北京市第十九中学2024-2025学年高二上学期期中数学试卷（PDF版，含答案）

北京市第十九中学 2024-2025 学年高二上学期期中数学试卷
一、单选题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.已知向量 = (2, 1,3)， = (4, , )，且 // ，则 + =( )
A. 4 B. 2 C. 4 D. 2
2.如图，在平行六面体 1 1 1 1中，若 = ， = ， 1 = ，则
1 =( )
A. +
B. + +
C.
D. + +
3.已知向量 = (1,2,3)， = (1, 2,1)，点 为线段 中点，则| | =( )
A. 1 B. √ 2 C. √ 3 D. √ 5
4.已知直线 ，直线 和平面 ，则下列四个命题中正确的是( )
A. 若 // ， ，则 // B. 若 // ， // ，则 //
C. 若 ⊥ ， // ，则 ⊥ D. 若 ⊥ ， // ，则 ⊥
5.已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为√ 5，则该正四棱锥的侧面积和体积分别为( )
4 2 4√ 3
A. 16， B. 16， C. 8，4√ 3 D. 8，
3 3 3
6.已知直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，则“ = 0”是“ // ”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.已知不重合的平面 与平面 ，若平面 的法向量 = ( 3, 1,2)， = (1,0, 2)， = (1,1,1)，则( )
A. 平面 //平面 B. 平面 ⊥平面
C. 平面 、平面 相交但不垂直 D. 以上均有可能
8.金刚石也被称作钻石，是天然存在的最硬的物质，可以用来切割玻璃，也用作钻探机的钻头.金刚石经常
呈现如图所示的“正八面体”外形.正八面体由八个全等的等边三角形围成，体现了数学的对称美.下面给出
四个结论：
① //平面 ；
② ⊥ ；
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③二面角 的平面角余弦值为
√ 3；
3
④过点 至少存在一条直线与正八面体的各个面所成角均相等．
其中所有正确结论的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
9.《九章算术》是中国古代的第一部自成体系的数学专著．其中卷五记载：
“今有刍甍，下广三丈，表四丈，上袤二丈，无广，高一丈．问积几何？”
问题即为：今有如图所示的屋脊状楔体 ，下底面 是矩形，
假设屋脊没有歪斜，即 中点 在底面 上的投影为矩形 的中心 ， // ， = 4， = 3，
= 2， = 1(长度单位：丈).则楔体 的体积为( )(体积单位：立方丈)
A. 10 B. 8 C. 6 D. 5
10.如图，在棱长为2的正方体 1 1 1 1中， 为 1的中点， 为线段 1
上的动点.给出下列结论错误的是( )
A. 三棱锥 1 体积为定值
B. 存在唯一点 使 ⊥ 1
C. 若 ≤ 2√ 2，则点 轨迹的长度为2
D. 平面 1 截正方体表面得到的截面所有边长之和为3√ 2 + 2√ 5
二、填空题：本题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分。
11.若直线 的方向向量是 = (1, 1,2)，平面 的法向量是 = ( 2,0,3)，则这条直线 和这个平面 的位置
关系是______. (填写“面内、相交、平行”中的一种)
12.如果一个圆锥的底面半径为3，侧面积为18 ，那么圆锥的母线与底面所成的夹角等于______. (填写具体
的角度大小)
13.如图，在正四面体 中，所有棱长均为2，若 = ， = 2 ，
= ， = ， = ，则 = ______； = ______．
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14.如图，在正四棱柱 1 1 1 1中， 1 = 2 = 2 = 2.若 是 1的中
点，则 与 所成角的余弦值为______；正四棱柱的外接球表面积为______．
15.如图，在长方体 1 1 1 1中， 1 = 1 1 = 2， 1 1 = 1，点 为线
段 1上一动点，则 的最小值为______．
16.如图，已知菱形 中， = 2，∠ = 120°， 为边 的中点，将△ 沿 翻折成△ 1 (点
1位于平面 上方)，连接 1 和 1 ， 为 1 的中点， 在平面 的射影为 ′，则在翻折过程中，
给出下列四个结论：
① //平面 1 ；

② 1与 的夹角为定值 ； 3
2√ 3
③三棱锥 1 体积最大值为 ； 3
④点 ′的轨迹的长度为1．
其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题：本题共 3 小题，共 36 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
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17.(本小题12分)
如图，在直三棱柱 1 1 1中， 1 = = 4， = 3， = 5．
(1)求直线 1与直线 1所成角的余弦值；
(2)求直线 1与平面 1 所成角的正弦值；
(3)求点 1到平面 1 的距离．
18.(本小题12分)
如图，在四棱柱 1 1 1 1中， 1 ⊥平面 ，底面 是边长为1的正方形，侧棱 1 = 2．
(Ⅰ)求证： 1 //平面 1 1；
(Ⅱ)求证： ⊥ 1；
(Ⅲ)求二面角 1 1的余弦值．
19.(本小题12分)
如图，在多面体 中，梯形 与平行四边形 所在平面互相垂直， // ， ⊥ ， ⊥ ，
1
= = = 1， = √ 2．
2
(1)求证： //平面 ；

(2)判断线段 上是否存在点 ，使得平面 ⊥平面 ？若存在，求出 的值，若不存在，说明理由．

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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】相交

12.【答案】
3
1 1 2 5 5
13.【答案】 + ；
2 2 3 3 3
√ 3
14.【答案】 6
3
15.【答案】1
16.【答案】①②④
17.【答案】解：(1)在△ 中，由 = 3， = 4， = 5，可知 ⊥ ；
再由直三棱柱性质可知 ， ， 1两两垂直，
以 为坐标原点， ， ， 1所在直线分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，如下图所示：
可知 (0,0,0)， 1(0,3,4)， (4,0,0)， 1(0,0,4)，
所以 1 = (0,3,4), 1 = ( 4,0,4)，
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1 1 16 2√ 2因此cos < 1 , 1 >= = = ， | || 1 1| 5×4√ 2 5
可得直线 1与直线 1所成角的余弦值为
2√ 2．
5
(2)又易知 (0,3,0)，可得 = (4, 3,0)，
结合(1)中结论可设平面 1 的一个法向量为 = ( , , )，
⊥ = 4 3 = 0
则{ ，所以{ ，
⊥ 1 1 = 4 + 4 = 0
令 = 3，可得 = 4， = 3，
即可得 = (3,4,3)，
设直线 1与平面 1 所成的角为 ，
| | 24 12√ 34
则 = |cos < 11 , > | = = = ， | 1|| | 5×√ 34 85
即直线 1与平面
12√ 34
1 所成角的正弦值为 ． 85
(3)易知 1 = ( 4,3,4)，又 = (3,4,3)可知，
| | 12 6√ 34
点 1到平面 1 的距离为 =
1 = = ．
| | √ 34 17
18.【答案】解：(Ⅰ)证明：因为 1 1// 、 1 1 = ， // 、
= ，
所以 1 1// 、 1 1 = ，所以四边形 1 1 为平行四边形，
所以 1 // 1， 1 平面 1 1， 1 平面 1 1，
所以 1 //平面 1 1；
(Ⅱ)证明：连接 ，因为 1 ⊥平面 ，
由(Ⅰ)知 1 // 1，所以 1 ⊥平面 ，
又因为 平面 ，所以 ⊥ 1 ，
因为四边形 是正方形，所以 ⊥ ，
又因为 1 ∩ = ，所以 ⊥平面 1 ，
因为 1 平面 1 ，所以 ⊥ 1；
(Ⅲ)因为 1 ⊥平面 ，所以 1 ⊥ ， 1 ⊥ ，
又因为 是正方形，所以 ⊥ ，
于是 、 、 1两两垂直，
建立如图所示的空间直角坐标系，
∴ (0,0,0)， (0,1,0)， (1,1,0)， (1,0,0)， 1(1, 1,√ 3)，
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可知平面 1 的法向量为 = = (1,1,0)，
= ( 1,1,0)， 1 = (0, 1,√ 3)，
设平面 1的法向量为 = ( , , )，
= + = 0
则{ ，令 = √ 3，则 = (√ 3, √ 3, 1)，
1 = + √ 3 = 0
| | 2√ 3 √ 42
所以二面角 1 1的余弦值为 = = ． | | | | √ 2 √ 7 7
19.【答案】解：(1)证明：∵底面 为平行四边形，∴ // ，
又 平面 ， 平面 ，
∴ //平面 ，同理 //平面 ，又 ∩ = ，
∴平面 //平面 ，又 平面 ，
∴ //平面 ；
(2)如图，连接 ，
∵平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ， ⊥ ，
∴ ⊥平面 ，∴ ⊥ ，又 ⊥ ， ⊥ ， ∩ = ，
∴ ⊥平面 ，∴ ⊥ ，
∴ ， ， 两两垂直，
∴以 ， ， 所在的直线分别为 轴、 轴和 轴，建系如图，则根据题意可得：
(0,0,0)， (1,0,0)， (0,1,0)，
( 1,1,0)， (0,0,2)， (1,0,1)，
∴ = (0, 1,2)， = (1,0, 1)，
设平面 的一个法向量为 = ( , , )，
= + 2 = 0
则{ ，取 = (1,2,1)，
= = 0
设线段 上存在点 ，使得平面 ⊥平面 ，
设 = = (0, , 2 )，( ∈ [0,1])，
∴ = + = (0,1 , 2 )，
设平面 的法向量为 = ( , , )，又 = ( 1,1,0)，
= (1 ) + 2 = 0 1
则{ ，取 = (1,1, )，
= + = 0 2
若平面 ⊥平面 ，则 = 0，
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1 1
即1 + 2 + = 0，解得 = ∈ [0,1]，
2 7
1
∴线段 上存在点 ，使得平面 ⊥平面 ，且此时 = ．
7
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