上海市通河中学2023-2024学年高二上学期期末数学试卷（PDF版，含答案）

上海市通河中学 2023-2024 学年高二上学期期末数学试卷
一、单选题：本题共 4 小题，共 14 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线倾斜角的范围是( )

A. (0, ] B. [0, ] C. [0, ) D. [0, ]
2 2
2.已知 ， 表示两个不同的平面， 为平面 内的一条直线，则“ ⊥ ”是“ ⊥ ”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是
( )
7 7 3 3
A. B. C. D.
20 10 10 5
1 1 √ 2
4.关于曲线 ： 2 + 2 = 1，有下述两个结论：①曲线 上的点到坐标原点的距离最小值是 ；②曲线 与
2
1
坐标轴围成的图形的面积不大于 ，则下列说法正确的是( )
2
A. ①、②都正确 B. ①正确②错误 C. ①错误②正确 D. ①、②都错误
二、填空题：本题共 12 小题，共 42 分。
2
5.椭圆 2 + = 1的焦距为______．
4
6.若球 的表面积为4 ，则球 的体积为______．
7.已知数列{ }是各项为正的等比数列， 1 = 1， 5 = 1，则其前10项和 10 = ______．
8.已知事件 与事件 互斥，且 ( ) = 0.3， ( ) = 0.4，则 ( ∪ ) = ______．
1
9.若抛物线 2 = 的顶点到它的准线距离为 ，则正实数 = ______．
2
10.某学校组织全校学生参加网络安全知识竞赛，成绩(单位：分)的频率分布直方图如图所示，数据的分组
依次为[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]，若该校的学生总人数为1000，则成绩低于60分的学生人数为
______．
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11.已知一个圆锥的底面半径为3，其侧面积为15 ，则该圆锥的体积为 ．
2 2
12.若双曲线 = 1经过点(4√ 2, 3)，则此双曲线的渐近线夹角的为______．
16
13.若数列{ }满足 1 = 12， +1 = + 2 ( ≥ 1, ∈ )，则{ }的通项公式是______．
14.在体积为9的斜三棱柱 1 1 1中， 是 1 上的一点， 的体积为2，
则三棱锥 1 1 1的体积为______
9
15.已知无穷等比数列{ +∞ +∞ 2 }满足：∑ =1 = 3,∑ =1 = ，则{ }的通项公式是______． 2
16.已知直线 ： 2 = 0和直线 ： + 1 = 0，则曲线( 1)2 + 21 2 = 1上一动点 到直线 1和直线 2的距
离之和的最小值是______．
三、解答题：本题共 5 小题，共 44 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
随机抽取某校甲乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位： )，获得身高数据如下：
甲班：170 179 162 168 158 182 179 168 163 171
乙班：159 173 179 178 162 181 176 168 170 165
(1)计算甲班的样本方差；
(2)求乙班数据的25%分位数．
18.(本小题8分)
在长方体 1 1 1 1中(如图)， = 1 = 1， = 2，点 是棱 的中点．
(1)求异面直线 1与 所成角的大小；
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(2)《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，试问四面体 1 是否为鳖臑？并说明
理由．
19.(本小题8分)
已知数列{ }的前 项和为 , =
2
+ ，其中 ∈ ，且 ≥ 1．
(1)求{ }的通项公式；
1
(2)求数列{ }的前 项和 ． +1
20.(本小题10分)
如图，在底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱 1 1 1 1中， 是侧棱 1上的一点， = ．
(Ⅰ)试确定 ，使直线 与平面 1 1所成角为60°；
(Ⅱ)在线段 1 1上是否存在一个定点 ，使得对任意的 ， 1 ⊥ ，并证明你的结论．
21.(本小题12分)
2 2 √ 3
已知椭圆 2 + 2 = 1( > > 0)的焦距为2√ 3，离心率为 ，椭圆的左右焦点分别为 1、 2 2，直角坐标原点
记为 .设点 (0, )，过点 作倾斜角为锐角的直线 与椭圆交于不同的两点 、 ．
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆上有一动点 ，求 ( 1 2)的取值范围；
(3)设线段 的中点为 ，当 ≥ √ 2时，判别椭圆上是否存在点 ，使得非零向量 与向量 平行，请说
明理由．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】2√ 3
4
6.【答案】
3
7.【答案】10
8.【答案】0.7
9.【答案】2
10.【答案】300
11.【答案】12
7
12.【答案】arccos
25
13.【答案】 2 = + 12
14.【答案】1
1
15.【答案】 = 2 ( )
1
3
16.【答案】4 √ 2

17.【答案】解：(1)依题意，设甲班的样本平均数为 ，方差为 2，
1
则 = × (170 + 179 + 162 + 168 + 158 + 182 + 179 + 168 + 163 + 171) = 170，
10
1
所以 2 = × [02 + 92 + ( 8)2 + ( 2)2 + ( 12)2 + 122 + 92 + ( 2)2 + ( 7)2 + 12] = 57.2；
10
(2)将乙班数据从小到大重新排列得：159，162，165，168，170，173，176，178，179，181，
又10 × 25% = 2.5，所以乙班数据的25%分位数为第3位数，即165 ．
18.【答案】解：(1)取 中点 ，连接 ，则 // ，
∴ ∠ 1 为异面直线 1与 所成角．
在长方体 1 1 1 1中，由 = 1 = 1， = 2，
得 1 = √ 2， = √ 2， 1 = √ 2，

∴△ 1 为等边三角形，则∠ 1 = ． 3
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∴异面直线 1与 所成角的大小为 ； 3
(2)连接 ，∵ 为 的中点，∴ = = √ 2，
又 = 2，∴ 2 + 2 = 2，得 ⊥ ．
∵ 1 ⊥底面 ，则 1 ⊥ ，∴ ⊥平面 1 ，得 1 ⊥ ．
∴四面体 1 的四个面都是直角三角形，
故四面体 1 是鳖臑．
19.【答案】解：(1)当 ∈ ，且 ≥ 1时，有 =
2 + ，
∴当 ∈ ，且 ≥ 2时，有 2 1 = ( 1) + 1，
两式相减，得 = 2 ，
当 = 1时， 1 = 1
2 + 1 1 = 2，适合 = 2 ，
∴ = 2 ， ∈
；
(2) ∵ = 2 ， ∈ ；
1 1 1 1 1 1 1
∴ = = = ( )，
+1 2 (2 +2) 4 ( +1) 4 +1
1 1 1 1 1 1
因此 = (1 + + + ) = ． 4 2 2 3 +1 4( +1)
20.【答案】(Ⅰ)解：建立空间直角坐标系，
则 (1,0,0)， (1,1,0)， (0,1, )， (0,1,0)， (0,0,0)， 1(1,1,2)， 1(0,0,2)．
∴ = ( 1, 1,0), = (0,0,2)， = ( 1,1, ), 1 = ( 1,1,0)．
又∵ = 0, 1 = 0，
∴ 为平面 1 1 一个法向量．
| |
设 与面 1 1所成的角为 ，则sin = cos( ) = =2 | | | |
2 √ 3
= ，
√ 2 √ 2+ 2 2
√ 6
∴ = ．
3
∴当 √ 6 = 时，直线 与平面 1 1所成角为60°； 3
(Ⅱ)解：在 1 1上存在这样的点 ，使得对任意的 ， 1 ⊥
证明：设此点的横坐标为 ，则 ( , 1 , 2), 1 = ( , 1 , 0).由(1)知 = ( 1,1, )，
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依题意，
1
1 ⊥ 1 · = 0 + (1 ) = 0 = ． 2
即 为 1 1的中点时，使得对任意的 ， 1 ⊥ ．
2 2
21【. 答案】解：(1) ∵椭圆 2 + 2 = 1( > > 0)的焦距为2√ 3，
√ 3
离心率为 ，
2
√ 3
∴ = √ 3， = = ，可得 = 2，∴ = √ 2 2 = 1，
2
2
∴椭圆的标准方程为 + 2 = 1；
4
(2)设动点 ( , )， 1 2 = (2√ 3, 0)， = ( , )，
( ) = 1 2 1 2 = 2√ 3 ，
∵ ∈ [ 2,2]，∴ ( 1 2)的取值范围为[ 4√ 3, 4√ 3]；
(3)显然直线的斜率存在，故可设直线 ： = + ，
= +
联立{ 2 2 2 2
+ 2
，消去 得(1 + 4 ) + 8 + 4 4 = 0，
= 1
4
2
= 16 2 + 64 2 + 16 > 0，即 2
1
> ①，
4
设 ( 1, 1)、 ( 2, 2)，
8 4 2 4
由根与系数的关系可得 1 + 2 = 2， = ，
1+4 1 2 21+4
1+ 2 4
2
则 = ， 1
+ 2 ( 1+ 2)+2 4
2 2 = = + = ， 1+4 2 2 2 21+4 1+4
4
则 = ( 2 , 2)，
1+4 1+4
1
故 = ， 4
若 //
1
，则有 = = ， 4
1
设直线 为 = + ，
4
1
= +
4 1 2
联立{ 2 ，消去 有(1 + )
2
2 + 4
2 4 = 0，

+ 2 = 1 4
4
4 2 1
要使得存在点 ，则 22 = 2 4(1 + 2)(4 4) ≥ 0，
4
4
整理得16 + 2 16
2 ≥ 0，

1
故 2 ≤
4 2
②，
4
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由 式得，
2 1 1
①② < 2 ≤ ，
4 4 2 4
2则 1 1< ，解得 ，
4 4 2
√ 2 < < √ 2
4
∴当 ≥ √ 2时，不存在点 ，使得 // ．
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