2024-2025学年山东省“百师联考”高一上学期12月月考数学试题（含答案）

2024-2025学年山东省“百师联考”高一上学期12月月考数学试题
一、单选题：本大题共8小题，共40分。
1.集合，，则的真子集个数为( )
A. B. C. D.
2.已知，则下列不等式一定成立的是为( )
A. B. C. D.
3.下列各组函数中是同一个函数的是为( )
A. 与
B. 与
C. 与
D. 与
4.已知，，，则为( )
A. B. C. D.
5.已知，，，则的值为( )
A. B. C. 或 D. 或
6.下列说法中正确说法的个数为为( )
若函数的定义域为，则实数的取值范围是
已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是
已知函数的值域为，则实数的取值范围是．
A. B. C. D.
7.已知幂函数在上单调递增，函数，，总存在，使得，则的取值范围是为( )
A. B. C. D.
8.已知是定义在上的偶函数，且对任意，有，当时，，则下列结论正确的是为( )
A.
B.
C. 函数有个零点
D. 当时，
二、多选题：本大题共3小题，共18分。
9.下列说法错误的是为( )
A. 已知集合，则，或
B. 命题，的否定为，
C. 的一个必要条件是
D. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为
10.已知正数，满足，下列说法正确的是为( )
A. 的最大值为 B. 的最小值为
C. 的最小值为 D. 的最小值为
11.对于函数下列说法正确的是为( )
A. 当时，的最小值为
B. 当时，存在最小值
C. 当时，在上单调递增
D. 的零点个数为，则函数的值域为
三、填空题：本大题共3小题，共15分。
12.函数是上的增函数，且的图象经过点和，则不等式的解集为 ．
13.建造一个容积为立方米，深为米的无盖长方体蓄水池，池壁的造价为每平方米元，池底的造价为每平方米元，则建造水池的最低总造价为 元
14.若函数，且关于的方程有三个不同的实数解，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.已知集合，集合．
求集合，及
若，且满足，求实数的取值范围．
16.某动物医学研究所研发一种药物据监测，如果某宠物狗在小时内按规定的剂量注射该药，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减，每升血液中的药物含量毫克与开始注射后的时间小时之间近似满足的函数关系为，且根据下图中提供的信息：
写出开始注射该药后每升血液中药物含量毫克关于时间小时的函数关系式
据测定：每升血液中药物含量不少于毫克时该药有效，那么该药的药效时间有多长结果保留小数点后两位，参考值：，
17.设函数，且．
若，求证：在内存在零点
若不等式的解集是，且时，恒成立，求的取值范围．
18.已知函数．
当时，求该函数的值域
求不等式的解集
若对于恒成立，求的最小值．
19.定义在上的函数是单调函数，，且，．
求，并判断函数的奇偶性
判断函数的单调性，并证明
若存在，使得成立，求实数的取值范围．
参考答案
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15.解：因为 ，指数函数 是单调递增函数，
所以 ，解为 ，即 ，
因为 ，对数函数 是单调递增函数，
所以 ，解得 ，即 ，
则 ；
对于集合 ，可得 ，
即 ，
因为 ，所以 ，则有
解第一个不等式 ，得 ，
解第二个不等式 ，得 ，
所以 的取值范围是 ．

16.解：当时，设， 将代入， 得，
解得，此时，
当时，设且，
将、代入得，
解得，
此时，，
综上：
解：当时，，解得，
当时，，即，
而，
故，
药效时间，
所以，药效时间小时．
17.解：由，得，所以，
又，，
若，，
由零点存在性定理知在上存在零点，
若，则，是零点，此时存在零点，
综上，在内存在零点；
依题意得，且，是方程的两根，
由根与系数的关系可得，，
即，，
所以，
依题意，得在上恒成立，
因为，，所以只需，
令，，
令，则，
在上单调递增，
所以时，，
则有，
故．
18.解：因为，
令，由，可知，
函数转化为，．
因为，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，取到最小值，为．
由，可知当时，取到最大值，
故当时，函数的值域为
由题得，
令，则，
即，解得或，
当时，即，解得
当时，即，解得，
故不等式的解集为，或．
由于对于恒成立，
令，，则，
即在上恒成立，
所以在上恒成立，
因为函数在上单调递增，也在上单调递增，
所以函数在上单调递增，
所以当时，函数取得最大值，为，
故当时，对于恒成立．
所以，的最小值为．
19.解：在等式 中，
令 可得 ，解得 ，
因为函数 的定义域为，令 可得 ，所以，，
因此，函数 为奇函数．
函数 为上的减函数，理由见解析：
任取 、 ，且 ，则 ，所以， ，
因为 ，所以， ，
所以，函数 在上为减函数．
存在 使得 ，
可得 ，
因为函数 在上为减函数，则 ，
令 ，其中 ，则 ，即函数 为偶函数，
任取 、 且 ，
则
，
因为，则，，则，
所以，则
所以，函数在上单调递增，
则当时，，即，
所以，当时，．
令，则，
则，所以，可得．
令，其中，由题意可得，
因为函数在上单调递减，
所以，则，
因此，实数的取值范围是

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