2024-2025学年人教版八年级上册数学期末专题训练：动点问题压轴题（含解析）

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人教版八年级上册数学期末动点问题压轴题专题训练
1．如图1，直线分别与x轴、y轴交于A、B两点，平分交于点C，点D为线段上一点，过点D作交y轴于点E，已知，，且m、n满足．
(1)求A、B两点的坐标；
(2)若点D为中点，求的长；
(3)如图2，若点为直线在x轴下方的一点，点E是y轴的正半轴上一动点，以E为直角顶点作等腰直角，使点F在第一象限，且F点的横、纵坐标始终相等，求点P的坐标．
2．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点B的坐标为，点C在x轴正半轴，，过点C作交y轴正半轴于点A．
(1)求出A点坐标；
(2)动点D，E分别从A，C出发，以每秒2个单位长度的速度沿着射线运动，过点E作垂直于y轴于点Q，设运动时间为的长度为d，请用含t的式子表示d（不要求写出t的取值范围）；
(3)在（2）的条件下，当D，E在线段上时，连接，以为边向右作等边，连接，当时，求t的值．
3．点、点为y轴正半轴上一动点，且，．
(1)如图1，当时，请求出点C的坐标；
(2)如图2，点C关于y轴的对称点为，连并延长，求证：为等腰直角三角形；
(3)如图3，点在x轴上，过点B作且，连接交y轴于H．若点H恰好为的中点，求的长
4．平面直角坐标系中，点A，C分别是x轴和y轴上的动点，，．
(1)如图1，若，，求点B的坐标；
(2)如图2，设交x轴于点D，若平分，，求点B的纵坐标；
(3)如图3，当点C运动到原点O时，的平分线交y轴于点M，，将沿翻折，的对应边的延长线交于点P，为线段上一点，且．请你补全图形（不需要尺规作图），并求的值．（用含n的式子表示）
5．【问题情境】如图，在平面直角坐标系中，点，且，连接，，点P、点Q是x轴上的动点，且．连接，过O点作于点E，交直线于点D，连接，试问在运动过程中，与是否存在某种特定的数量关系．
(1)直接写出点A的坐标为______，点B的坐标为______；
(2)【深入探究】如图1，当点P、点Q在线段上，且P点在Q点的左侧时．
①求证：；
②试猜想与的数量关系，并说明理由．
(3)【拓展应用】当点P在B点右侧，点Q在x轴负半轴上运动时，若，用表示______（不需证明）
6．如图①，直线与x轴负半轴 y轴正半轴分别交于A，B两点．的长度分别为a和b，且满足．
(1)判断的形状；
(2)如图②，在直线上取一点Q，连接，过A，B两点分别作于于N，若，求的长；
(3)如图③，E为线段上一动点，以为斜边作等腰直角为的中点，连接，请写出线段之间的关系？写出你的结论并证明．
7．如图，在平面直角坐标系中，点在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上，，，是y轴负半轴上一动点，E 是x轴负半轴上一动点，且，，．
(1)求证：；
(2)若，试用含t的式子表示点C的坐标；
(3)如图2，作轴交的延长线于D，求证：．
8．如图，等腰中，，点D是上一动点，点分别在延长线上，且．
【问题思考】（1）在图①中，求证：；
【问题再探】（2）若，如图②，探究线段之间的数量关系，并证明你的结论；
【问题拓展】（3）若且平分，如图③，若，则的值为_______．
9．已知在平面直角坐标系中，点分别是轴和轴上的动点，．
(1)如图1，过点作轴 ，交轴于点， 交的延长线于点交轴于点， 若， 求的长；
(2)如图2，当点运动到原点O时，的平分线交轴 于点， 点为线段上一点将沿翻折，的对应边的延长线交于点为线段上一点，且， 试判断线段之间的数量关系并证明你的结论；
(3)如图3，若， 在坐标平面内是否存在一点（不与点重 合），使与全等？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
10．如图1，点、分别是边长为的等边边上的动点，点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为．
(1)连接交于点，则在、运动的过程中，变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；
(2)何时是直角三角形？
(3)如图2，若点、在运动到终点后继续在射线上运动，直线交点为，则变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数．
11．如图1，点、在轴正半轴上，点、分别在轴上，平分与轴交于点，．
(1)求证：；
(2)如图2，点的坐标为，点为上一点，且，求的长；
(3)在（1）中，过作于点，点为上一动点，点为上一动点，（如图3），当在上移动，点在上移动时，始终满足，试判断、、这三者之间的数量关系，写出你的结论并加以证明．
12．如图①，在平面直角坐标系中，点是轴负半轴上的一个动点，点是轴负半轴上的一个动点，连接，过点作的垂线，使得，且点在轴的上方．
(1)求证：；
(2)如图②，点、点在滑动过程中，把沿轴翻折使得刚好落在的边上，此时交轴于点，过点作垂直轴于点，求证：；
(3)如图③，点、点在滑动过程中，使得点在第二象限内，过点作垂直轴于点，求证：．
13．如图，直线，平分，过点B作交于点C．动点E、D同时从点A出发，其中点E以的速度沿射线运动，动点D以的速度在直线上运动，已知，设点D、E的运动时间为．
(1)求证：是等腰直角三角形；
(2)当点D沿射线运动时，若，求t的值；
(3)当动点D在直线上运动时，若与全等，直接写出t的值．
14．综合与实践
问题情境：
已知，在平面直角坐标系中，，，，．
（1）如图1，与的数量关系为 ，位置关系为 ；
探究问题：
（2）如图2，以A为直角顶点在第二象限内作等腰直角三角形，过点E作轴于点F，求点F的坐标；
灵活运用：
（3）如图3，若点P为y轴正半轴上一动点，以为直角边作等腰直角三角形，，轴于点R，当点P运动时，的值是否发生变化？若不变，请直接写出其值；若变化，请说明理由．
15．如图，在等腰直角三角形中，，，，点D为上一点，过点D作于点E，点P为x轴上一动点，点P关于的对称点为点Q，连接、、．
(1)点B的坐标为 ；
(2)若点P的坐标为，延长交于点F．当时，求点D的坐标；
(3)若点M为y轴上一动点，是否存在以A、P、M为顶点且以为斜边的三角形为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
16．在直角坐标系中，A点的坐标为，B点在y轴负半轴上，且，E点与B点关于x轴对称，C点的坐标为，且满足．

(1)写出三点的坐标：A ，B ，C ；
(2)如图1，x轴上一点M位于A点右侧，连接，延长至N，使M位于的垂直平分线上．若，求点M的坐标；
(3)如图2，点P为x轴上A点右侧的一个动点，，先作直线，作，垂足为H，在射线HQ上取一点G，满足，连接．请问：在点P运动过程中，的大小是否发生变化？若不变，求出其值；若变化，直接写其变化范围．
17．在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B为y轴正半轴上的一个动点，以B为直角顶点，为直角边在第一象限作等腰．
(1)如图1，若，则点C的坐标为________；
(2)如图2，若，点D为延长线上一点，以D为直角顶点，为直角边在第一象限作等腰，连接，求证：；
(3)如图3，以B为直角顶点，为直角边在第三象限作等腰．连接，交y轴于点P，求线段的长度．
18．平面直角坐标系中，点A，C分别是x轴和y轴上的动点，，．

(1)如图1，若，，求点B的坐标；
(2)如图2，设交x轴于点D，若平分，，则B的纵坐标为______；
(3)如图3，当点C运动到原点O时，的平分线交y轴于点E，为线段上一点，将沿翻折，的对应边的延长线交于点G，H为线段上一点，且，求的值．（用含m的式子表示）
19．在中，，直线l过点C．
(1)当时，如图1，分别过点A、B作于点D，于点E．求证：．
(2)当时，如图2，点B与点F关于直线l对称，连接，，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿边向终点C运动，同时动点N从点F出发，以每秒3个单位的速度沿向终点F运动，点M、N到达相应的终点时停止运动，过点M作于点D，过点N作于点E，设运动时间为t秒．
①　　，当N在路径上时，　　．（用含t的代数式表示）
②当与全等时，求出t的值．
20．如图，是等边三角形，过点的直线，点是直线上一动点．
(1)如图1，作，交延长线于点，求证：．
(2)如图2，点在边上（点不与点、重合），连接，作，交直线于点，连接．
①若，，当周长最小时，求的长；
②当点在直线上运动的过程中（点不与点重合），猜想、、之间的等量关系，并说明理由．
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参考答案：
1．(1)，
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了非负数的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，作辅助线构造全等三角形、根据全等三角形的对应边相等进行计算求解是解答本题的关键．
（1）根据非负数的性质可得方程，，求得，，即可得到A、B两点的坐标；
（2）延长交x轴于点F，延长到点G，使得，连接，构造全等三角形，再设，根据列出关于x的方程求解即可；
（3）分别过点F、P作轴于点M，轴于点N，设点E为，构造全等三角形，再根据F点的横坐标与纵坐标相等，得出方程，解得即可解答．
【详解】（1）解：∵，且，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴点A为，点B为；
（2）如图，延长交x轴于点F，延长到点G，使得，连接，
，
设，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴；
（3）分别过点F、P作轴于点M，轴于点N，
设点E为，
∵点P的坐标为，
∴，，
∵，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴点F为，
∵F点的横坐标与纵坐标相等，
∴，
解得：，
∴点P为．
2．(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）根据点B的坐标为，得出，根据，得出，，根据，求出，得出，即可得出答案；
（2）过点E作轴于点F，根据直角三角形性质求出，求出点Q的坐标为，D的坐标为；分两种情况：当点Q在点D下方时，当点Q在点D上方时，分别求出结果即可；
（3）在上截取，连接，延长，，交于点G，过点H作于点M，证明，得出，，证明，先证明，得出，证明，得出，证明，得出，根据，求出结果即可．
【详解】（1）解：∵点B的坐标为，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：过点E作轴于点F，如图所示：
∵，
∴，
∴点Q的坐标为，
根据题意得：点D的坐标为；
当点Q在点D下方时，；
当点Q在点D上方时，；
综上分析可知：或；
（3）解：在上截取，连接，延长，，交于点G，过点H作于点M，如图所示：
根据题意得：，
∵，，
∴，
∵为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
即，
∵，，
∴，
连接，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：．
【点睛】本体主要考出来三角形全等的判定和性质，坐标与图形，直角三角形的性质，等边三角形的性质，三角形内角和定理应用，解题的关键是作出辅助线数形结合，数量掌握三角形全等的判定方法．
3．(1)点
(2)见解析
(3)
【分析】（1）如图1，过点作轴，由“”可证，可得， ，即可求解；
（2）如图2，连接，，由“”可证，可得，可证，由外角性质可得，可得，即可求解；
（3）如图3，在轴上取点，使，连接，通过证明，可得，即可求解．
【详解】（1）解：如图1，过点C作轴，
，，
，
，且，
，且，，
，
，，
，
∴点；
（2）证明：如图2，连接，
∵点C关于y轴的对称点为，
，，且，
，
，
，
，，
，，
，
，
，且，
，
，
为等腰直角三角形；
（3）解：如图3，在y轴上取点，使，连接，
∵点
，
∵点H恰好为的中点，
，且，
，
，，
，
，
，
，
，且，，
，
．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，轴对称图形的性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
4．(1)
(2)点B的纵坐标为4
(3)
【分析】（1）作轴于点H，证明，由全等三角形的性质得出，，求出，则可得出答案；
（2）作轴于点E，并延长交的延长线于点F，证明，由全等三角形的性质得出，证明，得出，则可得出答案；
（3）连接，作于点，于点，证明，由全等三角形的性质得出，证明，得出，由折叠的性质得出，证得，则可求出答案．
【详解】（1）解：如图中，

作轴于点H，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
则；
（2）解：如图中，作轴于点，并延长交的延长线于点，
，
平分，
，
在和中，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
又，
，
点的纵坐标为4；
（3）解：图形如图所示，连接，作于点，于点，

由折叠的性质知平分，
∵点M在的平分线上，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
由折叠可知：，
，
，
，
．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了折叠的性质，全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，坐标与图形性质，等腰直角三角形性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
5．(1)；
(2)①见解析；②，理由见解析
(3)或
【分析】本题主要考查坐标与图形，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）根据非负性即可求解；
（2）①根据，，由此即可求解；②如图所示，过点作的垂线交延长线于点，可证，得到，，再证，得到，由此即可求解；
（3）第一种情况，如图所示，过点作的垂线交于点，可证，得到，，再证，得到，由即可求解；第二种情况，如图所示，过点作的垂线交延长线于点，方法同第一种情况；由此即可求解．
【详解】（1）解：已知，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：①∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
②，理由如下，
如图所示，过点作的垂线交延长线于点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，即，
∴，
∵，
∴，且，
∴，
∴，
∴；
（3）解：或，理由如下，
第一种情况，如图所示，过点作的垂线交于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∵，
∴，且，
∴，
∴，
∴；
第二种情况，如图所示，过点作的垂线交延长线于点，
同理可证，，得到，
同理可证，，得到；
综上所述，或，
故答案为：或．
6．(1)等腰直角三角形
(2)13或5
(3)且
【分析】本题考查二次根式的非负性、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质相关知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质是解决问题的关键．
（1）已知，化简可得，然后可得为等腰直角三角形；
（2）分为①如图，当点Q在线段上时，②如图，当点Q在延长线上时，证明，求出、、，然后数形结合求出的值；
（3）延长到点，使，连接、、，如图所示，利用三角形全等的判定与性质求证即可得到答案．
【详解】（1）解：等腰直角三角形．
理由：，
，
，
，
∴为等腰直角三角形；
（2）解：①如图，当点Q在线段上时，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
．
②如图，当点Q在延长线上时，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
．
③如图，当点Q在延长线上时，不符合题意．
综上，为13或5．
（3）解：且，
证明如下：
延长到点，使，连接、、，如图所示：
∵为等腰直角三角形，为的中点，
∴，
∴，
在和中，
，
，
∴，
则，
又∵，
，
在和中，
，
，
，
为等腰直角三角形，
∵，
且．
7．(1)证明见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）过点作于，通过证明，可得；
（2）由可证，可得，，即可求解；
（3）过点作交的延长线于点E，作交的延长线于点，由可证，可得，由可证，可得，，由可证，可得，由线段的和差关系即可求证．
【详解】（1）证明：过点作于，
，，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
；
（2）解：，
点，
，
，，，
，
，，
，
点的坐标为；
（3）证明：如图2，过点作交的延长线于点E，作交的延长线于点，
AI 轴，，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
又，，
，
，，
，，
，
，
又，，
，
，
，
．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，坐标与图形等等，恰当添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．
8．（1）见解析；（2），理由见解析；（3）
【分析】（1）由题意易证，得出，即得出，从而得出；
（2）在上取点G，使，连接，易证和为等边三角形，从而可证，得出，进而得出；
（3）延长交于点H，易证，得出．再证明，得出，从而即可求解．
【详解】解：（1）证明：∵，，
∴，．
又∵，，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴；
（2），理由如下，
如图，在上取点G，使，连接．
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴．
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴，即．
又∵，，
∴，
∴．
∵
∴，
∴；
（3）解：延长交于点H，如图，
∵，
∴．
∵平分，
∴．
又∵，
∴，
∴．
∵，，
∴．
又∵，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定的应用，角平分线的应用等知识．掌握全等三角形的性质和判定是解题关键，正确作出辅助线构造等边三角形和全等三角形也是关键．
9．(1)
(2)
(3)，，
【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质即可得证；
（2）连接，过点E作于点M，过点E作于点N，根据折叠的性质和角平分线的性质推出，通过证明，得出，通过证明，得出，即可得出，最后证明，得出，即可得证．
（3）根据题意分3种情况讨论P点位置，利用全等三角形性质及判定即可得到本题答案．
【详解】（1）解：∵轴，
∴
∴
∴，
在中
∴
∴；
（2）
证明：连接，过点E作于点M，过点E作于点N，
由折叠的性质可得：，
∵，，，
∴，
∵为的角平分线，，，
∴，，
∴，
在和中，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴
（3）解：∵，
∴是等腰直角三角形，
∵与全等
∴是等腰直角三角形，
如图所示，
过点作轴的平行线，过点分别作的垂线，垂足分别为，
∴
∵，
∴
∵
∴
又∵
∴
∴
∴
如图所示，
∴，
∴，
∴平分，
∴且平分，
∴，
∵，
∴，
又∵
∴是等腰直角三角形，
∴
∴
如图所示，过点作轴的平行线，过点分别作的垂线，垂足分别为，
∴
∴
∴
∴
如图所示，，
过点分别作轴的垂线，垂足分别为，
∴
∵，
∴
∴
∴，
∵，
∴
∴，
在中，
，，
∴
∴
∴
∴．
综上所述，点的坐标为：，，．
【点睛】本题主要考查了三角形综合，折叠的性质，坐标与图形，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法，全等三角形对应边相等，对应角相等；折叠前后对应角相等；角平分线上的点到两边距离相等．
10．(1)不变，；
(2)第秒或第秒；
(3)不变，．
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质，三角形的外角性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质是解题的关键．
（1）根据等边三角形的性质得．再证，进而证明，得，利用三角形的外角性质即可得解；
（2）设时间为秒，则，分①当和②当两种情形求解即可；
（3）根据等边三角形的性质得，从而得，进而证明，得，再根据即可得．
【详解】（1）解：不变，．
为等边三角形，
．
∵点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为，
，
，
，
，
不变，；
（2）解：设时间为秒，则，
①当时，
，
∴，
，
即，
解得：；
②当时，
，
∴，
，
得，
解得：；
∴当第秒或第秒时，为直角三角形；
（3）解：不变，．
∵在等边中，，
，
∵点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为，
，
，
，
又
，
不变，．
11．(1)证明见解析
(2)8
(3)
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线定理、等腰三角形的性质，构造出全等三角形是解本题的关键．
（1）根据角平分线得出，进而判断出，即可得出结论；
（2）过点作于，根据角平分线得出，进而判断出，得出，进而判断出，得出，再判断出，即可得出结论；
（3）在的延长线上取一点，使，再判断出，进而判断出，得出，，进而判断出，进而判断出，得出，即可得出结论．
【详解】（1）∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）如图2，
过点作于，
∵平分，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）；
证明：如图3，
在的延长线上取一点，使，
∵平分，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
12．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据，以及可证明；
（2）延长、交于点I，根据折叠的性质知，则可证明，则有，再证明，即可得出；
（3）过C作垂直x轴，垂足为J则为长方形则，根据得出，证明，即可证明．
【详解】（1）证明：
，
；
（2）证明：因为沿轴翻折可知，
如解图①，延长、交于点，
在和中，
，
，
轴
，
在和
，
；
（3）证明：过点作垂直轴，垂足为，则为长方形，如图所示：
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了三角形全等、折叠的性质、等角替换、添加辅助线等知识点，综合性强，熟练掌握涉及的每个知识点，并懂得综合运用解答本题的关键．
13．(1)详见解析
(2)或4
(3)2或6
【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，熟练掌握是解题的关键．
（1）根据垂直定义和角平分线的定义得，根据垂直定义得，得，即得；
（2）作于H，于G．由角平分线性质得，根据，，，得，得，解得；当点E运动到延长线上时，，同法可得．
（3）根据，，得，当点D在上，点E在上时，，解得，当点D在延长线上，点E运动到延长线上时，，解得．
【详解】（1）解：如图1中，∵，
∴，
∵AB平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
是等腰直角三角形；
（2）解：如图2中，
①当E在线段上时，作于H，于G．
∵AB平分，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴.
②当点E运动到延长线上时，
，
同法可得，
∴当或时，满足．
故t值为或4；
（3）解：∵，，
∴，
当点D在上，点E在上时，
，
∴，
当点D在延长线上，点E运动到延长线上时，
，
∴，
综上所述，满足的时间为或，
故t值为2或6．
14．（1）相等，垂直；（2）；（3）不变，
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、坐标与图形、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）延长交于点，由题意可得，，证明，得出，，再求出，即可得解；
（2）由等腰直角三角形的性质可得，，证明，得出，即可得解；
（3）作于，证明，得出，证明出，从而得出，即可得解．
【详解】解：（1）如图，延长交于点，
∵，，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴与的数量关系为相等，位置关系为垂直；
（2）∵是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵过点E作轴于点F，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）的值不变，
如图，作于，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴四边形为长方形，
∴，
∴，
∴．
15．(1)
(2)
(3)存在，点的坐标为或
【分析】（1）求出，从而可得，由此即可得；
（2）设与交于点，先证出，从而得，再证出，根据全等三角形的性质可得，然后求出，最后证出为等腰直角三角形，根据等腰三角形的性质可得，由此即可得；
（3）分两种情况：①点在轴的正半轴上；②点在轴的负半轴上；过点作轴于点，证出，根据全等三角形的性质可得，，由此即可得．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，
∴，
∴点的坐标为，
故答案为：．
（2）解：如图1，设与交于点，
∵，，
∵，，，
∴，
∵点关于对称，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴点的坐标为．
（3）解：存在，求解过程如下：
∵点在轴上，
∴分以下两种情况：
①当点在轴的正半轴上时，
如图2，过点作轴于点，
∵，
∴，
∵是以为斜边的等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴点的坐标为．
②当点在轴的负半轴上时，
如图3，过点作轴于点，
同理可证：，，
∴，
∴点的坐标为．
综上，存在以为顶点且以为斜边的三角形为等腰直角三角形，此时点的坐标为或．
【点睛】本题主要考查了点的坐标、轴对称的性质、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．
16．(1)
(2)
(3)的大小不发生变化，理由见解析
【分析】（1）根据非负数是性质：几个非负数的和为零，这几个非负数为零，即可解决．
（2）如图1中，连接，作于F，证明是等腰直角三角形，再证明得，设点，列出方程解决．
（3）的大小不变，如图2中，连接，作于，过点作轴垂线，垂足为，先证明，再证明是等腰直角三角形即可．
【详解】（1），
，
，
解得，
，
B点在y轴负半轴上，且，
．
（2）如图1中，连接，作于，
，
，
,
，
垂直平分线段，
，
，
，
M位于的垂直平分线上，
，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
又，
，
在和中，
，
，
，
设点,
，
解得，
．
（3）的大小不发生改变，理由如下，
如图2，连接，作于，过点作轴垂线，垂足为，
，
，
，
垂直平分，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
又，
，
，
是等腰直角三角形，
，
在点P运动过程中，的大小不发生变化．
【点睛】本题考查垂直平分线的性质，等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、坐标与图形，作出合适的辅助线是解决本题的关键．
17．(1)
(2)见解析
(3)2
【分析】本题考查三角形全等的判定和性质，坐标与图形，等腰直角三角形的判定和性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键．
（1）过点C作轴于H，结合题意证明，得出 ，从而可求出，即得出；
（2）过点E作轴于F，结合题意证明，得出，进而可证明为等腰直角三角形，即得出；
（3）过点C作轴G，由（1）可知，从而易证，得出，即得出．
【详解】（1）如图1，过点C作轴于H，
∴，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：过点E作轴于F，如图2，
∴，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴．
∵点A的坐标为，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图3，过点C作轴G，
由（1）可知：，
∴．
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
18．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）作轴于点，根据题意，证明，求得，即可解答；
（2）作轴于点，并延长交的延长线于点，证明，求得，即可解答；
（3）连接，作于点于点，证明，，根据折叠的性质得到，求出，即可解答．
【详解】（1）解：如图，作轴于点，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
则；
（2）解：如图，作轴于点，并延长交的延长线于点，
平分，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
又，
，
的纵坐标为．
（3）解：如图，连接，作于点于点，
平分平分，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
由折叠可知，
，
，
，
．
【点睛】本题考查几何变换的综合应用，主要考查全等三角形的判定与性质，坐标与图形的性质，折叠的性质，角平分线的性质等知识点，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
19．(1)证明见解答过程；
(2)①；；②当与全等时，秒或5秒或秒
【分析】本题是三角形综合题目，考查的是全等三角形的判定和性质、折叠的性质、以及分类讨论等知识；掌握全等三角形的判定定理和性质定理，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
（1）根据垂直的定义得到，利用定理证明；
（2）①由折叠的性质可得出答案；
②动点N沿路径运动，点N沿路径运动，点N沿路径运动，点N沿路径运动四种情况，根据全等三角形的判定定理列式计算．
【详解】（1）证明：∵直线l，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴ ；
（2）解：①由题意得，，
则，
根据题意得，
由折叠的性质可知，，
∴．
故答案为：；．
②由折叠的性质可知，，
∵，，
∴，
∴当时，与全等，
当点N沿路径运动时，，
解得，（不合题意），
当点N沿路径运动时，，
解得，，
当点N沿路径运动时，由题意得，，
解得，，
当点N沿路径运动时，由题意得，，
解得，，
综上所述，当与全等时，秒或5秒或秒．
20．(1)见解析
(2)①1；②或或，理由见解析
【分析】（1）由等边三角形的性质结合平行线的性质证明，即可得出结论；
（2）①在上作，连接，易证是等边三角形，结合平行线的性质可证，即得出，判断出为等边三角形，即说明当最短时，周长最小．过点作于点E，根据垂线段最短可知此时最短，由全等三角形的性质又可证，得出，最后根据含30度角的直角三角形的性质求解即可；
②分类讨论：ⅰ当点E在下方时，ⅱ当点E在上方，点G在点B的左侧时和ⅲ当点E在上方，点G在点B的右侧时，分别作出辅助线构造全等三角形解答即可．
【详解】（1）证明：是等边三角形，
，，
．
直线，
，
，
．
，，
，即，
，
；
（2）解：①如图，在上作，连接，
是等边三角形，
，
是等边三角形，
，，
．
直线，
，
，
．
，，
，即，
，
，
∴为等边三角形，
∴当最短时，周长最小．
如图，过点作于点E，即此时最短，
∵，
∴此时，
∴．
又∵，，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴；
②分类讨论：ⅰ当点E在下方时，如图，在上截取，连接．
∵，
∴为等边三角形，
∴，．
∵，
∴，即．
∵，
∴，
∴，
∴；
ⅱ当点E在上方，点G在点B的左侧时，如图，在上截取，连接．
∵，
∴为等边三角形，
∴，．
∵，
∴，即．
∵，
∴，
∴，
∴；
ⅲ当点E在上方，点G在点B的右侧时，如图，在上截取，连接．
∵，
∴为等边三角形，
∴，．
∵，
∴，即．
∵，
∴，
∴，
∴．
综上可知、、之间的等量关系为：或或．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，平行线的性质，垂线段最短，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理与性质定理，正确作出辅助线构造全等三角形．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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