2024-2025学年北京市海淀区中央民族大学附中高二（上）期中数学试卷（PDF版，含答案）

2024-2025 学年北京市海淀区中央民族大学附中高二（上）期中数学试
卷
一、单选题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.如图， ， 分别是长方体 ′ ′ ′ ′的棱 ， 的中点，则 + 等
于( )
A. ′
B. ′
C.
D.
2.直线 + + √ 3 = 0的倾斜角为( )
A. 30° B. 45° C. 60° D. 135°
3.已知圆锥的母线长为5，底面圆的半径为3，则该圆锥的体积为( )
A. 12 B. 15 C. 36 D. 45
4.在空间直角坐标系中，点 (1, 2,3)关于 轴的对称点为 ，则| | =( )
A. 2√ 10 B. 2√ 13 C. 2√ 14 D. 4
5.已知 ， 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，则下列命题正确的是( )
A. 若 ⊥ ， ⊥ ，则 // B. 若 ∩ = ， // ，则 //
C. 若 ， ⊥ ，则 ⊥ D. 若 ⊥ ， // ，则 ⊥
6.已知向量 = (1,0,1)， = ( 2,2,1)， = (3,4, )，若 ， ， 共面，则 等于( )
A. 9 B. 5 C. 5 D. 9
7.在正方体 1 1 1 1中，直线 1 1与直线 1 所成角的大小为( )
A. 30° B. 45° C. 60° D. 120°
8.已知平面 ， ，直线 ， ，如果 ⊥ ，且 ∩ = ， ∈ ， ∈ ，则 ⊥ 是 ⊥ 的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
9.如图，在正方体 1 1 1 1中，点 为棱 1的中点，点 为面 1 1
内一点， 1 ⊥ ，则( )
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A. △ = 2 1 1 △ 1
B. 2 △ = 1 1 △ 1
C. 2 △ = 3 1 1 △ 1
D. 3 △ = 2 1 1 △ 1
10.如图，水平地面上有一正六边形地块 ，设计师规划在正六边形的顶点处矗
立六根与地面垂直的柱子，用以固定一块平板式太阳能电池板 1 1 1 1 1 1.若其中三
根柱子 1， 1， 1的高度依次为12 ，9 ，10 ，则另外三根柱子的高度之和为( )
A. 47
B. 48
C. 49
D. 50
二、填空题：本题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
11.已知 = (1,0, 1)， = (2,1,1)，则3 + = ______．
12.已知平面 的法向量为(2, 4, 2)，平面 的法向量为( 1,2, )，若 // ，则 = ______．
13.如图，在三棱锥 中， 是 的中点，若 = ， = ， = ，
则 等于______．
14.已知 (2,3)是直线 上一点，且 = (1, 2)是直线 的一个法向量，则直线 的方程为______．
15.已知正方体 1 1 1 1的棱长为2， 为 的中点，点 在正方体的表面上运动，且满足平面
1 ⊥平面 1E.给出下列四个结论：
① △ 1 的面积的最大值为√ 5；
②满足使△ 1 的面积为2的点 有且只有4个；
③点 可以是 1的中点；
④线段 的最大值为3．
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其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题：本题共 6 小题，共 72 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题12分)
已知△ 的顶点坐标分别是 ( 1,5)， ( 2, 1)， (4,3)， 为 边的中点．
(1)求直线 的斜率；
(2)求中线 的方程．
17.(本小题12分)
如图，在棱长为2的正方体 1 1 1 1中，点 ， 分别是棱 1， 1的中点.求证：
(Ⅰ) //平面 1 ；
(Ⅱ) ⊥平面 1 1．
18.(本小题12分)
如图，在四棱锥 中， ⊥平面 ， = 4，底面 是边长为2的正方形， ， 分别为 ，
的中点．
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(Ⅰ)求证：平面 ⊥平面 ；
(Ⅱ)求直线 与平面 所成角的正弦值．
19.(本小题12分)
如图，在四棱锥 中， ⊥平面 ，底面 是直角梯形， ⊥ ， // ， = = 2，
= = 4，点 是 的中点，直线 交平面 于点 ．
(1)求证：点 是 的中点；
(2)求二面角 的大小
(3)求点 到平面 的距离．
20.(本小题12分)
在三棱锥 中，平面 ⊥平面 ，△ 为等腰直角三角形， ⊥ ， ⊥ ， = 2 = 4，
为 的中点．
(Ⅰ)求证： ⊥ ；
(Ⅱ)求二面角 的余弦值；

(Ⅲ)在线段 上是否存在点 使得平面 ⊥平面 ？若存在，求出 的值，若不存在，说明理由．

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21.(本小题12分)
个有次序的实数 1， 2，…， 所组成的有序数组( 1, 2, … , )称为一个 维向量，其中 ( = 1,2,… , )称
为该向量的第 个分量.特别地，对一个 维向量 = ( 1, 2, … , )，若| | = 1， = 1，2… ，称 为 维信
号向量.设 = ( 1, 2, … , )， = ( 1, 2, … , )，
则 和 的内积定义为 = ∑ =1 = 1 1 + 2 2 + + ，且 ⊥ = 0．
(1)直接写出4个两两垂直的4维信号向量．
(2)证明：不存在14个两两垂直的14维信号向量．
(3)已知 个两两垂直的2024维信号向量 1， 2，…， 满足它们的前 个分量都是相同的，求证：√ < 45．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】(5,1, 2)
12.【答案】1
1 1
13.【答案】 + +
2 2
14.【答案】 2 + 4 = 0
15.【答案】①④
5+1
16.【答案】解：(1)由 ( 1,5)， ( 2, 1)，可得直线 的斜率 = = 6； 1+2
5 1
(2)由 ( 2, 1)， (4,3)，可得 边的中点 (1,1)，则直线 的斜率 = = 2， 1 1
所以直线 的方程是 1 = 2( 1)，即2 + 3 = 0．
17.【答案】证明：(Ⅰ) ∵ ， 分别为 1， 1的中点， 1 = 1， 1// 1，
∴ // 且 = ，∴四边形 为平行四边形，
∴ // ，又 平面 1 ， 平面 1 ，
∴ //平面 1 ．
(Ⅱ) ∵四边形 为正方形，∴ ⊥ ，
∵ // ，∴ ⊥ ，
∵ 1 ⊥平面 ， 平面 ，
∴ 1 ⊥ ，
∵ // ， 1 ⊥ ，又 ∩ 1 = ， ， 1 平面 1 1，
∴ ⊥平面 1 1．
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18.【答案】(Ⅰ)证明：因为 ⊥平面 ， 平面 ，
所以 ⊥ ，
因为底面 是正方形，
所以 ⊥ ，
因为 ∩ = ， ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
又 平面 ，
所以平面 ⊥平面 ；
(Ⅱ)解：因为 ⊥平面 ， ， 平面 ，
所以 ⊥ ， ⊥ ，
因为底面 是正方形，
所以 ⊥ ，
如图建立空间直角坐标系 ，
因为 = 4，底面 是边长为2的正方形，
所以 (0,0,4)， (2,0,0)， (2,2,0)， (0,2,0)， (0,0,0)， (1,1,2)， (0,1,2)，
则 = (2,0,0), = (1,1,2), = ( 2, 1,2)，
设平面 的法向量为 = ( , , )，
2 = 0
则有{ = 0，可得{ ，
= 0 + + 2 = 0
令 = 1，所以 = 2， = 0，
所以 = (0,2, 1)，
设直线 与平面 所成的角为 ，
| | 4 4√ 5
则 = |cos < , > | = = = ，
| || | √ 9×√ 5 15
所以直线 与平面 所成角的正弦值为4√ 5．
15
19.【答案】解：(1)证明：因为 // ， 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ，
因为直线 交平面 于点 ，
所以平面 ∩平面 = ， 平面 ，
所以 // ，所以 // ，
因为点 是 的中点，所以点 是 的中点．
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(2)因为 ⊥平面 ， ， 平面 ，
所以 ⊥ ， ⊥ ，
因为 ⊥ ，
所以 ， ， 两两相互垂直，
如图，以点 为坐标原点，建立空间直角坐标系 ，
则 (0,0,0)， (2,0,0)， (2,2,0)， (0,4,0)， (0,0,4)，
所以 (0,0,2)， (0,2,2)，
所以 = (0,2,0)， = ( 2,0,2)，
设平面 的法向量为 = ( , , )，
⊥ 则{ ，则{
= 0 2 = 0，即{ ，
⊥ = 0 2 + 2 = 0
令 = 1，于是 = 1， = 0，所以 = (1,0,1)，
1
又因为平面 的法向量为 = = (1,0,0)．
2
√ 2
所以cos < , >= = ，
| || | 2
由题知，二面角 是钝角，
3
所以二面角 的大小为 ．
4
(3)设点 到平面 的距离为 ，
|
| | 2|
因为 = (0,0, 2)，则 = = = √ 2．
| | √ 2
20.【答案】证明：(1)如图，设 为 的中点，连接 ， ，
因为 为 的中点，所以 // ，
因为 ⊥ ，所以 ⊥ ，
又△ 为等腰直角三角形， ⊥ ，所以 ⊥ ，
因为 ∩ = ， ， 平面 ，所以 ⊥平面 ，
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因为 平面 ，所以 ⊥ ；
解：(2)由(1)知，可建立以 为坐标原点， ， ， 的方向分别为 轴、 轴、 轴正方向的空间直角坐
标系，如图所示，
则 (1,0,0)， ( 1,4,0)， ( 1,0,0)， (0,0,1)，
所以 = ( 1,0,1)， = (1, 4,1)，
设平面 的法向量为 = ( , , )，则
= + = 0
{ ，
= 4 + = 0
1
令 = 1，则 = (1, , 1)，
2
由题可知，平面 的一个法向量为 = (0,1,0)，
设二面角 的平面角为 ，由图可知， 为锐角，
1
| | 1
所以 = |cos < , > | = =
2 =
| || |
√ 1
3，
1+ +1
4
1
所以二面角 的余弦值为 ；
3
解：(3)存在．理由如下：假设在线段 上存在点 ，使平面 ⊥平面 ，

设 = ，(0 < < 1)，因为 = ( 1,4, 1)，所以 = = ( , 4 , )，所以 ( , 4 , 1 )，

因为 (0,2,0)， ( 1,0,0)，所以 = (1 , 4 , 1 )， = (1,2,0)，
= (1 ) + 4 + (1 ) = 0
设平面 的法向量为 1 = ( , , )，则{
1 ，
1 = + 2 = 0
2 6
令 = 1，则 1 = ( 2,1, )， 1
1 2 6 1
因为平面 ⊥平面 ，所以 1 = 2 + + = 0，解得 = ， 2 1 9
1
所以存在点 使得平面 ⊥平面 ，此时 = ．
9
21.【答案】解：(1)依题意，可写出4个两两垂直的4维信号向量为：
(1,1,1,1)，( 1, 1,1,1)，( 1,1, 1,1)，( 1,1,1, 1)．
(2)证明：假设存在14个两两垂直的14维信号向量 1 , 2 , … , 1 4 ，
因为将这14个向量的某个分量同时变号或将某两个位置的分量同时互换位置，任意两个向量的内积不变，
所以不妨设 = (1,1,… ,1), = (1,1,1,1,1,1,1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1)，
1 2
因为 = 0，所以 有7个分量为 1，
1 3 3
设 的前7个分量中有 个 1，则后7个分量中有7 个 1， ∈ ，
3
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7
则 = ( 1) + (7 ) + (7 ) + ( 1) = 0，则 = ，矛盾，
2 3 2
所以不存在14个两两垂直的14维信号向量．
(3)证明：任取 ， ∈ {1,2,… , }，计算内积 ，
2 2 2
将所有这些内积求和得到 ，则 = 1 + 2 + + = 2024 ，
设 1 , 2 , , 的第 个分量之和为 ，
则从每个分量的角度考虑，每个分量为 的贡献为 2 ，
所以 = 21 +
2 2 2 2
2 + + 2024 ≥ 1 + 2 + +
2 2
= ，
则2024 ≥ 2 ，所以 ≤ 2024 < 2025，故√ < 45．
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