2024-2025学年上海四校联考高三上学期数学期中试卷（含答案）（2024.11）

上海市2024学年第一学期高三年级数学期中四校联考
松二、复兴、奉贤、金山 2024.11
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．已知集合，，则________．
2．已知向量，，则在方向上的数量投影为________．
3．曲线在点处的切线方程为________．
4．某老年健康活动中心随机抽取了6位老年人的收缩压数据，分别为120，96，153，146，112，136，则这组数据的40%分位数为________．
5．二项式的展开式中，常数项为________．
6．关于的方程的解集为________．
7．已知，，，则的最小值为________．
8．《九章算术》卷五《商功》中有“贾令刍童，上广一尺，袤二尺，下广三尺，袤四尺，高一尺．”，意思是：“假设一个刍童，上底面宽1尺，长2尺；下底面宽3尺，长4尺，高1尺．”（注：刍童为上下底面是相互平行的不相似长方形，两底面的中心连线与底面垂直的几何体），则《商功》中提及的这个刍童的外接球表面积为________平方尺．
9．意大利著名画家、自然科学家、工程师达芬奇在绘制作品《抱银貂的女人》时，曾仔细思索女人脖子上黑色项链的形状，这就是著名的悬链线形状问题．后续的数学家对这一问题不断研究，得到了一类与三角函数性质相似的函数：双曲函数．其中双曲正弦函数为，并且双曲正弦函数为奇函数，若将双曲正弦函数的图象向右平移个单位，再向上平移2个单位，得到函数的图象，并且数列满足条件，则数列的前2024项和________．
10．已知椭圆，点和分别是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上一点，则内切圆半径的最大值为________．
11．在中，，，分别是，，的对边，若，则________．
12．若关于的方程在上有两个不等的实根，则实数的取值范围是________．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）．
13．设，则是的（ ）条件．
A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要
14．在中，，为中点，，则（ ）．
A． B． C．9 D．16
15．已知定义在上的函数，其导数为，记，且，，则下列说法中正确的个数为（ ）。
（1）； （2）的图象关于对称；
（3）； （4）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
16．已知正项数列满足，下列说法正确的是（ ）．
A．当时，数列单调递减
B．当时，数列单调递增
C．当时，存在正整数，当时，
D．当时，存在正整数，当时，
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）．
17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
某市数学竞赛初赛结束后，为了解竞赛成绩情况，从所有学生中随机抽取100名学生，得到他们的成绩，将数据分成五组：，，，，，并绘制成如图所示的频率分布直方图：
（1）若只有前的学生能进决赛，则入围分数应设为多少分？
（2）采用分层随机抽样的方法从成绩为的学生中抽取容量为6的样本，再从该样本中随机抽取2名学生进行问卷调查，设为其中达到90分及以上的学生的人数，求的概率分布及数学期望．
18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
已知函数是定义在上的奇函数，并且当时，
．
（1）求函数的表达式；
（2）求关于的不等式的解集．
19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
如图，在三棱锥中，平面平面，，，、分别是，的中点，记平面与平面的交线为直线．
（1）求证：直线平面；
（2）若直线上存在一点（与都在的同侧），且直线与直线所成的角为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．
20．（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．
已知点是圆上一动点（为圆心），点的坐标为，线段的垂直平分线交线段于点，动点的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2），是曲线上的两个动点，是坐标原点，直线、的斜率分别为和且，则的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由；
（3）设为曲线上任意一点，延长至，使，点的轨迹为曲线，过点的直线交曲线于、两点，求面积的最大值．
21．（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．
已知函数的表达式为．
（1）当时，求的单调增区间；
（2）若当时，恒成立，求的取值范围；
（3）证明：．
参考答案
一、填空题
1. 2. 3. 4.120 5.-18 6. 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12.
二、选择题
13.B 14.A 15.B 16.D
三．解答题
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）．
17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
某市数学竞赛初赛结束后，为了解竞赛成绩情况，从所有学生中随机抽取100名学生，得到他们的成绩，将数据分成五组：，，，，，并绘制成如图所示的频率分布直方图：
（1）若只有前的学生能进决赛，则入围分数应设为多少分？
（2）采用分层随机抽样的方法从成绩为的学生中抽取容量为6的样本，再从该样本中随机抽取2名学生进行问卷调查，设为其中达到90分及以上的学生的人数，求的概率分布及数学期望．
【答案】（1）75分; （2）;所以的数学期望为.
【解析】（1）成绩在区间的比例为:;
成绩在区间的比例为:,
因此分位数位于区间;
因此入围分数为:,因此入围分数应设为75分;
（2）在这六个人中,有两人的分数在90分及以上,因此,
,
则的概率分布为:;所以的数学期望为.
18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
已知函数是定义在上的奇函数，并且当时，
．
（1）求函数的表达式；
（2）求关于的不等式的解集．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）当时,;当时,；
当时,；
因此;
（2）当时,,因此有在上严格增;
而当时,因此有在上严格增;
原不等式可化为:；而是定义在上的严格增函数,
所以;因此不等式的解集为.
19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
如图，在三棱锥中，平面平面，，，、分别是，的中点，记平面与平面的交线为直线．
（1）求证：直线平面；
（2）若直线上存在一点（与都在的同侧），且直线与直线所成的角为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】（1）证明:,平面平面,平面平面
平面;又分别为的中点,;平面;
（2）以为坐标原点,所在直线为轴,所在直线为轴,过垂直于平面的直线为轴,建立空间直角坐标系,则,
,而不在平面上,平面
平面,设点坐标为,
,即,则点坐标为;
设平面的法向量,即,即,
取可得；
设平面法向量为,则,取,可得;
,即平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.
20．（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．
已知点是圆上一动点（为圆心），点的坐标为，线段的垂直平分线交线段于点，动点的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2），是曲线上的两个动点，是坐标原点，直线、的斜率分别为和且，则的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由；
（3）设为曲线上任意一点，延长至，使，点的轨迹为曲线，过点的直线交曲线于、两点，求面积的最大值．
【答案】（1） （2）是，定值为 （3）
【解析】（1）,则,
则曲线是以和为焦点,4为长轴的椭圆;
设椭圆方程为,则,曲线;
（2）设,
则,即;
为定值;
（3）设点,则点,代入椭圆方程得到曲线;
当直线的斜率不存在时:设,代入中有,
则
当直线斜率存在时:设,代入的方程:
,则;
而与椭圆有公共点,代入得:,
由有,记,则,
综上,面积的最大值为.
21．（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．
已知函数的表达式为．
（1）当时，求的单调增区间；
（2）若当时，恒成立，求的取值范围；
（3）证明：．
【答案】（1） （2） （3）见解析
【解析】（1）时,,则
令,则,则在上严格减,上严格增,
则,即在上严格增,因此函数的增区间为;
（2）,记,则,
若,则,即时
在上严格增,,满足要求；
若,则时,则在上严格减,
故当时,,不满足要求;
若,则在上严格减,则,不满足要求;
综上，的取值范围是.
（3）由（2）可知时,则,取,
则,即
,
即.