广西百色市平果县铝城中学2024-2025学年高一上学期期中数学试卷（含答案）

广西百色市平果县铝城中学 2024-2025 学年高一上学期期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“ > 0，ln(2 + 1) > 0”的否定是( )
A. ≤ 0，ln(2 + 1) ≤ 0 B. > 0，ln(2 + 1) ≤ 0
C. ≤ 0，ln(2 + 1) ≤ 0 D. > 0，ln(2 + 1) ≤ 0
2.下列四个集合中，是空集的是( )
A. { | + 3 = 3} B. {( , )| 2 = 2， ， ∈ }
C. { | 2 ≤ 0} D. { | 2 + 1 = 0, ∈ }
3.已知函数 ( ) = 2 2 + 4在( 1, +∞)上是增函数，则实数 的取值范围为( )
A. ( ∞, 1] B. [ 1, +∞) C. [0, +∞) D. ( ∞, 0]
4.已知 ： ∈ ， ： ∈ ∩ ，则 是 的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
5.已知幂函数 ( ) = (2 2 + 5 2) 在(0, +∞)内单调递增，则 的值为( )
1 1
A. 3 B. C. 3或 D. 1
2 2
6.已知 ( )是 上的偶函数，在( ∞, 0]上是增函数，则下列不等式成立的是( )
A. (1) < (5) < ( 3) B. (5) < ( 3) < ( 1)
C. ( 3) < ( 1) < (5) D. ( 1) < ( 3) < (5)
4
7.设函数 ( ) = + + 2在(0, +∞)上的最小值为7，则 ( )在( ∞, 0)上的最大值为( )

A. 9 B. 7 C. 5 D. 3
8.已知奇函数 ( )的定义域为{ | ≠ 0}，且 ( )在(0, +∞)上单调递减.若 (2) = 0，则 ( ) > 0的解集为( )
A. ( 2,2) B. ( ∞, 2) ∪ (0,2)
C. ( 2,0) ∪ (2,+∞) D. ( ∞, 2) ∪ (2, +∞)
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题中，真命题的是( )

A. + = 0的充要条件是 = 1

B. > 1， > 1是 > 1的充要条件
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C. 命题“ ∈ ，使得 2 + + 1 < 0”的否定是“ ∈ 都有 2 + + 1 ≥ 0”
D. “ > 1”是“ 2 + 2 > 0”的充分不必要条件
10.下列说法中正确的是( )
1
A. 若 > 2，则函数 = + 的最小值为3
1
B. 若 + = 2，则2 + 2 的最小值为4
C. 若 > 0， > 0， + + = 3，则 的最大值为1
1 2
D. 若 > 1， > 0满足 + = 2，则 + 的最小值为3 + 2√ 2
1
11.已知函数 (√ + 1) = 2 + √ 1，则( )
A. (3) = 9 B. ( ) = 2 2 3 ( ≥ 0)
C. ( )的最小值为 1 D. ( )的图象与 轴有2个交点
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知 > 0， > 0，且 + 2 = 4，则 的最大值是 ．
+ 1, ≥ 0
13.已知函数 ( ) = { 2 ，若 ( ) = 10，则 = ______． 1, < 0
14.若方程 2 + + 4 = 0的解集为 ，方程 2 + + = 0的解集为 ，且 ∩ = {4}，则满足 ( ∪ )
的所有集合 的个数为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知集合 = { | 3 ≤ ≤ 4}， = { |2 1 < < + 1}．
(1)当 = 0时，求 ∩ ( )；
(2)当 ，求实数 的取值范围；
16.(本小题12分)
已知定义在 上的奇函数 ( )，当 < 0时， ( ) = 2 + 2 ．
(1)在给出的坐标系中画出 ( )的图象(网格小正方形的边长为1)；
(2)求函数 ( )在 上的解析式，并写出函数 ( )的值域及单调区间；
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17.(本小题12分)
2023年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本5000万元，每生产 (百
10 2 + 900 , 0 < < 40
辆)，需另投入成本 ( )(万元)，且 ( ) = { 10000 ，已知每辆车售价15万元，全年
1501 + 9600, ≥ 40

内生产的所有车辆都能售完．
(1)求2023年的利润 ( )(万元)关于年产量 (百辆)的函数关系式；
(2)2023年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．
18.(本小题12分)
+
已知函数 ( ) = 2是定义在[ 1,1]上的奇函数，且 (1) = 1． 1+
(1)求 ( )的解析式；
(2)判断函数 ( )在[ 1,1]上的单调性，并证明；
(3)求使 (2 + 1) + ( 2 1) < 0成立的实数 的取值范围．
19.(本小题12分)
已知函数 ( )的定义域为 ，对任意 ， 都有 ( ) = ( ) ( ) + ( ) + ( )，且 ( 1) = 0．
(1)求证： (1) = 0；
(2)求证：函数 ( )为偶函数；
(3)若 (2) = 3，且 ( )在(0, +∞)上单调递增，解关于 的不等式 ( 1) < 15．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】2
13.【答案】 3
14.【答案】8
15【. 答案】解：(1)当 = 0时， = { | 1 < < 1}，故 = ( ∞, 1] ∪ [1, +∞)，且 = { | 3 ≤ ≤ 4}，
故 A∩ ( ) = [ 3, 1] ∪ [1,4]．
(2) ∵ ，
∴当 = 时，2 1 ≥ + 1，解得 ≥ 2，
2 1 < + 1
当 ≠ 时，{2 1 ≥ 3 ，解得 1 ≤ < 2，
+ 1 ≤ 4
综上所述： ∈ [ 1, +∞)．
16.【答案】解：(1)函数图象如图所示：
(2)因为 < 0时， ( ) = 2 + 2 ，
当 > 0时， < 0，
因为 ( )为奇函数，
所以 ( ) = 2 2 = ( )，
所以 ( ) = 2 + 2 ，
又 (0) = 0，
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2{ + 2 , > 0故 ( ) =
2
，
+ 2 , ≤ 0
函数的值域为 ，单调递增区间为[ 1,1]，单调递减区间为( ∞, 1]，[1, +∞)．
17.【答案】解：(1)由题意知，利润 ( ) =收入 总成本，
10 2 + 600 5000,0 < < 40
所以利润 ( ) = 15 × 100 5000 ( ) = { 10000 ；
+ 4600, ≥ 40

所以2023年的利润 ( )(万元)关于年产量 (百辆)的函数关系为：
10 2 + 600 5000,0 < < 40
( ) = { 10000 ；
+ 4600, ≥ 40

(2)当0 < < 40时， ( ) = 10 2 + 600 5000 = 10( 30)2 + 4000，
所以当 = 30时，年利润的最大值为 ( ) = 4000；
10000 10000
当 ≥ 40号， ( ) = + 4600 ≤ 2√ + 4600 = 4400，

10000
当且仅当 = ，即 = 100时取得等号；

综上，当产量为100(百辆)时，年利润取得最大，最大利润为4400万元．
+
18.【答案】解：(1)函数 ( ) = 2是定义在[ 1,1]上的奇函数， 1+

∴ (0) = = 0，∴ ( ) = ，
1+ 2

而 (1) = 1，∴ = 1，解得 = 2，
2
2
∴ ( ) = 2， ∈ [ 1,1]． 1+
2
(2)函数 ( ) = 2在[ 1,1]上为增函数； 1+
证明如下：任意 1， 2 ∈ [ 1,1]且 1 < 2，
2 1 2 2 2( 1 2)(1 1 2)
则 ( 1) ( 2) = 2 = ， 1+ 1 1+ 22 (1+ 21)(1+ 22)
∵ 1 < 2，∴ 1 2 < 0，又∵ 1， 2 ∈ [ 1,1]，∴ 1 1 2 > 0，
∴ ( 1) ( 2) < 0，即 ( 1) < ( 2)，
∴函数 ( )在[ 1,1]上为增函数；
(3)由题意，不等式 (2 + 1) + ( 2 1) < 0可化为 (2 + 1) < ( 2 1)，
∴ (2 + 1) < (1 2)，
1 ≤ 2 + 1 ≤ 1
∴ { 1 ≤ 2 1 ≤ 1，
2 + 1 < 1 2
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解得0 ≤ < √ 3 1，
∴该不等式的解集为[0, √ 3 1)．
19.【答案】解：(1)证明：令 = = 1，则 (1) = ( 1) ( 1) + ( 1) + ( 1) = 0，
所以 (1) = 0；
(2)证明：令 = 1，则 ( ) = ( ) ( 1) + ( ) + ( 1)，所以 ( ) = ( )，
所以 ( )为偶函数；
(3)令 = = 2，所以 (4) = (2) (2) + (2) + (2) = 3 × 3 + 3 + 3 = 15，
则不等式化为 ( 1) < (4)，因为 ( )为偶函数，且在(0, +∞)上单调递增，
所以 (| 1|) < (4)，所以有| 1| < 4，即 3 < < 5，
化简得{ | 3 < < 5}．
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