河南省濮阳市2024-2025学年高二上学期期中数学试卷（PDF版，含答案）

河南省濮阳市 2024-2025 学年高二上学期期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
3
1.已知直线 的倾斜角为 ，且 经过点( 1,2)，则 的方程为( )
4
A. + + 3 = 0 B. + 1 = 0 C. 2 + 4 = 0 D. 2 + = 0
2.在空间直角坐标系中，直线 过点 (1,0, 1)且以 = (3,2,4)为方向向量， ( , , )为直线 上的任意一点，
则点 的坐标满足的关系式是( )
1 +1 +1 1
A. = = B. = =
2 3 4 3 2 4
1 +1 1 +1
C. = = D. = =
3 2 4 2 4 3
3.若圆 过 (1,4)， (3,4)两点，则当圆 的半径最小时，圆 的标准方程为( )
A. ( 2)2 + ( 4)2 = 4 B. ( + 2)2 + ( + 4)2 = 1
C. ( + 2)2 + ( + 4)2 = 4 D. ( 2)2 + ( 4)2 = 1

4.在四面体 中， 为棱 的中点， 为线段 的中点，若 = + + ，则 =( )

1
A. B. 1 C. 2 D. 3
2
5.若直线 ： 4 = 0与圆 ： 2 + 2 = 4相离，则点 ( , )( )
A. 在圆 外 B. 在圆 内 C. 在圆 上 D. 位置不确定
6.已知直线 经过点 (2,1)，且与圆 ：( + 1)2 + ( 2)2 = 9相交于 ， 两点，若| | = 2，则直线 的方
程为( )
A. 1 = 0或7 + 15 = 0
B. 2 = 0或7 + 15 = 0
C. 4 + 3 11 = 0或3 + 4 10 = 0
D. 4 3 5 = 0或3 4 2 = 0
7.曲线 2 + 2 = 4| | + 4| |的周长为( )
A. 4√ 2 B. 8√ 2 C. 12 D. 16
8.如图，在多面体 中，底面 是边长为1的正方形， 为底面 内
的一个动点(包括边界)， ⊥底面 ， ⊥底面 ，且 = = 2，则
的最小值与最大值分别为( )
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7
A. , 4
2
B. 3，4
7
C. , 5
2
5 7
D. ,
2 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若{ , , }构成空间的一个基底，则下列向量共面的是( )
A. ， ， +
1
B. 2 ， 2 ，2
2
C. ， ，
D. ， 2 + 2 ，
10.已知直线 的方程为 = 0， (1, 1)， (3,3)，则下列结论正确的是( )
A. 点 不可能在直线 上
B. 直线 恒过点(1,0)
C. 若点 ， 到直线 的距离相等，则 = 2
D. 直线 上恒存在点 ，满足 = 0
11.如图，在三棱锥 中， ⊥ ， ⊥平面 ， = = = 2，
， ， ， 分别为 ， ， ， 的中点， 是 的中点， 是线段 上
的动点，则( )
A. 存在 > 0， > 0，使得 = +
B. 不存在点 ， ，使得 ⊥
√ 5
C. | |的最小值为
2
√ 10
D. 异面直线 与 所成角的余弦值为
5
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.在空间直角坐标系 中，点 ( , 0,2 3)与 ( , 0, )关于原点 对称，则点 的坐标为______．
13.若圆 ：( 2)2 + ( 1)2 = 1关于直线 + 2 + 2 = 0对称，则点( , )与圆心 的距离的最小值是
______．
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14.古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数
( ≠ 1)的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆.已知点 ( 7,0)， 为直线 ：2 + +3 = 0上的
动点， 为圆 ：( 2)2 + 2 = 9上的动点，则| | + 3| |的最小值为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知圆 的圆心在直线 = 2 和直线2 + 4 = 0的交点上，且圆 过点( 1,1)．
(1)求圆 的方程；
(2)若圆 的方程为 2 + 2 4 + 4 + 3 = 0，判断圆 与圆 的位置关系．
16.(本小题12分)
如图，在四棱锥 中，四边形 是矩形． = = 2, = 4, = 2√ 2, = 2√ 5, 为 的
中点．
(1)证明： ⊥ ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值．
17.(本小题12分)
已知直线 ： 1 = 0．
( )若直线 与 平行，且 ， 之间的距离为2√ 2，求 的方程；
(Ⅱ) 为 上一点，点 (1, 2)， (2,6)，求| | | |取得最大值时点 的坐标．
18.(本小题12分)
如图，在斜三棱柱 1 1 1中，平面 1 1 ⊥平面 ，△ 是边长为2的等边三角形， 1 = 1 ，
1
为 的中点，且 1 = 2， 为 1 的中点， 为 的中点， = 4 1
．
(1)设向量 为平面 的法向量，证明： = 0；
(2)求点 到平面 的距离；
(3)求平面 与平面 1 夹角的余弦值．
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19.(本小题12分)
在平面直角坐标系中，定义 ( , ) = {| 1 2|，| 1 2|}为两点 ( 1, 1)， ( 2 , 2)的“切比雪夫距
离”，又设点 及直线 上任意一点 ，称 ( , )的最小值为点 到的“切比雪夫距离”，记作 ( , )．
( )已知点 (3,1)和点 ( 1,4)，直线 ： = 1，求 ( , )和 ( , )．
3 25
(Ⅱ)已知圆 ： 2 + 2 2 3 = 0和圆 ：( )2 + ( + )2 = ．
2 4
1
( )若两圆心的切比雪夫距离 ( , ) = ，判断圆 和圆 的位置关系；
2
( )若 > 0，圆 与 轴交于 ， 两点，其中点 在圆 外，且 ( , ) = 3，过点 任作一条斜率不为0的
直线与圆 交于 ， 两点，记直线 为 1，直线 为 2，证明： ( , 1) = ( , 2).
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】(0,0,1)
13.【答案】2√ 2
14.【答案】3√ 5
15.【答案】解：(1)已知圆 的圆心在直线 = 2 和直线2 + 4 = 0的交点上，
= 2
联立{ ，
2 + 4 = 0
= 1
得{ = 2，
即圆心坐标为(1,2)，
又圆 过点( 1,1)，
所以√ [1 ( 1)]2 + (2 1)2 = √ 5，
所以圆 的方程为( 1)2 + ( 2)2 = 5．
(2)由(1)知，圆 的圆心为 (1,2)，半径 1 = √ 5，
圆 的方程 2 + 2 4 + 4 +3 = 0可化为( 2)2 + ( + 2)2 = 5，
则圆 的圆心为 (2, 2)，半径 2 = √ 5．
因为| | = √ (1 2)2 + (2 + 2)2 = √ 17，
所以0 = 1 2 < | | < 1 + 2 = 2√ 5，
所以圆 与圆 相交．
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16.【答案】解：(1)证明：∵ = 2, = 2√ 5, = 4，
∴ 2 = 2 + 2，
∴ ⊥ ，
∵ = = 2, = 2√ 2，
∴ 2 = 2 + 2，
∴ ⊥ ，
∵ ∩ = ， ， 平面 ，
∴ ⊥平面 ，
又 平面 ，
∴ ⊥ ．
(2) ∵四边形 是矩形，∴ ⊥ ，
∵ ⊥平面 ， ， 平面 ，
∴ ⊥ ， ⊥ ，
∴以 为坐标原点，直线 ， ， 分别为 轴、 轴、 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则 (0,0,0)， (2,0,0)， (1,4,0)， (0,0,2)，
∴ = (2,0,0), = ( 1,4,0), = ( 2,0,2)．
设平面 的法向量为 = ( , , )，
则{ ⊥
= + 4 = 0，则{ ，
⊥ = 2 + 2 = 0
令 = 1，可得 = 4， = 4，
∴平面 的一个法向量为 = (4,1,4)．
设直线 与平面 所成的角为 ，
| | |2×4+0×1+0×4| 4√ 33
则 = = =| || | 33 ，
2×√ 42+12+42
∴直线 与平面 所成角的正弦值为4√ 33．
33
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17.【答案】解：( )由直线 与 平行，设直线 的方程为 + = 0( ≠ 1)，
| ( 1)|
由 ， 之间的距离为2 2，得 = 2√ 2√ 2 2 ，解得 = 5或 = 3， √ 1 +( 1)
所以直线 的方程为 5 = 0或 +3 = 0；
(Ⅱ)设点 (1, 2)关于直线 ： 1 = 0的对称点为 ′( , )，
+1 2
1 = 0
则{ 2 2 ，解得 = 1， = 0，即 ′( 1,0)，
+2
= 1
1
而| | | | = | | | ′| ≤ | ′|，当且仅当 ， ′， 三点共线时取等号，
6 0
直线 ′的方程为 0 = ( + 1)，即2 + 2 = 0，
2 ( 1)
将直线 的方程与直线 ′的方程联立方程组，解得 = 3， = 4，点 ( 3, 4)，
所以| | | |取得最大值时点 的坐标( 3, 4)．
18.【答案】解：(1)证明：如图，连接 ，
∵ 1 = 1 ，∴ 1 ⊥ ，
∵平面 1 1 ⊥平面 ，平面 1 1 ∩平面 = ， 1 平面 1 1 ，
∴ 1 ⊥平面 ，
∵△ 是边长为2的等边三角形，
∴ ⊥ , = √ 3．
以 为坐标原点，直线 ， ， 1分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系，
则 (0,0,0)， (0, 1,0)，
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1 1 1
(√ 3, 0,0), (0,1,0), 1(0,0,2), 1(√ 3,1,2), (0, , 1), (0, , )， 2 4 2
1 = (0,0,2)是平面 的一个法向量，令 = 1 ．
∵ 1
1 1 1
= (0,1,2)，∴ = 1 = (0, , )， 4 4 2
1 1 1
∴ (√ 3, , )，∴ = (√ 3, , 0)，
4 2 2
∴
1
= √ 3× 0+ × 0 + 0 × 2 = 0．
2
(2)
1
= (0,2,0), = ( √ 3,1,0), = (0, , 1)，
2
设平面 的法向量为 = ( , , )，
⊥
= √ 3 + = 0,
则{ ，则{ 1
⊥ = + = 0,
2
令 = 2，可得2√ 3, = √ 3，
∴平面 的一个法向量为 = (2,2√ 3,√ 3)，
| | |0×2+2×2√ 3+0×√ 3| 4√ 57
∴点 到平面 的距离为 = = =| | ． √ 22 2 2 19+(2√ 3) +(√ 3)
(3) 1 = (√ 3, 0,2)，
设平面 1 的法向量为 = ( , , )，
⊥ 1 = √ 3 + 2 = 0,
则{ 1，则{ 1
⊥ = + = 0,2
令 = 2，可得 = 2√ 3, = √ 3，
∴平面 1 的一个法向量为 = (2, 2√ 3, √ 3)，
由(2)可知平面 的一个法向量为 = (2,2√ 3, √ 3)，
设平面 与平面 1 的夹角为 ，
| | |2×2 2√ 3×2√ 3 √ 3×√ 3| 11
则 = = =| || | √ 2 2 2 2 19， 22+( 2√ 3) +( √ 3) ×√ 22+(2√ 3) +(√ 3)
11
∴平面 与平面 1 夹角的余弦值为 ． 19
19.【答案】解：( )根据切比雪夫距离的定义，设 上任意一点为 ( 1, )，
( , ) = {|1 + 1|，|1 4|} = {2，3} = 3．
则 ( , ) = {|1 + 1|，|1 |} = {2，|1 |}．
当|1 | ≥ 2时， ( , ) = |1 | ≥ 2；
当|1 | < 2时， ( , ) = 2，
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∴ ( , )的最小值为2，故 ( , ) = 2．
(Ⅱ)( )由题可知圆 的标准方程为( 1)2 + 2 = 4，∴圆心为 (1,0)，半径 1 = 2.由圆 的方程知圆心为
3 5
( , )，半径 2 = ． 2 2
3
( , ) = {| 1|, | |}．
2
3 5 1 3
当| 1| ≥ | |，即 ≥ 时，由 ( , ) = | 1| = ，解得 = ，
2 4 2 2
3
∴ ( , 0)．
2
1
此时| | = = 2 1，∴圆 与圆 相切． 2
3 5 3 1 1
当| 1| < | |，即 < 时，由 ( , ) = | | = ，解得 = 1，∴ (1, )．
2 4 2 2 2
1
此时| | = = 2 1，∴圆 与圆 相切． 2
( ) ∵ ， 都在 轴上，∴ | | = ( , ) = 3，
3 √ 2 | |∴ | | = ( )2 √
25 9 7 1
2 = = 2，得 = 或 = (舍去)． 2 2 4 4 2 2
7 25
此时圆 ：( )2 + ( 2)2 = ，令 = 0，解得 = 2或 = 5，
2 4
∵点 在圆 外，∴ (5,0)， (2,0)．
由题意设直线 的方程为 = + 5， ( , )， ( , ).
= + 5,
由{ 2 2 可得(
2 + 1) 2 + 8 + 12 = 0，
+ 2 3 = 0,
当 = 64 2 48( 2 + 1) > 0，即∴ ∈ ( ∞, √ 3) ∪ (√ 3,+∞)时，
8 12
有 + = 2 , = ． +1 2 +1

+ = +

=

+
2 +3( + )
= ， 2 2 2 +3 +3 +3 ( + )+9
24 24
∵ 2 + 3( + ) = 2 2 = 0，∴ + = 0， +1 +1
∴直线 1与 2关于 轴对称，即关于直线 对称，
由对称性知 ( , 1) = ( , 2).
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