北京市第二十中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试卷（PDF版，含答案）

北京市第二十中学 2024-2025 学年高二上学期 12 月月考数学试卷
一、单选题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.已知全集 = ，集合 = { | 2 1 ≥ 0}，若 ∈ ，则 的值可以为( )
1
A. 1 B. C. 1 D. 2
2
2.直线 √ 3 = 0的倾斜角为( )
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
3.设 ， ∈ ，且 > ，则( )
1 1
A. < B. > C. 3 < 2 D. | | > | |

4.已知直线 1：2 + + 1 = 0，直线 2： = 1，且 1// 2，则 =( )
A. 2 B. 1 C. 1 D. 2
5.已知空间中的两条直线 ， 都与一个平面 平行，则 和 的位置关系为( )
A. 平行或相交 B. 相交或异面 C. 平行或异面 D. 平行、相交或异面
6.在正方体 1 1 1 1中， ∩ = ， 1 ∩ 1 = ，则直线 与直线 夹角的余弦值为( )
√ 6 √ 3 √ 5 √ 2
A. B. C. D.
6 3 5 2
7.已知直线 1， 2的斜率分别为 1， 2，倾斜角分别为 1， 2，则“ 1 > 2”是“ 1 > 2”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
2 2 2 2
8.已知椭圆 1： 2 + 2 = 1，双曲线 2： 2 2 = 1，其中 > > 0.若 1与 2的焦距之比为1：3，则 的 2
渐近线方程为( )
A. 2 ± √ 5 = 0 B. √ 5 ± 2 = 0 C. ± √ 2 = 0 D. √ 2 ± = 0
9.已知直线 ： 2 + 2 = 0被圆 ： 2 + ( + 1)2 = 25所截得的弦长为整数，则满足条件的直线 有
( )
A. 6条 B. 7条 C. 8条 D. 9条
10.如图，在棱长为2的正方体 1 1 1 1中， ， 分别是棱 1 1， 1 1的
中点，点 在线段 上运动，给出下列四个结论：
①平面 截正方体 1 1 1 1所得的截面图形是五边形；
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②直线
√ 2
1 1到平面 的距离是 ； 2
③存在点 ，使得∠ 1 1 = 90°；
5√ 5
④ △ 1面积的最小值是 ． 6
其中所有正确结论的序号是( )
A. ②③ B. ②④ C. ①③ D. ①④
二、填空题：本题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
11.已知 为虚数单位，复数 = (3 )(4 + )，则 的虚部为______．
2 2
12.已知双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的离心率为√ 5，则双曲线 的渐近线方程为______．
13.已知圆 2 21：( 3) + = 9与圆 2：
2 + 2 2 + 4 + 4 = 0相交，写出满足条件的实数 的一个
取值为______．
2 2
14.双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的上焦点为 ， ， 为曲线上两点，若四边形 为菱形，则 的
离心率为______．
15.如图，已知矩形 中， = 2， = 3，其中 ， 分别为边 ， 上的点，且 // ， = 2 .
将四边形 折起至四边形 ′ ′ ，使平面 ′ ′ 与平面 垂直.动点 在四边形 ′ ′ 及其内部运动，
动点 在四边形 及其内部运动.给出下列四个结论：
①存在点 ， ，使得 = 3；
②存在点 ， ，使得 // ′ ；
③到直线 和 ′ 的距离相等的点 有无数个；
1
④若 ⊥ ，则四面体 的体积的最大值为 ．
3
其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题：本题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题12分)
如图，在棱长为2的正方体 1 1 1 1中，点 ， 分别是棱 1， 1的中点.求证：
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(Ⅰ) //平面 1 ；
(Ⅱ) ⊥平面 1 1．
17.(本小题14分)
已知直线 + 2 3 = 0与直线3 2 = 0的交点为 ．
(Ⅰ)直线 1经过 ，且与直线 ：3 + 4 + 1 = 0垂直，求直线 1的方程；
(Ⅱ)直线 2经过 ，且在两坐标轴上的截距相等，求直线 2的方程．
18.(本小题15分)
已知圆 ： 2 + 2 10 = 0．
(Ⅰ)过点 (3,2)作直线 ，其倾斜角为45°，求直线 被圆 截得的弦长；
(Ⅱ)求过点 (0, 3)的圆 的切线方程．
19.(本小题15分)
已知在四棱锥 中，底面 是边长为4的正方形，△ 是正三角形， 、 分别为 、 的中
点，过 的平面 交 于点 ，平面 //平面 ．
(Ⅰ)证明： 为 的中点；
(Ⅱ)取 的中点 ，连接 ， ， ，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
( ) 到平面 的距离；
( )二面角 的余弦值．
条件①： = 4√ 2；
条件②： ⊥平面 ．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
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20.(本小题14分)
2
已知直线 过点 (3,0)，且与椭圆 + 2 = 1相交于不同的两点 ， ．
4
√ 2
(Ⅰ)若 ， 中点的纵坐标为 ，求直线 的方程；
2
(Ⅱ)若弦长 = √ 3，求 的值．
21.(本小题15分)
2 2 √ 2
已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的短轴的两个端点分别为 (0,2)， (0, 2)，离心率为 ． 2
(Ⅰ)求椭圆 的标准方程及焦点的坐标；
(Ⅱ)若直线 = + 4与椭圆 交于不同的两点 ， ，直线 = 1与直线 交于点 ，求证： = ．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】 1
12.【答案】 = ±2
13.【答案】1(答案不唯一)
14.【答案】1 + √ 3
15.【答案】①③④
16.【答案】证明：(Ⅰ) ∵ ， 分别为 1， 1的中点， 1 = 1， 1// 1，
∴ // 且 = ，∴四边形 为平行四边形，
∴ // ，又 平面 1 ， 平面 1 ，
∴ //平面 1 ．
(Ⅱ) ∵四边形 为正方形，∴ ⊥ ，
∵ // ，∴ ⊥ ，
∵ 1 ⊥平面 ， 平面 ，
∴ 1 ⊥ ，
∵ // ， 1 ⊥ ，又 ∩ 1 = ， ， 1 平面 1 1，
∴ ⊥平面 1 1．
+ 2 3 = 0 = 1
17.【答案】解：(Ⅰ)联立{ ，解得{ ，则 (1,1)，
3 2 = 0 = 1
又直线 1经过 ，且与直线 ：3 + 4 + 1 = 0垂直，
4 4
∴直线 1的斜率为 ，则直线 1的方程为 1 = ( 1)，即4 3 1 = 0； 3 3
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(Ⅱ)直线 2经过 ，且在两坐标轴上的截距相等，
当直线 2过坐标原点时，直线方程为 = ，
当直线 2不过坐标原点时，设直线方程为 + = ，把 (1,1)代入，
得1 + 1 = ，即 = 2，则直线 2的方程为 + = 2．
综上可得，直线 2的方程为 = 0或 + 2 = 0．
18.【答案】解：(Ⅰ)过点 (3,2)作直线 ，其倾斜角为45°，可得直线方程为： 2 = 3，即 1 = 0，
|5 0 1|
圆 ： 2 + 2 10 = 0的圆心(5,0)，半径为5，圆心 到直线 的距离为 = = 2√ 2，
√ 2
直线 被圆 截得的弦长：2√ 25 (2√ 2)2 = 2√ 17．
(Ⅱ)圆 ： 2 + 2 10 = 0的圆心(5,0)，半径为5， (0, 3)，
由| | = √ 34 > 5，点 在圆 外，当过点 (0, 3)的直线与 轴垂直， = 0，满足题意．
|5 3| 8
当切线的斜率垂直时，设为 ，切线方程为 + 3 = ，可得5 = ，解得 = ，
2 15√ 1+
8
切线方程为： = 3，即8 + 15 + 45 = 0．
15
所求切线方程为： = 0或8 + 15 + 45 = 0．
19【. 答案】(Ⅰ)证明：因为平面 //平面 ，平面 ∩平面 =
，平面 ∩平面 = ，
所以 // ，
又 是 的中点，
所以 为 的中点．
(Ⅱ)解：选择条件①：
因为 = 4√ 2， = = 4，所以 2 + 2 = 2，即 ⊥ ，
因为正方形 ，所以 ⊥ ，
又 ∩ = ， 、 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
因为 ， 分别为 ， 的中点，所以 // ，
所以 ⊥平面 ，
因为△ 是正三角形，且 为 的中点，所以 ⊥ ，
故以 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则 (0,0,0)， (2,0,0)， ( 1,0, √ 3)， ( 1,2, √ 3)， (0,4,0)， ( 2,4,0)，
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( ) = (0, 2,0)， = (1,2, √ 3)， = ( 2,4,0)，
= 2 = 0
设平面 的法向量为 = ( , , )，则{ ，
= + 2 √ 3 = 0
取 = 1，则 = √ 3， = 0，所以 = (√ 3, 0,1)，
| | | 2√ 3|
所以 到平面 的距离为 = = √ 3．
| | 2
( ) = ( 1,2, √ 3)， = ( 2,4,0)，
= + 2 + 3 = 0
设平面 的法向量为 = ( , , )，则{ √ ，
= 2 + 4 = 0
取 = 1，则 = 2， = 0，所以 = (2,1,0)，
因为 // // ，所以 ， ， ， 四点共面，
所以平面 的法向量为 = (√ 3, 0,1)，
2√ 3 √ 15
所以cos < ， >= = = ，
| | | | 2×√ 5 5
由图知，二面角 为锐角，
所以二面角 的余弦值为√ 15．
5
选择条件②：
因为 ， 分别为 ， 的中点，所以 // ，
又 ⊥平面 ，所以 ⊥平面 ，
因为△ 是正三角形，且 为 的中点，所以 ⊥ ，
故以 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则 (0,0,0)， (2,0,0)， ( 1,0, √ 3)， ( 1,2, √ 3)， (0,4,0)， ( 2,4,0)，
( ) = (0, 2,0)， = (1,2, √ 3)， = ( 2,4,0)，
= 2 = 0
设平面 的法向量为 = ( , , )，则{ ，
= + 2 √ 3 = 0
取 = 1，则 = √ 3， = 0，所以 = (√ 3, 0,1)，
| | | 2√ 3|
所以 到平面 的距离为 = = √ 3．
| | 2
( ) = ( 1,2, √ 3)， = ( 2,4,0)，

设平面 的法向量为 = ( , , ) {
= + 2 + √ 3 = 0，则 ，
= 2 + 4 = 0
取 = 1，则 = 2， = 0，所以 = (2,1,0)，
因为 // // ，所以 ， ， ， 四点共面，
所以平面 的法向量为 = (√ 3, 0,1)，
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2√ 3 √ 15
所以cos < ， >= = = ，
| | | | 2×√ 5 5
由图知，二面角 为锐角，
所以二面角 的余弦值为√ 15．
5
20.【答案】解：(Ⅰ)易知直线 的斜率存在且不为0，
设直线 的方程为 = ( 3)， ( 1, 1)， ( 2, 2)，
= ( 3)
联立{ 2 ，消去 并整理得(1 + 4
2) 2 24 2 + 36 2 4 = 0，
+ 2 = 1
4
此时 = ( 24 2)2 4(1 + 4 2)(36 2 4) > 0，
1
解得 2 < ，
5
2
24
由韦达定理得 1 + 2 = 2，
1+4
3
24
所以 1 + 2 = ( 1 + 2) 6 = 2 6 ，
1+4
√ 2
若 ， 中点的纵坐标为 ，
2
3
24
此时 2 6 = √ 2，
1+4
√ 2 √ 2
解得 = 或 = ，
4 2
1
因为 2 < ，
5
√ 2
所以 = ，
4
√ 2
则直线 的方程为 = ( 3)；
4
2 2
24 36 4
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 1 + 2 = 2， 1 2 = 2 ，
1+4 1+4
所以| | = √ 1 + 2| 1 2| = √ 1 + 2 √ ( 1 + 22) 4 1 2
2 2
2 √ 24 2 36 4= √ 1 + ( 2) 4 2 = √ 3，
1+4 1+4
1
解得 2 = (负值舍去)，
8
又 2
1
< ，
5
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1
所以 2 = 满足条件．
8
√ 2
故 = ± ．
4
2 2
21.【答案】解：(1)根据题意，椭圆 ： +
2 2
= 1( > > 0)的短轴的两个端点分别为 (0,2)， (0, 2)，

则 = 2，
√ 2 √ 2
又由椭圆 的离心率 = ，即 = ，变形可得 = √ 2 ，
2 2
1
则有 2 = 2 2 = 2 = 4，则 2 = 8，
2
2 2
故椭圆 的方程为 + = 1；
8 4
2 2
(2)证明：椭圆 的方程为 + = 1，设 ( , + 4)， ( , + 4)， ( , 1)， 8 4
将直线 = + 4，代入椭圆方程化简得：(2 2 + 1) 2 + 16 + 24 = 0，
2 2 3 = 32(2 3) > 0，解得： > ，
2
16 24
则 + = 2 ， = 2 ，
2 +1 2 +1
+6则 的方程为： = 2，

3 3
令 = 1，解可得 = ，则 ( , 1)，
+6 +6
3
则 = ( , 1)， = ( , + 2) +6
欲证 = ，即 ， ， 三点共线，只需证明 // 即可，
3
只需证明 × ( + 2) = +6 成立即可，
只需证明(3 + ) = 6( + )即可，
16 24
又由 + = 2 ， = 2 ，
2 +1 2 +1
代入(3 + ) = 6( + )，易得该式成立，
故 = ．
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