2024-2025学年人教版九年级上册数学期末专题训练：二次函数综合压轴题（含解析）

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2024-2025学年人教版九年级上册数学期末二次函数综合压轴题专题训练
1．如图，已知抛物线的图象与x轴交于A和两点，与y轴交于，直线经过点B，且与y轴交于点D，与抛物线交于点E，与对称轴交于点F．
(1)求抛物线的解析式和m的值；
(2)在抛物线的对称轴上找一点P，使的值最小，求满足条件的点P的坐标．
(3)在x轴上有M、N两点（M在N的右侧），且，若将线段在x轴上平移，当它移动到某一位置时，四边形的周长会达到最小，请求出周长的最小值（结果保留根号）．
2．抛物线（，，是常数，）与轴交于A，B两点，与轴交于点，三个交点的坐标分别为，，．
(1)求抛物线对应的函数解析式及顶点的坐标．
(2)如图，若为线段上的一个动点（不与点B，D重合），过点P作轴于点，连接，，求四边形的最大面积和此时点的坐标．
(3)若是抛物线在第一象限上的一个动点，过点作，交轴于点．当点的坐标为 时，四边形是平行四边形．
3．如图，已知抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C，点P是抛物线上一点，连接，．
(1)求b，c的值；
(2)若点P在第一象限内，过点P作轴交直线于点D，求线段的最大值；
(3)连接，，若，请判断是否存在符合要求的点，若存在求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
4．已知：如图，抛物线与轴交于点，与轴交于，两点，点在点左侧．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线上是否存在一点，使，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由；
(3)若点是轴上一个动点，求使为等腰三角形的点的坐标．
5．如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线．
(1)求抛物线的表达式；
(2)是第二象限内抛物线上的动点，设点的横坐标为，求三角形面积的最大值及此时点的坐标；
(3)若点在抛物线对称轴上，是否存在点，，使以点，，，为顶点的四边形是以为对角线的菱形？若存在，请求出，两点的坐标．
6．如图，二次函数的图象与轴的交点分别是点和点与轴交于点．
(1)求二次函数表达式
(2)利用配方法写出二次函数的顶点坐标．
(3)在抛物线上是否存在一点（与点不重合），使以的面积等于的面积？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
7．如图，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式及其顶点的坐标；
(2)点是直线上的一动点，交抛物线于，当点是线段的中点时，求出点的坐标；
(3)设直线交轴于点．在线段的垂直平分线上是否存在点，使得点到直线的距离等于点到原点的距离？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
8．如图，以点为顶点的抛物线交直线于另一点，过点作平行于轴的直线，交该抛物线于另一点．
(1)用含的代数式表示的值；
(2)若．
①求该抛物线的函数解析式；
②在直线下方的抛物线上，是否存在点，使得的面积和的面积比是？若存在，请写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
9．抛物线交轴于，两点（在的左边），交轴于点．
(1)直接写出，，三点的坐标；
(2)如图1，作直线，分别交轴，线段，抛物线于，，三点，连接．若与相似，求的值；
(3)如图2，过的中点作动直线（异于直线）交抛物线于，两点，若直线与直线交于点．证明：点在一条定直线上运动．
10．已知二次函数经过点，与x轴交于点，点，点D为抛物线的顶点．
(1)求此二次函数解析式；
(2)连接，求证：是直角三角形；
(3)若点P是直线上方抛物线的一动点，当面积取最大值时，求点P的坐标．
11．如图，抛物线经过平行四边形的顶点，，，抛物线与x轴另一交点为E，经过E点的直线将平行四边形分割成面积相等的两部分，与抛物线交于另一点，为直线上方抛物线上一点，设点P横坐标为t．
(1)求抛物线的解析式．
(2)求F点坐标．
(3)t为何值时，面积最大？
12．如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线．动点在轴上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为．
(1)求抛物线的解析式和直线的解析式；
(2)当点在线段上运动时，求线段的最大值；
(3)当点在线段上运动时，若是以为腰的等腰直角三角形时，求的值；
(4)当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出的值．
13．如图，二次函数的图象交轴于点，点与点关于该二次函数图象的对称轴对称，已知一次函数的图象经过该二次函数图象上的点及点．
(1)求二次函数与一次函数的解析式、
(2)点P是该抛物线上一动点，点从点沿抛物线向点运动（点不与、重合），过点作轴，交直线于点．请求出点在运动的过程中，线段的长度的最大值以及此时点的坐标：
(3)抛物线上是否存在点，使，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
14．如图，在平面直角坐标系中，二次函数，图象经过、两点．
(1)求二次函数的解析式及它的对称轴；
(2)设点是抛物线上的一个动点，横坐标为，
①当，则点的纵坐标的取值范围是___________；
②过点做轴，交直线于，当线段时，请求出的值．
15．如图所示，抛物线与轴相交于两点，与轴相交于点，点为抛物线的顶点．
(1)则点的坐标为 ；顶点的坐标为 ；
(2)若点是第四象限内抛物线上的一个动点，连接，求面积的最大值及此时点的坐标；
(3)若直线（）分别交直线和抛物线于点，点为平面内任意一点，当点构成的四边形为菱形时，请直接写出点的坐标．
16．如图，已知二次函数的图象与x轴相交于两点，与y轴相交于点C．

(1)求这个二次函数的表达式．
(2)若M是第一象限内线段上任意一点（不与B，C重合），轴于点H，与二次函数的图象交于点P，连接．设点M的横坐标为t，当是直角三角形时，求点M的坐标．
(3)如图，若M是直线上任意一点，N是x轴上任意一点，且．以N为旋转中心，将逆时针旋转，使M落在Q点，连接，则线段的取值范围为 ．（直接写出答案）
17．如图1，抛物线交轴于，两点，交轴于点，是第四象限内抛物线上的动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为，，当四边形是正方形时，求点的坐标；
(3)如图2，连接，，过点作交线段于点，连接，，，记与面积分别为，，设，求的最大值．
18．二次函数的图象与轴分别交于点，与轴交于点，为抛物线上的两点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)当两点关于抛物线对称轴对称，是以点为直角顶点的直角三角形时，求点的坐标；
(3)若点P在直线的下方，当点P到直线距离最大时，试求点P的坐标，并且求出点P到直线的距离．
19．如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，点的坐标为．
(1)求的值及抛物线的顶点坐标；
(2)点在抛物线上且满足，求的坐标；
(3)点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标．
20．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，直线为该抛物线的对称轴，点与点关于直线对称．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标；
(3)点为直线下方抛物线上一动点，连接，，求面积的最大值．
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参考答案：
1．(1)，m的值是3
(2)
(3)
【分析】（1）用待定系数法可得抛物线的解析式，然后代入一次函数解析式即可得m的值；
（2）连接交对称轴于P，点P就是所求的点．根据点B和点C的坐标求出直线的解析式，进而求出点P的坐标即可；
（3）由E，F为定点，可得当的和最小时，四边形的周长最小，将点F向右平移2个单位得到F′，作点E关于x轴的对称点，连接与x轴交于点M，过点F作交x轴于点N，则，，而，M，三点共线，故此时的值最小，可得，，，，从而求出E'F'，，即知四边形周长的最小值为．
【详解】（1）解：把，代入得：
，
解得，
∴；
把代入得：
，
解得，
∴抛物线的解析式为，m的值是3；
（2）如图1，连接交对称轴于P，
∵A，B关于对称轴对称，
∴，
∴，
∴的最小值为，
∴点P就是所求的点．
∵抛物线解析式为，
∴抛物线的对称轴为直线，
设直线的解析式为，将，代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
把代入得：，
∴点P的坐标为；
（3）∵E，F为定点，
∴线段的长为定值，
∴当的和最小时，四边形的周长最小，
将点F向右平移2个单位得到，作点E关于x轴的对称点，连接与x轴交于点M，过点F作交x轴于点N，如图2：
作图可知，，，
∵，M，三点共线，
∴，此时的值最小，
∵，
∴抛物线对称轴为直线，
∵点F为直线与的交点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴四边形周长的最小值为．
【点睛】此题考查二次函数的图象与性质、待定系数法求函数解析式、勾股定理、轴对称最短问题，掌握待定系数法，利用轴对称图形的性质添加辅助线，构造线段和的最小值，是解题的关键．
2．(1)，
(2)，；
(3)
【分析】（1）把，，代入，再建立方程组求解解析式，再化为顶点式解题即可；
（2）先求解直线的解析式为，求出点C坐标，利用直角梯形的面积公式可得四边形的面积加上的面积可得函数关系式，求得面积的最大值；
（3）要使四边形是平行四边形只要即可，利用二次函数的对称性可得答案．
【详解】（1）解：把，，代入，得
，
解得，
∴；
∴抛物线的顶点；
（2）解：设直线的解析式为，将点、点的坐标代入得
，解得，
所以直线的解析式为
设，而，．
由题意可知：
∴，，．
∴
．
∵，
∴当时，；
∴；
故四边形的最大值为，点P的坐标为．
（3）解：如图，过点作，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴关于抛物线对称轴直线对称，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题，涉及了二次函数的解析式及顶点、一次函数的解析式、二次函数在三角形和平行四边形中的应用，将二次函数的解析式与几何图形相结合是解题的关键．
3．(1)，
(2)最大值为
(3)存在，P的坐标为或
【分析】（1）将点A和B代入解析式即可求得；
（2）利用待定系数法求得直线BC的表达式为．，设，则，则，结合二次函数的性质即可求得最大值；
（3）由（1）知，抛物线解析式为，即可求得点C，进一步求得，分点P在x轴上方和下方，分别列出等式，解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：由题意得，，
解得：，
∴，．
（2）解：设直线的表达式为，
将，分别代入，
得，解得，
故直线的表达式为．
设，则，
∴，
∵，
∴当时，线段有最大值，最大值为
（3）解：由（1）知，抛物线解析式为，
当时，，
∴，
∵，，
∴，，，
∴
①如图，当P在x轴上方时，
设，
∴
，
∵，
∴，
整理得：，
∴，
∴此方程无实数根，
∴在x轴上方不存在P点满足题意．
②如图，当P在x轴下方时，
由①得：∴
，
∵，
∴，
整理得：，
解得：，，
当时，；
当时，；
∴P的坐标为或．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，涉及待定系数法求解析式、二次函数最值、求一次函数的解析式和解一元二次方程等知识点，解题的关键是熟悉二次函数的性质．
4．(1)
(2)
(3)或或或
【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与图形面积，二次函数与等腰三角形等知识．
（1）将点，代入抛物线中，求出待定系数的值，即可得出抛物线的解析式；
（2）设，则，根据，可得，解方程即可；
（3）设，表示出三边，再根据等腰三角形分情况讨论，列方程求解即可．
【详解】（1）解：把，代入可得
解得，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：令可得，
解得
∴，
设，
∴，
∵，，
∴，
∴①或②，
解方程①得，方程②无解
∴；
（3）解：∵点是轴上一个动点，
∴设，
∵，，
∴，，，
∵为等腰三角形，
∴当时，，则，解得，此时或（舍去）；
当时，，则，解得，此时或；
当时，，则，解得，此时；
综上所述，存在使为等腰三角形，或或或．
5．(1)
(2)，
(3)存在，，
【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质：
（1）令，时，分别代入，求得点，，的坐标，设抛物线的表达式为，将代入，即可求得答案；
（2）作于点，交于，可得，可得，根据二次函数的图像和性质，即可求得答案；
（3）设，可得，，根据，可求得，结合， 即可就得答案．
【详解】（1）解：令时，代入，
∴ ．
∴．
令时，代入，
∴ ．
∴ ．
∵对称轴为直线，
∴．
设抛物线的表达式：，将代入，得
．
∴．
∴抛物线的表达式为：．
（2）如图所示，
作于点，交于．
∴，．
∴．
∴．
∴当时， ．
∴．
（3）存在，理由如下：
设．
∵，，
∴，．
∵以，，，为顶点的四边形是以为对角线的菱形，
∴，即．
∴．
∴．
∴．
∵， ，
∴，．
∴．
6．(1)
(2)
(3)存在，点的坐标为或或．
【分析】本题考查了二次函数综合题，涉及求二次函数解析式，顶点坐标，以及二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的图象和性质是解题关键．
（1）利用待定系数法，将点和点代入二次函数表达式，求出、的值即可；
（2）利用配方法即可求出顶点坐标；
（3）先求出点的坐标，得到的底边上的高为，设的底边上的高为，根据的面积等于的面积，得到，分别求出和时的值，即可得到点的坐标．
【详解】（1）解：二次函数的图象与轴的交点分别是点和点，
，解得：，
二次函数表达式为；
（2）解：，
二次函数的顶点坐标为；
（3）解：令，则，
，
，
即的底边上的高为，
设的底边上的高为，
的面积等于的面积，且和同底，
，即点的纵坐标为或，
当时，解得：，，
点与点不重合，
点的坐标为；
当时，解得：，，
点的坐标为或，
综上可知，在抛物线上存在一点（与点不重合），使以的面积等于的面积，点的坐标为或或．
7．(1)，顶点；
(2)的坐标为或；
(3)存在满足条件的点，的坐标为或．
【分析】（）由于抛物线与轴交于点，，与轴交于点，利用待定系数法设交点式求解即可；
（）先直线的解析式为，设的坐标为，依题意则的坐标为，代入抛物线求解即可；
（）依题意设，设的中垂线交于，则，求出和的长度，根据列出方程求解即可；
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，，
∴设抛物线解析式为，把代入得，
∴，
∴，
∴顶点；
（2）解：由，，设直线的解析式为，
∴，解得：，
∴直线的解析式为，
设的坐标为，依题意则的坐标为，
代入抛物线解析式，
整理得：，
∴，，
∴或，
∴的坐标为或；
（3）解：点存在，依题意设，
由（）得直线的解析式为，则它与轴的夹角为，
设的中垂线交于，则，
则，点到的距离为，
又∵，
∴，
∴ ，
∴，
∴，
解得：，
∴存在满足条件的点，的坐标为或．
【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数和一次函数解析式，二次函数的图象与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，解一元二次方程等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．
8．(1)
(2)① ②存在；或
【分析】本题考查了一次函数与二次函数的综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，面积问题，列代数式，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）由题意得，点，将点的坐标代入一次函数解析式即可；
（2）①，抛物线的对称轴为直线，则，可求点，将点的坐标代入抛物线的解析式得：，解方程即可求出m值，即可求出抛物线的表达式；
②将共高三角形面积的比化为高的比，即，即，解得，则，解得或，所以点或．
【详解】（1）解：由题意得，点，抛物线的对称轴为直线，
将点的坐标代入一次函数解析式得：；
（2）解：①，抛物线的对称轴为直线，则，
当时，，即点，
将点的坐标代入抛物线的解析式得：，
解得或．
当时，，不合题意，舍去，则，，即点，
所以抛物线的解析式为．
②因为的面积和的面积比是，且和的底均为，
所以面积的比等于高的比，即，即，解得，
所以，解得或，所以点或．
9．(1)，，
(2)或
(3)见详解
【分析】本题考查二次函数与一次函数综合、矩形的判定与性质、相似三角形的性质，正确作出辅助线，熟练掌握待定系数法求函数解析式及相似三角形的性质是解题关键．
（1）分别令，解一元二次方程即可；
（2）分两种情况讨论，利用相似三角形的性质求解即可；
（3）可知的中点为，设，可求直线表达式为，代入点得：，同理可求直线，直线，联立直线表达式求得交点，设经过点P的直线为，代入得：，比较系数得：，解得：，故点P在直线上运动．
【详解】（1）解：对于，当时，得，
故，
当时，即，
解得：或，
故，，
（2）解：∵，，
∴，
而，
∴，
∵直线与轴垂直，
∴，
①当时，，如图：
此时轴，
由得到对称轴为直线，
∴，
∴；
当时，，如图：
过点作于点G，则可得，为等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴，
而,
∴，
解得：或（舍），
综上所述：或；
（3）证明：∵，，
∴的中点为，
设，直线表达式为：，
将代入得：，
解得：，
∴直线表达式为，
代入点得：，
同理可求直线，
直线，
联立直线表达式得：，
解得，
∴，
设经过点P的直线为，
代入得：，
比较系数得：，
解得：，
∴当，无论为何值，该式子恒成立，
∴点P在直线上运动．
10．(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键：
（1）写出两点式，利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）求出，利用勾股定理逆定理进行证明即可；
（3）求出直线的解析式，过点作轴，交于点，利用，列出二次函数解析式，求最值即可．
【详解】（1）解：∵二次函数经过点，与x轴交于点，点，
∴，把代入，得：，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，，
∴，，，
∴，
∴是直角三角形；
（3）∵，，
∴设直线的解析式为：，把代入，得：，
∴，
过点作轴，交于点，设，则：，
∴，
∴，
∴当时，面积最大，
此时：．
11．(1)
(2)
(3)当时，的面积最大
【分析】（1）直接利用待定系数法求抛物线解析式即可；
（2）先求中点坐标，再求直线的解析式，联立求 交点F的坐标；
（3）作轴于点，交于点，作于，用含的代数式表示点和点的坐标，再求出关于的函数，利用函数的性质求解．
【详解】（1）把，，，代入，得
，
解得，
抛物线的解析式为：；
（2），
，
线段的中点为，
直线将平行四边形分割成面积相等的两部分，
直线过平行四边形的对称中心，
关于对称轴对称，
抛物线的对称轴为直线，
设直线的解析式为，
把和对称中心的坐标代入，得，
解得，
直线的解析式为，
令，
或（舍）
，
（3）如图，作轴于点，交于点，作于，
点横坐标为，
，，
，
，
，
当时，面积最大．
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，涉及待定系数法求二次函数解析式，平行四边形的性质，二次函数的性质，直角三角形的性质，能够运用思想数形结合的思想是解题的关键．
12．(1)，
(2)
(3)
(4)的值为或
【分析】（1）由、两点的坐标利用待定系数法可求得抛物线解析式，则可求得点坐标，再利用待定系数法可求得直线的解析式；
（2）用可分别表示出、的坐标，则可表示出的长，再利用二次函数的最值可求得的最大值；
（3）由题意可得当是以为腰的等腰直角三角形时则有，且，则可求表示出点纵坐标，代入抛物线解析式可求得的值；
（4）由条件可得出，结合（）可得到关于的方程，可求得的值．
【详解】（1）解：∵抛物线过、两点，
∴代入抛物线解析式可得，
解得，
∴抛物线解析式为，
令可得，，解，
∵点在点右侧，
∴点坐标为，
设直线解析式为，
把、坐标代入可得，解得，
∴直线解析式为；
（2）解：∵轴，点的横坐标为，
∴，，
∵在线段上运动，
∴点在点上方，
∴，
∴当时，有最大值，的最大值为；
（3）解：由（1）（2）得点坐标为，点坐标为，
∴
∵
∴
∵轴，轴，
∴
∴
∴当是以为腰的等腰直角三角形时，，
∴点纵坐标为，
∴，解得或，
当时，则、重合，不能构成三角形，不符合题意，舍去，
∴；
（4）解：由（）得，，
当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，则有，
当点在线段上时，由（）得，
∴，此方程无实数根，
当点不在线段上时，则有，
∴，解得或，
综上可知当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，的值为或．
【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的最值、等腰直角三角形的判定和性质、平行四边形的性质及分类讨论思想等知识点．在（）中用表示出的长是解题的关键，在（）中确定出是解题的关键，在（）中由平行四边形的性质得到是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．
13．(1)，
(2)最大值为，点
(3)或；或或
【分析】（1）将点A代入抛物线解析即可确定二次函数解析式；再确定点C的坐标，然后由抛物线的对称性得出点，利用待定系数法求一次函数解析式即可；
（2）根据题意设点，则点，表示出长度的函数解析式，然后根据二次函数的基本性质求解即可；
（3）分两种情况讨论：①当点在上方时，②当点在下方时，作出，然后利用平行线间的距离距离相等，分别先求出直线的解析式，然后求直线与抛物线的交点即为点的坐标．
【详解】（1）解：∵二次函数经过点，
∴，
解得：，
∴二次函数的解析式为：，
当时，，
∴，
抛物线的对称轴为：，
∴，
设直线的解析式为，将点，代入得：
，
解得：，
∴一次函数的解析式为：；
（2）解：如图所示，过点作轴，点从点沿抛物线向点运动（点不与、重合），
设点，则点，
∴，
∵，
∴当时，最大值为，
当时，，
∴点；
（3）解：∵，，
∴，
∵，
∴点Q到的距离为，
①当点在上方时，作，如图所示，交y轴于点，过点F作，使得，过点作轴，设与y轴交于点，则，
∴，
当点与点重合时，
∴，
∴，不符合题意；
∴点一定在轴正半轴上，
∵，，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设直线的解析式为：，将点F代入得：，
联立二次函数与一次函数得：
解得：或，
此时点或；
②当点在下方时，作，如图所示，交轴于点，过点作，交于点，使得，过点作轴，设与轴交于点，则，
∴，
∴，，
∴，，
∴为等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，
∴点，
设直线的解析式为：，将点M代入得：，
联立二次函数与一次函数得：
解得：或，
此时点或；
综上所述，或；或或．
【点睛】题目主要考查二次函数与一次函数的综合问题，包括待定系数法求解析式，线段最值问题及面积问题，直线平行等，理解题意，作出相应图象，综合运用这些知识点是解题关键．
14．(1)，称轴为直线
(2)①；②
【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的图象和性质，解一元二次方程．解题的关键是数形结合．
（1）由待定系数法求出函数表达式，即可求解；
（2）①当时，，当时包含顶点，即可求解；
②求出，再分类求解即可．
【详解】（1）解：由题意得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：；
其对称轴为直线；
（2）解：①∵，
∴当时有最大值，即；
又∵离对称轴最远，
∴当时，，
∴当，则点的纵坐标的取值范围是，
故答案为：；
②设直线的解析式为，
把代入得：，
解得：，
∴，
设点的坐标为，
∴点的坐标为，
∴，
当时方程无解；
当时，
解得：．
15．(1)；
(2)最大值是，点的坐标为
(3)或或或
【分析】（）令可得点的坐标，将抛物线的解析式配方后可得点的坐标；
（）如图，连接，设点的坐标为，根据计算后配方即可解答；
（）先根据待定系数法可求得直线的解析式为，设，则，分三种情况：①如图，当时，；②当为对角线时，点与的中点在轴上；③如图，当时，分别列方程可解答即可求解．
【详解】（1）解：当时，，
∴；
∵，
∴顶点的坐标为；
故答案为：；；
（2）解：如图，连接，
设点的坐标为，
令时，则，
解得，，
∴，
∴，
由（）知：，
∴
，
∵，
∴当时，有最大值是，
此时点的坐标为；
（3）解：设直线的解析式为，把、代入得，
，
解得，
∴直线的解析式为，
设，则，
∴，，
分三种情况：
①如图，当时，，
∴或，
解得（不合，舍去），，，
∴点的坐标为或；
②当为对角线时，
∵，四边形是菱形，
∴的中点在轴上，
∴，
解得，（不合，舍去），
∴；
③如图，当时，则，
∴，
∴，
解得（不合，舍去），，
∴；
综上，点的坐标为或或或．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求直线的解析式，三角形的面积，菱形的性质等知识，本题综合性较强，掌握二次函数的图象和性质并运用分类讨论思想解答是解题的关键．
16．(1)
(2)点的坐标为或
(3)
【分析】（1）代入到，列出方程组求解即可；
（2）求出直线的解析式，利用平行线的性质得出，再分和两种情况分别求解即可；
（3）作的外接圆，记圆心为，过点作交于，连接、、，利用三角形外接圆的性质和直角三角形的性质求出圆的半径；过点作交延长线于点，连接，利用矩形的性质和勾股定理求出的长，最后利用、、三点共线时，线段取得最值，即可得出结论．
【详解】（1）解：代入到得，，
解得：，
二次函数的表达式为．
（2）令，则，
，
设直线的解析式为，
代入得，，
解得：，
直线的解析式为，
点M的横坐标为t，
，
，，
，
轴于点H，与二次函数的图象交于点P，
轴，，
，
又是直角三角形，
或，
①若，则，
轴，
点和点的纵坐标相同，
，
解得：（舍去），，
；
②若，作于，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，，
，
解得：（舍去），，
；
综上所述，点的坐标为或．
（3）作的外接圆，记圆心为，过点作交于，连接、、，
由（2）中的结论得，，即，
，
，
是等腰直角三角形，
，即圆的半径为，
又，
；
过点作交延长线于点，连接，
将逆时针旋转得到，
，，
，
，
又，
四边形是矩形，
，，
，
在中，，
当且仅当、、三点共线时，线段取得最值，
即，
，
线段的取值范围为．
故答案为：．

【点睛】本题主要考查了二次函数与几何综合、待定系数法求函数解析式、三角形的外接圆、直角三角形的性质，学会结合图形画出辅助线，利用勾股定理求线段长度，利用外接圆的性质求最值是解题的关键，本题属于二次函数综合题，需要较强的数形结合和推理能力，适合有能力解决难题的学生．
17．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了二次函数图象和性质，待定系数法求函数解析式，正方形的性质，利用二次函数求最值等，熟练掌握二次函数图象和性质等相关知识是解题的关键；
（1）把，，代入，即可求得答案；
（2）设，根据四边形是正方形，可得，即，解方程即可得出答案；
（3运用待定系数法求出直线的解析式，由，则，可得，设，则，可得，再由，再运用二次函数的最值求得答案；
【详解】（1）解：把，，代入得，
，
解得：，，，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：设，
四边形是正方形，
，
即，
解得：，
，
，
∴当四边形是正方形时，点的坐标；
（3）解：如图，连接，过点作轴交于点．
设直线的解析式为．
把，代入，得，
解得：，
直线的解析式为，
，
，
，
设，则，
，
，
由题意，得，
当时，达到最大值为；
18．(1)
(2)
(3)；点P到直线的距离为．
【分析】本题考查了二次函数的综合题，待定系数法求函数解析式，勾股定理，已知两点坐标表示两点距离，二次函数最值，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键．
（1）用待定系数法求解即可；
（2）可求，设，由，得，列式计算，解得，（舍去），故；
（3）先求得直线的解析式，作轴交于K点，再设，则，利用得到关于的二次函数，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：把，代入得，
，解得，
∴二次函数的表达式为；
（2）解：如图：
由得抛物线对称轴为直线，
∵两点关于抛物线对轴对称，，
∴，
设，
∵，
∴，
∴
，
整理得，，
解得，（舍去），
∴，
∴；
（3）解：∵，，
∴：，
作轴交于K点，
设，则，
∴
，
∴当时，最大为，
，
，且，
解得，
∴点P到直线的距离为．
19．(1)，
(2)或或或
(3)
【分析】此题考查了二次函数的性质、三角形的面积、待定系数法求解析式以及距离最短问题．注意找到点的位置是解此题的关键．
（1）首先把点的坐标为代入抛物线，利用待定系数法即可求得的值，继而求得抛物线的顶点坐标；
（2）根据，求出、点坐标，再求出的面积，设，再根据列出方程求解即可；
（2）首先连接交抛物线对称轴于点，则此时的值最小，然后利用待定系数法求得直线的解析式，继而求得答案．
【详解】（1）解：把点的坐标为代入抛物线得：，
解得：，
，
顶点坐标为：．
（2）解：点的坐标为，由（1）知的对称轴为，
，
令，则，
，
，
设，
，
整理得：或，
解得：，
点的坐标为或或或；
（3）解：连接交抛物线对称轴于点，连接，则此时的值最小，
设直线的解析式为：，
点，点，
，
解得：．
直线的解析式为：，
当时，，
当的值最小时，点的坐标为：．
20．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了二次函数的综合问题，待定系数法求函数解析式、三角形的面积，线段最短等问题．
（1）利用待定系数法即可求解；
（2）连接，交对称轴直线与点M，可得出点A，M，D三点共线，则的值最小，最小值为，求出抛物线的对称轴和直线的解析式，进而可得出点M的坐标．
（3）过点P作轴交直线于H，设出点P和点H的坐标，通过铅锤高表示出即可求出最大面积．
【详解】（1）解：将，代入得
，
解得，
∴；
（2）解：∵点D与点C关于直线l对称，且直线l为对称轴，连接，交对称轴直线与点M，
∴此时点A，M，D三点共线，则的值最小，最小值为，
对于抛物线，
∴对称轴为直线，
当时，，
∴点，
∵点D与点C关于直线l对称，且直线l为对称轴，
∴，
∵，
设直线的函数关系式为：，
∴，
解得，
∴直线的函数关系式为：，
∴当时，则，
∴
（3）解： 过点P作轴交直线于H，

设，则，
∴
，
∴，
当时，最大为．
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