北京师范大学附中2024-2025学年高一上学期期中数学试卷（PDF版，含答案）

北京师范大学附中 2024-2025 学年高一上学期期中数学试卷
一、单选题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.已知集合 = { | = 2 + 1, ∈ }， = { | 2 < < 4}，那么 ∩ =( )
A. { 1,1} B. {1,3} C. { 1,1,3} D. {0,2,4}
2.命题“ ∈ ， 2 2 + 3 > 0”的否定为( )
A. ∈ ， 2 2 + 3 > 0 B. ∈ ， 2 2 + 3 ≤ 0
C. ∈ ， 2 2 + 3 < 0 D. ∈ ， 2 2 + 3 ≥ 0
+ = 0,
3.方程组{ 2 2 的解集是( ) + = 2
A. {(1, 1)，( 1,1)} B. {(1,1)，( 1, 1)}
C. {(2, 2)，( 2,2)} D. {(2,2)，( 2, 2)}
4.函数 ( ) = 3 5的零点所在的区间是( )
A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4)
1
5.“ < 1”是“ > 1”的( )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.若 > ，则( )
A. 3 3
1 1
< B. | | > | | C. < D. 2 > 1

7.定义在 上的偶函数 ( )满足 (2) = 0，且在区间[0, +∞)上单调递增，则不等式 ( ) < 0的解集为( )
A. (2, +∞) B. ( ∞, 2) ∪ (2,+∞)
C. ( 2,2) D. (0,2)
8.函数 ( ) = 4 2 8在[5, +∞)上单调递增，则实数 的取值范围是( )
A. ( ∞, 40] B. ( ∞, 40) C. [40, +∞) D. (40, +∞)
1
{4 , < 1 79.设函数 ( ) = 2 ，若 [ ( )] = 8，则 =( )
, ≥ 1 8
1 3
A. B. C. 1 D. 2
2 4
10.已知 ( ) = 7 + 5 + 3 + + 5，其中 ， ， ， 为常数，若 ( 7) = 7，则 (7) =( )
A. 5 B. 15 C. 7 D. 17
二、填空题：本题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
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1
11.实数273 39的值为______．
1
12.函数 ( ) = √ + 1 + 的定义域为 ．

2
13.函数 ( ) = + ( > 1)的最小值是______．
1
14.已知 ( )是定义域为 的奇函数，且当 > 0时， ( ) = 2 1，则① ( 2) = ______；②当 < 0时，
( ) = ______．
| |
15.已知函数 ( ) = 2 给出下面四个结论： +1
① ( )的定义域是( ∞, +∞)；
② ( )是偶函数；
③ ( )在区间(0, +∞)上单调递增；
1
④ ( )的图像与 ( ) = 的图像有4个不同的交点．
4
其中正确的结论是______(填序号)．
三、解答题：本题共 6 小题，共 72 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题12分)
已知关于 的不等式3 2 2 4 < 0．
(1)当 = 2时，求此时不等式的解集；
(2)若此不等式的解集为( 4, )，求实数 ， 的值．
17.(本小题12分)
已知全集 = ，集合 = { ||2 1| ≤ 7}， = { |2 1 ≤ ≤ 4 2}．
(1)若 = 2，求 ∩ 和 ∪ ( )；
(2)若 ∪ = ，求 的取值范围．
18.(本小题12分)
某专营店经销某商品，当售价不高于10元时，每天能销售100件，当价格高于10元时，每提高1元，销量减
少3件，若该专营店每日费用支出为500元，用 表示该商品定价， 表示该专营店一天的净收入(除去每日的
费用支出后的收入)．
(1)把 表示成 的函数；
(2)试确定该商品定价为多少元时，一天的净收入最高？并求出净收入的最大值．
19.(本小题12分)
4
设函数 ( ) = ．

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(1)判断函数 ( )的奇偶性，并用定义证明；
(2)直接写出函数 ( )的单调区间，并用函数单调性的定义证明函数 ( )在 > 0时的单调性；
( )
(3)解不等式 ≤ 0．

20.(本小题12分)
已知函数 ( ) = 2 + 3．
(1)当 = 2， ∈ [ 2,3]时，求函数 ( )的最大值和最小值；
(2)若函数 ( )在[1,3]上的最小值为1，求实数 的值．
21.(本小题12分)
有限个元素组成的集合 = { 1 , 2 , . . . }， ∈
，记集合 中的元素个数为 ( )，即 ( ) = .定义
( +1)
+ = { + | ∈ , ∈ }，集合 + 中的元素个数记为 ( + )，当 ( + ) = 时，称集
2
合 具有性质 ．
(1) = {1,4,7}， = {2,4,8}，判断集合 ， 是否具有性质 ，并说明理由；
(2)设集合 = { 1 , 2 , , 2022}， < < < 2022且 ∈

3 1 2 3 ( = 1,2,3)，若集合 具有性质 ，求 1 + 2 +
3的最大值．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】1
12.【答案】[ 1,0) ∪ (0, +∞)
13.【答案】2√ 2 + 1
14.【答案】 3 2 + 1
15.【答案】①②④
16.【答案】解：(1) = 2时，不等式为3 2 4 4 < 0，
可化为(3 + 2)( 2) < 0，
2
解得 < < 2；
3
2
所以不等式的解集为( , 2)．
3
(2)若不等式3 2 2 4 < 0的解集为( 4, )，
则对应方程3 2 2 4 = 0的实数根为 4和 ；
2
4 + =
由根与系数的关系知，{ 3 ，
4
4 × =
3
1 11
解得 = ， = ．
3 2
17.【答案】解：(1) = { ||2 1| ≤ 7} = { | 3 ≤ ≤ 4}，
当 = 2时， = { |3 ≤ ≤ 6}， = { | < 3或 > 6}，
所以 ∩ = { |3 ≤ ≤ 4}，
∪ ( ) = { | ≤ 4或 > 6}；
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(2)由 ∪ = ，则 ，
1
当 = 时，2 1 > 4 2，得 < ，
2
2 1 ≤ 4 2
1 3
当 ≠ 时，{2 1 ≥ 3 ，解得： ≤ ≤ ，
2 2
4 2 ≤ 4
3
所以 的取值范围是{ | ≤ }.
2
18.【答案】(1)当0 ≤ ≤ 10， = 100 500，
当 > 10，销量为100 3( 10) = 3 + 130，此时 = ( 3 + 130) 500 = 3 2 + 130 500，
100 500, 0 ≤ ≤ 10, ∈
故 = { ．
3 2 + 130 500, > 10, ∈
(2)当0 ≤ ≤ 10， = 100 500 ≤ 500，
65 65
当 > 10， = 3 2 + 130 500 = 3( )2 + ( )2 500，
3 3
∵ ∈ ，
∴当 = 22时，函数取得最大值，此时 = 3 × 222 + 130 × 22 500 = 908，
综上当商品定价为22元时，一天的净收入最高，净收入的最大值为908．
19.【答案】解：(1) ( )是奇函数，证明如下：
定义域是{ | ≠ 0}，
4
因为 ( ) = + = ( )，所以 ( )是奇函数；

(2) ( )的单调增区间是( ∞, 0)和(0, +∞)，
1 < 2且 1， 2 ∈ (0, +∞)，所以 1 2 < 0， 1 2 > 0，4 + 1 2 > 0，
4 4 ( )(4+ )
则 ( 1) ( 2) = + =
1 2 1 2
1 2 < 0， 1 2 1 2
所以 ( 1) ( 2) < 0，即 ( 1) < ( 2)，
所以 ( )在(0,+∞)上是增函数；
4
(3) ( ) = = 0 = ±2，又 ( )在( ∞, 0)和(0, +∞)上都是增函数，

( )
> 0时，由 ≤ 0得 ( ) ≤ 0，所以0 < ≤ 2，

( )
< 0时，由 ≤ 0得 ( ) ≥ 0，所以 2 ≤ < 0，

所以原不等式的解集为[ 2,0) ∪ (0,2]．
20.【答案】解：(1)根据题意，当 = 2， ( ) = 2 + 2 3 = ( + 1)2 4，
是对称轴为 = 1的二次函数，
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当 ∈ [ 2,3]时，其最小值为 ( 1) = 4，
最大值为 (3) = 16 4 = 12，
故 ( )的最大值为12，最小值为 4；

(2)根据题意，函数 ( ) = 2 + 3，是对称轴为 = ，开口向上的二次函数，
2

当 ≤ 1，即 ≥ 2时， ( )在[1,3]上递增， ( )的最小值为 (1) = 2，
2
则有 2 = 1，解可得 = 3，符合题意；
2
当1 < < 3，即 6 < < 2时， ( )的最小值为 ( ) = 3，
2 2 4
2
3 = 1不成立，不符合题意，
4

当 ≥ 3，即 ≤ 6时， ( )在[1,3]上递减， ( )的最小值为 (3) = 3 + 6，
2
5
若3 + 6 = 1，解可得 = ，不符合题意；
3
综合可得： = 3．
21.【答案】解：(1)集合 不具有性质 ，集合 具有性质 ．
3(3+1)
+ = {2,5,8,11,14}， ( + ) = 5 ≠ ，不具有性质 ；
2
3(3+1)
+ = {4,6,8,10,12,16}， ( + ) = 6 = ，具有性质 ．
2
(2)若三个数 ， ， 成等差数列，
则 = { , , }不具有性质 ，理由是 + = 2 ，
∵ 1 + 2 + 3取最大，则 3 = 2019，
2 ≤ 2018，由题意知{2018,2019,2020}不具有性质 ，
要使 1 + 2 + 3取最大，
则 2 = 2017，
1 ≤ 2016，
要使 1 + 2 + 3取最大，检验可得 1 = 2014，
∴若集合 具有性质 ，则 1 + 2 + 3的最大值为6050．
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