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人教八上数学同步精品课件
人教版八年级上册
人教八上阶段性检测讲解课件
八上数学期末模拟押题卷03
（满分：120分 时间：120分钟）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ C ）
A
B
C
D
2. 空气中某种微粒的直径是0.000 002 967 m.数据0.000 002 967用科学记数法可表示
为（ D ）
A. 2.967×105 B. 2.967×106
C. 2.967×10－5 D. 2.967×10－6
C
D
3. 分解因式 x 2 y －9 y 的正确结果是（ A ）
A. y （ x ＋3）（ x －3） B. y （ x ＋9）（ x －9）
C. y （ x 2－9） D. y （ x －3）2
4. 下列计算错误的是（ B ）
A. a 3 b · ab 2＝ a 4 b 3 B. x 8÷ x －4＝－ x 2
C. （－2 mn 3）2＝4 m 2 n 6 D. －2 a 5· a －3＝－2 a 2
5. 一个多边形的内角和不可能是（ D ）
A. 1 800° B. 540° C. 720° D. 810°
A
B
D
6. 如图，在△ ABC 中， AD 平分∠ BAC ， AB ＝4， AC ＝2.若△ ACD 的面积为3，则
△ ABD 的面积为（ C ）
A. 3 B. 4 C. 6 D. 12
第6题图
C
7. 已知某班级第一次用160元购买奖品，第二次又用600元购买奖品，且第二次购买
的奖品数量是第一次购买的奖品数量的3倍，但单价比第一次的单价多2元.设第一
次购买奖品的单价是 x 元，则下面所列方程正确的是（ B ）
A. ＝3× B. ＝3×
C. 3× ＝ D. 3× ＝
B
8. 如图，在等边三角形 ABC 中， AD ⊥ BC ， E 为 AD 上一点，∠ CED ＝50°，则
∠ ABE 的度数为（ C ）
A. 10° B. 15° C. 20° D. 25°
第8题图
C
9. 如图，∠ BAC 的平分线与 BC 的垂直平分线相交于点 D ， ED ⊥ AB ， DF ⊥ AC ，
垂足分别为 E ， F ， AB ＝11， AC ＝5，则 BE 的长为（ A ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
第9题图
A
10. 如图，在△ ABC 中， AB ＝2 AC ， AD 是∠ BAC 的平分线，延长 AC 至点 E ，使
得 CE ＝ AC ，连接 DE ， BE . 有下列结论：① BD ＝ ED ；② BD ＝2 CD ；③ ED
平分∠ CEB ；④ S △ ABD ＝ S △ EBD . 其中一定正确的结论有（ C ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
第10题图
C
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 若分式 有意义，则 x 的取值范围是 .
12. 如图，∠ B ＝∠ C ，要使△ ABD ≌△ ACE ，只需增加的一个条件是
.
第12题图
x ≠5
BD ＝ CE
（答案不唯一）
13. 如图，在△ ABC 中，高 AD ， BE 交于点 H ，且 BH ＝ AC ，则∠ ABC 的度数
为 .
第13题图
14. 若关于 x 的方程 ＝2＋ 的解为非负数，则 k 的取值范围是
.
45°
k ≤5且 k
≠2
15. 如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ，∠ A ＝36°，点 D 在边 AB 上运动（点 D 与点
A ， B 不重合）.设∠ ACD ＝α，将△ ACD 沿 CD 翻折至△ A ' CD 处， CA '与边 AB
相交于点 E . 若△ A ' DE 是等腰三角形，则α的度数为 .
18°或36°
三、解答题（共9题，共75分）
16. （6分）（1）解方程： ＝1－ ；
解：方程两边乘2（ x ＋1），得3＝2 x ＋2－2，解得 x ＝ .
检验：当 x ＝ 时，2（ x ＋1）≠0，
∴原分式方程的解为 x ＝ .
（2）计算：（ ＋ a ）÷ .
解：原式＝ ·
＝－ ·
＝－ .
17. （6分）先化简，再求值：[（ x －3 y ）2－ x （2 x －4 y ）＋ x 2]÷（－2 y ），其
中 x ＝1， y ＝2.
解：原式＝（ x 2－6 xy ＋9 y 2－2 x 2＋4 xy ＋ x 2）÷（－2 y ）
＝（－2 xy ＋9 y 2）÷（－2 y ）
＝ x － y .
当 x ＝1， y ＝2时，原式＝1－ ×2＝1－9＝－8.
18. （6分）如图， AD ⊥ BC 于点 D ， BE 平分∠ ABC ，交 AD 于点 E ，∠ C ＝76°，
∠ BED ＝66°，求∠ BAC 的度数.
解：∵ AD ⊥ BC ，∴∠ ADB ＝90°.
∵∠ BED ＝66°，
∴∠ DBE ＝90°－∠ BED ＝24°.
∵ BE 平分∠ ABC ，
∴∠ ABC ＝2∠ DBE ＝48°，
∴∠ BAC ＝180°－∠ C －∠ ABC ＝56°.
19. （8分）如图，在△ ABC 中，∠ C ＝90°，∠ A ＝30°.
（1）尺规作图：作 AB 的垂直平分线 DE ，交 AC 于点 D ，交 AB 于点 E ；（不写
作法，保留作图痕迹）
解：如图，直线 DE 即为所求.
（2）连接 BD . 求证： BD 平分∠ CBA .
证明：∵ DE 是 AB 的垂直平分线，
∴ AD ＝ BD ，
∴∠ ABD ＝∠ A ＝30°.
∵∠ C ＝90°，
∴∠ ABC ＝90°－∠ A ＝60°，
∴∠ CBD ＝∠ ABC －∠ ABD ＝30°，
∴∠ ABD ＝∠ CBD ，
∴ BD 平分∠ CBA .
20. （8分）如图，点 C 在线段 AB 上， AD ∥ EB ， AC ＝ BE ， AD ＝ BC ， CF ⊥
DE .
（1）求证：△ ACD ≌△ BEC ；
证明：∵ AD ∥ EB ，∴∠ A ＝∠ B .
在△ ACD 和△ BEC 中，
∴△ ACD ≌△ BEC （SAS）.
（2）若∠ DCE ＝110°，求∠ DCF 的度数.
解：由（1）知△ ACD ≌△ BEC ，
∴ DC ＝ CE .
∵ CF ⊥ DE ，
∴∠ DCF ＝∠ ECF ＝ ∠ DCE .
∵∠ DCE ＝110°，
∴∠ DCF ＝55°.
21. （8分）分解因式： x 2－2 xy ＋ y 2－ z 2.
解： x 2－2 xy ＋ y 2－ z 2＝（ x － y ）2－ z 2＝（ x － y ＋ z ）（ x － y － z ）.
根据上述因式分解的过程解答下列问题：
（1）分解因式：
①4 x 2－4 xy ＋ y 2－ z 2；
②1－ m 2－ n 2＋2 mn ；
解：①4 x 2－4 xy ＋ y 2－ z 2＝（2 x － y ）2－ z 2＝（2 x － y ＋ z ）（2 x
－ y － z ）.
②1－ m 2－ n 2＋2 mn ＝1－（ m 2－2 mn ＋ n 2）＝1－（ m － n ）2＝（1＋ m
－ n ）·（1－ m ＋ n ）.
（2）若 a ， b ， c 分别为△ ABC 的三边长，判断式子 a 2－2 ab ＋ b 2－ c 2的值的
正负.
解： a 2－2 ab ＋ b 2－ c 2＝（ a － b ）2－ c 2＝（ a － b ＋ c ）（ a － b － c ）.
∵ a ， b ， c 分别为△ ABC 的三边长，
∴ a － b ＋ c ＞0， a － b － c ＜0，
∴（ a － b ＋ c ）（ a － b － c ）＜0，
即 a 2－2 ab ＋ b 2－ c 2的值为负.
22. （10分）如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ，∠ BAC ＝120°， AD ⊥ BC 于点 G ，且
AD ＝ AB . 若∠ EDF ＝60°，其两边分别交边 AB ， AC 于点 E ， F ，连接 BD .
（1）求证：△ ABD 是等边三角形；
证明：∵ AB ＝ AC ， AD ⊥ BC ，
∴∠ BAD ＝∠ DAC ＝ ∠ BAC ＝60°.
∵ AD ＝ AB ，∴△ ABD 是等边三角形.
（2）求证： BE ＝ AF .
证明：由（1）知△ ABD 是等边三角形，
∴∠ DBE ＝∠ ADB ＝60°＝∠ EDF ， BD ＝ AD ，
∴∠ ADB －∠ ADE ＝∠ EDF －∠ ADE ，
即∠ BDE ＝∠ ADF .
由（1）知∠ DAF ＝60°，∴∠ DBE ＝∠ DAF .
在△ BDE 和△ ADF 中，
∴△ BDE ≌△ ADF （ASA），∴ BE ＝ AF .
23. （11分）假期里学校组织部分团员同学参加“关爱老年人”的爱心援助活动，
计划分别乘大、小两辆车前往距离140 km的乡村敬老院.
（1）若小车的速度是大车速度的1.4倍，且小车比大车早1 h到达，求大、小车
速度；
解：设大车的速度为 x km/h，则小车的速度为1.4 x km/h.
根据题意，得 ＋1＝ ，解得 x ＝40.
经检验， x ＝40是原分式方程的解，且符合题意，
∴1.4 x ＝56.
答：大车的速度为40 km/h，小车的速度为56 km/h.
（2）若小车与大车同时以相同的速度出发，但行驶了60 km后，小车上的同学
发现有物品遗忘在学校，于是小车准备加速返回取物品，之后速度保持不
变，要想与大车同时到达乡村敬老院，则小车应提速到原来的多少倍？
解：设小车原来的速度为 a km/h，提速后的速度是原来的 m 倍，则
提速后的速度为 ma km/h.
根据题意，得 ＝ ，解得 m ＝2.5.
经检验， m ＝2.5是原分式方程的解，且符合题意.
答：小车应提速到原来的2.5倍.
24. （12分）分别以△ ABC 的 AB ， AC 为边作△ ABD 和△ ACE ，且 AE ＝ AB ， AC
＝ AD ， CE 与 BD 相交于点 M ，∠ EAB ＝∠ CAD ＝α，连接 BE ， CD .
（1）如图1，若α＝40°，求∠ EMB 的度数；
解：（1）设 AB ， CE 相交于点 O .
∵∠ EAB ＝∠ CAD ＝α＝40°，
∴∠ EAB ＋∠ BAC ＝∠ CAD ＋∠ BAC ，即∠ EAC ＝∠ BAD .
在△ AEC 和△ ABD 中，
∴△ AEC ≌△ ABD （SAS），∴∠ AEC ＝∠ ABD .
∵∠ EOB ＝∠ AEC ＋∠ EAB ＝∠ ABD ＋∠ EMB ，
∴∠ EMB ＝∠ EAB ＝40°.
（2）如图2，若 G ， H 分别是 EC ， BD 的中点，连接 AH ， GH ，求∠ AHG 的
度数；（用含α的式子表示）
解：连接 AG .
由（1）知△ AEC ≌△ ABD ，∴ EC ＝ BD ，∠ ACE ＝∠ ADB .
∵ G ， H 分别是 EC ， BD 的中点，∴ DH ＝ CG .
在△ ACG 和△ ADH 中，
∴△ ACG ≌△ ADH （SAS），
∴ AG ＝ AH ，∠ CAG ＝∠ DAH ，
∴∠ AGH ＝∠ AHG ，∠ CAG －∠ CAH ＝∠ DAH －∠ CAH ，
∴∠ GAH ＝∠ CAD ＝α，
∴∠ AHG ＝ （180°－∠ GAH ）＝90°－ α.
（3）如图3，连接 AM ，求∠ AMC 与α之间的数量关系.（用含α的式子表示）
解：过点 A 分别作 AP ⊥ EC 于点 P ， AN ⊥ BD 于点 N .
由（1）知△ AEC ≌△ ABD ，∴ S △ AEC ＝ S △ ABD ， EC ＝ BD ，
∴ EC · AP ＝ BD · AN ，∴ AP ＝ AN ，
∴ MA 平分∠ EMD ，∴∠ AME ＝ （180°－∠ EMB ）.
由（1）得∠ EMB ＝∠ EAB ＝α，∴∠ AME ＝90°－ α，
∴∠ AMC ＝180°－∠ AME ＝90°＋ α.
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2024秋八上数学期末模拟押题卷03
（满分：120分时间：120分钟）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1.下列图形中，不是轴对称图形的是（ C ）
2.空气中某种微粒的直径是0.000002967m.数据0.000002967用科学记数法可表示为（ D ）
A.2.967×105 B.2.967×106
C.2.967×10－5 D.2.967×10－6
3.分解因式x2y－9y的正确结果是（ A ）
A.y（x＋3）（x－3） B.y（x＋9）（x－9）
C.y（x2－9） D.y（x－3）2
4.下列计算错误的是（ B ）
A.a3b·ab2＝a4b3 B.x8÷x－4＝－x2
C.（－2mn3）2＝4m2n6 D.－2a5·a－3＝－2a2
5.一个多边形的内角和不可能是（ D ）
A.1800° B.540° C.720° D.810°
6.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB＝4，AC＝2.若△ACD的面积为3，则△ABD的面积为（ C ）
A.3 B.4 C.6 D.12
7.已知某班级第一次用160元购买奖品，第二次又用600元购买奖品，且第二次购买的奖品数量是第一次购买的奖品数量的3倍，但单价比第一次的单价多2元.设第一次购买奖品的单价是x元，则下面所列方程正确的是（ B ）
A.＝3× B.＝3×
C.3×＝ D.3×＝
8.如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，E为AD上一点，∠CED＝50°，则∠ABE的度数为（ C ）
A.10° B.15° C.20° D.25°
9.如图，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，ED⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，AB＝11，AC＝5，则BE的长为（ A ）
A.3 B.4 C.5 D.6
10.如图，在△ABC中，AB＝2AC，AD是∠BAC的平分线，延长AC至点E，使得CE＝AC，连接DE，BE.有下列结论：①BD＝ED；②BD＝2CD；③ED平分∠CEB；④S△ABD＝S△EBD.其中一定正确的结论有（ C ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题（每小题3分，共15分）
11.若分式有意义，则x的取值范围是 .
x≠5
12.如图，∠B＝∠C，要使△ABD≌△ACE，只需增加的一个条件是 .
BD＝CE（答案不唯一）
13.如图，在△ABC中，高AD，BE交于点H，且BH＝AC，则∠ABC的度数为
.45°
14.若关于x的方程＝2＋的解为非负数，则k的取值范围是 .
k≤5且k≠2
15.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，点D在边AB上运动（点D与点A，B不重合）.设∠ACD＝α，将△ACD沿CD翻折至△A'CD处，CA'与边AB相交于点E.若△A'DE是等腰三角形，则α的度数为 .
18°或36°
三、解答题（共9题，共75分）
16.（6分）（1）解方程：＝1－；
解：方程两边乘2（x＋1），得3＝2x＋2－2，解得x＝.
检验：当x＝时，2（x＋1）≠0，
∴原分式方程的解为x＝.
（2）计算：（＋a）÷.
解：原式＝·
＝－·
＝－.
17.（6分）先化简，再求值：[（x－3y）2－x（2x－4y）＋x2]÷（－2y），其中x＝1，y＝2.
解：原式＝（x2－6xy＋9y2－2x2＋4xy＋x2）÷（－2y）
＝（－2xy＋9y2）÷（－2y）
＝x－y.
当x＝1，y＝2时，原式＝1－×2＝1－9＝－8.
18.（6分）如图，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC，交AD于点E，∠C＝76°，∠BED＝66°，求∠BAC的度数.
解：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°.
∵∠BED＝66°，
∴∠DBE＝90°－∠BED＝24°.
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠DBE＝48°，
∴∠BAC＝180°－∠C－∠ABC＝56°.
19.（8分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°.
（1）尺规作图：作AB的垂直平分线DE，交AC于点D，交AB于点E；（不写作法，保留作图痕迹）
解：如图，直线DE即为所求.
（2）连接BD.求证：BD平分∠CBA.
证明：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A＝30°.
∵∠C＝90°，
∴∠ABC＝90°－∠A＝60°，
∴∠CBD＝∠ABC－∠ABD＝30°，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴BD平分∠CBA.
20.（8分）如图，点C在线段AB上，AD∥EB，AC＝BE，AD＝BC，CF⊥DE.
（1）求证：△ACD≌△BEC；
证明：∵AD∥EB，∴∠A＝∠B.
在△ACD和△BEC中，
∴△ACD≌△BEC（SAS）.
（2）若∠DCE＝110°，求∠DCF的度数.
解：由（1）知△ACD≌△BEC，
∴DC＝CE.
∵CF⊥DE，
∴∠DCF＝∠ECF＝∠DCE.
∵∠DCE＝110°，
∴∠DCF＝55°.
21.（8分）分解因式：x2－2xy＋y2－z2.
解：x2－2xy＋y2－z2＝（x－y）2－z2＝（x－y＋z）（x－y－z）.
根据上述因式分解的过程解答下列问题：
（1）分解因式：
①4x2－4xy＋y2－z2；
②1－m2－n2＋2mn；
解：①4x2－4xy＋y2－z2＝（2x－y）2－z2＝（2x－y＋z）（2x－y－z）.
②1－m2－n2＋2mn＝1－（m2－2mn＋n2）＝1－（m－n）2＝（1＋m－n）·（1－m＋n）.
（2）若a，b，c分别为△ABC的三边长，判断式子a2－2ab＋b2－c2的值的正负.
解：a2－2ab＋b2－c2＝（a－b）2－c2＝（a－b＋c）（a－b－c）.
∵a，b，c分别为△ABC的三边长，
∴a－b＋c＞0，a－b－c＜0，
∴（a－b＋c）（a－b－c）＜0，
即a2－2ab＋b2－c2的值为负.
22.（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点G，且AD＝AB.若∠EDF＝60°，其两边分别交边AB，AC于点E，F，连接BD.
（1）求证：△ABD是等边三角形；
证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠DAC＝∠BAC＝60°.
∵AD＝AB，∴△ABD是等边三角形.
（2）求证：BE＝AF.
证明：由（1）知△ABD是等边三角形，
∴∠DBE＝∠ADB＝60°＝∠EDF，BD＝AD，
∴∠ADB－∠ADE＝∠EDF－∠ADE，
即∠BDE＝∠ADF.
由（1）知∠DAF＝60°，∴∠DBE＝∠DAF.
在△BDE和△ADF中，
∴△BDE≌△ADF（ASA），∴BE＝AF.
23.（11分）假期里学校组织部分团员同学参加“关爱老年人”的爱心援助活动，计划分别乘大、小两辆车前往距离140km的乡村敬老院.
（1）若小车的速度是大车速度的1.4倍，且小车比大车早1h到达，求大、小车速度；
解：设大车的速度为xkm/h，则小车的速度为1.4xkm/h.
根据题意，得＋1＝，解得x＝40.
经检验，x＝40是原分式方程的解，且符合题意，
∴1.4x＝56.
答：大车的速度为40km/h，小车的速度为56km/h.
（2）若小车与大车同时以相同的速度出发，但行驶了60km后，小车上的同学发现有物品遗忘在学校，于是小车准备加速返回取物品，之后速度保持不变，要想与大车同时到达乡村敬老院，则小车应提速到原来的多少倍？
解：设小车原来的速度为akm/h，提速后的速度是原来的m倍，则提速后的速度为makm/h.
根据题意，得＝，解得m＝2.5.
经检验，m＝2.5是原分式方程的解，且符合题意.
答：小车应提速到原来的2.5倍.
24.（12分）分别以△ABC的AB，AC为边作△ABD和△ACE，且AE＝AB，AC＝AD，CE与BD相交于点M，∠EAB＝∠CAD＝α，连接BE，CD.
（1）如图1，若α＝40°，求∠EMB的度数；
解：（1）设AB，CE相交于点O.
∵∠EAB＝∠CAD＝α＝40°，
∴∠EAB＋∠BAC＝∠CAD＋∠BAC，即∠EAC＝∠BAD.
在△AEC和△ABD中，
∴△AEC≌△ABD（SAS），∴∠AEC＝∠ABD.
∵∠EOB＝∠AEC＋∠EAB＝∠ABD＋∠EMB，
∴∠EMB＝∠EAB＝40°.
（2）如图2，若G，H分别是EC，BD的中点，连接AH，GH，求∠AHG的度数；（用含α的式子表示）
解：连接AG.
由（1）知△AEC≌△ABD，∴EC＝BD，∠ACE＝∠ADB.
∵G，H分别是EC，BD的中点，∴DH＝CG.
在△ACG和△ADH中，
∴△ACG≌△ADH（SAS），
∴AG＝AH，∠CAG＝∠DAH，
∴∠AGH＝∠AHG，∠CAG－∠CAH＝∠DAH－∠CAH，
∴∠GAH＝∠CAD＝α，
∴∠AHG＝（180°－∠GAH）＝90°－α.
（3）如图3，连接AM，求∠AMC与α之间的数量关系.（用含α的式子表示）
解：过点A分别作AP⊥EC于点P，AN⊥BD于点N.
由（1）知△AEC≌△ABD，∴S△AEC＝S△ABD，EC＝BD，
∴EC·AP＝BD·AN，∴AP＝AN，
∴MA平分∠EMD，∴∠AME＝（180°－∠EMB）.
由（1）得∠EMB＝∠EAB＝α，∴∠AME＝90°－α，
∴∠AMC＝180°－∠AME＝90°＋α.
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2024秋八上数学期末模拟押题卷03
（满分：120分时间：120分钟）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1.下列图形中，不是轴对称图形的是（ C ）
2.空气中某种微粒的直径是0.000002967m.数据0.000002967用科学记数法可表示为（ D ）
A.2.967×105 B.2.967×106
C.2.967×10－5 D.2.967×10－6
3.分解因式x2y－9y的正确结果是（ A ）
A.y（x＋3）（x－3） B.y（x＋9）（x－9）
C.y（x2－9） D.y（x－3）2
4.下列计算错误的是（ B ）
A.a3b·ab2＝a4b3 B.x8÷x－4＝－x2
C.（－2mn3）2＝4m2n6 D.－2a5·a－3＝－2a2
5.一个多边形的内角和不可能是（ D ）
A.1800° B.540° C.720° D.810°
6.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB＝4，AC＝2.若△ACD的面积为3，则△ABD的面积为（ C ）
A.3 B.4 C.6 D.12
7.已知某班级第一次用160元购买奖品，第二次又用600元购买奖品，且第二次购买的奖品数量是第一次购买的奖品数量的3倍，但单价比第一次的单价多2元.设第一次购买奖品的单价是x元，则下面所列方程正确的是（ B ）
A.＝3× B.＝3×
C.3×＝ D.3×＝
8.如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，E为AD上一点，∠CED＝50°，则∠ABE的度数为（ C ）
A.10° B.15° C.20° D.25°
9.如图，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，ED⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，AB＝11，AC＝5，则BE的长为（ A ）
A.3 B.4 C.5 D.6
10.如图，在△ABC中，AB＝2AC，AD是∠BAC的平分线，延长AC至点E，使得CE＝AC，连接DE，BE.有下列结论：①BD＝ED；②BD＝2CD；③ED平分∠CEB；④S△ABD＝S△EBD.其中一定正确的结论有（ C ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题（每小题3分，共15分）
11.若分式有意义，则x的取值范围是 .
x≠5
12.如图，∠B＝∠C，要使△ABD≌△ACE，只需增加的一个条件是 .
BD＝CE（答案不唯一）
13.如图，在△ABC中，高AD，BE交于点H，且BH＝AC，则∠ABC的度数为
.45°
14.若关于x的方程＝2＋的解为非负数，则k的取值范围是 .
k≤5且k≠2
15.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，点D在边AB上运动（点D与点A，B不重合）.设∠ACD＝α，将△ACD沿CD翻折至△A'CD处，CA'与边AB相交于点E.若△A'DE是等腰三角形，则α的度数为 .
18°或36°
三、解答题（共9题，共75分）
16.（6分）（1）解方程：＝1－；
解：方程两边乘2（x＋1），得3＝2x＋2－2，解得x＝.
检验：当x＝时，2（x＋1）≠0，
∴原分式方程的解为x＝.
（2）计算：（＋a）÷.
解：原式＝·
＝－·
＝－.
17.（6分）先化简，再求值：[（x－3y）2－x（2x－4y）＋x2]÷（－2y），其中x＝1，y＝2.
解：原式＝（x2－6xy＋9y2－2x2＋4xy＋x2）÷（－2y）
＝（－2xy＋9y2）÷（－2y）
＝x－y.
当x＝1，y＝2时，原式＝1－×2＝1－9＝－8.
18.（6分）如图，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC，交AD于点E，∠C＝76°，∠BED＝66°，求∠BAC的度数.
解：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°.
∵∠BED＝66°，
∴∠DBE＝90°－∠BED＝24°.
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠DBE＝48°，
∴∠BAC＝180°－∠C－∠ABC＝56°.
19.（8分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°.
（1）尺规作图：作AB的垂直平分线DE，交AC于点D，交AB于点E；（不写作法，保留作图痕迹）
解：如图，直线DE即为所求.
（2）连接BD.求证：BD平分∠CBA.
证明：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A＝30°.
∵∠C＝90°，
∴∠ABC＝90°－∠A＝60°，
∴∠CBD＝∠ABC－∠ABD＝30°，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴BD平分∠CBA.
20.（8分）如图，点C在线段AB上，AD∥EB，AC＝BE，AD＝BC，CF⊥DE.
（1）求证：△ACD≌△BEC；
证明：∵AD∥EB，∴∠A＝∠B.
在△ACD和△BEC中，
∴△ACD≌△BEC（SAS）.
（2）若∠DCE＝110°，求∠DCF的度数.
解：由（1）知△ACD≌△BEC，
∴DC＝CE.
∵CF⊥DE，
∴∠DCF＝∠ECF＝∠DCE.
∵∠DCE＝110°，
∴∠DCF＝55°.
21.（8分）分解因式：x2－2xy＋y2－z2.
解：x2－2xy＋y2－z2＝（x－y）2－z2＝（x－y＋z）（x－y－z）.
根据上述因式分解的过程解答下列问题：
（1）分解因式：
①4x2－4xy＋y2－z2；
②1－m2－n2＋2mn；
解：①4x2－4xy＋y2－z2＝（2x－y）2－z2＝（2x－y＋z）（2x－y－z）.
②1－m2－n2＋2mn＝1－（m2－2mn＋n2）＝1－（m－n）2＝（1＋m－n）·（1－m＋n）.
（2）若a，b，c分别为△ABC的三边长，判断式子a2－2ab＋b2－c2的值的正负.
解：a2－2ab＋b2－c2＝（a－b）2－c2＝（a－b＋c）（a－b－c）.
∵a，b，c分别为△ABC的三边长，
∴a－b＋c＞0，a－b－c＜0，
∴（a－b＋c）（a－b－c）＜0，
即a2－2ab＋b2－c2的值为负.
22.（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点G，且AD＝AB.若∠EDF＝60°，其两边分别交边AB，AC于点E，F，连接BD.
（1）求证：△ABD是等边三角形；
证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠DAC＝∠BAC＝60°.
∵AD＝AB，∴△ABD是等边三角形.
（2）求证：BE＝AF.
证明：由（1）知△ABD是等边三角形，
∴∠DBE＝∠ADB＝60°＝∠EDF，BD＝AD，
∴∠ADB－∠ADE＝∠EDF－∠ADE，
即∠BDE＝∠ADF.
由（1）知∠DAF＝60°，∴∠DBE＝∠DAF.
在△BDE和△ADF中，
∴△BDE≌△ADF（ASA），∴BE＝AF.
23.（11分）假期里学校组织部分团员同学参加“关爱老年人”的爱心援助活动，计划分别乘大、小两辆车前往距离140km的乡村敬老院.
（1）若小车的速度是大车速度的1.4倍，且小车比大车早1h到达，求大、小车速度；
解：设大车的速度为xkm/h，则小车的速度为1.4xkm/h.
根据题意，得＋1＝，解得x＝40.
经检验，x＝40是原分式方程的解，且符合题意，
∴1.4x＝56.
答：大车的速度为40km/h，小车的速度为56km/h.
（2）若小车与大车同时以相同的速度出发，但行驶了60km后，小车上的同学发现有物品遗忘在学校，于是小车准备加速返回取物品，之后速度保持不变，要想与大车同时到达乡村敬老院，则小车应提速到原来的多少倍？
解：设小车原来的速度为akm/h，提速后的速度是原来的m倍，则提速后的速度为makm/h.
根据题意，得＝，解得m＝2.5.
经检验，m＝2.5是原分式方程的解，且符合题意.
答：小车应提速到原来的2.5倍.
24.（12分）分别以△ABC的AB，AC为边作△ABD和△ACE，且AE＝AB，AC＝AD，CE与BD相交于点M，∠EAB＝∠CAD＝α，连接BE，CD.
（1）如图1，若α＝40°，求∠EMB的度数；
解：（1）设AB，CE相交于点O.
∵∠EAB＝∠CAD＝α＝40°，
∴∠EAB＋∠BAC＝∠CAD＋∠BAC，即∠EAC＝∠BAD.
在△AEC和△ABD中，
∴△AEC≌△ABD（SAS），∴∠AEC＝∠ABD.
∵∠EOB＝∠AEC＋∠EAB＝∠ABD＋∠EMB，
∴∠EMB＝∠EAB＝40°.
（2）如图2，若G，H分别是EC，BD的中点，连接AH，GH，求∠AHG的度数；（用含α的式子表示）
解：连接AG.
由（1）知△AEC≌△ABD，∴EC＝BD，∠ACE＝∠ADB.
∵G，H分别是EC，BD的中点，∴DH＝CG.
在△ACG和△ADH中，
∴△ACG≌△ADH（SAS），
∴AG＝AH，∠CAG＝∠DAH，
∴∠AGH＝∠AHG，∠CAG－∠CAH＝∠DAH－∠CAH，
∴∠GAH＝∠CAD＝α，
∴∠AHG＝（180°－∠GAH）＝90°－α.
（3）如图3，连接AM，求∠AMC与α之间的数量关系.（用含α的式子表示）
解：过点A分别作AP⊥EC于点P，AN⊥BD于点N.
由（1）知△AEC≌△ABD，∴S△AEC＝S△ABD，EC＝BD，
∴EC·AP＝BD·AN，∴AP＝AN，
∴MA平分∠EMD，∴∠AME＝（180°－∠EMB）.
由（1）得∠EMB＝∠EAB＝α，∴∠AME＝90°－α，
∴∠AMC＝180°－∠AME＝90°＋α.
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