北京市平谷区第五中学2024-2025学年高二上学期期中数学试卷（PDF版，含答案）

北京市平谷区第五中学 2024-2025 学年高二上学期期中数学试卷
一、单选题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.已知集合 = { | > 1}， = { 2, 1,0,1,2}，则 ∩ =( )
A. { 2,2} B. { 1,0,1} C. {2} D. { 2, 1,1,2}
2.已知 = (0, 1,1)， = (1,2, 1)，则 与 的夹角为( )
A. 30° B. 60° C. 150° D. 120°
3.下列命题中，正确的是( )
A. 若 ≠ ，则| | ≠ | | B. 若| | > | |，则 >
C. 若 = ，则| | = | | D. 若| | = | |，则 =
4.从甲、乙、丙、丁四人任选两人参加问卷调查，则甲被选中的概率是( )
1 1 2 3
A. B. C. D.
2 3 3 4
5.为深入贯彻落实《国务院办公厅关于强化学校体育促进学生身心健康全面发展的意见》，我市提出：到
2020年，全市义务教育阶段学生体质健康合格率达到98%，基础教育阶段学生优秀率达到15%以上.某学校
现有小学和初中学生共2000人，为了解学生的体质健康合格情况，决定采用分层抽样的方法从全校学生中
抽取一个容量为400的样本，其中被抽到的初中学生人数为180，那么这所学校的初中学生人数为( )
A. 800 B. 900 C. 1000 D. 1100
6.已知两条不同的直线 ， ，两个不同的平面 ， ，则下列说法正确的是( )
A. 若 // ， ， ，则 //
B. 若 ⊥ ， ⊥ ，则 //
C. 若 ⊥ ， ∩ = ， ⊥ ，则 ⊥
D. 若 ∩ = ， ， // ，则 //
7.甲、乙两人射击，甲的命中率为0.6，乙的命中率为0.5，如果甲、乙两人各射击一次，恰有一人命中的概
率为( )
A. 0.3 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.6
8.如图，正方体 1 1 1 1的棱长为1， ， 分别为棱 ， 1 1上的动
点，那么三棱锥 的体积为( )
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1
A.
6
1
B.
3
1
C.
2
2
D.
3
9.有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事
件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的
球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则( )
A. 甲与丙相互独立 B. 甲与丁相互独立 C. 乙与丙相互独立 D. 丙与丁相互独立
10.正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只
由一种正多边形构成的多面体(各面都是全等的正多边形).数学家已经证明
世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十
二面体、正二十面体.如图，已知一个正八面体 的棱长为2， ， 分
别为棱 ， 的中点，则直线 和 夹角的余弦值为( )
5
A.
6
√ 11
B.
6
√ 21
C.
6
√ 15
D.
6
二、填空题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。
11.函数 ( ) = √ + 3的定义域为______．
12.复数 = 1 2 (其中 为虚数单位)的虚部为______．
13.已知空间向量 = (2, 1,3)， = ( 4,2, )，且 与 是共线向量，则实数 的值为______．
14.正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，则其体积为______．
15.若 ， 是两条不同的直线， ， 是两个不同平面， ， .则“ // ”是“ // ”的______条
件．
16.某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习
时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组为[17.5,20)，[20,22.5)，[22.5,25)，[25,27.5)，[27.5,30].根据直方图，
这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是______．
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2
17.已知实验女排和育才女排两队进行比赛，在一局比赛中实验女排获胜的概率是 ，没有平局．若采用三
3
局两胜制，即先胜两局者获胜且比赛结束，则实验女排获胜的概率为______．
18.如图，在棱长为1的正方体 1 1 1 1中， 为棱 上的动点且
不与 重合， 为线段 1 的中点.给出下列四个命题：
1
①三棱锥 1 的体积为 ； 2
② 1 ⊥ 1 ；
③ △ 的面积为定值；
④四棱锥 1 1是正四棱锥．
其中所有正确命题的序号是 ．
三、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题12分)
如图，在四棱锥 中，底面 是菱形， ⊥平面 ， 为 的中点．
(Ⅰ)求证： ⊥平面 ；
(Ⅱ)求证： //平面 ．
20.(本小题12分)
如图，三棱锥 中， = = = = 1，平面 ⊥平面 ，点 是棱 的中点，再从条件
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①、条件②这两个条件中选择一个作为已知．
(1)求平面 与平面 的夹角的余弦值．
(2)求点 到面 的距离．
√ 6
条件①： = ；
2
条件②：直线 与平面 所成角为45°．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
21.(本小题12分)
如图，四棱锥 的底面是直角梯形， ⊥ ， // ， ⊥平面 ， 是 的中点， 与
平面 交于点 ， = = = 2 = 2，
(Ⅰ)求证： 是 的中点；
4
(Ⅱ)若 为棱 上一点，且直线 与平面 所成的角的正弦值为 ，求 的值．
5
22.(本小题12分)
某球员在8场篮球比赛的投篮情况如下(假设各场比赛互相独立)：
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场次 投篮次数 命中次数 场次 投篮次数 命中次数
主场1 22 14 客场1 18 6
主场2 15 12 客场2 13 5
主场3 22 8 客场3 21 7
主场4 23 17 客场4 18 15
(Ⅰ)从上述比赛中随机选择一场，求该球员在本场比赛中投篮命中率超过0.5的概率；
(Ⅱ)从上述比赛中选择一个主场和一个客场，求该球员的投篮命中率一场超过0.5，另一场不超过0.5的概率；

(Ⅲ)记 是表中8场命中率的平均数， 1是表中4个主场命中率的平均数， 1是表中4个客场命中率的平均数，

比较 , 1, 2的大小. (只需写出结论)
23.(本小题12分)
手机完全充满电量，在开机不使用的状态下，电池靠自身消耗一直到出现低电量警告之间所能维持的时间
称为手机的待机时间.为了解 ， 两个不同型号手机的待机时间，现从某卖场库存手机中随机抽取 ， 两个
型号的手机各5台，在相同条件下进行测试，统计结果如下：
手机编号 1 2 3 4 5
型待机时间( ) 120 125 122 124 124
型待机时间( ) 118 123 127 120
已知 ， 两个型号被测试手机待机时间的平均值相等．
(1)求 的值；
(2)从被测试的手机中随机抽取 ， 型号手机各1台，求至少有1台的待机时间超过122小时的概率．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】[ 3,+∞)
12.【答案】 2
13.【答案】 6
16
14.【答案】
3
15.【答案】既不充分也不必要
16.【答案】140
20
17.【答案】
27
18.【答案】②③④
19.【答案】证明：(Ⅰ)因为底面 是菱形，所以 ⊥ ，
又因为 ⊥平面 ， 平面 ，
所以 ⊥ ，而 ∩ = ，
可证得： ⊥平面 ；
(Ⅱ)设 ∩ = ，连接 ，因为底面 是菱形，
所以 为 的中点， 为 的中点，所以 为△ 的中位线，
所以 // ，
又因为 平面 ， 平面 ，
可证得： //平面 ．
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20.【答案】解：(1)取 中点为 ，连接 ， ，
因为 = = ，所以△ 是等边三角形，则 ⊥ ，
又平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，因为 平面 ，则 ⊥ ．
若选条件①：因为 √ 6 √ 3 √ 3 = ， = ，结合 ⊥ ，可得 = ．
2 2 2
1
又因为 = , = 1，则△ 是以∠ 为90 ，∠ 为60 的直角三角形．
2
若选条件②：因为 ⊥平面 ，所以∠ 即为直线 与平面 所成角，
因为∠ = 45°，则△ 为等腰直角三角形，因为 √ 3 = ，可得
√ 3
= ，
2 2
1
又因为 = , = 1，则△ 是以∠ 为90 ，∠ 为60 的直角三角形．
2
即 ⊥ ， ⊥ ，△ 是等边三角形．
如图延长 ，建立以 为原点的空间直角坐标系．
则 1 1 √ 3 √ 3 1 √ 3 ( , 0,0), ( , 0,0), (0, , 0), (0,0, ), ( , 0, )．
2 2 2 2 4 4
1 √ 3 3 √ 3所以 = ( , , 0), = ( , 0, )，
2 2 4 4
设平面 法向量为 1 = ( 1, 1 , 1)，则 1 ⊥ ， 1 ⊥ ，
1 √ 3
1 = 1 = 02 2 1
所以{ ，取 1 = (√ 3, 1,3)． 3 √ 3
1 = + = 04 1 4 1
由题知，平面 的一个法向量为 2 = (0,0,1)，
设平面 与平面 的夹角为 ，
1 2 3 3√ 13则 = | | = | | = ；
| 1 | | 2 | √ 13 13
(2)由(1)可得 1 √ 3 1 √ 3 = ( , , 0), = ( , 0, )，
2 2 2 2
设平面 法向量为 3 = ( 3 , 3 , 3)，则 3 ⊥ ， 3 ⊥ ，
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1 √ 3
3 = 3 3 = 0
所以{
2 2
，取 3 = (√ 3, 1,1)， 1 √ 3
3 = 2 3 + 2 3 = 0
又
3 √ 3
= ( , 0, )，
4 4
|
√ 3
| |
则求点 到面 的距离 | √ 15 = 3 = 2 = ．
| 3 | √ 5 10
21.【答案】解：(Ⅰ)证明：∵ // ， 平面 ， 平面 ，
∴ //平面 ，
∵ 平面 ，平面 ∩平面 = ，
∴ // ，∴ // ，
∵点 是 的中点，∴点 是 的中点．
(Ⅱ) ∵ ⊥平面 ， ， 平面 ，
∴ ⊥ ， ⊥ ，由 ⊥ ，建立如图所示的空间直角坐标系 ，
则 (1,0,0)， (2,2,0)， (0,2,0)， (0,0,2)， (1,1,1)， (0,1,1)，
= ( 1,0,0)， = (0,0, 2)， = ( 1, 1,1)， = (1,0, 2)，
设 = = (0,0, 2 )，0 ≤ ≤ 1，
∴ = + = ( 1, 1,1 2 )，
设平面 的一个法向量 = ( , , )，
= = 0
则{ ，取 = 1，得 = (0,1 2 , 1)，
= + (1 2 ) = 0

2
∴ cos < , >= =
| | | | 2 ，
√ 5 √ (1 2 ) +1
设直线 与平面 所成角为 ，
2 4
则 = |cos < ,
> | = =
2 5，
√ 5 √ (1 2 ) +1
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1 3
解得 = 或 = ，
4 4
1 3
∴ 的值为 或 ．
4 4
22.【答案】解：(Ⅰ)有题意可知在8场比赛中，该球员投篮命中率超过0.5的有4场，
分别是主场1，主场2，主场4，客场4．
4
所以在随机选择的一场比赛中，该球员投篮命中率超过0.5的概率为 = 0.5；
8
(Ⅱ)设事件 为“在随机选择的一场主场比赛中，该球员的投篮命中率超过0.5”，
事件 为“在随机选择的一场客场比赛中，该球员的投篮命中率超过0.5”
事件 为“在随机选择的一个主场和一个客场中，该球员的投篮命中率一场超过0.5，一场不超过0.5”．

则 = + , , 相互独立．
3 1 1 3
由题意可知 ( ) = ， ( ) = ， ( ) = ， ( ) = ，
4 4 4 4
3 3 1 1 5
故 ( ) = × + × = ；
4 4 4 4 8

(Ⅲ)由于主场命中的次数更多，所以 1 > > 2．
23.【答案】解：(1)现从某卖场库存手机中随机抽取 ， 两个型号的手机各5台，在相同条件下进行测试，
2+3+7+0+( 120) 0+5+2+4+4
依题意， = 120 + ， = 120+ = 123( )， 5 5

由 = ，解得 = 127，所以 的值127．
(2)设 型号手机为 1， 2， 3， 4， 5， 型号手机为 1， 2， 3， 4， 5，“至少有1台的待机时间超
过122小时”为事件 ，
从被测试的手机中随机抽取 ， 型号手机各1台，不同的抽取方法有25种，
抽取的两台手机待机时间都不超过122小时的选法有： 1 1， 1 4， 3 1， 3 4，共4种，
4 21
因此 ( ) = ， ( ) = 1 ( ) = ，
25 25
21
所以至少有1台的待机时间超过122小时的概率是 ．
25
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