河北省2024-2025学年高一（上）12月百校联考数学试卷（PDF版，含答案）

河北省 2024-2025 学年高一（上）12 月百校联考数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.体操中有“前空翻转体540度”这样的动作名称，则540 化成弧度是( )
3 5 13
A. B. 3 C. D.
2 2 6
2.若集合 = { |2 < 6}， = { |2 2 > 0}，则 ∩ =( )
1 1 1
A. (0,3) B. ( , 3) C. (0, ) D. ( ∞, 0) ∪ ( , 3)
2 2 2
1 11
3.若 ( )为奇函数，当 > 0时， ( ) = lg( + )，则 ( 9) =( )
2 2
A. lg11 B. 0 C. 1 D. 1
4.“ 是小于135 的钝角”是“2 是第三象限角”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.关于函数图象过定点问题，有以下3个命题：
①函数 = 1 + (0 < < 1)的图象经过定点(0,2);
②函数 = log ( 1)( > 1)的图象经过定点(2,0);
③函数 = 2 2 + 1( < 0)的图象经过两个定点．
其中，真命题的个数为( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
6.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视
力数据，五分记录法的数据 与小数记录法的数据 满足 = 5 + lg .已知某同学视力的五分记录法的数据
10
为4.6，则其视力的小数记录法的数据约为(参考数据： √10000 ≈ 2.512)( )
A. 0.4 B. 0.5 C. 0.6 D. 0.7
14
7.若 = log832， = log27244， = ，则( ) 9
A. > > B. > > C. > > D. > >
8.若二次方程 2 + ( 6) + 2 4 = 0在(0,3)上有两个不相等的实根，则 的取值范围是( )
13 13
A. (10 + 4√ 3, +∞) B. ( , 6) C. ( , 10 4√ 3) D. (2,10 + 4√ 3)
5 5
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列判断错误的是( )
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√
A. 当 > 0时， 3
2.5
=
B. “ ∈ ，√ ”的否定是“ ∈ ，√ ”
1
C. 函数 = ( ) 3 + 3为增函数
3
D. “2，3，7，9这四个数都是质数”的否定是“2，3，7，9这四个数不都是质数”
10.在固定压力差(压力差为常数)下，当气体通过圆形管道时，其流量 (单位： 3/ )与管道的半径 (单位：
)的四次方成正比，当气体在半径为5 的管道中时，流量为1250 3/ ，则( )
A. 当气体在半径为3 的管道中时，流量为152 3/
B. 当气体在半径为3 的管道中时，流量为162 3/
C. 要使得气体流量不小于512 3/ ，管道的半径的最小值为3√ 2
D. 要使得气体流量不小于512 3/ ，管道的半径的最小值为4
11.已知定义在( 10,8)上的函数 ( + 1)的图象关于点( 1,0)对称，且 ( + 1)在[ 1,8)上单调递减，则( )
A. = | ( )|是偶函数
( ) ( )
B. 1， 2 ∈ ( 9,9)且 ≠ ，
1 2
1 2 < 0 2 1
C. 不等式 ( 5) + (3 3) < 0的解集为(2,4)
D. 当[ ]表示不大于 的最大整数时，不等式 ([ ]) ≤ ([1.2])的解集为[ 1,9)
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.若函数 ( ) = log0.3( 9)，则不等式 ( ) > log0.32的解集为 ．
( 2) , < 1,
13.若函数 ( ) = {2 是 上的减函数，则 的取值范围为 ．
3, ≥ 1

14.如图，网格纸上的小正方形的边长均为1，一次函数 ( )的图象不仅平分正方形 的面积，也平分矩
形 的面积，则 ( ) = ，函数 = ( ( ))的零点为 ．
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四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
(1)若 > 1，求值：log log 9 + 10lg( +2)3 ．
(2)若log 32 < 5( > 0，且 ≠ 1)，求 的取值范围．
16.(本小题15分)
400
(1)求函数 = 2 + 2 的最小值; +17
8
(2)若 > 0， > 0，求1 ( 2 + 2 + )的最大值．

17.(本小题15分)
已知函数 ( + 2) = 12 × 2 + 2√ 1 2 ．
(1)求 ( )的解析式;
(2)求 ( )的值域．
18.(本小题17分)
已知函数 ( )对任意实数 ， ，都有 ( + ) = ( ) + ( ) + + 1．
(1)求 (0)的值;
(2)求函数 ( ) = ( ) + ( ) + 在区间[ 2,4]上的最小值;
(
(3)证明： 1
)+ ( 2) + ≥ ( 1 2).
2 2
19.(本小题17分)
若函数 = ( ) + ( )为幂函数，则称 ( )与 ( )互为“和幂函数”;若函数 = ( ) ( )为幂函数，则称
( )与 ( )互为“积幂函数”．
1 1
(1)试问函数 ( ) = + log 22(√ + 1 + )与 ( ) = + log2(√ 2 + 1 )是否互为“和幂函数” 说明2 2
你的理由．
(2)已知函数 ( ) = 2 与 ( ) = ( 3 + 9)2 互为“积幂函数”．
①证明：函数 ( ) = ( ) ( )存在负零点，且负零点唯一．
2 2 2
②已知函数 ( ) = 2ln ln2在(0, )上单调递增，在( , +∞)上单调递减，且 ( ) = > 0，若函数
ln2 ln2 ln2
( ) = ( ) 在(0,6]上有两个零点，求 的取值范围(结果用含字母 的区间表示)．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】(9,11)
13.【答案】(0,1]
3 11 22
14.【答案】 + ；
4 2 9
log 9
15.【答案】解：(1)原式= log3
3 + + 2 = 2 + 2 = 4；
log3
(2)当0 < < 1时，log 32 < log 1 = 0 < 5，满足题意；
当 > 1时，log 32 < 5 = log 5 5 ，则 > 32，
5
所以 > √32 = 2，满足题意．
综上， 的取值范围为(0,1) ∪ (2, +∞).
400
16.【答案】解：(1)因为 2 + 17 > 0，所以 = 2 +
2+17
400 400
= 2 + 17 + 17 ≥ 2√ ( 22 + 17) 2 17 = 23， +17 +17
当且仅当 2
400
+ 17 = 2 ，即 = ±√ 3时，等号成立． +17
2 400故函数 = + 2 的最小值为23． +17
(2)因为 > 0， > 0，所以 2 + 2 ≥ 2 ，
8
当且仅当 = 时，等号成立，又2 + ≥ 2√ 16 = 8，

8
当且仅当2 = ，

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8 8
即 = 2时，等号成立，所以 2 + 2 + ≥ 2 + ≥ 8，

8
当且仅当 = = √ 2时， 2 + 2 + 取得最小值，

且最小值为8．
8
故1 ( 2 + 2 + )的最大值为1 8 = 7．

17.【答案】解：(1)解：令 + 2 = ，得 = 2，
则 ( ) = 12 × 2 2 + 2√ 1 2 2 = 3 × 2 + √ 4 2 ，
所以 ( ) = 3 × 2 + √ 4 2 ( ≤ 2)．
(2)令√ 4 2 = ∈ [0,2)，则2 = 4 2，所以 ( ) = ( ) = 3(4 2) + ．
1 1 145
( ) = 3( 2 ) + 12 = 3( )2 + ， ∈ [0,2)，
3 6 12
1 145
当 = 时， ( )取得最大值，且最大值为 .又 (2) = 2，
6 12
145 145
所以 ( )的值域为(2, ]，即 ( )的值域为(2, ].
12 12
18.【答案】解：(1)令 = = 0，得 (0) = 2 (0) + 1，解得 (0) = 1．
(2)由 ( ) = ( ) + ( ) 2 + 1，得 ( ) + ( ) = 2 2．
2
所以 ( ) = 2 + 2 = ( + )2 2， ∈ [ 2,4]．
2 4
2
当 2 ≤ ≤ 4，即 8 ≤ ≤ 4时， ( )min = ( ) = 2； 2 2 4

当 < 2，即 > 4时， ( )在[ 2,4]上单调递增，则 ( )
2 min
= ( 2) = 2 + 2；

当 > 4，即 < 8时， ( )在[ 2,4]上单调递减，则 ( )min = (4) = 4 + 14． 2
4 + 14, < 8,
2
综上， ( ) min = { 2, 8 ≤ ≤ 4,
4
2 + 2, > 4.
+ +
(3)证明：因为 ( 1 +
1 2 1 2 2
2) = 2 ( ) + ( ) + 1， 2 2
且 ( 1 + 2) = ( 1) + ( 2) + 1 2 + 1
1+ 2 1 所以2 ( ) + ( 2)2 = ( 1) + ( 2)， 2 2
( 1)+ ( 2) 1+ 1 所以 ( 2) = ( 1 2)2 ≥ 0，当且仅当
2 2 2 2 1
= 2时，等号成立．
( 1)+ ( 故 2
) +
≥ ( 1 2).
2 2
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19.【答案】解：(1) ( )与 ( )互为“和幂函数”，理由如下：
因为√ 2 + 1 > √ 2 = | | ≥ ，√ 2 + 1 > √ 2 = | | ≥ ，
所以 ( )与 ( )的定义域均为 ．
因为 ( ) + ( ) = + log2[(√ 2 + 1 + )(√ 2 + 1 )]
= + log ( 2 + 1 22 ) = + log21 = ，且 = ( ∈ )为幂函数，
所以 ( )与 ( )互为“和幂函数”．
(2) ①证明： ( ) ( ) = ( 3 + 9) ，则 3 + 9 = 1，即 3 + = 10．
设 ( ) = 3 + ，则 ( )为增函数，因为 (2) = 10，所以 = 2，
令 ( ) = ( ) ( ) = 0，得 2 = 4 ．
3 1 1
设函数 ( ) = 2 4 ( < 0)，因为 ( 1) = > 0， ( ) = < 0，
4 2 4
1
易知 ( )的图象是连续不断的曲线，所以 ( )在( 1, )上存在零点，
2
即 ( )存在负零点．
因为 ( )为减函数，所以 ( )的零点唯一，即 ( )存在负零点，且负零点唯一．
②解：当 > 0时， ( ) = 2 2 > 0，ln ( ) = ln( 2 2 ) = 2ln ln2 = ( )，
则 ( ) = ( )，
2 2
因为 = 为增函数，且 ( ) = 2ln ln2在(0, )上单调递增，在( , +∞)上单调递减，
ln2 ln2
2 2
所以根据复合函数的单调性可知 ( )在(0, )上单调递增，在( , 6]上单调递减，
ln2 ln2
2
所以 ( ) max = ( ) = ． ln2
令 ( ) = 0，得 ( ) = ．
2 2 2 2 1 9
因为 > = 2， < = 4， (1) = < (6) = ，
ln2 ln ln2 ln√ 2 16
9
且 ( ) = ( ) 在(0,6]上有两个零点，所以 的取值范围为[ , ).
16
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