山东省淄博市第五中学2024-2025学年高一上学期期中数学试卷（PDF版，含答案）

山东省淄博市第五中学 2024-2025 学年高一上学期期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { | 1 < < 2}， = { |0 ≤ ≤ 3}，则 ∩ =( )
A. { | 1 < ≤ 3} B. { |0 ≤ < 2} C. { |0 ≤ ≤ 3} D. { | 1 < < 2}
2.命题： ∈ (4, +∞)，5 2 + 1 > 的否定是( )
A. ∈ (4, +∞)，5 2 + 1 ≤ B. ∈ (4, +∞)，5 2 + 1 ≤
C. ∈ ( ∞, 4]，5 2 + 1 ≤ D. ∈ (4, +∞)，5 2 + 1 <
3.已知命题 ： 3 < ≤ 2，若命题 是命题 的必要条件，则命题 可以为( )
A. 3 ≤ ≤ 1 B. < 1 C. 3 < < 1 D. < 3
4.若 ， ， ∈ ，且 > > ， + + > 0，则下列命题正确的是( )
1 1 +1
A. > B. <
+1
C. 3 < 3 D. 若 < 0，则 2 < 2
5.设 = 30.1， = log0.71.1， = log32，则 ， ， 的大小关系是( )
A. > > B. > > C. > > D. > >
6.已知函数 ( )是奇函数，且当 > 0时， ( ) = 3 + + 1，那么当 < 0时， ( )的解析式为( )
1 1 1 1
A.
3
+ 1 B. + 1 C. + 1 D. + 1 3 3 3
2
7.函数 ( ) = 的图象大致为( ) 2 +1
A. B. C. D.
8.若函数 ( ) = 2(
2 + + 2)在(1,2)上单调递减，则实数 的取值范围是( )
A. (1,2) B. [1,2) C. (1,2] D. [1,2]
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
1 3
A. 若 ( )的定义域为[ 2,2]，则 (2 1)的定义域为[ , ]
2 2
3
B. 关于 的不等式2 2 + < 0恒成立，则实数 的取值范围是( 3,0)
8
17
C. 函数 = 2 √ 1 的值域为( ∞, ]
8
D. 函数 ( ) = 2 + + 2在区间( ∞, 3)上单调递减，则实数 的取值范围 ≤ 6
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10.定义在 上的函数 ( )，对于任意的 ， 都有 ( + ) = ( ) ( )，且 (1) = 2，则( )
A. (0) = 1 B. ( 1) = 2 C. (2) (3) = 64 D. (10) = 2 (9)
11.已知 ， 为正实数，且 + 2 + = 16，则( )
A. 的最大值为8 B. 2 + 的最小值为8
1 1 √ 2 1 6√ 2 1
C. + 的最小值为 D. + 的最小值为
+1 +2 2 9 10
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
1

12.已知幂函数 = (2 2 ) 3在区间(0, +∞)上是严格增函数，则 = ______．
1
13.定义在[ 1,1]上的偶函数 ( )，当 ≥ 0时， ( )为减函数，则满足不等式 (1 + ) < ( )的 的取值范
2
围是______．
14.已知函数 ( ) = 2 2 + 2 9， ∈ [ 3, 2]( > 0)，若函数 ( )的值域为[ 9,0]，则实数 的取
值范围是______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
计算下列各式的值．
5
(1) 49 212 + 10
lg
2；
1 7 4
(2)(0.064) 3 ( )0 + [( 2)3] 3 + 16 0.75．
8
16.(本小题12分)
已知关于 的不等式 2 + 3 + 2 > 0( ∈ )．
(1)若 2 + 3 + 2 > 0的解集为{ | < < 1}，求实数 ， 的值；
(2)当 > 0时，求关于 的不等式 2 3 + 2 > 1的解集．
17.(本小题12分)
最近南京某地登革热病例快速增长，登革热是一种由登革病毒引起的急性虫媒传染病，主要通过埃及伊蚊
和白纹伊蚊传播，为了阻断传染源，南京卫建委在全市范围内组织了蚊虫消杀工作.某工厂针对市场需求开
始生产蚊虫消杀工具，经过研究判断生产该工具的年固定成本为50万元，每生产 万件，需另外投入成本
1
2 + 30 , 0 < < 50
( )(万元)， ( ) = {2 ，每件工具售价为50元，经过市场调研该厂年内生产的工具
8100
51 + 400, ≥ 50

能全部销售完．
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(1)写出年利润 (万元)关于年产量 (万件)的函数解析式；
(2)年产量为多少万件时，该厂在这一工具的生产中所获利润最大？
18.(本小题12分)
2 1
已知定义域为 的函数 ( ) = 是奇函数．
2 + 2
(1)求实数 的值；
(2)判断函数 ( )的单调性，并用定义加以证明；
(3)若对任意的 ∈ [1,2]，不等式 ( 2 ) + ( 2 + 4) > 0成立，求实数 的取值范围．
19.(本小题12分)
经研究，函数 = ( )为奇函数的充要条件是函数 = ( ) + 图象的对称中心为点( , )，函数 =
( )的图象关于点( , )成中心对称图形的充要条件是函数 ( ) = ( + ) 为奇函数，由 ( ) +
( ) = 0得函数 = ( )关于点( , )成中心对称图形的充要条件是 ( + ) + ( ) = 2 ．
(1)已知函数 ( ) = 5 + 3 + 3，且 (5) = 2，求 ( 5)的值；
3 2 11 +13
(2)证明函数 ( ) = 图象的对称中心为(2,3)；
2 4 +5
(3)已知函数 ( ) = 3 3 2，求 ( 7) + ( 6) + ( 5) + + (8) + (9)的值．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】1
3 1
13.【答案】[ 2, ) ∪ ( , 0]
2 2
1+√ 13
14.【答案】[1, ]
2
2 1 2 2 8
15.【答案】解：(1)原式= log23 log212 + 10
lg
5 = 2 + = 2 + = ． 4 5 5 5
1 4 3
(2)原式= 0．43×( )
5 1 1 27
3 1 + ( 2)3×( )3 + 24×( )4 = 1 + + = ．
2 16 8 16
16.【答案】解：(1) ∵ 2 + 3 + 2 > 0的解集为{ | < < 1}，
∴ 1， 是方程 2 + 3 + 2 = 0的解，
+ 3 + 2 = 0
故{
2
，
+ 3 + 2 = 0
2
解得 = 5， = ；
5
(2) ∵ 2 3 + 2 > 1，
∴ ( 3)( 1) > 0，
①当0 < < 3时，
3
不等式的解集为{ | > 或 < 1}，

②当 = 3时，
不等式的解集为{ | ≠ 1}，
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③当 > 3时，
3
不等式的解集为{ | < 或 > 1}．

17.【答案】解：(1)当0 < < 50时，
1
( ) = 50 ( ) 50 = 2 + 20 50，
2
当 ≥ 50时，
8100
( ) = 50 ( ) 50 = 350 ( + )，

1
2 + 20 50,0 < < 50
则 ( ) = { 2 ；
8100
350 ( + ), ≥ 50

(2)当0 < < 50时，
1 2 1 ( ) = + 20 50 = ( 20)2 + 150，
2 2
当 = 20时， ( )取最大值150，
当 ≥ 50时，
8100 8100
( ) = 350 ( + ) ≤ 350 2√ × = 170，

8100
当且仅当 = ，即 = 90时取等号，

即 = 90时， ( )取最大值170，
又170 > 150，
即年产量为90万件时，该厂在这一工具的生产中所获利润最大．
2 1
18.【答案】解(1) ∵函数 ( ) = 是奇函数，定义域为 ， 2 + 2
1 1
∴ (0) = 0， = 0
1+ 2
解得 = 1．
2 1
当 = 1时， ( ) = 满足 ( ) = ( )，是奇函数， 2 +1 2
故 = 1．
(2 ∵ = 1,
2 1
∴ ( ) =
2 + 1 2
2 2 2 + 1
=
2(2

+ 1) 2(2 + 1)
2 (2 1) 1 1 2 1
= = ， 2(2 +1) 2 2 +1
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设 1， 2 ∈ ， 1 < 2，
1 2 1 1 2 2 1
( 1) ( 2) = ( ) 2 2 1 + 1 2 2 + 1
1 2 1+ 2 + 2 1 2 2 1 (2 1+ 2 2 1 + 2 2 1)
= ( )
2 (2 1 + 1)(2 2 + 1)
2 1 2 2
= ， (2 1+1)(2 2+1)
∵ = 2 在 上是增函数，且 1 < 2，
∴ 2 1 2 2 < 0，
又∵ (2 1 + 1)(2 2 + 1) > 0，
∴ ( 1) ( 2) < 0，即 ( 1) < ( 2)，
故 ( )在 上单调递增；
(3)任意的 ∈ [1,2]，不等式 ( 2 ) + ( 2 + 4) > 0，即 ( 2 ) > ( 2 4)，
∴ 2 > 2 4，即2 2 + 4 > 0，
4
< 2 + ，

4
∵ 2 + ≥ 2√ 8 = 4√ 2，当且仅当 = √ 2成立，

4
∴ < (2 + ) = 4√ 2．
∴实数 的取值范围为{ | < 4√ 2}．
19.【答案】解：(1)根据题意，函数 ( ) = 5 + 3 + 3，则 ( ) = 5 3 + 3，
则有 ( ) + ( ) = 6，
又由 (5) = 2，则 ( 5) = 4；
(2)证明：设 ( ) = ( + 2) 3，
3 2 11 +13 2 2
函数 ( ) = 2 = 2 + 3 = 2 + 3， 4 +5 4 +5 ( 2) +1

则 ( ) = ( + 2) 3 = 2 ， +1
易得 ( )的定义域为 ，且 ( ) = ( )，
则 ( )为奇函数，
故函数 ( )的对称中心为(2,3)；
(3)根据题意， ( ) = 3 3 2 = [( 1) + 1]3 3[( 1) + 1]2 = ( 1)3 3( 1) 2，
设 ( ) = ( + 1) 2，
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则 ( ) = ( + 1) 2 = 3 3 ，
易得 ( )的定义域为 ，且 ( ) = ( )，
则函数 ( )为奇函数， ( )的对称中心为(1, 2)，
则有 ( ) + (2 ) = 4，
令 = 1，可得 (1) = 2．
故 ( 7) + ( 6) + ( 5) + + (8) + (9) = ( 7) + (9) + ( 6) + (8) + … + ( 1) + (3) +
(1) = 34．
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