河南省“金科新未来”2024-2025学年高二（上）12月质检数学试卷（PDF版，含答案）

河南省“金科新未来”2024-2025 学年高二（上）12 月质检数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { | > 3}， = { | ≤ 2}，则 ( ∪ ) =( )
A. [ 2,3) B. [3, +∞)
C. ( 2,3] D. ( ∞, 2) ∪ [3，+∞)
1
2.设 = log2 ， = ( )
0.5， = sin ，则 ， ， 的大小关系是( )
3 3 3
A. < < B. < < C. < < D. < <
3.在等比数列{ }中，如果 1 + 2 + 3 = 24， 3 + 4 + 5 = 48，那么 7 + 8 + 9 =( )
A. 124 B. 144 C. 168 D. 192
4.已知圆 1: ( + 2)
2 + 2 = 4与圆 : ( 2)22 + ( 1)
2 = 9，则圆 1与圆 2的公切线的条数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2 2
5.已知椭圆 : + = 1的右焦点为 ，点 是 上的一点，点 是线段 的中点， 为坐标原点，若| | = 4，
49 24
则| | =( )
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
6.已知 (0, 3)， (4,1)，点 是直线 : 2 = 0上的一点，则当| | + | |取得最小值时，点 的坐标
为( )
1 3 3 1 4 2 5 1
A. ( , ) B. ( , ) C. ( , ) D. ( , )
2 2 2 2 3 3 3 3
2 2
7.已知 1， 2分别是双曲线 : 2 2 = 1( > 0, > 0)的左、右焦点， 为 上一点，∠ 1 2 = ，且△ 3 1 2
的面积等于6√ 3，则 =( )
A. √ 6 B. 6 C. √ 3 D. 3
8.已知各项均为正数的数列{ }的前 项和为 ，且4 = ( + 1)2
2
，则
+10
的最小值为( ) +3
A. 2√ 6 2 B. 3 C. 2√ 6 1 D. 4
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知复数 = 5， 是 的共轭复数，则下列说法正确的是( ) 1
1
A. 的实部为 B. | | = √ 2
2
C. 在复平面内对应的点位于第二象限 D. 为方程2 2 + 2 + 1 = 0的一个根
第 1 页，共 8 页
10.在递增的等比数列{ }中， 3 + 4 = 12， 3 4 = 32， 是数列{ }的前 项和， 是数列{ }的前 项
积，则下列说法正确的是( )
A. 数列{ }是等比数列
B. 数列{lg }是等差数列
2
C. = 2 2
2(4 1)
D. 1 2 + 2 3 + + +1 = 3
11.已知抛物线 : 2 = 8 ，过点 (8,0)的直线与 交于 ( 1, 1)， ( 2, 2)两点，则下列说法正确的是( )
A. 1 2 = 64
B. 1 2 = 32
C. | |的最小值为16
√ 2
D. 若点 是△ 的外心，其中 是坐标原点，则直线 的斜率的最大值为
4
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。

12.已知平面向量 ， 的夹角为 ，若| | = 2，| + 2 | = 2√ 3，则| |的值为_________．
3
13.已知直线 过点 ( 1,2,3)，它的一个方向向量为 = (1,2,1)，则点 (1,3,5)到直线 的距离为
_________．
2 2
14.如图，已知 ， 是双曲线 2 2 = 1( > 0, > 0)的右支上的两点(点 在第一象限)，点 关于坐标原点

对称的点为 ，且∠ = ，若直线 的斜率为 3，则该双曲线的离心率为_________．
4
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知等差数列{ }的前 项和为 ，且2 3 + 4 = 46， 8 = 160．
(1)求{ }的通项公式和 ;
1
(2)若 = ，求数列{ }的前 项和 ．
第 2 页，共 8 页
16.(本小题15分)
如图，已知在三棱锥 中， ⊥平面 ， ⊥ ， = 2 = 4 = 8， 为线段 上一点，
3 = ， 为 的中点， ⊥ ．
(1)试着确定点 的位置;
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值．
17.(本小题15分)
已知点 (1,2)是抛物线 : 2 = 2 ( > 0)上的一点，点 ， 是 上异于点 的不同的两点．
(1)求 的标准方程;
(2)若直线 ， 的斜率互为相反数，求证：直线 的斜率为定值，并求出此定值．
18.(本小题17分)

已知数列{ }满足 1 = 2，且 +
2 + 3 + + = +11 2 1 ，在数列{ }中， 2 2 1
= 2，点 ( , +1)在函数
2 2
= + 2的图象上．
(1)求{ }和{ }的通项公式;

(2)将数列{ }和{ +
}的所有公共项从小到大排列得到数列{ }，求数列{ }的前 项和 ． 2
19.(本小题17分)
2 2
已知椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0)的左右顶点分别为 1， 2，上下顶点分别为 1， 2，且四边形 1 1 2 2
的周长为4√ 3，过点 (0,2)且斜率为 的直线交 于 ， 两点，当直线 过 的左焦点时， = 2．
(1)求 的标准方程;
第 3 页，共 8 页
2√ 6
(2)若 为坐标原点，△ 的面积为 ，求直线 的方程;
7
(3)记直线 1与直线 2的交点为 ，求| 1|的最小值．
第 4 页，共 8 页
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】1
13.【答案】√ 3
√ 10
14.【答案】
2
15.【答案】【解析】(1)设等差数列{ }的公差为 ，又2 3 + 4 = 46， 8 = 160，
2 3 + 4 = 2( 1 + 2 ) + 1 + 3 = 46
所以{ 8×7 ,
8 = 8 1 + = 1602
解得 1 = 6， = 4，
所以 = 6 + ( 1) 4 = 4 + 2，
(6 + 4 + 2)
= = 2 2 + 4 ; 2
1 1 1 1 1
(2)由(1)知 = = = ( )， 2 ( +2) 4 +2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 3 1 1 1
所以 = (1 + + + + ) = ( ) = ( + ). 4 3 2 4 3 5 +2 4 2 +1 +2 8 4 +1 +2
16.【答案】解：(1)
因为 ⊥平面 ，
， 在平面 内，所以 与 ， 均垂直，
又因为 ⊥ ，所以 ， ， 两两互相垂直，
以 为原点， ， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立如图所示空间直角坐标系，
第 5 页，共 8 页
则可得以下各点坐标：
(4,0,0)， (0,2,0)， (0,0,8)， (2,0,0)，由于3 = ，因此 (3,0,2)，

设点 ( , 2 , 0)，
2

所以 = (2, 2,0)， = ( 3,2 , 2)， 2

因为 = 2( 3) 2(2 ) = 0，
2
= ( 4,2,0)
10 10 1 2 1 1解得 = ， ( , , 0) = ( , , 0) = ，
3 3 3 3 3 6
1
所以点 在线段 上且 = 的位置；
6
1 1
(2)由(1)可知， = ( , , 2)，
3 3
设平面 的法向量 = ( 0, 0, 0)，
= (0, 2,8)， = (2, 2,0)，
= 2 0 + 8 = 0则{ 0 ,
= 2 0 2 0 = 0
1
不妨取 0 = 1，得 = (1,1, )， 4
设直线 与平面 所成角为 ，
1
|
| 6 √ 1254
则sin = |cos < ， > | = = =| || | √ 1 √ 1 1 627
，
1+1+ · + +4
16 9 9
所以直线 与平面 所成角的正弦值为√ 1254．
627
17.【答案】解：
(1)因为点 (1,2)是抛物线 ： 2 = 2 ( > 0)上的一点，所以22 = 2 × 1，解得 = 2，所以 的标准方程
第 6 页，共 8 页
为 2 = 4 ；
(2)显然直线 、 的斜率存在且 ≠ 0，设直线 的方程为 2 = ( 1)，则直线 的方程为 2 =
2 = 4 8 4 4 2
( 1)，由{ ，得 2 4 + 8 4 = 0，所以
2 = ( 1)
= ，解得 = ，同理可
4+2 4 4
得 = ，所以 =
= 2 2 = = 4 2 4+2 = 1，即直线 的斜率为定值，该定
+ +( )
4 4
值为 1．
18.【答案】【解答】解：

(1)因为 1 +
2 + 3 + + +1
2 22 2 1
= ，
2
( 1)
所以当 ≥ 2时， + 2 + 3 + + 1 = 1 ， 2 22 2 2 2 1
+1 ( 1) 所以 =
( ≥ 2)，
2 1 2 2 1
所以2 = +1 2( 1) ，所以 +1 = 2 ( ≥ 2)，
又 1 = 2， 2 = 2 1，所以{ }是首项为2，公比为2的等比数列，所以 = 2
，
因为点 ( , +1)在函数 = + 2的图象上，所以 +1 = + 2，即 +1 = 2，又 1 = 2，
所以{ }是首项为2，公差为2的等差数列，所以 = 1 + 2( 1) = 2 ；

(2)因为 = 2 是所有的正偶数，又 +
= 2 + ，
2
所以 = 22 + 2 ，
所以 = 1 + 2 + 3 + + = 2
2 + 2 + 24 + 4 + 26 + 6 + + 22 + 2
4(1 4 ) (2+2 ) 4 +1 4
= 22 + 24 + 26 + + 22 + 2 + 4 + 6 + + 2 = + = + 2 + ．
1 4 2 3
19.【答案】【解答】解：
4√ 2 + 2 = 4√ 3
2
(1)由题意知{2 = 2 ，解得 = √ 2， = 1， = 1，所以 的标准方程为 + 2 = 1；
2
2 = 2 2
(2)由题意知直线 的方程为 = + 2，
= + 2
设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，由{ 2 ，得(2
2 + 1) 2 + 8 + 6 = 0，
+ 2 = 1
2
所以 = (8 )2
3 8 6
24(2 2 + 1) = 16 2 24 > 0，解得 2 > ，所以 1 + 2 = 2 ， 1 2 2 = 2 ， 2 +1 2 +1
2 2
8 6 2√ (1+ )(4 6)
所以| | = √ 1 + 2| 1 2| = √ 1 + 2 √ ( 22 ) 4 2 = 2 ，
2 +1 2 +1 2 +1
第 7 页，共 8 页
2
又点 到直线 的距离 = ，
√ 2 1+
2 2
1 1 2√ (1+ )(4 6)
2
2 2√ 4 6 2√ 6 25
所以△ 的面积 = | | = ． = 2 2
2 2 2 2
= ，解得 = 3或 = ，所以
2 +1 √ 2 2 +1 7 6 1+
5√ 6 5√ 6
= √ 3或 = √ 3或 = 或 = ，
6 6
5√ 6 5√ 6
所以直线 的方程为 = √ 3 + 2或 = √ 3 + 2或 = + 2或 = + 2；
6 6
1 1 +1 1
(3)由(2)可得：设 ( , )，因为 1 11， ， 在同一条直线上，所以 = = = + ， 1 1 1
+1 +1 +3 3 +1 1 3( + )
又 2， ， 在同一条直线上，所以 =
2 = 2 = + ，所以 + 3 = 4 + 1 2 = 4 +
2 2 2 1 2
8
3 ( 2 )
2 +1
6 = 0，
2
2 +1
1 1 1
所以 = ，所以点 在直线 = 上，所以| | = ．
2 2 1 min 2
第 8 页，共 8 页