圆锥曲线单元测试题（二）
一、选择题
1．准线方程为x=1的抛物线的标准方程是（ ）
A． B． C． D．
2．曲线与曲线的( )
A．焦距相等 B．离心率相等 C．焦点相同 D．准线相同
3．已知两定点、且是与的等差中项，则动点P的轨迹方程是（ ）
A． B． C． D．
4．已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为 （ ）
A． B． C． D．2
5．双曲线的离心率为2， 有一个焦点与抛物线的焦点重合，则mn的值为( )
A． B． C． D．
6．双曲线kx2+4y2=4k的离心率小于2，则k的取值范围是 ( )
（A）（－∞，0） （B）(－3，0) （C）(－12，0) （D）(－12，1)
7．抛物线上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是（ ）
A． B． C． D． 0
8．直线y=x+3与曲线－=1交点的个数为（ ）
A． 0 B． 1 C． 2 D． 3
9．过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（ ）
A．不存在 B．有无穷多条 C．有且仅有一条 D．有且仅有两条
10．离心率为黄金比的椭圆称为“优美椭圆”．设是优美椭圆，F、A分别是它的左焦点和右顶点，B是它的短轴的一个顶点，则等于（ ）
A． B． C． D．
11．M是上的动点，N是圆关于直线x－y+1=0的对称曲线C上的一点，则|MN|的最小值是（ ）
A． B． C．2 D．
12．点P(－3，1)在椭圆的左准线上，过点P且方向向量为的光线，经直线y=－2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题：
13．与双曲线x2－4y2=4有相同的渐近线，且过点(2，)的双曲线的共轭双曲线的方程是
_________________________。
14．以曲线y上的任意一点为圆心作圆与直线x+2=0相切，则这些圆必过一定点，则这一定点的坐标是_______________．
15．以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆的圆心的抛物线的方程是
。
16．设双曲线的离心率，则两条渐近线夹角的取值范围是 ________________________ ．
17． 是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且∠，则Δ的面积为 。
18．如图，把椭圆的长轴分成等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点，是椭圆的一个焦点，
则 ．
三、解答题
19．求中心在坐标原点，对称轴为坐标轴且经过点（3，－2），一条渐近线的倾斜角为的双曲线方程。
20．已知三点P（5，2）、（－6，0）、（6，0）。
（1）求以、为焦点且过点P的椭圆的标准方程；
（2）设点P、、关于直线y＝x的对称点分别为、、，求以、为焦点且过点的双曲线的标准方程。
21．如图，M是抛物线上的一点，动弦ME、MF分别交x轴于A、B两点，且|MA|=|MB|．
(1) 若M为定点，证明：直线EF的斜率为定值；
(2) 若M为动点，且，求的重心G的轨迹方程．
22． 已知双曲线C的中点在原点，抛物线的焦点是双曲线C的一个焦点，且双曲线过点M()．
(1) 求双曲线C的方程;
(2) 设双曲线C的左顶点为A，右焦点为F，在第一象限内任取双曲线上一点P，试问是否存在常数，使得恒成立？并证明你的结论。
23．已知M(－3，0)﹑N(3，0)，P为坐标平面上的动点，且直线PM与直线PN的斜率之积为常数m(m－1，m0)．
(1)求P点的轨迹方程并讨论轨迹是什么曲线？
(2)若， P点的轨迹为曲线C，过点Q(2，0)斜率为的直线与曲线C交于不同的两点A﹑B，AB中点为R，直线OR(O为坐标原点)的斜率为，求证为定值；
（3）在（2）的条件下，设，且，求在y轴上的截距的变化范围．
圆锥曲线单元测试（二）参考答案
一、选择题
1．B 2．A 3． C 4．A 5．A 6．C 7．B 8．D 9．D 10．C 11．A 12．A
二．填空题
13． 14．（2，0） 15．y2=9x或x2=－y 16．[ ，] 17．4 18．35
三、解答题
19．解：渐近线方程为，设双曲线方程为，将点（3，－2）代入求得，所以双曲线方程为．
20 解：（1）由题意，可设所求椭圆的标准方程为+，其半焦距。
， ∴，
，故所求椭圆的标准方程为+；
（2）点P（5，2）、（－6，0）、（6，0）关于直线y＝x的对称点分别为：
、（0，－6）、（0，6）
设所求双曲线的标准方程为－，由题意知半焦距，
， ∴，
，故所求双曲线的标准方程为－。
21． 解：（1）设，直线ME的斜率为 k(k>0)，则直线MF的斜率为 －k， 直线ME 的方程为由得 ．解得， 所以．同理可得 （定值）
(2)当 时，，所以k=1，由（1）得．。设重心G(x，y)，则有， 消去参数得 ．
22． 解：(1)抛物线焦点为F(2，0)，设双曲线方程为，将点M()代入得，所以双曲线方程为．(2)当PFx轴时，P(2，3)，|AF|=1+2=3，，此时=2．
以下证明当PF与x轴不垂直时成立．
设P(，)，则=tan=，．
tan2==．由得代入上式，得tan2===恒成立．
，，恒成立．
23．解：（1）由得，若m= －1，则方程为，轨迹为圆；
若，方程为，轨迹为椭圆；若，方程为，轨迹为双曲线。（2）时，曲线C方程为，设的方程为：与曲线C方程联立得：，设，则①，②，可得，。
（3）由得代入①②得：③，④，
③式平方除以④式得：，而在上单调递增，，， 在y轴上的截距为b，=，。
M
A
B
E
F
x
y圆锥曲线单元测试题（一）
一、选择题：
1．如果实数满足等式，那么的最大值是（ ）
（A） （B） （C） （D）
2．如果命题“曲线C上的点的坐标(x, y)满足方程f (x, y)＝0”是正确的，则下列命题中正确的是（ ）。
（A）方程f (x, y)＝0的曲线是C
（B）以方程f (x, y)＝0的解为坐标的点均在曲线C上
（C）方程f (x, y)＝0的曲线不一定是C
（D）曲线C是以方程f (x, y)＝0的解为坐标的点的轨迹
3．已知椭圆的两个焦点为、，且，弦AB过点，则△的周长为（ ）
（A）10 （B） （C）2 （D）20
4．以坐标轴为对称轴，离心率为，且经过点(2, 0)的椭圆方程为（ ）。
（A）＋y2＝1 （B）＋y2＝1或
（C）＋y2＝1或x2＋＝1 （D）＋y2＝1或
5．椭圆的焦点、，P为椭圆上的一点，已知，则△的面积为（ ）
（A）9 （B）12 （C）10 （D）8
6．方程mx2＋ny2＋mn=0(m（A）(0，) （B）(，0)（C）(，0) （D）(0，)
7．以x±y＝0为渐近线，一个焦点在F(0, 2)的双曲线方程是（ ）。
（A）x2－＝1 （B）x2－＝－1 （C）－y2＝1 （D）－y2＝－1
8．已知椭圆＋y2＝1与双曲线(a>0, b>0)有相同的焦点，且它们的离心率之和为，则（ ）。
（A）a＝, b＝1 （B）a＝2, b＝1 （C）a＝1, b＝ （D）a＝1, b＝2
9．过双曲线的右焦点F2有一条弦PQ，（ F2在PQ上），|PQ|=7, F1是左焦点，那么△F1PQ的周长为（ ）
（A）28 （B） （C） （D）
10．双曲线虚轴上的一个端点为M,两个焦点为F1、F2，，则双曲线的离心率为（ ）
（A） （B） （C） （D）
11．过抛物线(a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别为p、q，则等于（ ）
（A）2a （B） （C） （D）
12．如果椭圆的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是（ ）
（A） （B） （C） （D）
二、填空题：
13．与椭圆具有相同的离心率且过点（2，－）的椭圆的标准方程是
。
14．以椭圆的右焦点为圆心，且与双曲线的两条渐近线都相切的圆的标准方程是 。
15．若双曲线x2－y2=1的左支上一点P(a, b)到其渐近线的距离为，则a＋b的值为 。
16．离心率是椭圆16x2+25y2=4 ( http: / / www.21cnjy.com )00的离心率的倒数，焦点是此椭圆长轴端点的双曲线的标准方程是 。
17．过抛物线（p>0）的焦点F作一直线l与抛物线交于P、Q两点，作PP1、QQ1垂直于抛物线的准线，垂足分别是P1、Q1，已知线段PF、QF的长度分别是a、b，那么|P1Q1|= 。
18．若直线l过抛物线(a>0)的焦点，并且与y轴垂直，若l被抛物线截得的线段长为4，则a= 。
三、解答题：
19．已知椭圆C的焦点F1（－，0）和F2（，0），长轴长6，设直线交椭圆C于A、B两点，求线段AB的中点坐标。
20．已知双曲线与椭圆共焦点，它们的离心率之和为，求双曲线方程.
21．抛物线上的一点P(x , y)到点A(a,0)(a∈R)的距离的最小值记为，求的表达式。
22．求两条渐近线为且截直线所得弦长为的双曲线方程。(10分)
23．已知直线y=ax+1与双曲线3x2-y2=1交于A、B两点，（1）若以AB线段为直径的圆过坐标原点，求实数a的值。（2）是否存在这样的实数a，使A、B两点关于直线对称？说明理由。
圆锥曲线单元测试题（一）参考答案
一．选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A C B D A D B A C B C D
二．填空题
13．或 14．(x－5)2＋y2=16 15．－或－2
16． 17． 18．a=
三．解答题
19．解:由已知条件得椭圆的焦点在x轴上,其中c=,a=3,从而b=1,所以其标准方程是:
.联立方程组,消去y得, .
设A(),B(),AB线段的中点为M()那么: ,=
所以=+2=.也就是说线段AB中点坐标为(-,).
20．解:由于椭圆焦点为F(0,4),离心率为e=,所以双曲线的焦点为F(0,4),离心率为2,
从而c=4,a=2,b=2.所以求双曲线方程为: .
21．解:由于,而|PA|=
==,其中x
(1)a1时,当且仅当x=0时, =|PA|min=|a|.
(2)a>时, 当且仅当x=a-1时, =|PA|min=.所以=.
22．解:设双曲线方程为x2-4y2=.
联立方程组得: ,消去y得，3x2-24x+(36+)=0
设直线被双曲线截得的弦为AB，且A(),B()，那么：
那么：|AB|=
解得: =4,所以，所求双曲线方程是：
23．解：（1）联立方程，消去y得：（3-a2）x2-2ax-2=0.
设A(),B(),那么：。
由于以AB线段为直径的圆经过原点，那么：，即。
所以：，得到：，解得a=
(2)假定存在这样的a，使A(),B()关于直线对称。
那么：，两式相减得：，从而
因为A(),B()关于直线对称，所以 ( http: / / www.21cnjy.com )
代入（*）式得到：-2=6，矛盾。
也就是说：不存在这样的a，使A(),B()关于直线对称。圆锥曲线单元测试题三
一．选择题
1．椭圆的准线方程是（ ）
A、 B、 C、 D、
2．抛物线的焦点坐标是（ ）
A、 B、 C、 D、
3．双曲线两准线间的距离是（ ）
A、 B、 C、 D、
4．以的焦点为焦点，离心率的双曲线方程是（ ）
A、 B、 C、 D、
5．过点与有共同渐近线的双曲线方程是（ ）
A、 B、 C、 D、
6．若椭圆上有一点P，它到左准线的距离是，则点P到右焦点的距离与到左焦点的距离之比是（ ）
A、3：1 B、4：1 C、5：1 D、6：1
7．设双曲线的半焦距为，直线过两点，已知原点到直线的距离为，则双曲线离心率为（ ）
A、 B、 C、 D、
8．抛物线形拱桥的顶点距水面2米时，测得拱桥内水面宽为12米，当水面升高1米后，拱桥内水面宽为（ ）
A、米 B、米 C、米 D、米
9．已知直线交椭圆于M、N两点，椭圆与轴的正半轴交于B点，若的重心恰好落在椭圆的右焦点上，则直线的方程是（ ）
A、 B、
C、 D、
10．抛物线与过焦点的直线交于A、B两点，O是坐标原点，则等于（ ）
A、 B、 C、 D、
11．已知是椭圆上的任意一点，以过M的一条焦半径为直径作圆，以椭圆长轴为直径作圆，则圆与圆的位置关系是（ ）
A、内切 B、内含 C、相交 D、相离
12．椭圆上有个不同的点：，椭圆的右焦点为F，若数列是公差大于的等差数列，则n的最大值是（ ）
A、198 B、199 C、200 D、201
二．填空题
13．焦点在直线上的抛物线的标准方程是
14．若方程表示双曲线，则的取值范围是
15．椭圆的一个焦点是，则
16．如图， O为椭圆C的中心，F为焦点，A为顶点，准线交OA于B，P、Q在椭圆C上，，垂足为D，，则椭圆C的离心率为①；②；③；④；⑤，上述离心率正确的个数为
三．解答题
17．已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，一条准线方程为，求该椭圆方程
18．已知抛物线C：的焦点为F，其准线为，是抛物线C上的一点，点P到直线的距离等于点P到原点O的距离，（1）求抛物线C的方程；（2）若椭圆E：与抛物线C有同一焦点F，求椭圆E的方程；（3）设抛物线C与（2）中的椭圆E的交点为A、B，求以直线OA、OB为渐近线，且过点P的双曲线的方程
19．已知圆，椭圆的离心率为，如果圆与椭圆相交于A、B两点，且线段AB恰为圆的直径，求椭圆的方程
20．已知曲线C的方程为，（1）若曲线C是椭圆，求的取值范围；（2）若曲线C是双曲线，且有一条渐近线的倾斜角是，求此双曲线的方程
21．设双曲线的方程为，A、B为其左右两个顶点，P是双曲线上任意一点，引，，AQ与BQ交于点Q，（1）求点Q的轨迹方程；（2）设（1）中所求轨迹为，、的离心率分别为、，当时，求的取值范围
( http: / / www.21cnjy.com )
22．抛物线的准线与轴交于点A，过A作直线与抛物线交于M、N两点，点B在抛物线的对称轴上，且，（1）求的取值范围；（2）是否存在这样的点B，使得为等腰直角三角形，且，若存在，求出点B；若不存在，说明理由
参考答案
一．选择题:
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A B C D B C A A D A A D
二．填空题:
13．或 14．
15．1 16．5
三．解答题：
17．
18．（1） （2） （3）
19．
20．（1） （2）
21．（1） （2）
22．（1） （2）
