安徽省六安市独山中学2024-2025学年高二上学期期中数学试卷（PDF版，含答案）

安徽省六安市独山中学 2024-2025 学年高二上学期期中数学试卷
一、单选题：本题共 18 小题，每小题 3 分，共 54 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.已知集合 = { ∈ |0 < < 7}， = {2,5}， = {1,3,5}，则( ) ∩ =( )
A. {5} B. {1,5} C. {2,5} D. {1,3}
2.在复平面内，复数 = 1 对应的点的坐标为( )
A. (1, ) B. (1, ) C. (1,1) D. (1, 1)
3.设 ∈ ，集合 是奇数集，集合 是偶数集.若命题 ： ∈ ，2 ∈ ，则( )
A. 的否定： ： ∈ ，2 ∈ ，且 的否定是假命题
B. 的否定： ，2 ∈ ，且 的否定是真命题
C. 的否定： ： ∈ ，2 ，且 的否定是假命题
D. 的否定： ，2 ，且 的否定是真命题
4.从某班57名同学中选出4人参加户外活动，利用随机数表法抽取样本时，先将57名同学按01、02、 、57
进行编号，然后从随机数表第1行的第3列和第4列数字开始往右依次选取两个数字，则选出的第4个同学的
编号为( )
0347 4373 8636 9647 3661 4698 6371 6297
7424 6292 4281 1457 2042 5332 3732 1676
(注：表中的数据为随机数表第1行和第2行)
A. 36 B. 42 C. 46 D. 47
1
5.函数 ( ) = 3 + 5的一个零点所在的区间是( )
3
A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4)
6.已知向量 = (2, 6)， = ( 1, )，若 // ，则 =( )
A. 5 B. 3 C. 3 D. 5
7.△ 中，角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，且 = √ 3， = ，则 =( )

A. B. C. D.
12 6 4 3
8.用斜二测画法画出的某平面四边形的直观图如图所示，边 平行于 轴，
， 平行于 轴，若四边形 为等腰梯形，且 = = 1 ，则原
四边形的周长为( ) ．
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A. 3 + √ 2 + √ 3 B. 3 + √ 2 + √ 6 C. 4 + √ 2 + √ 5 D. 4 + √ 2 +√ 6
9.已知 ， 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，则下列结论正确的是( )
A. 若 // ， // ，则 // B. 若 // ， // ，则 //
C. 若 ⊥ ， ⊥ ，则 // D. 若 ⊥ ， // ，则 ⊥
10.已知 、 、 、 均为实数，则下列命题正确的是( )
A. 若 2 > 2，则 <
B. 若 > ， > ，则 + > +

C. 若 > > > 0，则 <

+
D. 若 > > 0且 > 0，则 <
+
(3 1)
11.函数 ( ) = 的图像大致为( ) 3 +1
A. B.
C. D.
1
12.已知 = ，则 2 的值为( )
2
1 3 4 3
A. B. C. D.
5 5 5 5
13.设 = 40.1
1
, = ( )0.2 , = 0.24，则( ) 2
A. < < B. < < C. < < D. < <
2 3
14.已知 > 0， > 0，且 + = 1，则 + 的最小值为( )
2 3
25
A. 1 B. 2 C. 4 D.
6

15.把函数 = 2 图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再把所得图像向右平移 个单位
4
长度，得到 ( )的图像，则 ( ) =( )

A. sin( ) B. sin( + ) C. 4 D. 4
4 4
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16.已知函数 ( )满足 ( + 4) = ( )，且函数 = ( + 2)的图像关于直线 = 2对称，当2 ≤ ≤ 3时，
11 219
( ) = 2( + )，则 ( )的值为( ) 2 2
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
17.如图，三棱锥 中， 为边长为3的等边三角形， 是线段 的中
3
点， ∩ = ，且 ⊥ ， = ， 3√ 3 = ，则 与平面 所成角的
2 2
正切值为
√ 3 √ 2
A. B. C. √ 2 D. √ 3
3 2
18.设 ， 为两个随机事件，以下命题正确的为( )
A. 若 ， 是对立事件，则 ( ) = 1
1 1 1
B. 若 ， 是互斥事件， ( ) = , ( ) = ，则 ( + ) =
3 2 6
1 2 1
C. 若 ， 是独立事件， ( ) = , ( ) = ，则 ( ) =
3 3 9
1 1 1
D. 若 ( ) = , ( ) = ，且 ( ) = ，则 ， 是独立事件
3 2 3
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分。
19.函数 ( ) = 3 2( > 0且 ≠ 1)的图象必过定点______．
20.若某圆锥高为4，其侧面积与底面积之比为3：1，则该圆锥的体积为______．
21.已知 ( )是 上的奇函数，且当 > 0时， ( ) = 2 2，则函数 ( )在 上的零点的个数是______．
3
22.已知cos( + ) = , ∈ (0, )，则 = ______．
4 5 2
三、解答题：本题共 3 小题，共 30 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
23.(本小题10分)
2 1
已知函数 ( ) = ．
1+| |
(1)判断 ( )的奇偶性并证明；
(2)解方程 ( ) = ．
24.(本小题10分)
如图，在四面体 中， = = = = 4, = 4√ 3, = 2， 是 的中点．
(1)求证： ⊥平面 ；
(2)求二面角 的大小．
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25.(本小题10分)
为打造精品赛事，某市举办“南粵古驿道定向大赛”，该赛事体现了“体育+文化+旅游”全方位融合发
展．本次大赛分少年组、成年组、专业组三个小组，现由工作人员统计各个组别的参赛人数以及选手们比
赛时的速度，得到如下统计表和频率分布直方图：
速度(千米 参赛人数(
组数
/小时) 单位：人)
少年组 [6,8) 300
成年组 [8,10) 600
专业组 [10,12]
(1)求 ， 的值；
(2)估计本次大赛所有选手的平均速度(同一组数据用该组数据的中间值作代表，最终计算结果精确到0.01)；
(3)通过分层抽样从成年组和专业组中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人接受采访，求接受采访的2人都来
自“成年组”的概率．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】
18.【答案】
19.【答案】(3, 1)
8
20.【答案】
3
21.【答案】5
√ 2
22.【答案】
10
2 1
23.【答案】解：(1)根据题意，函数 ( ) = ，其定义域为 ，
1+| |
2
( ) 1 2 1
而 ( ) = = = ( )，
1+| | 1+| |
故 ( )是偶函数；
2 1
(2)根据题意， ( ) = 即 = ，
1+| |
2 1 2 1
当 < 0时， = 即 = ，变形可得 + 1 = 且 ≠ 1，
1+| | 1
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1
解之可得 = 或 = 1(舍)，
2
2 1
当 ≥ 0时，方程为 = ，化简可得 = 1(舍)，
1+
1
综上， ( ) = 的解为 = ．
2
24.【答案】解：(1)证明：在四面体 中，由 = = = ， 是 的
中点，
得 ⊥ ， ⊥ ，
而 ∩ = ， ， 平面 ，
可得 ⊥平面 ，得证；
(2)由(1)知 ⊥平面 ，可得∠ 是二角 的平面角，
在等腰△ 中， = = 4， = 4√ 3，
则 = √ 2 2 = 2，
同理，在等腰△ 中， = = 4， = 4√ 3，
则 = √ 2 2 = 2，
而 = 2，
因此△ 是正三角形，∠ = 60°，
所以二面角 的大小为60°．
25.【答案】解：(1)由频率分布直方图得：
0.1+ 0.15+ + 0.3+ 0.15+ 0.1 = 1，
解得 = 0.2．
少年组人数为300人，频率 1 = 0.1+ 0.15 = 0.25，
300
总人数 = = 1200人，
0.25
∴ = 1200 300 600 = 300，
∴ = 0.2， = 300．
(2)平均速度为：

= 6.5 × 0.1+ 7.5× 0.15+ 8.5 × 0.2+ 9.5× 0.3+ 10.5× 0.15+ 11.5× 0.1 = 9.05．
∴估计本次大赛的平均速度为9.05千米/小时．
(3)成年组和专业组的参赛人数分别为600人，300人，
设在成年组和专业组抽取的人数分别为 ， ，
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6
则 = = ，
600+300 600 300
解得 = 4， = 2，
∴由分层抽样在成年组中抽取4人，专业组中抽取2人，
设成年组中的4人分别用 ， ， ， 表示，专业组中的2人分别用 ， 表示，
从中抽取2人均来自成年组的所有结果为：
， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共15种，
接受采访的两人均来自成年组的所有结果为：
， ， ， ， ， ，共6种，
6 2
∴接受采访的2人都来自成年组的概率为 = = ．
15 5
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