九师联盟2024-2025学年高二（上）12月月考数学试题（PDF版，含答案）

九师联盟 2024-2025 学年高二（上）12 月月考数学试题
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1
1.在数列{ }中， 1 = 2， = 2 +1，则 5 =( )
1 1
A. B. C. 16 D. 32
16 8
2.已知直线 + + 1 = 0在 轴上的截距是 1，其倾斜角是直线√ 3 = 0的倾斜角的2倍，则( )
A. = √ 3， = 1 B. = √ 3， = 1
C. = √ 3， = 1 D. = √ 3， = 1
3.顶点在原点，关于 轴对称，并且经过点 ( 2,1)的抛物线方程为( )
1 1
A. 2 = B. 2 = C. 2 = 4 D. 2 = 4
4 4
4.已知等差数列{ }的前 项和为 ，若 10 = 20，则 5 6的最大值为( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
+ 1, 为奇数,
5.已知数列{ }中， 1 = 1， +1 = { 则数列{ }前2024项的和为( )
+ 2, 为偶数,
A. 0 B. 1012 C. 2024 D. 4048
6.《九章算术》中有问题：“今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长一尺.蒲生日自半，莞生日自倍.”意思
是说今有蒲第一天长高三尺，莞第一天长高一尺，以后蒲每天长高为前一天的一半，莞每天长高为前一天
的两倍.要使莞的长度大于蒲的长度(蒲与莞原先的长度忽略不计)，需要经过的时间最少为( )
A. 3天 B. 4天 C. 5天 D. 6天
7.记曲线 1:
2 + 2 2| | 2| | = 0( 2 + 2 ≠ 0)围成的平面图形的面积为 1，曲线 2: | | + | | = 2围成
的平面图形的面积为 2，则 1 2 =( )
A. 8 + 4 B. 4√ 2 C. 16 D. 4
8.已知抛物线 : 2 = 6 的准线交 轴于点 ，过点 作直线 交 于 ， 两点，且 = 3 ，则直线 的斜
率是( )
2√ 3 3√ 3 3√ 3
A. ±√ 3 B. ± C. ± D. ±
3 4 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列数列中，为递增数列的是( )
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A. = B. = √ + 1 √ +1
1
C. =
2 3 D. = 2
+ 2
10.如图，在正方体 1 1 1 1中， 为底面 1 1 1 1的中心， ， 分别为 ， 1的中点， 点满
足 + = + ，则( )
A. 1 //平面 B. 1//平面
C.
1 1 1= + 1 D. ， ， ， 四点共面 2 2 2
11.已知 为圆 : ( + 2)2 21 + = 4上任意一点， 2(2,0)，线段 2的垂直平分线交直线 1于点 ，记点 的
轨迹为曲线 ，设 ( 1, 1)， ( 2, 2)在曲线 上，且 1// 2， 1 2 < 0， 1 2 > 0，则( )
2
A. 曲线 的方程为 2

= 1
3
B. 曲线 的离心率为√ 2
C. 经过( 1, √ 3)且与曲线 只有一个公共点的直线恰有两条
D. 四边形 1 2 面积的最小值为8
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.如图，若三棱柱 1 1 1的所有棱长都是1，∠

1 1 = ∠ 1 1 = 60 ， 是棱 的中点，则 1，
两点之间的距离等于 ．
13.若数列{ }满足 =
2 9 + 18，且 为其前 项和，则 的最小值为 ．
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14.已知抛物线 : 2 = 2 ， 为抛物线 上任意一点，过点 向圆 : 2 + 2 4 + 3 = 0作切线，切点分别
为 ， ，则 的最小值为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)

已知 是数列{ }的前 项和，若 1 = 2，{
}是等差数列，3 4 = 4 3 + 12． +1
(1)求 ;
(2)求数列{ }的通项公式．
16.(本小题15分)
1
如图，在三棱台 1 1 1中， 1 ⊥平面 ， 1 = 1，△ 是边长为2的正三角形， 1 1 = ． 2
(1)求证： 1 ⊥ ;
(2)求 1 与平面 1 1所成角的正弦值．
17.(本小题15分)
2 2 1
已知椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0)的离心率为 ，左焦点为 ， 是 上任意一点，且| |的最大值为3． 2
(1)求 的方程;
(2)设 的右顶点为 ，直线 的方程为 = 1，若直线 交 于 ， 两点，求证：直线 ， 的斜率之
和为 ．
18.(本小题17分)
设 为抛物线 : 2 = 2 ( > 0)的焦点， ， ， 为 上三个不同的点，且 + + 1 2 3 1 2 3 = 0 ，| 1 | +
| 2 | + | 3 | = 6．
(1)求 的方程;
(2)设过点 的直线 交 于 ， 两点．
1 4
①若直线 交圆 2 + 2 2 = 0于 ， 两点，其中 ， 位于第一象限，求 + 的最小值;
| | | |
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②过点 作 的垂线 ，直线 交 于 ， 两点，设线段 ， 的中点分别为 ， ，求证：直线 过定点．
19.(本小题17分)
对于各项均为正数的无穷数列{ }，若 ∈
，都有 2 2 +1 = ，其中 为非零常数，则称数列{ }是
数列．
(1)判断无穷数列{√ 4 3}和{ln2 }是不是 数列 若是，求出相应的常数 的值;若不是，请说明理由;
(2)若{ }是 数列，且 = 1 = 1．
①记{ 2 }的前 项和为 ，求证： +2 + 3 ≤
2
+1( ∈ );
2
(3 2 2) 2 1
2 2 , 为奇数,
②对任意的正整数 ，设 = { +2 求数列{ }的前2 项和．
2 1
2 , 为偶数,
2
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
√ 11
12.【答案】
2
13.【答案】10
2
14.【答案】
3

15.【答案】解：(1)设数列{ }的公差为 ，
+1

则由 11 = 2，得 = 1， 2

所以 = 1 + ( 1) ，即 = + 1 + (
2 1) ，
+1
所以 3 = 4 + 8 ， 4 = 5 + 15 ，
因为3 4 = 4 3 + 12，
所以3(5 + 15 ) = 4(4 + 8 ) + 12，解得 = 1，
所以 =
2 + ．
(2)由(1)知 =
2 + ，
所以 ≥ 2时， = 1 =
2 + ( 1)2 ( 1) = 2 ，
上面这个式子对 = 1也适合，
所以 ∈ 时， = 2 ．
16.【答案】解：(1)证法一：因为 1 ⊥平面 ， 平面 ，所以 1 ⊥ ，
.取 的中点 ，连接 1， ，
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1
因为在三棱台 1 1 1中， // 1 1， 1 1 = ，所以 = 1 1 2
则四边形 1 1 是平行四边形， 1// 1 ，所以 1 ⊥ ，
因为 为正三角形， 是 的中点，所以 ⊥ ，
又 1 ， 平面 1 ， 1 ∩ = ，所以 ⊥平面 1 ，
又 1 平面 1 ，所以 ⊥ 1C.
证法二：以 为原点，平面 内垂直于 的直线为 轴， ， 1所在直线分别为 轴， 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，则 (0,0,0)， ， (0,2,0)， √ 3 1 (√ 3, 1,0) 1( , , 1)， 2 2
所以
√ 3 3
= ( , , 1)， 1 = (√ 3, 1,0)， 2 2
因为 √ 3 3 1 = × √ 3 + × 1 1 × 0 = 0， 2 2
所以 ⊥ 1 ，即 ⊥ 1C.
(2)解：由(1)的证法二知， (0,0,0)， (0,2,0)， √ 3 1 1( , , 1)， 1(0,1,1)， 2 2
所以 √ 3 1 √ 3 3 1 = ( , , 1)， 1 = (0,1,1)， 1 = ( , , 1)． 2 2 2 2

√ 3 1
= + + = 0,
设平面 1 1的法向量为 = ( , , )，则{
1 2 2 取 = √ 3，则 = 1， = √ 3，
1 = + = 0,
所以平面 1 1的一个法向量 = (1, √ 3, √ 3)，
设 1 与平面 1 1所成的角为 ，
√ 3 3
则 |
| |1×( )+√ 3× √ 3×( 1)|2 2 √ 21
sin = |cos 1 , | =
1 = = ，
| || 1 | √ 7×2 7
即 与平面 所成角的正弦值为√ 211 1 1 ． 7
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1
17.【答案】解：(1)解：设 ( , 0)，则 = ，
2
因为| |的最大值为3，
所以 + = 3，解得 = 2， = 1，
则 2 = 2 2 = 3，
2 2
所以 的方程为 + = 1．
4 3
(2)由题知 (2,0)，设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，
= 1,
由{ 消去 得(3 2 + 4) 2 6 9 = 0，
3 2 + 4 2 = 12
其中 = 36 2 4 × (3 2 + 4) × ( 9) = 144 2 + 144 > 0，
6 9
则 1 + 2 = ， = ， 3 2+4 1 2 3 2+4
1 因为 +
2
= + 1 2 2 2

= 1 + 2
1 3 2 3
2 1 2 3( 1 + 2)=
2 1 2 3 ( 1 + 2) + 9
9 6
2 × 2 3×
= 3 +4 3
2+4
9 6 = ，
2× 3 × +9
3 2+4 3 2+4
所以直线 ， 的斜率之和为 ．

18.【答案】解：(1)根据题意得焦点 ( , 0)，设 1( 1, 1)， 2( 2, 2)， 3( 3, 3)， 2
→ → → →
因为 1 + 2 + 3 = 0，因此( 1 ) + ( 2 ) + ( 3 ) = 0， 2 2 2
3
所以 1 + 2 + 3 = ， 2
→ → → 3
因此| 1| + | 2| + | 3| = ( 1 + ) + ( 2 + ) + ( 3 + ) = 1 + 2 + 2 2 2 3 + = 3 = 6， 2
所以 = 2，
因此抛物线 的方程为 2 = 4 ．
(2)①圆方程 2 + 2 2 = 0化为标准式为( 1)2 + 2 = 1，其半径为1，圆心恰为 ，
1 4
当直线 斜率不存在时，| | = 1，| | = 1， + = 5；
| | | |
当直线 斜率存在时，根据题意可设直线 的方程为 = ( 1)( ≠ 0)，
( 1, 1)， ( 2, 2)，
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2 = 4
由{ ,
= ( 1)
得 2 2 (2 2 + 4) + 2 = 0， = (2 2 + 4)2 4 4 = 16 2 + 16 > 0，
| | = | | 1 = 1 + 1 1 = 1，| | = | | 1 = 2 + 1 1 = 2，
2

因为 1 2 = 2 = 1，

1 4 1 4 4
所以 + = + ≥ 2 √ = 4，
| | | | 1 2 1 2
1 4 1
当且仅当 = ，即
1
= ， 2 = 2时等号成立．
1 2 2
1 4
所以 + 的最小值为4；
| | | |
②证明：由题知直线 的斜率 存在且不为0，
4 4 2 2
由①得 1 + 2 = 2 + 2， 1 + 2 = ( 1 + 2 2) = ，则 (1 + , )．

2

1
用 替换 得点 (1 + 2 2, 2 )．

2
2 +2 2 当1 + 2 ≠ 1 + 2 ，即 ≠ ±1时，直线 的斜率 = 2 2 = 2， 1+ 2 1 2 1


所以直线 的方程为 + 2 = 2 ( 1 2
2)，整理得 2 + ( 3) = 0，
1
所以直线 恒过点(3,0)；
当 = ±1时，直线 的方程为 = 3，也过点(3,0)．
综上所述，直线 恒过点(3,0)．
19.【答案】(1)解：{√ 4 3}是 数列，{ln2 }不是 数列，理由如下：
令 = √ 4 3，则
2 2
= 4 3， +1 = 4 + 1，
因为 2 +1
2
= (4 + 1) (4 3) = 4为非零常数，
所以{√ 4 3}是 数列，相应的常数 的值为4;
令 = ln2 ，则 = ln2， 2 = 2 (ln2)
2， 2 +1 = ( + 1)
2(ln2)2，
因为 2 +1
2
= (ln2)
2[( + 1)2 2] = (ln2)2(2 + 1)不是非零常数，
所以{ln2 }不是 数列．
(2) ①证明：因为{ }是 数列，且 = 1 = 1，
所以 2 2 2 +1 = 1，{ }是首项与公差都是1的等差数列，
2 2 ( +1)所以 = 1 + ( 1) = ， =
2 + 2 + + 2 1 2 = 1 + 2 + + = ． 2
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( + 1)( + 2) ( + 1) ( + 2)( + 3)
2 +1
2
+2 = [ ] 2 2 2
( + 1)( + 2)
= [( + 1)( + 2) ( + 3)]
4
1 1 3 1
= ( 2 + 3 + 2) = [( + )2 ] ≥ 3，等号仅当 = 1时成立．
2 2 2 4
所以 2 +1 ≥ +2 + 3，即
2
+2 + 3 ≤ +1( ∈ ).
②解：由 ①知 = √ ，
(3 2 2) 2
2
1 1 +1 1
当 为奇数时， (3 2)2 2 2 = 2 2 = = ; +2 ( +2) +2
2 1
当 为偶数时， = 1 2 = ，
2 2
对任意的正整数 ，有
22 22 2 22 20 24 2
2 26 24 22 22 2 22
∑ =1 2 1 = ∑

=1( ) = ( ) + ( ) + ( ) + + ( ) = 1， 2 +1 2 1 3 1 5 3 7 5 2 +1 2 1 2 +1
2 1 1 3 5 2 3 2 1∑ =1 2 = ∑ =1 = + + + + +4 ， 4 42 43 4 1 4
1 1 3 5 2 3 2 1∑ = + + + + + ，
4 =1 2 42 43 44 4 4 +1
两式相减得
，
5 6 +5所以∑ =1 2 = ， 9 9×4
2
因此，∑2
2 5 6 +5 4 6 +5 4
=1 = ∑

=1

2 1 + ∑ =1 2 = ( 1) + ( ) = ． 2 +1 9 9×4 2 +1 9×4 9
4 6 +5 4
所以数列{ }的前2 项和为 ． 2 +1 9×4 9
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