2024-2025学年人教版九年级上册数学期末专题训练：圆的证明题（含解析）

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2024-2025学年人教版九年级上册数学期末圆的证明题专题训练
1．如图，，是的切线，，为切点，连接，，过点作交于点，过点作，垂足为．
(1)求证：．
(2)若的半径是，，求的长．
2．如图，以点O为圆心，长为直径作圆，在上取一点C，延长至点D，连接，，过点A作交的延长线于点E．
(1)求证：是的切线
(2)若，，则的长
3．如图，在中，，为上一点，以为直径的上一点在上，且平分．
(1)求证：是的切线．
(2)若，求的长．
4．如图，中，，点D在边上，以为直径作交的延长线于点E，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径．
5．如图，为的直径，过圆上一点作的切线交的延长线于点，过点作，交于点，连接．
(1)求证：直线与相切；
(2)若，求的长．
6．如图，是的直径，是弦的延长线上一点，且，的延长线交于点．
(1)求证：；
(2)连接，若，求的度数．
7．如图，在中，，是线段延长线上的一点，，垂足为，交线段于点，点在线段上，经过、两点，交于点．
(1)求证：是的切线
(2)若，的半径为，求的长．
8．如图，以的一边为直径的与其它两边的交点分别为，且．
(1)求证： ；
(2)若的半径为，，求的长．
9．如图，在中，，，点O在的边上，以O为圆心，为半径的经过点C，交于点D．
(1)求证：与相切；
(2)若，求与重叠部分的面积．
10．如图，是的直径，点为上一点，连接，点在的延长线上，点在上，过点作的垂线分别交的延长线于点，交于点，且．
(1)求证：是的切线；
(2)求证：．
11．已知点O是的外心，连接，以点O为圆心，长作交延长线于点E，过点A作，交延长线于点F，若．
(1)求证：与相切；
(2)求证：平分．
12．如图，是的外接圆，是的直径，过作于点，延长至点，连接，且是的切线．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
13．已知是的直径，点是延长线上一点，，是的弦，．
(1)求证：直线是的切线；
(2)若，垂足为，的半径为，求的长．
14．如图，是的直径，C为上一点，和过点C的切线互相垂直，垂足为D，交于点E，，．
(1)求证：平分；
(2)求的半径．
15．如图，已知为的直径，是弦，且于点E．连接、、．
(1)求证：；
(2)若，，求的直径．
16．如图，在中，，点F在上，以为直径的与边相切于点D，与边相交于点E，且，连接并延长交于点G，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若的长为，求图中阴影部分的面积．
17．如图，，点在上，过点，分别与、交于、，过作于．
(1)求证：是的切线；
(2)若与相切于点，半径为，则阴影部分面积______．
18．如图，，为的弦，连接，并延长，分别交弦，于点E，F，
(1)若，求证：．
(2)若，，，求的长．
19．如图，在中，CD是直径，弦，垂足为点E，连接AC，AD．
(1)求证：．
(2)若，，求的长度．
20．如图，在四边形中，平分．点 O在上，以点O为圆心，为半径，作与相切于点B，延长线交于点 E，交于点 F，连接，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长．
21．如图，为直径，点C为上一点，平分，，垂足为H，交于点D．
(1)求证：直线是的切线；
(2)若，求的直径．
22．如图，是的直径，C点在上，平分角交于D，过D作直线的垂线，交的延长线于E，连接，．
(1)求证：；
(2)求证：直线是的切线．
23．如图，在中，，以的边为直径作，交于点．过点作，垂足为点．
(1)试证明是的切线；
(2)若的半径为5，，求的面积．
24．如图，在Rt中，为中点，连接为的中点，以点为圆心，长为半径作，交于点，过点作于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求图中阴影部分的面积．
25．如图，的弦是的中点，连接并延长交于点D，交于于点F，过点D作，与的延长线交于点E，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)求证：；
(3)若，求的长．
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参考答案：
1．(1)见解析
(2)
【分析】此题主要考查了切线的性质，全等三角形的判定和性质，
（1）根据切线的性质得，，再根据，，得，则四边形是矩形，然后根据矩形的性质可得出结论；
（2）设，依题意得，，证明和全等得，然后在中，由勾股定理求出，进而可得的长．
【详解】（1）证明：，是的切线，，是的半径，
，，
，，
，
，
四边形是矩形，
；
（2）解：设，
四边形是矩形，的半径是，，
，，
，
∴，
，，
，
在和中，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
解得：，
．
2．(1)见解析
(2)6
【分析】本题考查了切线的判定和性质：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线；也考查了圆周角定理的推论，全等三角形的性质和判定，正确的作出辅助线是解题的关键．
（1）连接，如图，根据圆周角定理得到，即，求得，得到，根据切线的判定定理得到答案；
（2）根据勾股定理得到，求得，根据切线的性质得到根据勾股定理即可得出结论．
【详解】（1）证明：连接，如图，
为直径，
，即，
又，
，
，
，
即，
是的半径，
是的切线；
（2）解：连接，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：．
3．(1)证明见解析；
(2)．
【分析】本题考查了切线的判定，平行线的判定与性质，勾股定理，角平分线的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）连接，根据平行线的判定得出，进而得到，根据切线的判定可得出结论；
（2）根据勾股定理求出，即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∵为半径，
∴是的切线；
（2）解：设，
在中，，，
∴，
由勾股定理，得
解得：，
∴，
∴．
4．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握切线的判定和勾股定理是解题的关键．
（1）根据题意得，由，可得，再根据可得，可推出，即可证明；
（2）由，，可得，设半径为，在中，由勾股定理列方程，即可求解．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
，
，又是的半径，
是的切线；
（2）解：，，
，
，
设的半径为，
在中，由勾股定理得：，
即
解得：，
的半径为．
5．(1)见解析；
(2)6
【分析】（1）如图，连接，由与相切于点，可得，由，可得，由，可得，则，证明，则，进而结论得证；
（2）设的半径为，则，由勾股定理得，，即，可求，则，，由（1）知，则，由勾股定理得，，即，计算求解即可．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵与相切于点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴直线与相切；
（2）解：设的半径为，则，
由勾股定理得，，即，
解得，
∴，
∴，
由（1）知，
∴，
由勾股定理得，，即，
解得，，
∴的长为6．
【点睛】本题考查了切线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握切线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键．
6．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接．首先证明，推出即可解决问题；
（2）连接，根据，只要求出即可．
【详解】（1）证明：连接，
是的直径，
，即，
，则垂直平分，
，
，
，
，
；
（2）解：连接，
，
，
是的一个外角，
，
是的直径，
，
．
【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形的外角性质，直角三角形的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
7．(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，切线的判定，直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
（）连接，根据等腰三角形的性质得到，，再由推出，根据切线的判定定理即可求证；
（）由等腰三角形的性质可得，，即得，又根据三角形外角性质得，进而由可得，得到，再根据直角三角形的性质即可求解；
【详解】（1）证明：连接，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，又是的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∴，
∴．
8．(1)证明见解析
(2)
【分析】（）连接，由圆周角定理可得，由弧弦圆心角的关系可得，即得，进而由余角性质可得，即可求证；
（）由等腰三角形的性质可得，，利用勾股定理可得，根据三角形面积可得，进而由勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵为的直径，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴为等腰三角形，
∵，
∴，
∴，，
∵的半径为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了圆周角定理，弧弦圆心角的关系，等腰三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．
9．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查与圆相关图形的面积，熟练掌握圆切线的判定定理和面积转化思想是解题的关键．
（1）连接，根据题意易得到，从而得到，即可得到为的切线；
（2）过点作于点，结合（1）可得到，从而得到，根据勾股定理可得，进而得到，利用扇形面积公式得到，即可得到与重叠部分的面积．
【详解】（1）证明：连接，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴与相切．
（2）解：过点作于点，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴与重叠部分的面积为．
10．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由等边对等角可得，由三角形外角的性质可得，由垂线的性质可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，由三角形的内角和定理可得，由切线的判定定理可得结论；
（2）由（1）可得是的切线，由切线的性质定理可得，由垂线的性质可得，由等边对等角可得，由垂线的性质可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，利用等式的性质可得，由对顶角相等可得，进而可得，由等角对等边即可得证．
【详解】（1）证明：如图，连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
又点在上，
是的切线；
（2）证明：由（1）可得：是的切线，
，
，
，
，
又，
，
，
，
又，
，
．
【点睛】本题主要考查了等边对等角，三角形外角的性质，垂线的性质，直角三角形的两个锐角互余，三角形的内角和定理，切线的判定定理，切线的性质定理，等式的性质，对顶角相等，等角对等边等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键．
11．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查的是切线的判定，线段的垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的性质；
（1）先证明，可得，结合，可得，结合，再进一步可得结论；
（2）由，，可得，可得是的垂直平分线，结合，可得，从而可得结论．
【详解】（1）证明：如图，延长交于，
是的直径，
．
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵为半径，
∴是的切线．
（2）证明：∵，，
∴，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴平分．
12．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了切线的性质、勾股定理、三角形的面积公式、等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
（1）连接，根据是的切线，可得，根据垂线的定义得到，求得，根据等腰三角形的性质得出，等量代换即可得证；
（2）由勾股定理可得，根据三角形的面积公式得到，根据垂径定理即可得出结论．
【详解】（1）证明：如图，连接，
是的切线．
，
，
，
，
，
（2）解：，
，
，
，
，
，
．
13．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了切线的判定、同弧所对的圆周角相等、等边对等角、圆周角定理、三角形内角和定理、垂径定理、含度角的直角三角形的性质、勾股定理等知识，灵活运用知识点推理证明是解题的关键．
（1）连接，根据同弧所对的圆周角相等得到，由等边对等角得到，利用圆周角定理得到，利用三角形内角和定理，求得，即可证明直线是的切线；
（2）根据垂径定理得到，根据含度角的直角三角形的性质，得到，根据勾股定理计算，由，得出答案即可．
【详解】（1）证明：如图，连接，

∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵是的半径，
∴直线是的切线；
（2）解：如图，连接，
∵是的直径，，垂足为，的半径为，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
14．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的性质以及垂径定理，熟练掌握垂径定理与切线的性质是解答本题的关键．
（1）连接，是过点C的切线，得到，然后可以推出，结合推导出，，即平分；
（2）过点O作，首先证得四边形是矩形，，然后利用勾股定理解答即可．
【详解】（1）证明：如图，连接．
∵和过点C的切线互相垂直，垂足为D，
∴．
∵是过点C的切线，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
即平分．
（2）解：如图，过点O作，垂足为F．
∴，．
由（1）知，，，
∴四边形是矩形．
∴．
在中，，
∴．
即的半径为．
15．(1)证明见解析
(2)
【分析】本题主要考查垂径定理和勾股定理，掌握相关知识点是解题的关键；
（1）根据垂径定理得到，从而得到；
（2）根据勾股定理结合方程思想可算出圆的半径即可求出直径．
【详解】（1）证明：∵为的直径，是弦，且于点，
∴，
∴；
（2）解：设的半径为R，则；
∵，；
∴；
在中，由勾股定理可得；
∴；
解得；
∴的直径为．
16．(1)见解析；
(2)阴影部分的面积为．
【分析】（1）连接OD，由推出是等边三角形，再利用全等三角形判定定理证明，得到，再根据切线的判定定理即可证明；
（2）由的长计算出半径，再根据含的直角三角形的性质求出的边长，利用阴影部分面积的面积扇形的面积，计算即可得到答案．
【详解】（1）证明：如图，连接OD，
与相切于点D，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
又，
是等边三角形，
，
，
，
，
，，
，
，
，
是的切线．
（2）的长为，，
，
，
，
，
，
，，
阴影部分的面积为．
【点睛】本题考查的是切线的判定与性质、扇形面积计算、等边三角形的判定和性质、含角的直角三角形、全等三角形的判定和性质，掌握圆的切线垂直于过切点的半径、扇形面积公式是解题的关键．
17．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，由，，得，则，所以，即可证明是的切线；
（2）连接，可证明四边形是正方形，则，，根据，则．
【详解】（1）证明：连接，
则，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，且，
是的切线．
（2）解：连接，
与相切于点，
，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，，
半径为，
，
阴影部分面积为．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、切线的判定与性质、正方形的判定与性质、扇形的面积公式等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
18．(1)见解析
(2)4
【分析】此题考查了垂径定理，全等三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）首先证明出，得到，进而证明即可；
（2）首先根据垂径定理得到，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴
即；
（2）∵
∴
∴
∴
∴．
19．(1)见解析
(2)，见解析
【分析】本题考查垂径定理，圆周角定理及推论，弧长计算；连接辅助线，从而运用圆周角定理及推论得到角之间的关系是解题的关键．
（1）连接，由垂径定理，得，由圆周角定理推论知，，所以．
（2）如图，连接，，由圆周角定理可推出，根据弧长公式计算求解．
【详解】（1）证明：连接，
∵是直径，弦，
∴．
∴．
又∵．
∴；
（2）解：如图，连接，，则，
∵，
∴，
∴，
∴
∴的长度．
20．(1)详见解析
(2)的长为
【分析】（1）连接，证明，得到，即可求证；
（2）由，，可得垂直平分，，进而可得，即可求出，再利用勾股定理得到的长即可．
【详解】（1）如图，连接，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵与相切于点B，
∴，
∴，
∴，即，
∴是的切线；
（2）∵，，
∴垂直平分，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点晴】本题主要考查了角平分线的定义，切线的性质和判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握圆的有关性质是解决此题的关键．
21．(1)见解析
(2)
【分析】（1）如图1，连接，由角平分线，等边对等角可得，，可证，进而可得，进而结论得证；
（2）如图2，作于点I， 则，则四边形是矩形，，，，由勾股定理得，，即，计算求解，进而可求直径．
【详解】（1）证明：如图1，连接，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵是的半径，
∴直线是的切线；
（2）解：如图2，作于点I， 则，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
由勾股定理得，，即，
解得，，
∴，
∴求的直径为．
【点睛】本题考查了切线的判定，角平分线，等边对等角，平行线的判定，垂径定理，勾股定理，矩形的判定与性质等知识．熟练掌握切线的判定，角平分线，等边对等角，平行线的判定，垂径定理，勾股定理，矩形的判定与性质是解题的关键．
22．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了圆中弧、弦、角的关系、等腰三角形的性质，切线的证明，掌握圆中相关结论是解题关键．
（1）证，根据圆中弧、弦、角的关系即可求解；
（2）连接半径，可得；根据，即可求证．
【详解】（1）证明：∵在中，平分角，
∴，
∴；
（2）证明：连接半径，如图所示：
则，
∴，
∵于E，
在中，，
由（1）知，
∴，
∴，
∴，
∴是的切线．
23．(1)证明见解析
(2)
【分析】本题主要考查了切线的判定，三角形中位线定理，等腰三角形的性质，直径所对的圆周角是直角，勾股定理等等．
（1）由直径所对的圆周角是直角可得，再由等腰三角形的性质可得D为中点，根据三角形中位线定理可得，由平行线的性质得，再根据切线的判定定理即可得证；
（2）由（1）知，，利用勾股定理求得，再根据三角形面积计算公式求解即可．
【详解】（1）证明：如图所示，连接、，

∵是直径，
∴，
∴，
∵，
∴D为中点，
∵，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∵为半径，
∴是的切线；
（2）解：由（1）知，点D为中点，
∴，
∵的半径为5，
∴，
∴，
∴．
24．(1)证明见解析
(2)阴影部分的面积为
【分析】本题考查圆的知识，解题的关键是掌握直角三角形的性质，圆的切线，扇形面积的计算，进行解答，即可．
（1）连接，根据直角三角形的性质，则，得到，根据，则，根据等量代换，平行线的判定，则，根据，得到，即可；
（2）过点作于点，根据题意，则，则，根据勾股定理求出，根据等边三角形的判定，则是等边三角形，根据，求出，由（1）得，，则，根据勾股定理求出，可得，根据阴影部分的面积等于，即可．
【详解】（1）证明：连接，
∵在中，，为中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是半径，
∴是的切线．
（2）解：过点作于点，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∵阴影部分的面积等于，
∴阴影部分的面积为：．
25．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）由垂径定理得，即，再由得，即可得出结论；
（2）由且得四边形是平行四边形，得，再由圆周角定理得，即可得；
（3）由已知可得，再由勾股定理得，设圆的半径为r，则，由勾股定理得，有，解方程进而可得，再证得，再由即可得解．
【详解】（1）证明：是的中点，
∴由垂径定理得：，即，
又∵，
，
为半径，
是的切线；
（2）证明：∵且，
∴四边形是平行四边形，
，
和是同弧所对的圆周角，
，
；
（3）解：如图，连接，由（2）知四边形是平行四边形，
，
又是的中点
，
在中，由勾股定理得，
，
设圆的半径为r，则，
在中，由勾股定理得，有，
解得：，则，
，
，
∴在和中，
，
，
．
【点睛】本题考查了垂径定理，平行四边形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质．