江苏省徐州市沛县2024-2025学年高一上学期12月月考数学试卷（PDF版，含答案）

江苏省徐州市沛县 2024-2025 学年高一上学期 12 月月考数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“ ∈ ， 2 + 2 + 1 ≥ 0”的否定是( )
A. ∈ ， 2 + 2 + 1 < 0 B. ， 2 + 2 + 1 < 0
C. ， 2 + 2 + 1 < 0 D. ∈ ， 2 + 2 + 1 < 0
2.已知幂函数 = ( )经过点(2,4)，则 ( )是( )
A. 偶函数，且在(0, +∞)上是增函数 B. 偶函数，且在(0, +∞)上是减函数
C. 奇函数，且在(0, +∞)上是增函数 D. 奇函数，且在(0, +∞)上是减函数
3.1707年数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系：当 > 0， ≠ 1时， = 等价于 = log .若
=
128( 是自然对数的底数)， 2 ≈ 0.3010， ≈ 0.4343，则 的值约为( )
A. 4.1613 B. 4.8515 C. 5.5446 D. 6.2376
4.已知函数 ( ) = + 2024，若 ( ) = 2，则 ( ) =( )
A. 4046 B. 2026 C. 4046 D. 2026
5.若不等式16 2 + 8 + 3 > 0对一切实数 都成立，则实数 的取值范围为( )
A. { |0 < < 3} B. { |0 ≤ ≤ 3} C. { |0 < ≤ 3} D. { |0 ≤ < 3}
6.已知 ( ) = + ( > 0)，满足 ( ( )) = + 2，则函数 = √ ( )的值域为( )
5
A. [1, +∞) B. [ 1, +∞) C. [ , +∞) D. [0, +∞)
4
7.已知函数 ( ) = ln( 2 3 + 2)在[1, +∞)上单调递增，则 的取值范围是( )
A. ( ∞, 1] B. ( ∞, 1) C. ( ∞, 2] D. (2, +∞)
2 ( 1) 1 ( )8.已知定义在(0, +∞)上的函数 ( )满足 (2) = 4，对任意的 1， 2 ∈ (0, +∞)，且 ≠ ，
2
1 2 < 0 1 2
恒成立，则不等式 ( 3) > 2 6的解集为( )
A. (3,7) B. ( ∞, 5) C. (5, +∞) D. (3,5)
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
( ) ( )
9.下列函数中满足“对任意 1， 2 ∈ (0, +∞)，都有
1 2 > 0”的是( )
1 2
1
A. ( ) = 2 1 B. ( ) = C. ( ) = 2 2 + D. ( ) = log
2

10.已知 + 1 = 4，则( )
1 1

A. 2 + 2 = √ 6 B. 2 + 2 = 14 C. 3 + 3 = 52 D. 1 = 2√ 3
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√ 4 2
11.关于函数 ( ) = 的性质描述，正确的有( )
| 2| 2
A. ( )为奇函数 B. ( )为偶函数
C. ( )在(0,2)上是增函数 D. ( )的值域是[0,2]
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知集合 = { | 2 4 = 0}， = { | 2 = 0}，若 ∈ 是 ∈ 的必要不充分条件，则实数 的所有
可能取值构成的集合为______．
2
13.已知扇形的圆心角为 ，且圆心角所对的弦长为4√ 3，则圆心角所对的弧长为 ，该扇形的面积
3
为 ．
14.若关于 的方程4 + 2 +1 2 + 1 = 0，有一个正实数根和一个负实数根，则实数 的取值范围为
______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
16 3 1 3 6
(1)计算( ) 4 + √ 3 × √1.5 × √12；
81 3
(2)计算( 5)2 + 2 × 50 + 0.01．
16.(本小题15分)
3
已知集合 = { | > 1}，集合 = { | 2 3 2 + 3 < 0}．
+1
(1)若 = 2，求集合 ∩ ；
(2)若 ，求实数 的取值范围．
17.(本小题15分)
已知函数 ( )对一切实数 ， 都有 ( + ) ( ) = ( + 2 + 1)成立，且 (1) = 0．
(1)求 (0)的值；
(2)求 ( )的解析式；
(3)设命题 ：当0 ≤ ≤ 2时，不等式 ( ) + 3 < 2 + 恒成立；命题 ：函数 ( ) 在区间[ 3,3]上具
有单调性.如果 与 有且仅有一个为真命题，求实数 的取值范围．
18.(本小题17分)
已知函数 ( ) = log2 .
+1
(1)解关于 的不等式 ( ) ≤ 2；
1
1
(2)求函数 ( ) = ( ) (4 )， ∈ [ , 16]的最小值．
16 2
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19.(本小题17分)
+
已知函数 ( ) = 为偶函数，其中 是自然对数的底数， = 2.71828 …．
2
(1)证明：函数 = ( )在[0, +∞)上单调递增；
(2)函数 ( ) = (2 ) ( )， > 0，在区间[0, 2]上的图象与 轴有交点，求 的取值范围．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】{ 1,0,1}
8 16
13.【答案】 ；
3 3
14.【答案】( 1, √ 3 + 1)
16 3 1 3 6
15.【答案】解：(1)( ) 4 + √ 3 × √1.5 × √12
81 3
3 3 1 1 1
= ( )4×
1 3
4 + × 32 × ( )3 × 126
2 3 2
27 1 1 1 1 1 1
= + × 3 2 × 33 × 2 3 × 36 × 23
8 3
27 1 1 1 1 1
= + 3 1+ + +
27 35
2 3 6 × 23 3 = + 1 = ；
8 8 8
(2)( 5)2 + 2 × 50 + 0.01
= (1 2)2 + 2(2 2) 2
= 1 2 2 + lg22 + 2 2 lg22 2
= 1．
3
16.【答案】解：(1)因为集合 = { | > 1} = { | 1 < < 2}，
+1
当 = 2时，集合 = { | 2 3 2 + 3 < 0} = { | 2 < < 5}，
∩ = { | 1 < < 2}；
(2)若 ， = { |( )[ (3 )] < 0}， = { | 1 < < 2}，
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3
当 = 3 ，即 = 时， = ，符合题意；
2
≥ 1
3 3
当3 > ，即 < 时， = { | < < 3 }，则{3 ≤ 2，解得1 ≤ < ，
2 3 2
<
2
3 ≥ 1
3 3
当3 < ，即 > 时， = { |3 < < }，则{ ≤ 2 ，解得 < ≤ 2，
2 3 2
>
2
综上， 的范围为[1,2]．
17.【答案】解：(1)函数 ( )对一切实数 ， 都有 ( + ) ( ) = ( + 2 + 1)成立，且 (1) = 0．
利用赋值法：令 = 1， = 1，则由已知 (0) (1) = 1( 1 + 2 + 1)，
有 (0) = 2；
(2)令 = 0，则 ( ) (0) = ( + 1)，
又∵ (0) = 2，
∴ ( ) = 2 + 2．
(3)不等式 ( ) + 3 < 2 + ，
即 2 + 2 + 3 < 2 + ，
即 2 + 1 < ．
当0 ≤ ≤ 2时， 2 + 1的最大值为3，
若 为真命题，则 > 3；
又因为 ( ) = 2 + 2 = 2 + (1 ) 2在[ 3,3]上是单调函数，
1 1
故有 ≤ 3，或 ≥ 3，解得 ≤ 5或 ≥ 7，
2 2
> 3
当 为真且 为假时，得{ 则3 < < 7，
5 < < 7
≤ 3
当 为假且 为真时，得{ 则 ≤ 5，
≤ 5 或 ≥ 7
综上得 的取值范围为 ∈ ( ∞, 5] ∪ (3，7)．
+1 +1
18.【答案】解：(1) ( ) ≤ 2，即log2 ≤ log 1 1 24，
+1 5
则0 < ≤ 4，解得 < 1或 ≥ ，
1 3
+1 5
则不等式 ( ) ≤ 2的解集为( ∞, 1) ∪ [ , +∞)；
1 3

(2) ( ) = ( ) (4 ) =
16 2 16 2
(4 )
= (log2 4) (log
2
2 + 2 ) = ( 2 ) + (2 4) 2 8 ，
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1
令 = log2 ， ∈ [ , 16]，则 ∈ [ 1,4]， 2
原函数化为 ( ) = 2 + (2 4) 8 ， ∈ [ 1,4]，
其对称轴方程为 = 2 ，当2 ≤ 1，即 ≥ 3时， ( ) = ( 1) = 5 10 ，
当2 ≥ 4，即 ≤ 2时， ( ) = (4) = 0，
当 1 < 2 < 4，即 2 < < 3时， ( ) 2 = 4 4．
0, ≤ 2
综上所述， ( ) 2 = { 4 4, 2 < < 3．
5 10 , ≥ 3
+
19.【答案】(1)证明：已知函数 ( ) = 为偶函数，
2
则 ( ) = ( )恒成立，
即( 1)( ) = 0恒成立，
即 = 1，
+
即 ( ) = ，
2
设0 ≤ 1 < 2，
(
1
1 2+
1 2
1 2 )(1 + )
则 ( 1) ( ) = =
1 2
2 < 0， 2 2
1
又 1 2 < 0，1
1+
> 0，
2
即 ( 1) < ( 2)，
即函数 = ( )在[0, +∞)上单调递增；
(2)解：函数 ( ) = (2 ) ( )， > 0，在区间[0, 2]上的图象与 轴有交点，
即 (2 ) = ( )， > 0，在区间[0, 2]上有解，
2
2 + 2 ( + )
又 (2 ) = = 1 = 2 2( ) 1，
2 2
又函数 = ( )在[0, 2]上单调递增，
5
则 ( ) ∈ [1, ]，
4
2
1 (2 ) 2 ( ) 1 1
则 = = = 2 ( ) ，
( ) ( ) ( )
5
又 ( ) ∈ [1, ]，
4
1 17
则 ∈ [1, ]，
10
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10
即 ∈ [ , 1]，
17
10
即 的取值范围为[ , 1]．
17
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