河北省张家口市尚义一中等校2024-2025学年高二上学期12月月考数学试卷（PDF版，含答案）

河北省张家口市尚义一中等校 2024-2025 学年高二上学期 12 月月考数
学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.抛物线 = 4 2的焦点坐标是( )
1 1
A. (0,1) B. (1,0) C. (0, ) D. ( , 0)
16 16
2 2 15
2.若双曲线 ： = 1的左、右焦点分别为 1， 2，点 在双曲线 上，且| 1| = ，则| 2| =( ) 9 16 2
27 3 27 3 1
A. 或 B. C. D.
2 2 2 2 2
5
3.已知点(2,1)在圆 ： 2 + 2 2 + = 0外，则实数 的取值范围为( )
4
A. { | > 4} B. { | > 4}
C. { | 4 < < 1或 > 4} D. { | 4 < < 1或 > 4}
4.如图，在直三棱柱 1 1 1中， = = 1， 1 = 2且 ⊥ ，则 1
1 =( )
A. 2
B. 4
1
C.
2
1
D.
4
5.直线 经过抛物线 2 = 8 的焦点 ，且与抛物线交于 ， 两点.若| | = 3| |，
则| | =( )
16
A.
3
B. 6
32
C.
3
9
D.
2
6.已知圆( + 2)2 + ( 1)2 = 1上一点 到直线3 + 4 5 = 0的距离为 ，则 的最小值为( )
2 3 4
A. B. C. D. 1
5 5 5
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2 2
7.如图所示，某拱桥的截面图可以看作双曲线 = 1的图象的一部分，当拱顶
9
到水面的距离为3米时，水面宽 为4√ 3米，则当水面宽度为4√ 6米时，拱顶
到水面的距离为( )
A. 3米
B. (6√ 2 3)米
C. (2√ 6 3)米
D. (3√ 7 3)米
8.画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔 蒙日发现：过椭圆外一点作椭圆的两条互相垂直的切线，那
2
么这一点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，这个圆被称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆 ： + 2 = 1的蒙日圆
3
为圆 1，若圆 1不透明，则一束光线从点 ( 3, )出发，经 轴反射到圆 1上的最大路程为3时， 的值为( )
A. ±2 B. ±3 C. 2 D. 3
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知抛物线 过点 (2, 4)，则( )
A. 抛物线 的标准方程可能为 2 = 8
B. 抛物线 的标准方程可能为 2 =
C. 过点 与抛物线只有一个公共点的直线有一条
D. 过点 与抛物线只有一个公共点的直线有两条
2 2
10.已知椭圆 ： + = 1的左、右焦点分别为
4 3 1
， 2，过 2的直线 交椭圆 于 ， 两点(不同于左、右顶
点)，则下列说法正确的是( )
A. 当直线 与 轴垂直时，| | = 3 B. △ 1的周长为3√ 2

C. | 1|| 2|的最大值为4 D. △ 1 2的内切圆的面积的最大值为 3
2 2 2 2
11.已知 1， 2是椭圆 2 + 2 = 1( 1 > 1 > 0)和双曲线 2 2 = 1( 2 > 0, 2 > 0)的公共焦点， 是它们在 1 1 2 2
第一象限的交点，设∠ 1 2 = ， 1， 2分别为椭圆和双曲线的离心率，则以下结论正确的是( )
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A. 21
2 = 2 21 2 2 B. 当 = 时，
2 2
1 = 3 2 3
1 1
C. 若 = 60°，则
2
+ 2 = 4 D. △ 1 2的面积为 1 2
1 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.若直线2 + + 1 = 0与直线(3 ) ( 2) + 3 = 0垂直，则实数 = ______．
13.在长方体 1 1 1 1中， = = 2， 1 = 6，点 为长方体的底面
的中心，点 为棱 1的中点，则平面 1 与平面 夹角的余弦值为______．
2 2
14.已知双曲线 2 2 = 1( > 0, > 0)的两个焦点分别为 1( , 0)， 2( , 0)，
> 0，以 1 2为直径的圆与双曲线在第四象限的交点为 ，若直线 1与圆 ：(
2

)2 + 2 = 相切，则| 2| = ______(用含 ， 的式子表示)，双曲线的离心率是
3 9
______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知圆 ： 2 + 2 + 2 + 20 = 0，圆 上存在关于直线 1 = 0对称的两点．
(1)求圆 的标准方程；
(2)过点 ( 4,4)的直线 被圆 截得的弦长为8，求直线 的方程．
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16.(本小题15分)
如图，已知 ⊥平面 ，底面 为矩形， = = 6， = 4， ， 分别为 ， 的中点．
(1)求证： ⊥平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值．
17.(本小题15分)
椭圆 的中心在坐标原点 ，焦点在 轴上，椭圆 经过点(0,1)，过椭圆右焦点垂直于长轴的弦长为√ 2．
(1)求椭圆 的标准方程；
2√ 10
(2)设 为椭圆 的右焦点，过点 的直线 交椭圆 于 ， 两点，若△ ( 为坐标原点)的面积为 ，求
9
直线 的方程．
18.(本小题17分)
22
2
若抛物线 ： = 2 的焦点与椭圆 + = 1的右焦点重合．
4 3
(1)求抛物线 的方程；
(2)已知点 (6, 12)，在曲线 上是否存在一点 ，使点 到点 的距离与点 到 轴的距离之和取得最小值？
若存在点 ，求出点 的坐标以及| | + | |的最小值．
19.(本小题17分)
2 2
在平面直角坐标系 中，已知双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的实轴长为4，离心率为2．
(1)求双曲线 的方程；
(2)若 ， 为双曲线的左、右顶点， 为双曲线的右焦点，直线 过 且与双曲线 的右支交于 ， 两点， ，
分别交直线 = 1于 ， 两点．
( )若直线 的斜率存在，证明 为定值；
( )若 ( , 0)为 轴上一动点，当直线 的倾斜角变化时，若∠ 为钝角，求 的取值范围．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
8
12.【答案】
3
√ 94
13.【答案】
47
14.【答案】 √ 5
15.【答案】解：(1)圆 ： 2 + 2 + 2 + 20 = 0，圆 上存在关于直线 1 = 0对称的两点，
可得圆心 在直线 1 = 0，

而圆心 ( 1, )，所以 1 ( ) 1 = 0，解得 = 4，
2 2
所以圆 的标准方程为( + 1)2 + ( + 2)2 = 25；
(2)将点 ( 4,4)代入圆的方程可得：( 4 + 1)2 + (4 + 2)2 > 25，即点 在圆 外部，
当斜率不存在时，设直线 的方程为 = 4，则圆心 到直线的距离 = | 1 ( 4)| = 3，
此时弦长为2√ 2 2 = 2√ 25 9 = 8，显然符合条件，
当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为： 4 = ( + 4)，
即 + 4 + 4 = 0，
设圆心 到直线的距离为 ，由弦长公式可得2√ 2 2 = 2√ 25 2 = 8，
可得 = 3，
| +2+4 +4|
而圆心到直线的距离 = = 3，
√ 2 +1
3 3
解得 = ，此时直线 的方程为 4 = ( + 4)，
4 4
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即3 + 4 4 = 0，
综上所述：满足条件的直线 的方程为 = 4或3 + 4 4 = 0．
16.【答案】(1)证明：以 为原点建立如图所示的空间直角坐
标系，
则 (0,0,6)， (4,6,0)， (0,6,0)， (2,0,0)， (2,3,3)，
所以 = (0,3,3)， = (4,0,0)， = (0, 6,6)，
设平面 的法向量为 = ( , , )，则
= 4 = 0
{ ，
= 6 + 6 = 0
令 = 1，则 = 0， = 1，所以 = (0,1,1)，
所以 // ，
所以 ⊥平面 ．
(2)解： (4,0,0)，
所以 = (4,0, 6)， = ( 2,0,6)， = (2,6,0)，

设平面 的法向量为 = ( , , )，则{ = 2 + 6 = 0，
= 2 + 6 = 0
取 = 3，则 = 1， = 1，所以 = (3, 1,1)，
设直线 与平面 所成角为 ，
| | |12 6| 3√ 143
则 = |cos < ， > | = = = ，
| | | | √ 16+36×√ 11 143
故直线 与平面 所成角的正弦值为3√ 143．
143
2 2
17.【答案】解：(1)由题意可设椭圆方程为 2 + 2 = 1( > > 0)，
因为椭圆 经过点(0,1)，故 = 1，
1
√ 2 2
由题意可知，( , )在椭圆上，则 2 +
2
2 = 1， 2
2 1
于是 2 + = 1，又
2 = 2 + 2 = 1 + 2，
2
所以可得 = √ 2， = 1，
2
故椭圆 的标准方程为 + 2 = 1．
2
(2)椭圆 的右焦点 的坐标为(1,0)，
设直线 的方程为 = + 1， ( 1, 1)， ( 2, 2)，
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2 2
由{ + = 12 ，得( 2 + 2) 2 + 2 1 = 0，
= + 1
可得 = 4 2 + 4( 2 + 2) = 8( 2 + 1) > 0，
2 1
所以 1 + 2 = 2
，
+2 1
2 = 2 ， +2
1 1
所以△ 的面积 = | || 2 1| = √ ( 22 2 2
+ 1) 4 2 1
1 2 2 4 √ 2
√ 2+1
= √ ( 2 ) + 2 = ， 2 +2 +2 2+2
2√ 10 √ 2√ 2+1 2√ 10 1
因为△ 的面积为 ，所以 2 = ，解得 = ± ， 9 +2 9 2
所以直线 的方程为2 + 2 = 0或2 2 = 0．
2 2
18.【答案】解：(1)由椭圆 + = 1的方程可得右焦点(1,0)，
4 3

由题意可得 = 1，解得 = 2，
2
所以抛物线 的方程为： 2 = 4 ；
(2)由(1)可得抛物线的准线方程为 = 1， (6, 12)，
因为( 12)2 > 4 × 6，即点 在抛物线外部，
因为点 到点 的距离与点 到 轴的距离之和取得最小值，
即最小值等于点 到点 与到焦点 的距离减去 的值，且点 在 ， 之间，
12 12
因为直线 的斜率 = = ，
6 1 5
12
可得直线 的方程为： + 12 = ( 6)，
5
5 5
即 = + 1，代入抛物线 的方程可得 2 + 4( 1) = 0，
12 12
4
即3 2 + 5 12 = 0，解得 = (舍)或 = 2，
3
5 11
可得 = × ( 2) + 1 = ，
12 6
11
可得点 ( , 2)；
6
此时| | + | | ≥ | |，即三点共线时取等号，
此时| | = √ (6 1)2 + ( 12 0)2 = 13．
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2 = 4 = 2

19.【答案】(1)解：由题意知{ = 2 ，解得{ = 2√ 3，
2 = 2 2 = 4
2 2
所以双曲线 的方程为 = 1．
4 12
√ 3
(2)由题意知直线 的斜率不可能为0，设其方程为 = + 4， ≠ ± ， ( 1, 1)， ( 2, 2)， 3
= + 4
联立{ 2 2 ，得(3
2 1) 2 + 24 + 36 = 0，
3 = 12
24 36
所以 1 + 2 = 3 2
， 1 2 = ， 1 3 2 1
8
所以 1 + 2 = (
2
1 + 2) + 8 = ， = ( + 4)( + 4) = + 4 ( + ) + 16 =3 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2
12 2 16
3 2
，
1
( )证明：若直线 的斜率存在，则 ≠ 0，

因为 ( 2,0)，所以直线 的方程为 = 1 ( + 2)，直线 的方程为 = 2 ( + 2)，
1+2 2+2
3 3
令 = 1，可得 (1, 1 )， (1, 2 )，
1+2 2+2
36
3 3 9 9 2 9 36所以 = (1, 1 ) (1, 2 ) = 1 + 1 2 = 1 + 3 12 = 1 + = 8， 1+2 2+2 ( 1+2)( 2+2) 12 16 8+2 +4 36
3 2 1 3 2 1
故 为定值．
3 3 9
( )解：由( )知 (1, 1 )， (1, 2 )，且 1 2 = 9，
1+2 2+2 ( 1+2)( 2+2)
因为 ( , 0)，
所以
3 3
= (1 , 1 )， = (1 , 2 )，
1+2 2+2
2 3 1 3 所以 = (1 ) + × 2 = (1 )2 9，
1+2 2+2
因为∠ 为钝角，且 ， ， 三点不可能共线，
所以 < 0，即(1 )2 9 < 0，解得 2 < < 4，
故 的取值范围为( 2,4)．
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