安徽省六安市新世纪学校2024-2025学年高二上学期期中数学试卷（PDF版，含答案）

安徽省六安市新世纪学校 2024-2025 学年高二上学期期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.本周末为校友返校日，据气象统计资料，这一天吹南风的概率为20%，下雨的概率为30%，吹南风或下
雨的概率为35%，则既吹南风又下雨的概率为( )
A. 30% B. 15% C. 10% D. 6%
2.某学校的高一、高二及高三年级分别有学生1000人、800人、1200人，用分层抽样的方法从全体学生中
抽取一个容量为30人的样本，抽出的高一、高二及高三年级学生的平均身高为165 、168 、171 ，
估计该校学生的平均身高是( )
A. 166.4 B. 168.2 C. 169.1 D. 170.0
3.某班级从5名同学中挑出2名同学进行大扫除，若小王和小张在这5名同学之中，则小王和小张都没有被挑
出的概率为( )
1 3 2 1
A. B. C. D.
5 10 5 2
4.如图是调查某地区男女中学生喜欢理科的等高条形阴影部分表示喜欢理科的百分比，从图可以看出下列
说法正确的是( )
①性别与喜欢理科有关
②女生中喜欢理科的比为20%
③男生不比女生喜欢理科的可能性大些
④男生不喜欢理科的比为40%
A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ②③④
5.如图，四边形 ′ ′ ′ ′表示水平放置的四边形 根据斜二测画法得到的直观
图， ′ ′ = 2， ′ ′ = 4， ′ ′ = √ 2， ′ ′// ′ ′，则 =( )
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A. √ 6
B. 2√ 3
C. 6
D. 4√ 2
6.甲同学近10次数学考试成绩情况如下：103，106，113，119，123，118，134，118，125，121，则甲
同学数学考试成绩的第75百分位数是( )
A. 118 B. 121 C. 122 D. 123
7.从装有2个白球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件( )
A. 至少有一个黑球与都是黑球 B. 至少有一个黑球与至少有一个白球
C. 恰好有一个黑球与恰好有两个黑球 D. 至少有一个黑球与都是白球
8.已知正三棱锥 的所有顶点都在球 的球面上，棱锥的底面是边长为2√ 3的正三角形，侧棱长为2√ 5，
则球 的表面积为( )
A. 10 B. 25 C. 100 D. 125
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下图为某地2014年至2023年的粮食年产量折线图，则下列说法正确的是( )
A. 这10年粮食年产量的极差为15
B. 这10年粮食年产量的第65百分位数为33
C. 这10年粮食年产量的中位数为29
D. 前5年的粮食年产量的方差大于后5年粮食年产量的方差
10.已知互不相同的两条直线 ， 和两个平面 ， ，下列命题正确的是( )
A. 若 // ， ∩ = ，则 //
B. 若 ⊥ ， ∩ = ， ， ⊥ ，则 ⊥
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C. 若 ⊥ ， // ，且 ⊥ ，则 //
D. 若 ⊥ ， // ，且 // ，则 ⊥
11.已知四棱锥 的底面 为矩形，平面 ⊥平面 ， = 2√ 2， = ， 为棱 上
32
一点， = 2 ，且 ⊥ ，若四棱锥 的每个顶点都在球 的球面上，且球 的体积为 ，则
3
( )
A. = 2√ 3 B. ∠ = 60°
4√ 6
C. 平面 ⊥平面 D. 点 到平面 的距离为
9
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知数据 1， 2， 3， 4， 5的方差为6，则数据2 1 3，2 2 3，2 3 3，2 4 3，2 5 3的方差
为______；
13.一定时段内，降落到水平地面上(假定无渗漏、蒸发、流失等)的雨水深度叫做雨量，
如日降雨量是在1日内降落在某面积上的总雨量已知日降雨量小于10 称为小雨、日降
雨量在10～25 称为中雨、日降雨量在25～50 称为大雨、日降雨量在30～100 称
为暴雨某天下雨，小明将一个无盖的圆锥形的容器放置于屋外，一天后测得圆锥内水的深
度为24 ，已知圆锥的高为48 ，则日降雨量为______ ．
14.如图，在正方体 1 1 1 1中， = 2， ， ， ， ， 分别
是 ， 1， 1， ， 的中点，存在过点 ， 的平面 与平面 平
行，平面 截该正方体得到的截面面积为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
柜子里有3双不同的鞋，分别用 1， 2； 1， 2； 1， 2表示6只鞋，其中 1， 1， 1表示每双鞋的左脚， 2，
2， 2表示每双鞋的右脚.如果从中随机地取出2只，那么
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(1)写出试验的样本空间；
(2)求下列事件的概率：
①取出的鞋都是一只脚的；②取出的鞋子是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋．
(3)求取出的鞋不成双的概率．
16.(本小题12分)
某校随机抽取了100名同学参加“奥运会”知识竞赛，统计得到参加竞赛的每名同学的成绩(单位：分)，然
后按[40,50)，[50,60)，…，[90,100]分成6组，并绘制成下面的频率分布直方图，已知 + 0.03 = 2 ．
(1)求 ， 的值，并估计参加竞赛的同学成绩的第30百分位数；
(2)已知成绩在[80,90)内所有同学的平均成绩为84分，方差为6，成绩在[90,100]内所有同学的平均成绩为98

分，方差为10，求成绩在[80,100]内所有同学的平均成绩 和方差 2．
17.(本小题12分)
已知正方体 1 1 1 1的棱长为1， 为 的中点．
(1)证明： 1 //平面 1 1；
(2)求三棱锥 1 1 1的体积．
18.(本小题12分)
某中学高三年级某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间为：[80,90)，
[90,100)，[100,110)，[110,120)，[120,130)，[130,140)，[140,150].其中 = ，且 = 2 .该50名
学生的期中考试物理成绩统计如下表：
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分组 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100]
频数 6 9 20 10 5
(1)根据频率分布直方图，求 ， ， 的值，并估计数学成绩的平均分(同一组数据用该区间的中点值代表)；
(2)若数学成绩不低于140分的为“优”，物理成绩不低于90分的为“优”，已知本班中至少有一个“优”
的同学总数为6人，从数学成绩为“优”的同学中随机抽取2人，求两人恰好均为物理成绩为“优”的概率．
19.(本小题12分)
1
如图，已知等腰梯形 中， // ， = = = 2， 是 的中点， ∩ = ，将△ 沿
2
着 翻折成△ 1 ，使 1 ⊥平面 ．
(1)求证： ⊥平面 1 ；
(2)求 1 与平面 1 所成的角；

(3)在线段 1 上是否存在点 ，使得 //平面 ，若存在，求出
1
1 的值；若不存在，说明理由． 1
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】24
13.【答案】2
14.【答案】3√ 3
15【. 答案】解：(1)该试验的样本空间可表示为 = {( 1, 2)，( 1, 1)，( 1, 2)，( 2, 1)，( 2, 2)，( 1, 2)( 1, 2)，
( 1, 1)，( 1, 2)，( 1, 1)，
( 1, 2)，( 2, 1)，( 2, 2)，( 2, 1)，( 2, 2)}；
(2)记 ：“取出的鞋都是一只脚的”，
∵ = {( 1, 1)，( 1, 1)，( 1, 1)，( 2, 2)，( 2, 2)，( 2, 2)}，
∴ ( ) = 6，
6 2
∴ ( ) = = ；
15 5
记 ：“取出的鞋子是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”，
= {( 1, 2) ( 1, 2) ( 2, 1)，( 2, 1)，( 1, 2)，( 2, 1)}，
∴ ( ) = 6，
6 2
∴ ( ) = = ，
15 5
(3)记 ：“取出的鞋不成双”，
由(1)得 ( ) = 15，

∵ = {( 1, 2), ( 1, 2)，( 1, 2)}，∴ ( ) = 3，
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∴ ( ) = 15 3 = 12，
12 4
∴ ( ) = = ．
15 5
16.【答案】解：(1)根据题意可得(0.005 + 0.01 + + 0.03 + + 0.01) × 10 = 1 + = 0.045，
+ = 0.045
于是有{ = 0.025, = 0.02，
+ 0.03 = 2
因为(0.005 + 0.01) × 10 = 0.15，(0.005 + 0.01 + 0.02) × 10 = 0.35，
所以参加竞赛的同学成绩的第30百分位数估计在[60,70)，设为 ，
于是有(0.005 + 0.01) × 10 + ( 60) × 0.02 = 0.3，所以 = 67.5分；
(2)成绩在[80,90)和成绩在[90,100]内的学生人数之比为0.025：0.01 = 5：2，
5×84+2×98
所以有 = = 88分，
5+2
2 2
2 5×[6+(84 88) ]+2×[10+(98 88) ] 330 = = ．
5+2 7
17.【答案】解：(1)证明：如图，连接 1， 1，
则由正方体的性质易得 1// 1， 1// 1，
由 1 平面 1 1， 1 平面 1 1，
所以 1//平面 1 1，
又 1 平面 1 1， 1 平面 1 1，
所以 1//平面 1 1，
又 1 ∩ 1 = 1，且 1， 1 平面 1，
所以平面 1//平面 1 1，又 1 平面 1，
所以 1 //平面 1 1；
(2)由正方体结构特征，易知三棱锥 1 1 1的底面为等腰 △ 1 1 1且高为 1，
1 1 1
所以三棱锥 1 1 1的体积 = × 1 × × 1 × 1 = ． 3 2 6
18.【答案】解：(1)根据题意可得 + + 2 = 0.1 0.004 0.020 0.024 = 0.052，
又 + = 2 ， = 2 ，解得 = 0.008， = 0.012， = 0.016，
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∴数学成绩的平均分为：
85 × 0.04 + 95 × 0.12 + 105 × 0.16 + 115 × 0.2 + 125 × 0.24 + 135 × 0.16 + 145 × 0.08 = 117.8；
(2) ∵数学成绩为“优”的同学有50 × 0.08 = 4人，物理成绩为“优”有5人，
∵至少有一个“优”的同学总数为6名同学，∴两科均为“优”的人数为3人．
∴仅数学成绩为“优”的同学有1人，仅物理成绩为“优”有2人，
∴从4人中随机抽取2人的所有 24 = 6种情况，
而两人恰好均为物理成绩为“优”的有 23 = 3种情况，
3 1
∴两人恰好均为物理成绩“优”的概率为 = = ．
6 2
19.【答案】解：(1)证明：如图，在梯形 中，连接 ，因为 是 的中点，
1
所以 = = = = 2，又因为 // ，且 = ，
2
所以四边形 是菱形，所以 ⊥ ，
因为△ 沿着 翻折成△ 1 后， 1 ⊥平面 ，且 1 ， 平面 ，
所以 ⊥ 1 ， ⊥ ，
又因为 1 ∩ = ， 1 ， 平面 1 ，所以 ⊥平面 1 ，
由题意知 // ， = ，所以四边形 是平行四边形，故 AE// ，
所以 ⊥平面 1 ．
(2)因为 ⊥平面 1 ，所以线段 1 在平面 1 内的射影为线段 1 ，
所以 1 与平面 1 所成的角即为∠ 1 ，
1
由题可知， = = ， = = = = 2，
2
所以△ 1 是正三角形，所以 1 平分∠ 1 ，所以∠ 1 = 30°，
所以 1 与平面 1 所成的角为30°．
(3)假设线段 1 上存在点 ，使得 //平面 1 ，
过点 作 // 交 1 于 ，连接 ， ，如图所示：
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因为 // ，所以 // ，所以 ， ， ， 四点共面，
又因为 //平面 1 ，平面 1 ∩平面 = ， 平面 ，所以 // ，
所以四边形 为平行四边形，
1
所以 = = ，所以 是
2 1
的中点，
1
故在线段 1 上存在点 ，使得 //平面
1
1 ，且 = ． 1 2
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