2024-2025学年上海闵行中学高三上学期数学期中试卷（含答案）（2024.11）

闵行中学2024学年第一学期高三年级数学期中
2024.11
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1.已知集合，且，则_________.
2.已知向量，则_________.
3.已知抛物线的准线方程为，则其标准方程为_________
4.已知， 则_________.
5.已知，则_________.
6.设，若，则实数的取值范围是_________.
7.若，则的值为_________.
8.已知一个圆雉的高是2 ，侧面展开图是半圆，则它的侧面积是_________.
9.若复数z满足(为虚数单位)，则的取值范围是_________.
10.如图，已知点分别在的边上， 且，直线交边的延长线于点，记，则_________.
11.已知数列是首项为1 ，公差为2的等差数列，是1为首项，公比为2的等比数列， 设，则当时，的最大值是_________.
12. 已知，则的最小值为_________.
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第13-16题每题5分）
13. 设，则是的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
14. 直线绕原点按顺时针方向旋转后所得的直线与圆 的位置关系是（ ）
A. 直线过圆心 B. 直线与圆相交，但不过圆心
C. 直线与圆相切 D. 直线与圆无公共点
15.在中，已知，且，则的形状为（ ）
A. 直角三角形 B. 等腰直角三角形
C. 有一个角为 的直角三角形 D. 等边三角形
16. 设与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列，记集合 ，下列结论:
(1)若与均为等差数列，则中最多有1个元素;
(2)若与均为等比数列，则中最多有2个元素;
(3)若为等差数列，为等比数列，则中最多有3个元素;
(4)若为递增数列，为递减数列，则中最多有1个元素.其中正确的是（ ）
A. (1)(2)(3) B. (1)(2)(4) C. (1)(3)(4) D. (2)(3)(4)
三、解答题（本大题满分共78分，共5小题）
17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
如图，在正四棱雉中，底面边长为2 ，侧棱长为3 ，它的对角线和相交于点
（1）求证:平面，并求四棱雉的体积;
（2）求二面角的大小。
18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知函数(其中常数)，
（1）若函数的最小正周期是，求的值及函数的单调递增区间;
（2）若，求函数的值域及零点.
19. （本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分）
一个盒子里装有大小和质地相同的4个红球、6个白球;
（1）从中任取2个球，求2个球中至少有1个红球的概率;
（2）从中任取4个球，求白球个数不比红球多的概率;
（3）从中任取5个球，其中红球个，白球个，若取一个红球记2分，取一个白球记1分， 求使总分不少于7分的概率.
20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
在平面直角坐标系中， 已知椭圆的左、右焦点分别为 ，点为椭圆的下顶点， 点为直线上一点。
（1）若，线段的中点在轴上，求点的坐标;
（2）已知直线交轴于点，直线经过点，若有一个内角的余弦值为，
求的值;
（3）若椭圆上存在点到直线的距离为，且满足，则当变化时， 求的最小值.
21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
若函数在 处取得极值，且（常数 ），则称是函数的"相关点".
（1）若函数存在"相关点"，求的值;
（2）若函数(常数)存在" 1相关点"，求的值;
（3）设函数且， 若函数有两个不相等且均不为零的 " 2相关点"， 过点存在3条直线与曲线相切， 求实数的取值范围.
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.0; 5.; 6.; 7.;
8.; 9.; 10.-4； 11. 9 12.
11. 已知数列是首项为1 ，公差为2的等差数列，是1为首项，公比为2的等比数列， 设，则当时，的最大值是_______.
【答案】9
【解析】设，则当时，的最大值是________.
，，，因为，，
所以数列为递增数列， 因为，，所以n的最大值为9
二、选择题
13.C 14.A 15.D 16.C
15.在中，已知，且，则的形状为（ ）
A. 直角三角形 B. 等腰直角三角形
C. 有一个角为 的直角三角形 D. 等边三角形
【答案】D
【解析】因为，
所以由正弦定理可得，可得
又，所以，可得，又因为，
所以，可得，所以的形状为等边三角形.故选:.
16. 设与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列，记集合 ，下列结论:
(1)若与均为等差数列，则中最多有1个元素;
(2)若与均为等比数列，则中最多有2个元素;
(3)若为等差数列，为等比数列，则中最多有3个元素;
(4)若为递增数列，为递减数列，则中最多有1个元素.其中正确的是（ ）
A. (1)(2)(3) B. (1)(2)(4) C. (1)(3)(4) D. (2)(3)(4)
【答案】C
【解析】对于(1)，均为等差数列，，不为常数列且各项均不相同，故它们的散点图分布在直线上，而两条直线至多有一个公共点，
所以中至多一个元素，故(1)正确;
对于(2)，令，满足均为等比数列，
但当为偶数时，，此时中有无穷多个元素，故(2)错误；
对于(3)，设，
若中至少四个元素，则关于的方程至少有4个不同的正数解，
若，考虑关于的方程奇数解的个数和偶数解的个数，
当有偶数解，此方程即为，方程至多有两个偶数解，且有两个偶数解时，否则，因为单调性相反，
方程至多一个偶数解，
当有奇数解，此方程即为
方程至多有两个奇数解，且有两个奇数解时，即，否则，
因为单调性相反，方程至多一个奇数解，
因为不可能同时成立，
若，则由和的散点图可得关于的方程至多有两个不同的解，矛盾；故不可能有4个不同的正数解，故(3)正确.
对于(4)，因为为单调递增，为递减数列，不为常数列且各项均不相同，前者散点图呈上升趋势，后者的散点图呈下降趋势，两者至多一个交点，故(4)正确.所以正确的是：(1)(3)(4).故答案为:C.
三．解答题
17.（1）证 ，再证 ，所以四棱锥的体积为（2）
18.（1），.（2）值域为;零点为
19.（1）2个球中至少有1个红球可分为两种情况，1个红球及1个白球和2个红球，任取2个球，其中1个红球及1个白球的概率为
任取2个球，2个均是红球的概率为
可知A，B为互斥事件，所以从中任取2个球中至少有1个红球的概率 （或用对立事件：两个均是白球来求 ）
（2）从中任取4个球，白球个数不比红球多可分为三种情况，分别是4红球、3个红球及1个白球，2个红球2个白球
它们的概率分别为
所以任取4个球，白球个数不比红球多的概率为=
（3）由已知可得，
所以总分不少于7分的概率
20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
在平面直角坐标系中， 已知椭圆的左、右焦点分别为 ，点为椭圆的下顶点， 点为直线上一点。
（1）若，线段的中点在轴上，求点的坐标;
（2）已知直线交轴于点，直线经过点，若有一个内角的余弦值为，
求的值;
（3）若椭圆上存在点到直线的距离为，且满足，则当变化时， 求的最小值.
【答案】（1） （2）或. （3）
【解析】（1）由题意知半焦距，又，所以2，所以.
因为点在直线上，所以可设，
所以线段的中点坐标为，
又线段的中点在轴上，所以，解得，所以.
（2）设直线与轴交于点，因为直线，
所以直线的斜率，则直线的倾斜角为，所以.
因为有一内角的余弦值为，所以只能是或的余弦值为.
若的余弦值为，即，则，
则.其中为直线的倾斜角.
因为，所以，
所以，即，解得.
若的余弦值为，则，
即，因为是锐角，所以，即，
即，解得.综上，或.
（3）因为点在椭圆上，所以.因为半焦距，所以.
因为，所以，因为且，所以.
设，则点到直线的距离，
所以
其中，因为，所以，
所以即，解得，
又，所以，则，且，
所以当时，取得最小值，最小值为.
21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
若函数在 处取得极值，且（常数 ），则称是函数的"相关点".
（1）若函数存在"相关点"，求的值;
（2）若函数(常数)存在" 1相关点"，求的值;
（3）设函数且， 若函数有两个不相等且均不为零的 " 2相关点"， 过点存在3条直线与曲线相切， 求实数的取值范围.
【答案】（1） （2） （3）
【解析】（1）因为在处取得极值（最值），
由，解得，
（2）记，在处取得极值且，
由得，所以且，所以，
由，得，设，所以，
所以函数在区间上严格单调递增，
又，所以方程有唯一实数根，即解得，
当时，，令，得或(舍去)，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得极小值，满足题意，
综上所述，的值为1.
（3）由得，所以，
设为函数的"2相关点"，则且，
.则且，
所以且，解得，
由，
设切点为，则切线的斜率，
所以切线方程为
将点代入整理，
设，则函数在上有三个不同的零点，
令得或，
所以在上单调递减，在上单调递增，
在上单调递减，
所以在区间和上都没有零点，在上恰有一个零点，
所以区间和各有一个零点，所以，所以，
所以的取值范围为.