2.4.2抛物线的几何性质
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课件21张PPT。中国人民大学附属中学2.4.2抛物线的几何性质 我们根据抛物线的标准方程y2=2px (p>0) 来研究它的一些几何性质.1．范围： 因为p>0，由方程可知，这条抛物线上任意一点M的坐标(x，y)满足不等式x≥0，所以这条抛物线在y轴的右侧，当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸，它的开口向右。2．对称性： 以－y代替y，方程不变，因此这条抛物线是以x轴为对称轴的对称图形，抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。3．顶点： 抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点，在方程中，当x=0时，y=0，因此这条抛物线的顶点坐标就是坐标原点(0，0). 4．离心率：
抛物线上的点与焦点和准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示，按照抛物线的定义，e=1.解：根据已知条件，设抛物线的方程为y2=2px (p>0). 因此所求的抛物线的方程是y2=3x.例2．汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点处，已知灯口的直径是24cm，灯深10cm，那么灯泡与反射镜的顶点(即截得抛物线的顶点)距离是多少？解：取反射镜的轴即抛物线的轴为x轴，抛物线的顶点为坐标原点，建立直角坐标系xOy， 因为灯口直径|AB|=24，灯深|OP|=10，所以点A的坐标是(10，12)，设抛物线的方程是y2=2px (p>0). 因为点A(10，12)在抛物线上，得 122=2p×10，所以p=7.2， 抛物线的焦点F的坐标为(3.6，0)，因此灯泡与反射镜的顶点的距离是3.6cm. 在平面直角坐标系上，顶点在原点、轴与坐标轴重合的抛物线有四种位置情况，因此抛物线的方程相应的有四种形式，它们都叫做抛物线的标准方程，它们的推导过程类同。 设抛物线的焦点到准线的距离为p (p>0)，上述抛物线的方程的四种形式列表如下：例3．求适合下列条件的抛物线的标准方程:
（1）过点(－3，2)；
（2）焦点在直线x－2y－4=0上。（2）抛物线分别是y2=16x和x2=－8y. 例4．正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2=2px (p>0)上，求这个正三角形的边长。 解：设正三角形OAB的顶点在抛物线上，且坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，
则y12=2px1，y22=2px2， 又|OA|=|OB|，所以x12+y12= x22+y22，
即(x1+x2)(x1－x2)=y22－y12=2p(x2－x1)， 所以(x1－x2)(x1+x2+2p)=0，
由于x1+x2+2p>0，所以x1=x2，由此可知，|y1|=|y2|，即线段AB关于x轴对称所以x轴垂直于AB， ∠AOx=30°，所以课堂练习1．抛物线y=－x2的焦点坐标是（ ）
（A）(0， ) （B）(0，－ )
（C）( ，0) （D）(－ ，0)B2．已知抛物线的焦点坐标是(0，－3)，则抛物线的标准方程为（ ）
（A）x2=－12y （B）x2=12y
（C）y2=－12x （D）y2=12xA3．已知抛物线的准线方程为x=－7，则抛物线的标准方程为（ ）
（A）x2=－28y （B）y2=28x
（C）y2=－28x （D）x2=28yB4．焦点在直线3x－4y－12=0上的抛物线的标准方程为（ ）
（A）x2=16y或y2=12x
（B）y2=16x或x2=12y
（C）y2=16x或x2=－12y
（D）x2=16y或y2=－12xC5．抛物线y=ax2（a<0）的焦点坐标是（ ）
（A） （B）
（C） （D）B6．抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，其上有一点A(4，m)，其到准线的距离为6，则m= . 7．已知x2+y2－6x－7=0与抛物线y2=2px (p>0)的准线相切，则p= . 2例．过抛物线y2=2px的焦点F任作一条直线m，交这抛物线于A, B两点，求证：以AB为直径的圆和这抛物线的准线相切．分析：运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷．证明：如图． 所以EH是以AB为直径的圆E的半径，且EH⊥l，因而圆E和准线l相切．设AB的中点为E，过A、E、B分别向准线l引垂线AD，EH，BC，垂足为D、H、C，则｜AF｜＝｜AD｜，｜BF｜＝｜BC｜∴｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜
＝｜AD｜＋｜BC｜=2｜EH｜
抛物线上的点与焦点和准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示，按照抛物线的定义，e=1.解：根据已知条件，设抛物线的方程为y2=2px (p>0). 因此所求的抛物线的方程是y2=3x.例2．汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点处，已知灯口的直径是24cm，灯深10cm，那么灯泡与反射镜的顶点(即截得抛物线的顶点)距离是多少？解：取反射镜的轴即抛物线的轴为x轴，抛物线的顶点为坐标原点，建立直角坐标系xOy， 因为灯口直径|AB|=24，灯深|OP|=10，所以点A的坐标是(10，12)，设抛物线的方程是y2=2px (p>0). 因为点A(10，12)在抛物线上，得 122=2p×10，所以p=7.2， 抛物线的焦点F的坐标为(3.6，0)，因此灯泡与反射镜的顶点的距离是3.6cm. 在平面直角坐标系上，顶点在原点、轴与坐标轴重合的抛物线有四种位置情况，因此抛物线的方程相应的有四种形式，它们都叫做抛物线的标准方程，它们的推导过程类同。 设抛物线的焦点到准线的距离为p (p>0)，上述抛物线的方程的四种形式列表如下：例3．求适合下列条件的抛物线的标准方程:
（1）过点(－3，2)；
（2）焦点在直线x－2y－4=0上。（2）抛物线分别是y2=16x和x2=－8y. 例4．正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2=2px (p>0)上，求这个正三角形的边长。 解：设正三角形OAB的顶点在抛物线上，且坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，
则y12=2px1，y22=2px2， 又|OA|=|OB|，所以x12+y12= x22+y22，
即(x1+x2)(x1－x2)=y22－y12=2p(x2－x1)， 所以(x1－x2)(x1+x2+2p)=0，
由于x1+x2+2p>0，所以x1=x2，由此可知，|y1|=|y2|，即线段AB关于x轴对称所以x轴垂直于AB， ∠AOx=30°，所以课堂练习1．抛物线y=－x2的焦点坐标是（ ）
（A）(0， ) （B）(0，－ )
（C）( ，0) （D）(－ ，0)B2．已知抛物线的焦点坐标是(0，－3)，则抛物线的标准方程为（ ）
（A）x2=－12y （B）x2=12y
（C）y2=－12x （D）y2=12xA3．已知抛物线的准线方程为x=－7，则抛物线的标准方程为（ ）
（A）x2=－28y （B）y2=28x
（C）y2=－28x （D）x2=28yB4．焦点在直线3x－4y－12=0上的抛物线的标准方程为（ ）
（A）x2=16y或y2=12x
（B）y2=16x或x2=12y
（C）y2=16x或x2=－12y
（D）x2=16y或y2=－12xC5．抛物线y=ax2（a<0）的焦点坐标是（ ）
（A） （B）
（C） （D）B6．抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，其上有一点A(4，m)，其到准线的距离为6，则m= . 7．已知x2+y2－6x－7=0与抛物线y2=2px (p>0)的准线相切，则p= . 2例．过抛物线y2=2px的焦点F任作一条直线m，交这抛物线于A, B两点，求证：以AB为直径的圆和这抛物线的准线相切．分析：运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷．证明：如图． 所以EH是以AB为直径的圆E的半径，且EH⊥l，因而圆E和准线l相切．设AB的中点为E，过A、E、B分别向准线l引垂线AD，EH，BC，垂足为D、H、C，则｜AF｜＝｜AD｜，｜BF｜＝｜BC｜∴｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜
＝｜AD｜＋｜BC｜=2｜EH｜