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浙教版九年级上册期末全优突破卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列事件属于必然事件的是（ ）
A．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中
B．掷一次骰子，向上一面的点数是6
C．任意画一个三角形，其内角和是180°
D．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
2．将抛物线y＝3x2先向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到的抛物线的解析式是（ ）
A．y＝3（x﹣1）2+2 B．y＝3（x+1）2﹣2
C．y＝3（x﹣1）2﹣2 D．y＝3（x+1）2+2
3．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，把△ABC绕BC边的中点O旋转后得△DEF，若直角顶点E恰好落在AC边上，且DF边交AC边于点G，则CG的长为（ ）
A． B． C． D．
4．九年级某学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为y＝，由此可知该生此次实心球训练的成绩为（ ）
A．6米 B．10米 C．12米 D．15米
5．已知⊙O的半径为10，若PO＝6，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．无法判断
6．二次函数（，，为常数，且）中的与的部分对应值，如表格给出了以下结论：
0 1 2 3 4
5 0 0 5
①二次函数有最小值，最小值为；
②当时，；
③二次函数的图象与轴有两个交点，且它们分别在轴的两侧；
④当时，随的增大而减小.则其中正确结论有（ ）.
A．②④ B．③④ C．②③④ D．①②③④
7．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是x=－1．有以下结论：①abc>0，②4ac＜b2，③2a+b=0，④a－b+c>2，其中正确的结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图，已知⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°，则∠BCD等于（ ）
A．116° B．32° C．58° D．64°
9．已知、、，它们的图像开口由小到大的顺序是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，点A，B，C均在坐标轴上，AO=BO=CO=1，过A，O，C作⊙D，E是⊙D上任意一点，连结CE， BE，则 的最大值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．如图，某下水道的横截面是圆形的，水面CD的宽度为2米，F是线段CD的中点，EF经过圆心O交⊙O于点E，EF＝3米，则⊙O直径的长是 米.
12．若 ，则 = ．
13．已知线段x是线段a、b的比例中项，且a=4，b=9，则x= ．
14．在创建国家生态园林城市活动中，某市园林部门为了扩大城市的绿化面积，进行了大量的树木移栽．下表记录的是在相同的条件下移栽某种幼树的棵数与成活棵数：
移栽棵数 100 1 000 10 000
成活棵数 89 910 9 008
依此估计这种幼树成活的概率是 ．(结果用小数表示，精确到0.1)
15．若扇形的圆心角为60°，弧长为2π，则扇形的半径为 ．
16．对于一个函数，当自变量x取n时，函数值y等于4－n，我们称n为这个函数的“二合点”，如果二次函数y＝mx2+x+1有两个相异的二合点x1，x2，且x1＜x2＜1，则m的取值范围是 ．
三、综合题（本大题共7小题，共66分）
17．（9分）如图，二次函数的图象分别与轴、轴相交于、、三点，其对称轴与轴、线段分别交于点、点，连接，已知点，．
（1）求出该二次函数解析式；
（2）的坐标 ；的坐标
（3）当随增大而减小时，的取值范围是 ；．
18．（9分）图①、图②均是由边长为1的小正方形组成的5×5的网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，在图①、图②给定的网格中，只用无刻度直尺，保留作图痕迹，按要求作图：
（1）图①中，的长为 ．
（2）在图①中的BC边上确定一点P，使点P到三个顶点距离相等．
（3）在图②中，在的边上确定一点M，使得．
19．（9分）如图，在菱形ABCD中，AB＝ ， . 点E在射线BC上，连接DE，DE绕点D顺时针旋转，旋转后得到的线段与对角线AC交于点F，旋转角∠EDF＝∠BAC.射线DE与射线AC交于点P.
（1）如图1，当点E在线段BC上时，求证：△FDP∽△FCD.
（2）如图2，点E在线段BC的延长线上，当DF＝5时，求线段CE的长.
（3）如图3，连接EF，当 时，求线段EF的长.
20．（9分）我区“绿色科技公司”研发了一种新产品，该产品的成本为每件3000元.在试销期间，营销部门建议：①购买不超过10件时，每件销售价为3600元；②购买超过10件时，每多购买一件，所购产品的销售单价均降低5元，但最低销售单价为3200元.根据以上信息解决下列问题：
（1）直接写出：购买这种产品 件时，销售单价恰好为3200元；
（2）设购买这种产品x件（其中x＞10，且x为整数），该公司所获利润为y元，求y与x之间的函数表达式；
（3）在试销期间销售人员发现：当购买产品的件数超过10件时，会出现随着数量的增多，公司所获利润反而减少这一情况.为使销售数量越多，公司所获利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元？（其它销售条件不变）
21．（9分）如图， 三个顶点坐标分别为 ， ， ．
（1）请画出 关于原点 中心对称的图形 ，并直接写出点 的坐标：
（2）请画出 绕原点 逆时针旋转90°的图形 ，并直接写出点 的坐标：
（3）求在（2）的旋转过程中，点 旋转到 所经过的路径长（结果保留 ）
22．（9分）如图，在矩形中，，，，垂足为E．F是点E关于的对称点，连接．
（1）求证：；
（2）求和的长；
（3）将一个与完全重合的透明三角板沿射线方向平移．
①设点在上移动的距离是m．当点分别落在线段上时，求相应的m的值；
②当点落在上时，立刻将绕点顺时针旋转，且旋转60°时停止．点H在上，且．若平移的速度为每秒1个单位长度，绕点旋转的速度为每秒5°，在整个运动过程中，直接写出点H在区域（含边界）内的时长．
23．（12分）如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，左右两个抛物线形是全等的．正常水位时，大孔水面宽度为，大孔顶点P距水面（即），小孔水面宽度为，小孔顶点Q距水面（即），建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）求大孔抛物线的解析式；
（2）现有一艘船高度是，宽度是，这艘船在正常水位时能否安全通过拱桥大孔？并说明理由．
（3）当水位上涨时，求小孔的水面宽度．
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数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列事件属于必然事件的是（ ）
A．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中
B．掷一次骰子，向上一面的点数是6
C．任意画一个三角形，其内角和是180°
D．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
【答案】C
【解析】【解答】解：A属于随机事件，不符合题意；
B属于随机事件，不符合题意；
C属于必然事件，符合题意；
D属于随机事件，不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据随机事件的概念即可求出答案.
2．将抛物线y＝3x2先向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到的抛物线的解析式是（ ）
A．y＝3（x﹣1）2+2 B．y＝3（x+1）2﹣2
C．y＝3（x﹣1）2﹣2 D．y＝3（x+1）2+2
【答案】A
【解析】【解答】解：由题意可得：
抛物线y＝3x2先向右平移1个单位可得：y＝3（x﹣1）2
再向上平移2个单位可得： y＝3（x﹣1）2+2
故答案为：A
【分析】根据函数图象的平移规律：左加右减（对x），上加下减（对y），即可求出答案.
3．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，把△ABC绕BC边的中点O旋转后得△DEF，若直角顶点E恰好落在AC边上，且DF边交AC边于点G，则CG的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：如图，过点O作OM⊥AC与M，
，，，
．
又点O为BC的中点，
，
则，
，
则，
又由旋转可知，
，，，
又，
，
，
则，
，
．
故答案为：B.
【分析】过点O作OM⊥AC与M，根据已知条件 ∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，点O为BC的中点求出CM的长，再利用相似三角形可求出和的长，据此可解决问题．
4．九年级某学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为y＝，由此可知该生此次实心球训练的成绩为（ ）
A．6米 B．10米 C．12米 D．15米
【答案】B
【解析】【解答】解：∵ 实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为，铅球落地点y=0，
∴
解得：x＝-2（舍去），x=10，
则该生此次实心球训练的成绩为10米.
故答案为：B.
【分析】根据解析式和铅球的落地点y=0，可得，据此求出x的值再选择.
5．已知⊙O的半径为10，若PO＝6，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．无法判断
【答案】A
【解析】【解答】解：∵ ⊙O的半径为r=10，PO＝6，
∴PO＜r，
∴ 点P在⊙O内，
故答案为：A.
【分析】比较圆心到点的距离与圆的半径的大小，结合点与圆的位置关系即可判断.
6．二次函数（，，为常数，且）中的与的部分对应值，如表格给出了以下结论：
0 1 2 3 4
5 0 0 5
①二次函数有最小值，最小值为；
②当时，；
③二次函数的图象与轴有两个交点，且它们分别在轴的两侧；
④当时，随的增大而减小.则其中正确结论有（ ）.
A．②④ B．③④ C．②③④ D．①②③④
【答案】C
【解析】【解答】解：由表可知， 二次函数有最小值，最小值为-4，①错误
当时，，②正确
二次函数的图象与轴有两个交点，且它们分别在轴的两侧，③正确
当时，随的增大而减小，④正确
故答案为：C
【分析】根据二次函数的性质逐项进行判断即可求出答案.
7．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是x=－1．有以下结论：①abc>0，②4ac＜b2，③2a+b=0，④a－b+c>2，其中正确的结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】【解答】解：①∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴为直线x==﹣1，∴b=2a＜0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＞0，所以①符合题意；
②∵抛物线与x轴有2个交点，∴△=b2-4ac＞0，∴4ac＜b2，所以②符合题意；
③∵b=2a，∴2a﹣b=0，所以③不符合题意；
④∵x=﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞2，所以④符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是x=－1 ，再结合函数图象判断即可。
8．如图，已知⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°，则∠BCD等于（ ）
A．116° B．32° C．58° D．64°
【答案】B
【解析】【解答】解：∵∠ABD=58°，继而求得∠A=90°-∠ABD=32°，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，∴∠BCD=∠A=32°．
故答案为：B．
【分析】先求出∠A=32°，再计算求解即可。
9．已知、、，它们的图像开口由小到大的顺序是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵，二次项系数绝对值越大，抛物线开口越小
∴
故答案为：C
【分析】根据抛物线的图象与系数的关系可得：二次项系数绝对值越大，抛物线开口越小，再求解即可。
10．如图，点A，B，C均在坐标轴上，AO=BO=CO=1，过A，O，C作⊙D，E是⊙D上任意一点，连结CE， BE，则 的最大值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．
【答案】C
【解析】【解答】当BE为三角形BCE的斜边的时候 C E 2 + B E 2有最大值
∴EC⊥x轴，
∵AO⊥x轴
∴AO=EC=1
则BE2=BC2+CE2=5
C E 2 + B E 2=1+5=6
故答案选C。
【分析】题目属于分析动点最大值的问题，E在圆上运动，分析什么时候 C E 2 + B E 2有最大值，根据平方的关系联想勾股定理，如果有一边为斜边，即有最大值。
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．如图，某下水道的横截面是圆形的，水面CD的宽度为2米，F是线段CD的中点，EF经过圆心O交⊙O于点E，EF＝3米，则⊙O直径的长是 米.
【答案】
【解析】【解答】解：如图，连接OC，
∵F是弦CD的中点，EF过圆心O，
∴EF⊥CD，
∴CF＝FD，
∵CD＝2，
∴CF＝1，
设OC＝x，则OF＝3﹣x，
在Rt△COF中，根据勾股定理，得12+（3﹣x）2＝x2.
解得 x＝ ，
∴⊙O的直径为 米，
故答案为： .
【分析】连接OC，由垂径定理可得EF⊥CD，CF=FD，设OC＝x，在Rt△COF中，根据勾股定理可得关于x的方程，解方程可求解.
12．若 ，则 = ．
【答案】
【解析】【解答】解：根据题意，
设x=2k，y=3k，z=4k，
则 = ，
故答案为：
【分析】根据比例设x=2k，y=3k，z=4k，然后代入式子化简求值即可.
13．已知线段x是线段a、b的比例中项，且a=4，b=9，则x= ．
【答案】6
【解析】【解答】解：若x是线段a、b的比例中项，即 ．则 ，
故答案为：6．
【分析】根据比例中项的含义可得ab=x2，将数值代入，即可求出x的数值。
14．在创建国家生态园林城市活动中，某市园林部门为了扩大城市的绿化面积，进行了大量的树木移栽．下表记录的是在相同的条件下移栽某种幼树的棵数与成活棵数：
移栽棵数 100 1 000 10 000
成活棵数 89 910 9 008
依此估计这种幼树成活的概率是 ．(结果用小数表示，精确到0.1)
【答案】0.9
【解析】【解答】由表中数据可知，当移栽的幼树棵数分别为100棵，1000棵和10000棵时，幼树成活的频率分别为：0.89、0.91、0.9，
∴我们估计这种幼树成活的概率为：P（幼树成活）=0.9.
故答案为：0.9.
【分析】先分别求出表中的幼树成活的频率，再根据在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可得出答案。
15．若扇形的圆心角为60°，弧长为2π，则扇形的半径为 ．
【答案】6
【解析】【解答】∵扇形的圆心角为60°，弧长为2π，
∴l=，即2π=，
则扇形的半径r=6．
故答案为：6
【分析】利用扇形的弧长公式表示出扇形的弧长，将已知的圆心角及弧长代入，即可求出扇形的半径．
16．对于一个函数，当自变量x取n时，函数值y等于4－n，我们称n为这个函数的“二合点”，如果二次函数y＝mx2+x+1有两个相异的二合点x1，x2，且x1＜x2＜1，则m的取值范围是 ．
【答案】﹣ ＜m＜0或m＞1
【解析】【解答】根据题意得：
整理得:
∵有两个相异的二合点
∴
得:
① 当m>0时，根据x1＜x2＜1，由求根公式得:
解得:m>l，m<0(舍去)
② 当m<0时，根据x1＜x2＜1,由求根公式得:.
解得:m<0，m>1(舍去)
综上所述:﹣ ＜m＜0或m＞1
故答案是：﹣ ＜m＜0或m＞1
【分析】题目中，有两个相异的二合点，根据一元二次方程的判别式△= ，得到 ，再分别讨论当m＞0时，m＜0时，用求根公式表示出方程两根，利用x1＜x2＜1求出m的范围.
三、综合题（本大题共7小题，共66分）
17．（9分）如图，二次函数的图象分别与轴、轴相交于、、三点，其对称轴与轴、线段分别交于点、点，连接，已知点，．
（1）求出该二次函数解析式；
（2）的坐标 ；的坐标
（3）当随增大而减小时，的取值范围是 ；．
【答案】（1）解：由二次函数经过，得
，
解得，
所以抛物线为：，
（2）（3，0）；（1，-4）
（3）x＜1
【解析】【解答】解：（2）∵=，
∴顶点．
令则，解得或，
∴点B．
故答案为：（3，0），（1，-4）
（3）对于二次函数，
∵，抛物线开口向上，对称轴为直线，
∴当时，y随增大而减小，
故答案为：x＜1．
【分析】（1）将点A、C的坐标代入求出b、c的值即可；
（2）将抛物线的解析式化为顶点式可得点D的坐标，再将y=0代入解析式求出x的值，即可得到点B的坐标；
（3）结合函数图象直接求出x的取值范围即可。
18．（9分）图①、图②均是由边长为1的小正方形组成的5×5的网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，在图①、图②给定的网格中，只用无刻度直尺，保留作图痕迹，按要求作图：
（1）图①中，的长为 ．
（2）在图①中的BC边上确定一点P，使点P到三个顶点距离相等．
（3）在图②中，在的边上确定一点M，使得．
【答案】（1）
（2）解：如图①中，点即为所求，
理由如下：
根据平行四边形对角线互相平分或平行线分线段成比例，确定出为的中点，
再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到；
（3）解：如图②中，点即为所求，
理由如下：
根据与相交于，利用网格的特点得出两个三角形相似或平行线分线段成比例，建立等式，
例如：设，
则，
解得，
即点为所求．
【解析】【解答】（1）解：．
故答案为：；
【分析】（1）利用勾股定理求出AB的长即可；
（2）找出线段BC的中点即可得到答案；
（3）设，则，再求出即可。
19．（9分）如图，在菱形ABCD中，AB＝ ， . 点E在射线BC上，连接DE，DE绕点D顺时针旋转，旋转后得到的线段与对角线AC交于点F，旋转角∠EDF＝∠BAC.射线DE与射线AC交于点P.
（1）如图1，当点E在线段BC上时，求证：△FDP∽△FCD.
（2）如图2，点E在线段BC的延长线上，当DF＝5时，求线段CE的长.
（3）如图3，连接EF，当 时，求线段EF的长.
【答案】（1）∵四边形ABCD是菱形
∴AB∥CD
∴∠BAC=∠DCF
∵∠EDF=∠BAC
∴∠EDF=∠DCF
∵∠DFP=∠CFD
∴△FDP∽△FCD
（2）连接DB交AC于点O
∵四边形ABCD是菱形
∴∠DOC=90°
∵CD=AD=AB= ，
∴ DO=4，CO=6
在Rt△DOF中，DF=5，由勾股定理得：
∴FC=OC OF=3
由（1）得：△FDP∽△FCD
∴
∴
∴
∴ ，
∵四边形ABCD是菱形
∴AD∥BE
∴
∵
∴
（3）∵四边形ABCD是菱形
∴∠BAC=∠BCA
∵
∴∠EFC=∠BAC
∴∠EFC=∠BCA
∴EF=EC
由（1）得：∠FDE=∠BAC=∠BCA
∵∠FPD=∠EPC
∴△FPD∽△EPC
∴
∵∠FPE=∠DPC
∴△FPE∽△DPC
∴∠PDC=∠EFC
∵∠EFC=∠BAC=∠DAC
∴∠PDC=∠DAC
∵∠DCP=∠ACD
∴△DCP∽△ACD
∴
由（2）得： ，
∴ ，
∵四边形ABCD是菱形
∴AD∥BC
∴
∴
∴
【解析】【分析】（1）根据菱形的性质得AB∥CD，可得∠BAC=∠DCF，从而易得∠EDF=∠DCF，则可得结论成立；
（2）连接DB，在Rt△DOC中由菱形的边长及∠BAC的正切值可求得OD、OC的值，从而求得OF；由（1）的相似，对应边成比例求得FP；再由CE∥AD，对应线段成比例求得CE；
（3）先证△FPD∽△EPC，其对应边成比例，再证得△FPE∽△DPC，其对应角相等，最后证得△DCP∽△ACD，得 ，从而求得CP，AP，由CE∥AD，对应线段成比例求得CE.
20．（9分）我区“绿色科技公司”研发了一种新产品，该产品的成本为每件3000元.在试销期间，营销部门建议：①购买不超过10件时，每件销售价为3600元；②购买超过10件时，每多购买一件，所购产品的销售单价均降低5元，但最低销售单价为3200元.根据以上信息解决下列问题：
（1）直接写出：购买这种产品 件时，销售单价恰好为3200元；
（2）设购买这种产品x件（其中x＞10，且x为整数），该公司所获利润为y元，求y与x之间的函数表达式；
（3）在试销期间销售人员发现：当购买产品的件数超过10件时，会出现随着数量的增多，公司所获利润反而减少这一情况.为使销售数量越多，公司所获利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元？（其它销售条件不变）
【答案】（1）90
（2）当x≥90时，一件产品的利润为：3200-3000=200元，
故此时y与x的函数关系式为：y=200x(x≥90)；
当10＜x＜90时，一件产品的利润为：3600-5(x-10)-3000=(-5x+650)元，
故此时y与x的函数关系式为：y=x[-5x+650]=-5x +650x(10＜x＜90)；
（3）要满足购买数量越大，利润越多.故y随x的增大而增大，
y=200x，y随x的增大而增大，
y=-5x2+650x，其对称轴为x=65，故当10≤x≤65时，y随x的增大而增大，
若一次购买65件，设置为最低售价，则可以避免y随x增大而减小的情况发生，
故x=65时，设置最低售价为3600-5×(65-10)=3325（元），
【解析】【解答】解：(1)设购买这种产品 x件时，销售单价恰好为3200元，
由题意得：3600-5(x-10)=3200，解得：x=90，
故答案为：90；
【分析】(1)购买这种产品 x件时，销售单价恰好为3200元，可得关于x的一元一次方程，即可求解；
(2)分10＜x＜90和x≥90两种情况，分别求解即可；
(3)根据(2)中求出的函数解析式，结合二次函数与一次函数的增减性求解即可.
21．（9分）如图， 三个顶点坐标分别为 ， ， ．
（1）请画出 关于原点 中心对称的图形 ，并直接写出点 的坐标：
（2）请画出 绕原点 逆时针旋转90°的图形 ，并直接写出点 的坐标：
（3）求在（2）的旋转过程中，点 旋转到 所经过的路径长（结果保留 ）
【答案】（1）解：根据中心对称的性质先确定点A1、B1、C1的位置，顺次连线即可得到图形，
如图所示， 即为所求，
∵点A的坐标为 ，中心对称横纵坐标都是互为相反数，
∴点 的坐标为
（2）解：根据旋转的性质确定点A2、B2、C2的位置，顺次连线即可得到图形；
如图所示， 即为所求，
∵以原点为旋转中心，图形上的点坐标横纵坐标换位，符号改变看象限，点A坐标为（3，4），
∴点 的坐标为
（3）解：根据题意可知， ， ，
点A旋转到A2所经过的路径长为：
【解析】【分析】（1）根据题意作图，再求点的坐标即可；
（2）根据旋转作图，再结合图象求点的坐标即可；
（3）先求出OA=5，再根据弧长公式计算求解即可。
22．（9分）如图，在矩形中，，，，垂足为E．F是点E关于的对称点，连接．
（1）求证：；
（2）求和的长；
（3）将一个与完全重合的透明三角板沿射线方向平移．
①设点在上移动的距离是m．当点分别落在线段上时，求相应的m的值；
②当点落在上时，立刻将绕点顺时针旋转，且旋转60°时停止．点H在上，且．若平移的速度为每秒1个单位长度，绕点旋转的速度为每秒5°，在整个运动过程中，直接写出点H在区域（含边界）内的时长．
【答案】（1）证明：∵F是点E关于的对称点，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵在矩形中，，，
∴，
∵，，
∴，；
（3）解：①由（1）可得，，由平移的性质可得：，
当落在线段上时，如下图：
∵，
∴，
∴，
∴，即；
当落在线段上时，如下图：
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴是等腰三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，即；
②点H在区域（含边界）内的时长为秒
【解析】【解答】解：（3）②根据题意，可知点H在区域内可分为两段：
当点H落在边上时，如图，
∵，
∴，
∴；
当落在线段上时，如图，由①得，，
∵，
∴，
∴绕点顺时针旋转时，当旋转到经过点H时，记此时的对应点为M，
∵，，
∴在直角三角形中，，
∴，
∵，
∴，
∴旋转时点H在区域（含边界）内的时长为秒；
综上，在整个运动过程中，点H在区域（含边界）内的时长为秒
【分析】（1）先根据对称得到，进而运用三角形全等的判定（SSS）即可求解；
（2）先根据矩形的性质得到，进而结合题意运用特殊角的三角函数值即可求解；
（3）①由（1）可得，，由平移的性质可得，进而分类讨论：当落在线段上时，当落在线段上时，再根据平行线的性质结合等腰三角形的判定与性质进行运算即可求解；
②根据题意分类讨论：当点H落在边上时，当落在线段上时，进而根据旋转的性质结合题意解直角三角形即可求解。
23．（12分）如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，左右两个抛物线形是全等的．正常水位时，大孔水面宽度为，大孔顶点P距水面（即），小孔水面宽度为，小孔顶点Q距水面（即），建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）求大孔抛物线的解析式；
（2）现有一艘船高度是，宽度是，这艘船在正常水位时能否安全通过拱桥大孔？并说明理由．
（3）当水位上涨时，求小孔的水面宽度．
【答案】（1）解；设大孔抛物线的解析式为，
由题意得，，
把代入中得：，
解得，
∴大孔抛物线的解析式为；
（2）解：这艘船在正常水位时能安全通过拱桥大孔，理由如下：
在中，当时，解得，
∵，
∴这艘船在正常水位时能安全通过拱桥大孔；
（3）解：设右边小孔抛物线解析式为，
由题意得，，
把代入中得，
解得，
∴右边小孔抛物线解析式为，
在中，当时，
解得或，
∴，
∴小孔的水面宽度为．
【解析】【分析】（1）设大孔抛物线的解析式为，先根据题意得到点A的坐标，再将点A的坐标代入函数解析式即可得到a，从而即可求解；
（2）根据题意求出x=9时y的值，进而对比船高即可求解；
（3）设右边小孔抛物线解析式为，进而根据题意得到点B的坐标，再代回得到a'，从而得到函数解析式，再根据题意令y=4，从而求出x，再将x的值相减即可求解。
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