2024-2025学年浙教版九年级数学上册期末常考题精选01
请同学们注意：
1.本试卷分试题卷和答题卷两部分，满分100分，考试时间为100分钟。
2.所有答案都必须做在答题卷标定的位置上，务必注意试题序号和答题序号相对应。
3.考试结束后，只需上交答题卷。
祝同学们取得成功！
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分）.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（本题3分）（24-25九年级上·浙江·期末）若函数，则函数值y有（ ）
A．最大值 B．最小值 C．最大值3 D．最小值3
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的性质，直接根据二次函数的性质求解即可．
【详解】解：∵函数中，，顶点坐标为，
∴该函数有最小值，
故选：B．
2．（本题3分）（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，飞云江五桥外边沿呈圆弧状，已知弦，弓形的高度，则该桥的外边沿所在圆的半径长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，由题意可得，设圆的半径为，则有，求解即可，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：如图，设点为拱桥的圆心，则垂直平分，
∵，，，
∴，
设圆的半径为，
则，
∴，
∴，
∴圆的半径长为，
故选：B．
3．（本题3分）（23-24九年级上·浙江杭州·期末）如图，中，，将绕点A逆时针旋转α（）得到，交于点F．当时，点D恰好落在上，则（ ）
A．80° B．90° C．85° D．95°
【答案】B
4．（本题3分）（24-25九年级上·浙江·期末）如图，在平面直角坐标系中，和是位似三角形，且，若点，则点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了位似三角形的性质，根据题意可得位似比为，将点的横纵坐标都乘以，即可求解．
【详解】解：和是位似三角形，且，则位似比为，点，
∴点B的坐标为，
故选：A．
5．（本题3分）（23-24九年级上·浙江·期末）一个三位数，其任意两个相邻数字之差的绝对值如果不超过1，则称该三位数为“平稳数”．现在用1，2，3这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数中，是“平稳数”的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了简单概率的计算，根据题意列出所有可能，根据新定义，得出2种可能是“平稳数”，根据概率公式即可求解．
【详解】解：依题意，用1，2，3这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，
可能结果有123，132，213，231，312，321，共六种可能，
只有123，321是“平稳数”，
∴恰好是“平稳数”的概率为．
故选：B．
6．（本题3分）（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）已知点P是线段的黄金分割点，若，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是黄金分割的概念，熟记黄金分割点是解题的关键．
根据题意可得，从而得到，即可求解．
【详解】解：∵点P是线段的黄金分割点，
∴，
，
，
，
解得：或（舍去），
故选：B．
7．（本题3分）（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）若对任意实数x，抛物线在直线的上方，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了二次函数和一次函数图象的交点问题、一元二次方程根的判别式．根据题意得到一元二次方程，即没有实数根，则，即可求出实数m的取值范围．
【详解】解：∵对任意实数x，抛物线在直线的上方，
即抛物线与直线没有交点，
∴一元二次方程，即没有实数根，
则，
解得，
故选：D
8．（本题3分）（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图，平行线，分别经过直径的两个端点，为上一点，过点作交于点，若，之间的距离为，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．也考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理．掌握相关的知识是解题的关键．
过点作于点，的延长线交于点，如图，利用平行线的性质得到，则，再利用平行线分线段成比例定理计算出，则，于是利用勾股定理可计算出，接着根据圆周角定理得到，然后证明∽，利用相似比可计算出，最后利用勾股定理可计算出的长．
【详解】解：过点作于点，的延长线交于点，如图，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
在中，，
为直径，
，
，，
，
∵，
∽，
∴，即，
解得，
在中，．
故选：C．
9．（本题3分）（22-23九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在半径为5的中，是直径，是弦，D是弧的中点，与交于点E．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】连接，利用垂径定理得到，再利用三角形中位线定理得到，接着证明，得到，设，则，，利用半径为5，解出x，最后在中由勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，连接，交于，
∵是的中点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵是直径，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，，
∴，即，
∴，
在中，，
故选：D．
【点睛】本题考查了垂径定理，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识点，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．
10．（本题3分）（23-24九年级上·浙江宁波·期末）若函数图象上存在点满足（，且为常数），则称点为这个函数的“优和点”．例如：函数图象上存在点，因为，所以我们称点为这个函数的“1优和点”．若二次函数的“优和点”有且仅有一个，则的取值范围为( )
A． B．或 C．或 D．或
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据题意巧设“优和点”，再联立新方程是解本题的关键，综合性较强，难度适中．设这个二次函数的“优和点” 坐标为，将点坐标代入二次函数，根据题意分类讨论，再求的范围即可．
【详解】解：设这个二次函数的“优和点”坐标为，将点坐标代入可得：
；
整理得：，
令，
二次函数的“优和点”有且仅有一个，
与x轴只有一个公共点，
第一种情况是与x轴只有一个交点，且在x轴的正半轴上，
，且，解得：，且，
；
第二种情况是与x轴有两个交点，且只有一个交点在x轴的正半轴上，
对称轴在y轴左侧，且交于y轴的负半轴，
且，
解得，
综上，的取值范围为或．
故选：C
二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分）
11．（本题3分）（21-22九年级上·浙江宁波·期末）一个圆内接正多边形的一条边所对的圆心角是，则该正多边形边数是 ．
【答案】六
【分析】根据正多边形的中心角＝计算即可．
【详解】解：设正多边形的边数为n．
由题意得，＝60°，
∴n＝6，
故答案为：六．
【点睛】本题考查正多边形和圆，解题的关键是记住正多边形的中心角＝．
12．（本题3分）（22-23九年级上·浙江台州·期末）如图是一把折扇，它完全打开时是一个扇形，张角，若，则此时扇形的弧长为 （结果保留）．
【答案】
【分析】利用弧长公式计算即可．
【详解】解：这把扇子打开到最大时的扇形的弧长．
故答案为：.
【点睛】本题考查弧长公式，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
13．（本题3分）（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）若抛物线与x轴有两个交点，则这两个交点间的距离称为该抛物线在x轴上截得的“弦长”．则下列抛物线：；；．其中“弦长”最短的是抛物线 （填题序号即可）．
【答案】
【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，解题的关键是把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．
解方程得到抛物线与x轴的两交坐标为，，则该抛物线在x轴上截得的“弦长”为5；解方程得到抛物线与x轴的两交坐标为，，则该抛物线在x轴上截得的“弦长”为6；解方程得到抛物线与x轴的两交坐标为，，则该抛物线在x轴上截得的“弦长”为4，从而得到“弦长”最短的抛物线．
【详解】解：
当时，，
解得，，
抛物线与x轴的两交坐标为，，
该抛物线在x轴上截得的“弦长”为；
，
当时，，
解得，，
抛物线与x轴的两交坐标为，，
该抛物线在x轴上截得的“弦长”为；
，
当时，，
解得，，
抛物线与x轴的两交坐标为，，
该抛物线在x轴上截得的“弦长”为；
“弦长”最短的是抛物线；
故答案为：．
14．（本题3分）（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图，筒车是我国最古老的农业水利灌溉工具，是珍贵的历史文化遗产．如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，圆心在水面上方，且被水面截得的弦长为米，半径为米，则圆心到水面的距离为 米
【答案】/
【分析】本题考查垂径定理的应用，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
过点作，连接，则米，在中用勾股定理可求．
【详解】解：过点作，连接，则米，如图，
在中，，
∴(米)．
故答案为：．
15．（本题3分）（18-19九年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，棱长为1的立方体展开图有两边分别在上，有两个顶点在斜边AB上，则的面积为 ．
【答案】16
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、正方体展开图．由题意得：、，是直角三角形，四边形是矩形，，，，，，证明，得出，证明，得出，求出，再由三角形面积公式即可得出答案．
【详解】如图：
由题意得：、，是直角三角形，四边形是矩形，，，，，，
，，
∴，
，
在和中，
，
∴，
，
，
，
，
故答案为：16．
16．（本题4分）（2021·浙江温州·一模）如图，是某隧道的入口，它的截面如图所示，是由和直角围成，且点也在所在的圆上，已知，隧道的最高点离路面的距离，则该道路的路面宽 m；在上，离地面相同高度的两点，装有两排照明灯，若是的中点，则这两排照明灯离地面的高度是 m．
【答案】
【分析】先求得圆心的位置，根据垂径定理得到，即可求得半径为5，根据勾股定理即可求得，进而求得，根据勾股定理求得，从而以及垂径定理求得，利用勾股定理求得，通过证得求得，进一步即可求得．
【详解】作的垂直平分线，交于，交于，则是圆心，连接，
，
，
圆的半径为，
，
，
连接、交于，作于，于，
，，
，
，
，
是的中点，
垂直平分，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
故答案为，．
【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，三角形全等的判定和性质，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．
三 解答题（本题有6个小题，共52分）
解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.如果觉得有的题目有点困难，你们把自己能写出的解答写出一部分也可以。
17．（本题6分）（23-24九年级上·浙江温州·期末）已知线段，，满足．
(1)求的值．
(2)当线段是线段，的比例中项，且时，求的值．
【答案】(1)1
(2)
【分析】本题考查比例线段，解题的关键是理解比例线段的定义，属于中考常考题型．
（1）由题意，，利用整体代入的思想解决问题；
（2）判断出a，b的值，再根据比例中项的定义求解．
【详解】（1）解：，
，
；
（2）解：，，
．
18．（本题6分）（23-24九年级上·浙江·期末）一个仅装有球的不透明布袋里共有3个球（只有颜色不同），其中2个红球，1个白球．小真和小凡同学设计了一个游戏．从中任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出一个球，记下颜色．若摸出的2个球颜色相同，则小真获胜；若摸出的2个球颜色不同，则小凡获胜．请问这个游戏公平吗 请用画树状图或列表法说明理由．
【答案】这个游戏不公平．
【分析】本题考查了游戏公平性，列表法与树状图法．先画树状图展示所有9种等可能的结果，再找出2个球颜色相同的结果数和2个球颜色不相同的结果数，接着计算出小真获胜的概率和小凡获胜的概率，然后比较两概率的大小可判断游戏是否公平．
【详解】解：这个游戏不公平．
理由如下：画树状图为：
共有9种等可能的结果，其中2个球颜色相同的结果数为5，2个球颜色不相同的结果数为4，
所以小真获胜的概率，小凡获胜的概率，
因为，
所以这个游戏不公平．
19．（本题7分）（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图是的正方形网格，已知格点（顶点在小正方形顶点处的三角形称为格点三角形），请按下列要求完成作图（要求保留作图痕迹，不要求写作法和结论）
(1)将绕点A按逆时针方向旋转，得到，请在图1中作出（点与点是对应点）．
(2)在图2中，仅用无刻度直尺在线段找一点，使．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了旋转作图，平行线分线段成比例，解题的关键是熟练掌握旋转的性质和平行线分线段成比例定理．
（1）根据旋转的性质，先作出点B、C的对应点、，然后再顺次连接即可；
（2）取格点D，连接交于点P，即可得出答案．
【详解】（1）解：为所求作的三角形；
（2）解：点P即为所求作的点．
∵，，，
∴．
20．（本题10分）（23-24九年级上·浙江杭州·期末）在平面直角坐标系中，点都在二次函数的图象上．
(1)若，求的值．
(2)若，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查二次函数与不等式的关系，解题的关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．
（1）由可得抛物线对称轴为，构建方程可得结论；
（2）由抛物线经过可得 ，分别将, 代入解析式，根据及的取值范围求解．
【详解】（1）解：∵，
∴和关于对称轴对称，
∴，
解得；
（2）将代入得，
将代入得；
将代 得；
∵
，
，
将代入得，
∵，
，
，
，
，
，即
21．（本题10分）（23-24九年级上·浙江嘉兴·期末）如图1，已知为的直径，弦于点，是上一点，连接，，．
(1)求证：；
(2)如图2，延长相交于点，连接．
①已知，求的长；
②记与的交点为，若，当时，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)①；②
【分析】（1）根据垂径定理得出，再根据圆周角定理即可得出答案；
（2）①证明，得出，代入数据求出结果即可；
②连接，根据垂径定理得出，根据勾股定理得出，根据等腰三角形的性质得出，平分，证明，得出即可．
【详解】（1）证明：是直径，，
，
．
（2）解：①，，
∴，
，
，
．
②连接，
是直径，，
，
，
，
，
，
，
，
，
又，
，平分，
，，
，
四边形是圆的内接四边形，
，，
由（1）可知，
，
∴，
．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，等腰三角形的性质，圆周角定理，三角形相似的判定和性质，圆内角四边形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的性质．
22．（本题12分）（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）已知抛物线与轴的交点为（点在点的右边），与轴的交点为，顶点为．
(1)当时，判断的形状，并说明理由．
(2)当点在轴的负半轴上，点在轴正半轴上时，是否存在某个值，使得是等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
(3)当点在轴的正半轴上时，连结，若射线中的两条射线组成的角恰好被第三条射线平分，求出此时的值．
【答案】(1)是等腰直角三角形，理由见详解．
(2)故存在一个m值使是等腰三角形，此时
(3)或2
【分析】（1）将将代入中，得，求出A、B、D三点的坐标，易得是等腰直角三角形；
（2）先求出A、B、C三点的坐标分别为，，．根据题意得，，由此得，．当是等腰三角形
时，，则可得，求出m的值即可．
（3）分两种情况讨论：①当A、B都在x轴正半轴上时，平分，过D点作轴于E点，由，可得，由此得，因此，进而可得，则，求出m的值即可．②若A点在x轴负半轴上，B点在x轴正半轴上，若平分，则，此种情况不存在；③当为角平分线时．
【详解】（1）
将代入中，得，
由得，
，，
，，
当时，，
，
，
，，
，，
∴是等腰直角三角形．
（2）
由得，
解得，，
∵点在点的右边，
，，
∵点在轴的负半轴上，
，
，
当时，，
，
∵点在轴正半轴上，
，
，
当是等腰三角形时，，
，
整理得，
解得，，
由得，
，
故存在一个m值使是等腰三角形，此时．
（3）①当A、B都在x轴正半轴上时，平分，
由（2）知，，，，
过D点作轴于E点，
则，，
，
，
，
，
，
，
，
整理得，
解得，，
因为A、B都在x轴正半轴，
，
，
．
②若A点在x轴负半轴上，B点在x轴正半轴上，
由①知，
若平分，
则，
此种情况不存在，
③若为角平分线时，如图，延长交y轴于点F，过点C作
∴
∵
∴
∴
由①得：
设直线的解析式为
把代入得：，解得
∴直线的解析式为
当时，
∴
∴
∵A在x轴负半轴
∴，解得：
当时，即，
∴当时，
∴，解得：，
当，即时，
同理可求：（不符合题意）
综上，或2．
【点睛】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式，二次函数与坐标轴交点坐标的求法，等腰直角三角形的判定与性质，难度中等．熟练掌握二次函数图像的性质是解题的关键．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页2024-2025学年浙教版九年级数学上册期末常考题精选01
请同学们注意：
1.本试卷分试题卷和答题卷两部分，满分100分，考试时间为100分钟。
2.所有答案都必须做在答题卷标定的位置上，务必注意试题序号和答题序号相对应。
3.考试结束后，只需上交答题卷。
祝同学们取得成功！
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分）.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（本题3分）（24-25九年级上·浙江·期末）若函数，则函数值y有（ ）
A．最大值 B．最小值 C．最大值3 D．最小值3
2．（本题3分）（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，飞云江五桥外边沿呈圆弧状，已知弦，弓形的高度，则该桥的外边沿所在圆的半径长为（ ）
A． B． C． D．
3．（本题3分）（23-24九年级上·浙江杭州·期末）如图，中，，将绕点A逆时针旋转α（）得到，交于点F．当时，点D恰好落在上，则（ ）
A．80° B．90° C．85° D．95°
4．（本题3分）（24-25九年级上·浙江·期末）如图，在平面直角坐标系中，和是位似三角形，且，若点，则点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．（本题3分）（23-24九年级上·浙江·期末）一个三位数，其任意两个相邻数字之差的绝对值如果不超过1，则称该三位数为“平稳数”．现在用1，2，3这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数中，是“平稳数”的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．（本题3分）（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）已知点P是线段的黄金分割点，若，则为（ ）
A． B． C． D．
7．（本题3分）（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）若对任意实数x，抛物线在直线的上方，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（本题3分）（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图，平行线，分别经过直径的两个端点，为上一点，过点作交于点，若，之间的距离为，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
9．（本题3分）（22-23九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在半径为5的中，是直径，是弦，D是弧的中点，与交于点E．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
10．（本题3分）（23-24九年级上·浙江宁波·期末）若函数图象上存在点满足（，且为常数），则称点为这个函数的“优和点”．例如：函数图象上存在点，因为，所以我们称点为这个函数的“1优和点”．若二次函数的“优和点”有且仅有一个，则的取值范围为( )
A． B．或 C．或 D．或
二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分）
11．（本题3分）（21-22九年级上·浙江宁波·期末）一个圆内接正多边形的一条边所对的圆心角是，则该正多边形边数是 ．
12．（本题3分）（22-23九年级上·浙江台州·期末）如图是一把折扇，它完全打开时是一个扇形，张角，若，则此时扇形的弧长为 （结果保留）．
13．（本题3分）（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）若抛物线与x轴有两个交点，则这两个交点间的距离称为该抛物线在x轴上截得的“弦长”．则下列抛物线：；；．其中“弦长”最短的是抛物线 （填题序号即可）．
14．（本题3分）（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图，筒车是我国最古老的农业水利灌溉工具，是珍贵的历史文化遗产．如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，圆心在水面上方，且被水面截得的弦长为米，半径为米，则圆心到水面的距离为 米
15．（本题3分）（18-19九年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，棱长为1的立方体展开图有两边分别在上，有两个顶点在斜边AB上，则的面积为 ．
16．（本题4分）（2021·浙江温州·一模）如图，是某隧道的入口，它的截面如图所示，是由和直角围成，且点也在所在的圆上，已知，隧道的最高点离路面的距离，则该道路的路面宽 m；在上，离地面相同高度的两点，装有两排照明灯，若是的中点，则这两排照明灯离地面的高度是 m．
三 解答题（本题有6个小题，共52分）
解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.如果觉得有的题目有点困难，你们把自己能写出的解答写出一部分也可以。
17．（本题6分）（23-24九年级上·浙江温州·期末）已知线段，，满足．
(1)求的值．
(2)当线段是线段，的比例中项，且时，求的值．
（本题6分）（23-24九年级上·浙江·期末）一个仅装有球的不透明布袋里共有3个球（只有颜色不同），其中2个红球，1个白球．小真和小凡同学设计了一个游戏．从中任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出一个球，记下颜色．若摸出的2个球颜色相同，则小真获胜；若摸出的2个球颜色不同，则小凡获胜．请问这个游戏公平吗 请用画树状图或列表法说明理由．
19．（本题7分）（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图是的正方形网格，已知格点（顶点在小正方形顶点处的三角形称为格点三角形），请按下列要求完成作图（要求保留作图痕迹，不要求写作法和结论）
(1)将绕点A按逆时针方向旋转，得到，请在图1中作出（点与点是对应点）．
(2)在图2中，仅用无刻度直尺在线段找一点，使．
20．（本题10分）（23-24九年级上·浙江杭州·期末）在平面直角坐标系中，点都在二次函数的图象上．
(1)若，求的值．
(2)若，求的取值范围．
21．（本题10分）（23-24九年级上·浙江嘉兴·期末）如图1，已知为的直径，弦于点，是上一点，连接，，．
(1)求证：；
(2)如图2，延长相交于点，连接．
①已知，求的长；
②记与的交点为，若，当时，求的值．
22．（本题12分）（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）已知抛物线与轴的交点为（点在点的右边），与轴的交点为，顶点为．
(1)当时，判断的形状，并说明理由．
(2)当点在轴的负半轴上，点在轴正半轴上时，是否存在某个值，使得是等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
(3)当点在轴的正半轴上时，连结，若射线中的两条射线组成的角恰好被第三条射线平分，求出此时的值．
试卷第1页，共3页
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