2024-2025学年上海交大附中高二上学期数学期中试卷（含答案）（2024.11）

交大附中2024学年第一学期高二年级数学期中
2024.11
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．设集合，，则________．
2．不等式的解集为________．
3．函数的定义域是________．
4．直线的倾斜角的大小是________（用arctan表示）．
5．若直线与圆相切，则实数________．
6．设椭圆的焦距为，若，，依次成等比数列，则该椭圆的离心率________．
7．已知单位向量与的夹角为，向量与的夹角为，当________．
8．若关于的方程有负实数根，则实数的取值范围是________．
9．设，对任意，恒成立，则实数的取值范围是________．
10．平面直角坐标系中的点集，则集合中任意一点到坐标系点距离的最小值为________．
11．某房地产公司要在荒地（如图）上划出一块矩形地块（不改变为位）建造一幢公寓（，，分别在线段，，上），若米，米，米，米，且，则该矩形地块的面积最大值为________平方米．（结果精确到1平方米）
12．若是以为首项，为公差的等差数列；是以为首项，为公比的等比数列，则下列说法正确的是________．
①存在实数，使得不存在实数，满足数列是常数列；
②存在实数，使得对任意实数，满足数列都是常数列；
③存在实数，使得不存在实数，0，满足数列是常数列；
④存在实数，使得有无穷多个实数，0，满足数列是常数列．
二、选择题（本题共4小题；前2题每小题4分；后2题每小题5分，共18分．）
13．在复平面内，复数对应的点位于（ ）.
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
14．若、，则是的（ ）.
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
15．下列命题中真命题的个数是（ ）.
（1）若空间四点共面，则其中必有三点共线；
（2）若空间四点中有三点共线，则此四点必共面；
（3）若空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面；
（4）若空间四点不共面，则其中任意三点不共线；
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
16．若动点以等角速度在单位圆上逆时针运动，则点的运动方式是（ ）
A．以角速度在单位圆上顺时针运动 B．以角速度在单位圆上逆时针运动
C．以角速度在单位圆上顺时针运动 D．以角速度在单位圆上逆时针运动
三、解答题（本大题共6小题，满分78分）
17．（本题满分14分，第（1）题满分6分，第（2）题满分8分）
已知、为实数，平面直角坐标系内三条直线直线，，．
（1）若，且经过点，求实数，的值；
（2）若且，求实数，的值．
18．（本题满分14分，第（1）题满分6分，第（2）题满分8分）
已知数列的各项均为正实数，且
（I）求证：数列是等比数列；
（2）若数列满足，求数列中的最大项与最小项．
19．（本题满分14分，第（1）题满分8分，第（2）题满分6分）
某菜农有两段总长度为20米的篱笆及，现打算用它们和两面成有直角的墙、围成一个如图所示的凸四边形菜园（假设、这两面墙都足够长）．已知（米）；，．设四边形的面积为．
（1）将表示为的函数，并写出自变量的取值范围；
（2）求出的最大值，并得出此时所对应的值．
20．（本题满分18分，第（1）题满分4分，第（2）题满分6分，第（3）题满分8分）
已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线与椭圆交于、两点．
（1）求的周长；
（2）设点为椭圆的上顶点，点在第一象限，点在线段上．若求点的横坐标；
（3）设直线不垂直于坐标轴，点为点关于轴的对称点．直线与轴交于点．求面积的最大值．
21．（本题满分18分.第（1）题满分4分，第（2）题满分6分，第（3）题满分8分）
在平面直角坐标系中，若点满足，都是整数，则称点为格点．
（1）指出椭圆上的所有格点；
（2）设、是抛物线上的两个不同的格点，且线段的长度是正整数，求直线的斜率的所有可能值组成的集合；
（3）设（且）项的数列满足：点是函数的图像上的格点，则是否存在正整数，使得数列为等差数列；若存在，请求出正整数的取值范围；若不存在，请说明理由．
【附加题】（共10分）
世界上除了圆形的轮子之外，还有一些好事之徒制作了不少形状的多边形轮子．
（1）如图，平面直角坐标系内有一个边长为的点方形，其初始位置为，，，．
①将整个正方形绕点顺时针旋转，使点首次旋转到轴正半轴上停止；
②再将整个正方形绕点顺时针旋转，使点首次选择到轴正半轴上停止；
③再将整个正方形绕点顺时针旋转，使点首次选择到轴正半轴上停止；
④再将整个正方形绕点顺时针旋转，使点首次选择到轴正半轴上停止．
我们将上述四个步骤依次操作一遍，称为将正方形“滚动”一周。
为任点向轴正方向移动100个单位长度，需要将正方形“滚动”_______周，在这个过程中，点经过的路径总长度为________个单位长度；
（2）如果制造一个正边形的“轮子”。该正边形的中心到任意一个顶点的距离为1．共将该正边形的"轮子"振动一周，求点经过的路径总长度；
（3）根据（2）中结果猜想：半径为1的圆形轮子在平地上滚动一周，则圆周上任意一点经过的路径总长度是多少？（不必说明理由）
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12.②③④
12．若是以为首项，为公差的等差数列；是以为首项，为公比的等比数列，则下列说法正确的是________．
①存在实数，使得不存在实数，满足数列是常数列；
②存在实数，使得对任意实数，满足数列都是常数列；
③存在实数，使得不存在实数，0，满足数列是常数列；
④存在实数，使得有无穷多个实数，0，满足数列是常数列．
【答案】②③④
【解析】,则对任意恒成立,故①错②对.
取,任取.则恒成立.故④正确.
(更强的命题,,则均存在无数个,使得为常数,取即可）
只证明③.取,假设为常数列，则或
取,则或,则或
情况一：则,这是一个关于的一元二次方程,但这是不可能的（是超越数）
其他情况同理.所以这样的等比数列不存在.
二、选择题
13. B 14.C 15. B 16.C
15．下列命题中真命题的个数是（ ）.
（1）若空间四点共面，则其中必有三点共线；
（2）若空间四点中有三点共线，则此四点必共面；
（3）若空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面；
（4）若空间四点不共面，则其中任意三点不共线；
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】对于①，空间四点共面,如平面四边形,其中任何三点不共线，故①错误；
对于②，空间四点中有三点共线，根据不共线的三点确定一个平面,得到此四点必共面;
故②正确;
对于③,空间四点中任何三点不共线,则此四点可能共面，如平面四边形；故③错误；
对于④,空间四点不共面,如果任意三点有共线的,那么此四个点就共面，与已知矛盾.故④正确;故答案为:②④
三、解答题
17.（1） （2）
18.（1）证明略 （2）最大项是，最小项是
19.（1）； （2）此时
20．（本题满分18分，第（1）题满分4分，第（2）题满分6分，第（3）题满分8分）
已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线与椭圆交于、两点．
（1）求的周长；
（2）设点为椭圆的上顶点，点在第一象限，点在线段上．若求点的横坐标；
（3）设直线不垂直于坐标轴，点为点关于轴的对称点．直线与轴交于点．求面积的最大值．
【答案】（1）8 （2） （3）.
【解析】（1）椭圆的长轴长为4.由椭圆定义知，的周长为8；
（2）由椭圆方程得,设，
由,得①，
点线段上，所以满足方程为②，
将①式代入②，得，代入椭圆方程，得，
因为,所以.
（3）设，直线的方程为，
则点的坐标为，直线的方程为
,
将直线方程代入椭圆方程得：
则,所以，
所以面积的最大值为.
21．（本题满分18分.第（1）题满分4分，第（2）题满分6分，第（3）题满分8分）
在平面直角坐标系中，若点满足，都是整数，则称点为格点．
（1）指出椭圆上的所有格点；
（2）设、是抛物线上的两个不同的格点，且线段的长度是正整数，求直线的斜率的所有可能值组成的集合；
（3）设（且）项的数列满足：点是函数的图像上的格点，则是否存在正整数，使得数列为等差数列；若存在，请求出正整数的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）见解析 （2） （3）不存在，理由见解析
【解析】（1）;
（2）设且,
则为正整数,记为,
所以.
由于都是整数,所以与都是完全平方数,故只能有,
因此,直线的斜率的所有可能值组成的集合是.
（3）存在正实数,使得数列为等差数列,记公差为
则且,
所以是方程的实数解.
①时,则有正整数解.
所以必有是整数,所以正整数只可能使得,逐一验证发现都不符合题意,所以时不存在正整数,使得数列为等差数列.
②时,则有至少两个不相等的整数解,
而方程至多有两个不相等的实数解,所以只能,
且恰有两个不相等的整数解,
则直线与双曲线的上半部分必有两个公共点,
（i）时,有,而是正整数,是整数,
所以只可能,,代回验证发现不符题意,
（ii）时,不存在,
（iii）时,有,且是方程的两根,
所以,而,
所以有:,得,
由于是整数,所以是整数,故,此不等式无实数解,所以也不存在正整数,使得数列为等差数列.
综上,不存在正整数,使得数列为等差数列.
解二:由题意得,且与与都是整数,
所以是有理数,而也是整数,所以是完全平方数,记为,
故,得,而与的奇偶性相同,
所以只可能有,因此必有,则,不存在,
即不存在正整数,使得数列为等差数列.
【附加题】（共10分）
世界上除了圆形的轮子之外，还有一些好事之徒制作了不少形状的多边形轮子．
（1）如图，平面直角坐标系内有一个边长为的点方形，其初始位置为，，，．
①将整个正方形绕点顺时针旋转，使点首次旋转到轴正半轴上停止；
②再将整个正方形绕点顺时针旋转，使点首次选择到轴正半轴上停止；
③再将整个正方形绕点顺时针旋转，使点首次选择到轴正半轴上停止；
④再将整个正方形绕点顺时针旋转，使点首次选择到轴正半轴上停止．
我们将上述四个步骤依次操作一遍，称为将正方形“滚动”一周。
为任点向轴正方向移动100个单位长度，需要将正方形“滚动”_______周，在这个过程中，点经过的路径总长度为________个单位长度；
（2）如果制造一个正边形的“轮子”。该正边形的中心到任意一个顶点的距离为1．共将该正边形的"轮子"振动一周，求点经过的路径总长度；
（3）根据（2）中结果猜想：半径为1的圆形轮子在平地上滚动一周，则圆周上任意一点经过的路径总长度是多少？（不必说明理由）
【答案】（1）见解析 （2） （3）8
【解析】（1）25周,;
（2）息路径
又有：
, 所以
（3）