2024-2025学年人教版八年级上册数学期末专题训练：证明题（含解析）

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2024-2025学年人教版八年级上册数学期末证明题专题训练
1．如图，平分且平分，，点F在射线上，且．
(1)求证：；
(2)求证：．
2．如图，在中，为的角平分线，E为上一点，且满足．
(1)求证：；
(2)若，求的大小．
3．如图①，四边形中，，连接，且，点在边上，连接，过点作，垂足为，若．
(1)求证：；
(2)如图②，连接，且是的角平分线，求证：．
4．如图，在和中，，点在上，且，过点作于点，且．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
5．如图，是的角平分线，，垂足分别为E，F．
(1)求证：；
(2)若的面积为80，，求的长．
6．如图，在等边三角形中，点D，E分别在边，上，且，过点E作，交的延长线于点F．
(1)求的度数；
(2)求证：是等腰三角形；
(3)若，求的长．
7．如图，在中，，，点在边上，点，在线段上，且，．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
8．如图，在和中，与交于点，与交于点，与交于点，已知，，．

证明：
(1)；
(2)．
9．如图，已知，，．
(1)求证：；
(2)求的度数．
10．如图1，在中，，延长至D，过点D作交的延长线于点E，延长至F，过点F作交的延长线于点G，且．
(1)求证：；
(2)如图2，连接，交于点H，用等式表示线段与的数量关系，并证明．
11．如图，在中，，，过点C在外做直线，．
(1)求证：；
(2)如图1，求证；
(3)如图2，若过点C在内作，，则，与之间有何关系？说明理由．
12．如图，与交于点，连接，，M和分别为和上的点，且，，．
(1)若，求证：．
(2)在（1）的条件下，若，，求的长．
13．如图，点在同一直线上，，，，与交于点．

(1)求证：．
(2)若，，求的度数．
14．如图，在中，点D在边上，点G在边上，点E、F在边上，，
(1)试判断与的位置关系，并说明理由；
(2)若，，求的度数．
15．如图1，已知在和中，，，，交于总．
(1)求证：；
(2)①如图1，当时，求的度数；
②如图2，猜想：当时，的度数为多少（直接用的式子表示）？
16．如图，在中，，，为的中点，，垂足为，过点作交的延长线于点，连接．
(1)求证：．
(2)求证：
(3)连接，试判断的形状，并说明理由．
17．如图，在中，，为边上一点，过作，分别与，相交于点和点．
(1)求证：；
(2)若，求证：．
18．如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点，，的垂直平分线分别交，于点，，直线与直线交于点．
(1)求证：点在线段的垂直平分线上．
(2)已知，求的度数．
19．如图是等边三角形，，，点E，F分别在，上，且．
(1)求证：；
(2)若的边长为1，求的周长．
(3)探究与的数量关系，并说明理由．
20．如图，在中，，，为边的中点，过点作交的延长线于点，平分交于点，为边上一点，连接，且．求证：

(1)；
(2)．
21．如图，已知和，点C在线段上，．
(1)求证；
(2)若，连接，求证是等边三角形．
22．如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于P点，于D，于
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
23．如图，，点A，F，C，E在一条直线上．
(1)求证：；
(2)连接．若，求的度数．
24．如图，在四边形中，为上的一点
求证：
(1)平分；
(2)
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参考答案：
1．
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由角平分线的定义可得，，再利用证明即可得证；
（2）由全等三角形的性质可得，再证明，即可得证．
【详解】（1）证明：∵平分且平分，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）证明：由（1）可得，
∴，
∴，
由（1）知：，
在和中，
，
∴，
∴．
2．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形外角的定义和性质，全等三角形的判定和性质．
（1）由角平分线的性质得出，即可利用证明．
（2）由全等三角形的性质得出，再根据三角形外角的定义和性质即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵为的角平分线，
，
在和中，
，
（2）解：∵，
，
，
．
3．(1)详见解析
(2)详见解析
【分析】（1）根据题意证明，进而根据证明，即可求解；
（2）连接，由（1）证明可得，，证明，得出，进而即可得证．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
在和中，
．
∴；
（2）证明：连接，
由（1）证明可得，
，
在和中，
．
，
，
．
4．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理．
（1）先证得，再由得，即可得出结论；
（2）设，由（1）可得，再由得，即可得，再由三角形内角和定理即可得解．
【详解】（1）证明：∵在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴设，由（1）可得，
∵，
∴，即，
解得，
∴，
∴．
5．(1)见解析
(2)24
【分析】本题主要考查了角平分线的性质、三角形面积求法，难度中等，熟练掌握角平分线的性质是解答本题的关键．
（1）由角平分线的性质直接得出结论即可；
（2）先算出的面积，得出的面积，从而算出．
【详解】（1）证明：∵是的角平分线，，，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴．
6．(1)
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查等边三角形的性质，平行线的性质，三角形内角和，等腰三角形的判定与性质，比较基础，难度不大．
（1）根据是等边三角形和平行线的性质，可证，再根据三角形内角和为，即可求得．
（2）根据题意易证，从而可得到，故此可证为等腰三角形．
（3）根据等边三角形的性质可得，再根据，可得，然后由进行求解即可．
【详解】（1）解：∵是等边三角形，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为等腰三角形．
（3）解：由（1）可知，
∴，
又∵，
∴，
∴．
7．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定、三角形的外角性质，解题的关键是熟悉掌握全等三角形的性质和证明．
（1）由和，得到，根据等量代换得；
（2）根据等角的补角相等得到，从而证明．得到，再根据，，求得的长．
【详解】（1）证明：，，
，
又，
，
（2）解：，，，
．
在和中，
，
．
，
又，，
，
．
8．(1)见解析；
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．
（1）先得到，再由证明即可；
（2）先证明，再证明，利用全等三角形的性质即可求证．
【详解】（1）证明：，
，即.
在和中
，
；
（2）证明：，
，.
在和中，
，，，
，
，
，即.
又，
，
．
9．(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定，三角形的外角性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）由得到，即可证明；
（2）根据三角形外角和性质即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，，
∴；
（2）解：由（1）知，
∵，
∴．
10．(1)见解析
(2)，理由见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．
（1）根据等腰三角形的性质可得，进一步可得，根据即可证明；
（2）由可得，再证明，得到，即可求出．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴；
（2）解：，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
，
，
．
11．(1)见解析
(2)见解析
(3)，理由见解析
【分析】本题主要考查三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题关键．
（1）根据题意易证，，即可由“”证明；
（2）由全等三角形的性质得出，，再根据，即可证明；
（3）与（1）同理可证，即得出，，再根据，即可解答．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，，，
∴．
又∵，
∴；
（2）证明：∵，
∴，．
∵，
∴；
（3）解：．
理由：∵，，
∴，，，
∴．
又∵，
∴，
∴，．
由图可知，
∴．
12．(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键；
（1）根据平行线的性质和对顶角相等得，然后利用平角的定义和等量代换得，利用即可得出结论；
（2）根据全等三角形的性质及线段和和差关系即可得出答案；
【详解】（1）解：证明：，
．
，
∴，
，，
，
在和中，
，
；
（2）由（1）知，
，
，，
．
13．(1)证明见解析
(2)
【分析】（）利用Z证明即可求证；
（）利用全等三角形的性质和三角形内角和定理即可求解；
本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：，
.
在和中，
，
；
（2）解：，
，，
．
14．(1)，理由见解析
(2)
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，三角形内角和定理，熟练地掌握平行线的判定和性质是解决问题的关键．
（1）先证，得出，进而得出，最后证得；
（2）由，可知，进而，根据三角形内角和定理最后求得的度数．
【详解】（1）解：，理由如下：
∵，
∴，
∴，
又，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
，
，
∴．
15．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质和判定等知识点，掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．
（1）由“SAS”可证，再根据全等三角形的性质即可证明结论；
（2）①先证明是等边三角形，则，由(1)中全等三角形性质得∶，最后由“8字形”解答即可；②根据三角形内角和定理可得，再同理①证得可得即可解答．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
（2）解：①如图1，∵，
∴是等边三角形，，
∵，
∴，
∵，
∴；
②如图2，由(1)知：，
当时，，
∴，
由①同理得∶．
16．(1)见解析
(2)见解析
(3)等腰三角形，见解析
【分析】（1）由平行可求得，再结合等腰三角形的判定和性质可求得；
（2）结合（1）的结论，可证明，从而证明；
（3）由（2）可得，又证明垂直平分，可得，可证明，可知为等腰三角形．
【详解】（1）证明：，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
；
（2）证明：由（1）可知，
为的中点，
在和中，
，
（3）解：由（）可知，
，
由（）可知，，
∴垂直平分，
，
，
为等腰三角形．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，平行线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键．
17．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，熟悉掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
（1）根据三角形的内角和定理和平角的定义即可得到结论；
（2）根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵，，，
∴；
（2）解：∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴．
18．(1)详见解析
(2)
【分析】（）连接，，，根据线段垂直平分线的性质证明，从而证明结论即可；
（）先根据相等垂直平分线的性质证明，，进而得，由三角形的内角和得，再求得，，从而即可得解。
本题主要考查了线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理，直角三角形的性性质，解题关键是熟练掌握线段的垂直平分线的性质
【详解】（1）证明：如图，连接，，．
垂直平分，垂直平分，
，，
，
点在线段的垂直平分线上，
（2）解：垂直平分，垂直平分，
，，，
，
，，
，
，
，，
，，
19．(1)证明过程见详解；
(2)2
(3)，理由见详解．
【分析】本题是三角形的综合题，考查了等边三角形性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定的综合运用．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
（1）延长到，使，连接，求出，根据证，推出，，求出，根据证明，推出，即可得出答案；
（2）由（1）得的周长等于，即可解答；
（3）根据（1）中的即可解答．
【详解】（1）证明：延长到，使，连接，
是等边三角形，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，
，
即，
在和中，
，
，
，
；
（2）解：是边长为1的等边三角形，
，
，
的周长为：；
（3）解：，
理由如下：由（1）知：，
．
20．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
（1）根据题意，则，，等量代换，则，根据全等三角形的判定和性质，即可；
（2）延长交于，连接，根据题意，垂直平分线的性质，证明得到是的垂直平分线，则，，根据平行线的判定和性质，则，，根据，推出，根据全等三角形性质，则，得到，根据为边的中点，全等三角形的判定和性质，则，根据边的等量关系，即可．
【详解】（1）证明，如下：
∵，，
∴，
∵平分交于点
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
（2）证明，如下：
延长交于，连接，
∵ 平分，，
∴是的垂直平分线，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为边的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．

21．(1)见解析
(2)见解析
【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定．
（1）由，，，根据证明；
（2）由全等三角形的性质得，，则可得出结论．
【详解】（1）证明：在和中，
，
；
（2）解：由（1）得，
，
是等边三角形．
22．(1)见解析
(2)2
【分析】本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
（1）连接、，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，然后利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；
（2）利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再根据、的长度表示出、，然后解方程即可．
【详解】（1）证明：如图，连接，，
点P在的垂直平分线上，
，
是的平分线，于D，于E，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：∵平分，于D，于
∴，
在和中，
，
，
，
，，且，
，
即，
解得
23．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形的内角和；
（1）由可得，即可得到；
（2）由可得，再由得到，最后根据列方程计算即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
即；
（2）∵，
∴．
∵，
∴，
∵，，
∴，
解得．
24．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义．
（1）利用证明，则，即可得出结论；
（2）利用证明，则．
【详解】（1）证明：在和中，
，
，
，
平分；
（2）在和中，
，
，
．
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