的方程为 + = 1．
4 3
(Ⅱ)证明：由条件知 ( 2,0)， (2,0)， (0, √ 3).
2 2 3 2
设 ( , )( ≠ 0且 ≠ 0)，则 + = 1，整理得6 2 2 = ，
4 3 2
第 5 页，共 7 页
√ 3 √ 3
由直线 : = + √ 3，得 ( , 0)，
√ 3
√ 3
将直线 : = ( + 2)与直线 : = + √ 3的方程联立，
+2 2
2(2√ 3+√ 3 2 )
可解得 = ． 2√ 3+√ 3 +2
2(2√ 3+√ 3 2 ) √ 3 12 +6
2 4√ 3 12 +6 2 4√ 3
所以 = × = = = 4，
2√ 3+√ 3 +2 √ 3 6+3 √ 3 2 2 3 23 √ 3 +
2
故 · 为定值4．
18.【答案】解：(Ⅰ) ∵ ( ) = 1 + ln ， ′( ) = ln + 1， ′( ) = 2， ( ) = 1 + ，
∴所求的切线方程为 = 2( ) + 1 + ，即 = 2 + 1 ．
1
(Ⅱ) ∵ ( ) = 2 1， ′( ) = 1，
2
设 ( ) = ′( ) = 1，则 ′( ) = 1，
当 > 0时， ′( ) > 0;当 < 0时， ′( ) < 0，
∴ ′( )在( ∞, 0)上单调递减，在(0, +∞)上单调递增，则 ′( ) ≥ ′(0) = 0，当且仅当 = 0时取等号，
∴ ( )在 上单调递增．
1 1
(Ⅲ) ( ) = 1 + ， ′( ) = 1 + ，由 ′( ) > 0得 > ;由 ′( ) < 0得0 < < ，

1 1
所以 ( )在(0, )上单调递减，在( , +∞)上单调递增，

1 1
则 ( ) ≥ ( ) = 1 > 0．

( )
易证 1 ≥ ln ，所以 2 ln = ( ln ) > 0，所以 ( ) = 2 > 0． ln
1
1+ ln +ln
由题意得 ( ) = 2 = ． ln ln
1 4
4 +ln 4 0
+
对任意 > 0，取 00 = ，则 ( 0) = =
，
0 ln
4
0 4

4 4 4 4 8
因为 < 1，再由(Ⅱ)可知 ( ) > (0)，即 > 1 + 2 > 0，
4
4 4 4 + 1+ 1+
于是有 ( ) =
+4
0 4 <
< 4 8 = · 2 ． 4 4 +8
1+ 2

1 2 15
+4 ( ) +4
又因为 2 1 =
2 4
2 < 0，即 +8 +8 2 < 1， +8
所以 ( 0) < ．
4
故存在 0 = ，使得 ( 0) < ．
第 6 页，共 7 页
19.【答案】解：(Ⅰ)一共有6个．
1,42 = 42,1 = 2,25 = 25,2 = 7,8 = 8,7 = 127．
理由：由题可知 , = (3 + 1) + ( 1)(2 + 1) = + + 2 ．
由 + + 2 = 127，得2 + 2 + 4 = 254，所以(2 + 1)(2 + 1) = 255 = 3 × 85 = 5 × 51 = 15 ×
17，
故2 + 1与2 + 1的值有6种情况，即 , 有6种情况．
(Ⅱ)假设2 + 1是合数，即存在正整数 > 1， > 1使得2 + 1 = ．
由于2 + 1是奇数，所以 ， 都是奇数，
设 = 2 + 1， = 2 + 1， ， ∈ ，
则2 + 1 = (2 + 1)(2 + 1) = 2 + 2 + 4 + 1，所以 = + + 2 = , ，
这与 不在数表中相矛盾，
故假设不成立，原结论成立，即2 + 1是质数．
(Ⅲ)因为 , = + + 2 ，
2 1,2 1 = 2 + 2 2 + 2(2 1)(2 1)，即奇数行，奇数列一定是偶数，
2 1,2 = 2 + 2 + 4(2 1) 1，即奇数行、偶数列一定是奇数．
从而每个奇数行的前(2 1)列中，共有 个偶数，( 1)个奇数．
2 ,2 1 = 2 + 2 + 4(2 1) 1，即偶数行、奇数列一定是奇数，
2 ,2 = 2 + 2 + 8 ，即偶数行、偶数列一定是偶数．
从而每个偶数行的前(2 1)列中，共有( 1)个偶数， 个奇数．
所以前2 行、前(2 1)列中共有2 (2 1)个数，其中偶数和奇数均有 (2 1)个．
的所有可能取值为0，1，2，3．
3 1 22 2 2 2 · 2 3(2 )
( = 0) = ( = 3) = = ， ( = 1) = ( = 2) = == ，
3 4(4 2 1) 3 4(4 2 1)4 2 4 2
9(2 ) 3(2 2) 3
所以 ( ) = 0 × ( = 0) + 1 × ( = 1) + 2 × ( = 2) + 3 × ( = 3) = + = ．
4(4 2 1) 4(4 2 1) 2
3 (2 1) 3
或者： 服从参数为2 (2 1)， (2 1)，3的超几何分布，所以 ( ) = = ．
2 (2 1) 2
第 7 页，共 7 页