江西省上饶市弋阳县第一中学2024-2025学年高一上学期12月月考数学试卷（PDF版，含答案）

江西省弋阳县第一中学 2024-2025 学年高一上学期 12 月月考数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { | 2 6 < 0}， = { | = log2( + 1)}，则 ∩ =( )
A. ( 3, +∞) B. ( 2, +∞) C. ( 1,2) D. ( 1,3)
2.如果对于任意实数 ，[ ]表示不超过 的最大整数，例如[3.1] = 3，[ 2.1] = 3，那么“| | < 1”是
“[ ] = [ ]”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.若命题：“ 0 ∈ ，使得4
2
0 + 4 0 3 ≥ 0成立”是假命题，则实数 的取值范围是( )
A. 3 < < 0 B. > 0或 < 3
C. 3 < ≤ 0 D. ≥ 0或 < 3
2
4.函数 ( ) = 的部分图象大致为( )
ln| |+1
A. B. C. D.
5.已知函数 = ( )在区间[0, +∞)单调递增，且 ( ) = ( )，则( )
1 1
A. ( 2) > ( 2 ) > ( 1 ) B. ( 2) > ( 1 ) > ( 2 ) 3 3
2 2
1 1
C. ( 2 ) > ( 2) > ( 1 ) D. ( 1 ) > ( ) > ( 2) 3 3 2
2 2
6.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速 (单位： / )可以表示
1
为 = 3 ，其中 表示鲑鱼的耗氧量的单位数.若一条鲑鱼游速为2 / 时耗氧量的单位数为 ，那么2 100
当耗氧量的单位数为81 时，鲑鱼的游速为( ) / ．
A. 3 / B. 4 / C. 5 / D. 6 /
2
7.已知幂函数 ( ) = ( 1)2 4 +2在(0, +∞)上单调递增，函数 ( ) = 2 ， 1 ∈ [1,6)时，总存在
2 ∈ [1,6)使得 ( 1) = ( 2)，则 的取值范围是( )
A. B. ≥ 28或 ≤ 1 C. > 28或 < 1 D. 1 ≤ ≤ 28
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√ 2
8.设函数 ( )的定义域为 ，且 ( ) = 2 ( + 1)，当 ∈ (0,1]时 ( ) = 2 ，若 ( ) ≤ ，则 的取值范围
8
是( )
7 9
A. [ , +∞) B. [ , +∞)
2 2
7 7
C. (3, ] ∪ (4, +∞) D. ( ∞, ] ∪ (4,+∞)
2 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某同学求函数 ( ) = + 2 6的零点时，用计算器算得部分函数值如表所示：
(2) ≈ 1.307 (3) ≈ 1.099 (2.5) ≈ 0.084
(2.75) ≈ 0.512 (2.625) ≈ 0.215 (2.5625) ≈ 0.066
则方程 + 2 6 = 0的近似解(精确度0.1)可取为( )
A. 2.62 B. 2.56 C. 2.531 D. 2.75
4
10.已知函数 ( ) = + , ( ) = (2 2)，则 ( )( )

A. 在( 1,0)上单调递减 B. 在(0,1)上单调递减
C. 在( ∞, 2)上单调递增 D. 在(2, +∞)上单调递增
11.函数 ( ) = log( 1) + 1过定点 ，若 ∈ {( , )| + 2 = 2}， > 0， > 0}，则下列结论正确的
是( )
1 2
A. + 2 = 2 B. + 的最小值为1 + 2√ 2

C. 3 + 3 最小值为2√ 3 D. log2 + log2 最小值为 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.函数 ( ) = √ 2 2 3的零点为______．
13.方程 2 ( 1) + 1 = 0在区间(0,1)内有两个不同的根，则 的取值范围为______．
14.已知函数 ( ) = 0.5 + 0.5，若 ( ) = 3，则 ( 2) + ( 4) = ______，若关于 的不等式 ( 2)
( 4
1
) 11 ≤ 0在区间[ , 3]上有解，则实数 的取值范围是______．
2
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题15分)
5 +3
已知集合 = { | ≤ 1}，集合 = { | 2 2 + 2 1 ≤ 0, ∈ }．
2 3
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(1)求集合 ；
(2)若 ∈ 是 ∈ 的必要条件，求实数 的取值范围．
16.(本小题15分)
中国芯片产业崛起，出口额增长迅猛，展现强劲实力和竞争力.中国自主创新，多项技术取得突破，全球布
局加速.现有某芯片公司为了提高生产效率，决定投入160万元买一套生产设备.预计使用该设备后，前 ( ∈
)年的支出成本为(10 2 2 )万元，每年的销售收入98万元.使用若干年后对该设备处理的方案有两种，
方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理；方案二：当年平均盈利额达到最大值时，
总盐剩额
该设备以30万元的价格处理，哪种方案较为合理？并说明理由. (注：年平均盈利额= )
年度
17.(本小题15分)
1
已知函数 ( ) = log + ( > 0且 ≠ 1)的图象经过点(2,0)和( , 2)． 2
(1)求 ( )的解析式；
(2)若[ ( )]2 2 ( ) 3 = 0，求实数 的值．
18.(本小题15分)
+ 1
已知定义在( 2,2)上的函数 ( ) = 2图象关于原点对称，且 ( 1) = ． 4 3
(1)求 ( )的解析式；
(2)判断并用定义证明 ( )的单调性；
(3)解不等式 (2 + 1) + ( 2) > 0．
19.(本小题17分)
对于四个正数 ， ， ， ，如果 < ，那么称( , )是( , )的“下位序列”．
(1)对于2，3，7，11，试求(2,7)的“下位序列”；
+
(2)设 ， ， ， 均为正数，且( , )是( , )的“下位序列”，试判断： , , 之间的大小关系，并证明你
+
的结论；
(3)设正整数 满足条件：对集合{ |0 < < 2024}内的每个 ∈ ，总存在正整数 ，使得( , 2024)是( , )
的“下位序列”，且( , )是( + 1,2025)的“下位序列”，求正整数 的最小值．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】3， 1
13.【答案】(3 + 2√ 2, +∞)
13
14.【答案】54 ( ∞, ]
2
5 +3 5 +3 2 +3
15.【答案】解：(1)因为 ≤ 1可得 ≤ 0，
2 3 2 3
(3 + 6) (2 3) ≤ 0 3 3
所以{ ，解得 2 ≤ < ，所以 = { | 2 ≤ < }．
2 3 ≠ 0 2 2
(2)若 ∈ 是 ∈ 的必要条件，所以 ，
3
因为 = { | 2 2 + 2 1 ≤ 0} = [ 1, + 1]， = { | 2 ≤ < }，
2
3
所以{ + 1 <
1
2 ，解得 1 ≤ < ，
1 ≥ 2 2
1
所以 的范围为[ 1, ).
2
16.【答案】解：现有某芯片公司为了提高生产效率，决定投入160万元买一套生产设备，
预计使用该设备后，前 ( ∈ )年的支出成本为(10 2 2 )万元，每年的销售收入98万元，
使用若干年后对该设备处理的方案有两种，
方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理，
方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以30万元的价格处理；
方案二更合理，理由如下：
设 ( )为前 年的总盈利额，单位：万元，
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由题意可得 ( ) = 98 (10 2 2 ) 160 = 10 2 + 100 160，
方案一：总盈利额 ( ) = 10 2 + 100 160 = 10( 5)2 + 90，
当 = 5时， ( )取得最大值90；此时处理掉设备，则总利额为90 + 20 = 110万元；
( ) 10 2+100 160 16 16
方案二：平均盈利额为 = = 10( + ) + 100 ≤ 100 20√ = 20，

16
当且仅当 = ，即 = 4时，等号成立，即 = 4时，平均盈利额最大，此时 ( ) = 80，

此时处理掉设备：总利润为80 + 30 = 110万元；
综上，两种方案获利都是110万元，但方案二仅需要4年即可，故方案二更合适．
1 1
17.【答案】解：(1)由题可知： (2) = log 2 + = 0与 ( ) = log + = 2， 2 2
解得： = 2， = 1，
所以 ( ) = log2 1， > 0；
(2)由[ ( )]2 2 ( ) 3 = 0可知 ( ) = 1或 ( ) = 3，
又由(1)可知log2 1 = 1或log2 1 = 3，
解得： = 1或 = 16．
+
18.【答案】解：(1) ∵定义在( 2,2)上的函数 ( ) = 图象关于原点对称，
4 2
∴ ( )为( 2,2)上的奇函数，
×0+
∴ (0) = = 0，解得 = 0；
4 0

∴ ( ) = ，
4 2
1
又 ( 1) = 2 = ，故 = 1，
4 ( 1) 3

∴ ( ) = 2，满足 ( ) = 2 = ( )，故 ( )关于原点对称， 4 4

即 ( ) = 2； 4
(2) ( )在( 2,2)上单调递减；证明如下：
令 2 < 1 < 2 < 2，
则4 + 1 2 > 0， 1 2 < 0，(4
2
1)(4
2
2) > 0，
4 2 4 + 2
∴ ( ) ( ) = 1 2 = 1 1 2 2 2
1
1 2 4 2 4 2 (4 2)(4 2
1 2 1 2)
4( 1 2)+ 1 2( 1 2) (4+ 1 2)( 1 = = 2
)
< 0，
(4 21)(4
2
2) (4
2
1)(4
2
2)
∴ ( 1) < ( 2)，即 ( )在( 2,2)上单调递减；
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(3)由题意可得 ( )为奇函数，则有 (2 + 1) > ( 2) = (2 )，
又 ( )在( 2,2)上单调递减，
2 + 1 < 2
则有{
1
2 < 2 + 1 < 2，解得0 < < ，
3
2 < 2 < 2
1
∴解不等式 (2 + 1) + ( 2) > 0的解集为(0, ).
3
19.【答案】解：(1)根据题意，对于2，3，7，11，若 = 2， = 7，
由于7 < 2 ，此时 = 3， = 11，
故(2,7)的“下位序列”为(3,11)．
(2)根据题意，设 ， ， ， 均为正数，且( , )是( , )的“下位序列”，

则有 < ，变形可得 < ，

1 + 3 2
取 = 1， = 2， = 2， = 3，则 = < = < = ，
2 + 5 3
+
猜想 < < ，
+
+ ( + ) ( + ) +
先证左边 = = < 0，则 < ，
+ ( + ) ( + ) +
+ ( + ) ( + ) +
再证右边 = = > 0，则 < ，
+ ( + ) ( + ) +
+
综上 < < ；
+
(3)根据题意，若存在正整数 ，使得( ,2024)是( , )的“下位序列”，同时( , )是( + 1,2025)的“下位
序列”，
< 2024
则有{ ①，
2025 < +
+ 1 ≤ 2024
又 ， ， ∈ ，则有{ ，
2025 ≤ + 1
+1 + 1 +1 + 1 4049
此时 ≤ ≤ ，于是 ≤ ，解得 ≥ ，
2024 2025 2024 2025 2024
又对集合{ |0 < < 2024}内的每个 ∈ ，上式都成立，
4049 4049
则 ≥ ( ) = = 4049，
2024 2024 2023
下面证明： = 4049满足题意，
+ 4049 4049 +4049
由①可知 < < < < ，
2024 2025 2024 2025
4049 2×4049 +4049 4049 +4049
再由(2)的结论， < = 2 + 1 < ，
2024 4049 2025
第 6 页，共 7 页
即对集合{ |0 < < 2024}内的每个 ∈ ，总存在 = 2 + 1是满足题意的．
综上所述：正整数 的最小值为4049．
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