2024-2025学年河南省南阳市六校高二（上）第二次联考数学试卷（12月份）（含答案）

2024-2025学年河南省南阳市六校高二（上）第二次联考
数学试卷（12月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，，，若，，共面，则实数的值为( )
A. B. C. D.
2.设向量与满足，在方向上的投影向量为，则在方向上的投影数量为( )
A. B. C. D.
3.学校教师运动会设置有“跳绳”、“立定跳远”、“定点投篮”、“沙包掷准”四个比赛项目，每个项目各需要一位裁判，现有甲、乙、丙、丁四位体育老师，每人做且仅做一项裁判工作，因为时间问题，甲不能安排“跳绳”裁判，乙不能安排“定点投篮”裁判，则不同的安排方法共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
4.如图，在四面体中，点为线段上靠近点的三等分点，为的中点，则( )
A.
B.
C.
D.
5.已知三棱锥中，平面，，且，，分别为，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
6.已知椭圆：，过点且方向量为的光线，经直线反射后过的右焦点，则的离心率为( )
A. B. C. D.
7.已知，，若圆上存在点满足，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.正八面体可由连接正方体每个面的中心构成，如图所示，在棱长为的正八面体中，则有( )
A. 直线与是异面直线
B. 平面平面
C. 该几何体的体积为
D. 平面与平面间的距离为
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.以下命题正确的是( )
A. 直线：与直线：垂直的充要条件是
B. 已知圆：，过点的直线与圆交于，两点，则的最小值为
C. 方程表示椭圆的充要条件是
D. 直线和以、为端点的线段相交，则的取值范围是
10.已知直线：，双曲线：以下说法正确的是( )
A. 当时，直线与双曲线只有一个公共点
B. 直线与双曲线只有一个公共点时，或
C. 当或时，直线与双曲线没有公共点
D. 当时，直线与双曲线有两个公共点
11.正方体的个顶点分别在个互相平行的平面内，每个平面内至少有一个顶点，且相邻两个平面间的距离为，则该正方体的棱长为( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知直线：，圆：，若圆上至少存在两点到直线的距离等于，则实数的取值范围是______．
13.在九章算术中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑在鳖臑中，平面，，，点在棱上运动则面积的最小值为______．
14.如图，已知正方体的棱长为，，分别为，的中点若平面，平面经过点，则平面截正方体所得截面的周长为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数的图象与直线均过定点．
若直线在，轴上的截距相等，求直线的方程；
若点是圆：上的动点，点满足，求的最大值．
16.本小题分
已知圆：．
若直线平分圆，求的最小值；
顶点在原点，焦点在轴上的抛物线的准线与圆相切，为抛物线的焦点，为抛物线上的动点，点，求的最大值．
17.本小题分
在图的直角梯形中，，，，点是边上靠近于点的三等分点，交于点，以为折痕将折起，使点到达的位置，且，如图．
求四棱锥的体积；
求与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，底面四边形为正方形，为棱的中点，为边的中点．
求证：平面；
若侧面底面，且，，求二面角的余弦值．
19.本小题分
焦距为的椭圆，如果满足，则称此椭圆为“等差椭圆”．
如果椭圆是等差椭圆，求的值；
对于焦距为的等差椭圆，点，分别为椭圆的左、右顶点，直线交椭圆于，两点，异于，，设直线，的斜率分别为、，是否存在实数，使得，若存在，求出，不存在说明理由．
参考答案
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15.解：，定点，
直线在，轴上的截距相等，设截距分别为，，
当时，直线经过原点，
设，又经过点，则有互线的方程为；
当时，设直线的方程为代入点，解得，
直线的方程为．
综上可得直线的方程为或．
设，中点满足，
可得，
代入，
得即为点的轨迹方程，
圆心，半径，点在圆外，
点到圆心的距离为，
所求的最大值为．
16.解：圆的圆心，半径．
由题意如直线过圆心，，，，
，当且仅当等号成立，
的最小值是．
由题意知抛物线的准线为，
抛物线方程为，
焦点，，
．，又．
，
当且仅当时等号成立．
的最大值是．
17.解：根据题意，由直角梯形边长，，可知，则，
又点是边上靠近于点的三等分点，所以，可得为等边三角形；
连接，如下图所示：
可得四边形为菱形，所以，
折起后，，
如图所示，易知，又，满足，
又因为，，，平面，
所以平面，
且，
所以梯形的面积为，
所以；
以为坐标原点，分别以，为，轴，方向为轴正方向建立空间直角坐标系，
如下图所示：
则，，，，
可得，，，
设平面的法向量，
则，即，
可得为平面一个法向量，
可得，，，
所以，，
设与平面所成的角为，，
所以，．
18.解：证明：取线段的中点，连接，，
在中，，分别为，的中点，，
且，
又因为底面是正方形，且是的中点，所以，且，
所以，且，
即四边形为平行四边形，
则，又平面，平面，
所以平面．
由，，可知为等边三角形，
设中点为，则，又因为平面于面，平面平面，
所以平面，
设上靠近点的四等分点为，以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
设平面的法向量为，
则，
令，得，，
所以为平面的一个法向量，
取平面的法向量为，
设平面与平面所成的平面角为，且为锐角，
则．
19.解：因为椭圆是等差椭圆，所以，所以，
又．
所以，
化简得．
由且，可知，，．
所以椭圆方程为．
联立直线得，
，，设，，
则，，
，，，．
把代入，
得，
所以存在实数，使得．
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