黑龙江省哈尔滨工业大学附属中学2023-2024学年高二上学期期末数学试卷（PDF版，含答案）

黑龙江省哈尔滨工业大学附属中学 2023-2024 学年高二上学期期末数
学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { | 4 < < 4}， = { 2,0,2,4}，则 ∩ =( )
A. {0,2} B. {0,2,4} C. { 2,0,2} D. { 2,0,2,4}
2.命题“ > 0， 2 + 1 < 0”的否定是( )
A. > 0， 2 + 1 ≥ 0 B. ≤ 0， 2 + 1 ≥ 0
C. ≤ 0， 2 + 1 ≥ 0 D. > 0， 2 + 1 ≥ 0

3.如图，在复平面内，复数 1， 2对应的向量分别是 ， ，则
1的虚部是( )
2
3 3 3 3
A. B. C. D.
2 2 2 2
4.已知向量 = (2, 1)， = (1 , 2 )，若 ⊥ ，则| | =( )
√ 5 √ 3
A. B. C. 2√ 3 D. √ 5
2 2
5.如图，在正方体 1 1 1 1中， ， 分别是棱 ， 1 1的中点，则 与平面 1 1 的位置关系
是( )
A. //平面 1 1
B. 与平面 1 1 相交
C. 在平面 1 1 内
D. 与平面 1 1 的位置关系无法判断
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6.将函数 ( ) = cos(2 + )的图象向右平移 个单位得到函数 ( )的图象，则 ( ) =( )
6 3

A. 2 B. 2 C. cos(2 ) D. cos(2 )
6 3
3
7.已知抛物线 ： 2 = 2 ( > 0)，直线 ： = 与抛物线 相交于 ， 两点，点 为 轴上方一点，过点 作
2

垂直于 的准线于点 .若∠ = ，则 的值为( )
3
1
A. B. 1 C. √ 2 D. 2
2
2 2
8.如图，把椭圆 + = 1的长轴 分成10等份，过每个分点作 轴的垂线分别交椭圆的上半部分于点 ，
4 3 1
2，…， 9， 是左焦点，则| 1 | + | 2 | + + | 9 |( )
A. 16 B. 18 C. 20 D. 22
二、多选题：本题共 4 小题，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线 ：√ 3 + 1 = 0，则下列结论正确的是( )

A. 直线 的倾斜角是
6
B. 若直线 ： √ 3 + 1 = 0，则 ⊥
C. 点(√ 3, 0)到直线 的距离是2
D. 过(2√ 3, 2)与直线 平行的直线方程是√ 3 4 = 0
2 2
10.已知双曲线 ： = 1( > 0, > 0)的离心率为2，下列双曲线中与双曲线 的渐近线相同的是( )
2 2
2 2 2 2 2
A. 2 = 1 B. 2 = 1 C. 2 = 1 D. = 1
3 3 3 2 6
11.若直线 ： = + 1与圆 ：( 2)2 + 2 = 9相交于 ， 两点，则| |长度可能等于( )
A. 2 B. 2√ 2 C. 3√ 2 D. 5
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12.已知圆 1：( + 2)
2 + 2 = 1，圆 2 2 2 2 22：( + 1) + = 1，圆 3：( 1) + = 16，圆 4：( 2) +
2 = 4，直线 ： = 2，则( )
A. 与圆 1， 4都外切的圆的圆心轨迹是双曲线的一支
B. 与圆 2外切、 3内切的圆的圆心轨迹是椭圆
C. 过点 1且与直线 相切的圆的圆心轨迹是抛物线
D. 与圆 1， 2都外切的圆的圆心轨迹是一条直线
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
, > 0 1
13.已知函数 ( ) = { 2 ，则 [ ( )]的值是______． 2 , ≤ 0 8
1
14.已知抛物线 = 2，则其准线方程为______．
2
15.中岳嵩山是著名的旅游胜地，天气预报6月30日后连续四天，每天下雨的概率为0.6，利用计算机进行模
拟试验，产生0～9之间的整数随机数，假定0，1，2，3，4，5表示当天下雨，6，7，8，9表示当天不下雨，
每4个随机数为一组，产生如下20组随机数：
9533 9522 0018 7472 0018 3879 5869 3181 7890 2692
8280 8425 3990 8460 7980 2436 5987 3882 0753 8935
据此用频率估计四天中恰有三天下雨的概率的近似值为______．
16.双曲线具有如下光学性质：从一个焦点出发的光线，经双曲线反射后，
2 2
反射光的反向延长线经过另一个焦点.如图，已知双曲线 ： 2 2 =
1( , > 0)， 1， 2为双曲线 的左、右焦点.某光线从 2出发照射到双曲
线右支的 点，经过双曲线的反射后，反射光线 的反向延长线经过 1.双
曲线在点 处的切线与 轴交于点 ，若| 1 | = 2| 2|，且反射光线所在
直线的斜率为√ 15，则双曲线的离心率是______．
7
四、解答题：本题共 5 小题，共 58 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
在△ 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 = 2 ．
(1)求 的值；
(2)若 = 4， + = 2√ 7，求△ 的面积．
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18.(本小题12分)
如图： 是平行四边形， ⊥平面 ， // ， = = 2， = = 1，∠ = 60°．
(1)求证： //平面 ；
(2)求证： ⊥平面 ．
19.(本小题12分)
已知抛物线的顶点在原点，对称轴是 轴，且经过点 (1,2)．
(Ⅰ)求抛物线的标准方程、焦点坐标；
(Ⅱ)经过焦点 且斜率是1的直线 ，与抛物线交于 、 两点，求| |以及△ 的面积．
20.(本小题12分)
2 2
已知双曲线 ： 22 2 = 1( > 0, > 0)，抛物线 = 4 的焦点 是双曲线 的右顶点，且以 为圆心，以
为半径的圆与直线 ： 2√ 2 + 2 = 0相切．
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)已知直线 = 2 + 与双曲线 交于 、 两点，且双曲线 是否存在上存在点 满足 = + ，若
存在，求出 的值，若不存在请说明理由．
21.(本小题12分)
2 2 3
椭圆 ：
2
+ 2 = 1( > > 0)的一个焦点为 (1,0)，且过点 (1, )．
2
(1)求椭圆 的标准方程和离心率；
2
(2)若过点( , 0)且斜率不为0的直线与椭圆 交于 ， 两点，点 在直线 = 6上，且 与 轴平行，求直线
3
恒过的定点．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
1
13.【答案】
8
1
14.【答案】 =
2
2
15.【答案】
5
3
16.【答案】2或
2
17.【答案】解：(1)因为 + = 2 ，
由正弦定理得 + = 2 ，
又 + = sin( + ) = ，所以 = 2 ，
1
又 ∈ (0, )，所以 ≠ 0，故 = ，所以 = ．
2 3
(2)由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 = ( + )2 3 = 28 3 = 16，所以 = 4，
1
故 △ = = √ 3． 2
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18.【答案】证明：(1)取 的中点 ，连 ， ，
因为 // ， = 2， = 1，即 // ，且 = ，
则 为平行四边形，则 // ，且 = ，
又因为 是平行四边形，则 // ，且 = ，
可得 // ，且 = ，
可知 为平行四边形，则 // ，
且 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ；
(2)在△ 中， = 2， = 1，∠ = 60°，
由余弦定理可得 2 = 4 + 1 2 × 2 × 1 × 60° = 3，即 = √ 3，
则 2 = 2 + 2，可得 ⊥ ，
因为 ⊥平面 ， 平面 ，则 ⊥ ，
且 = ， ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ．
19.【答案】解：(Ⅰ)因为抛物线的顶点在原点，对称轴是 轴，且经过点 (1,2)，
设抛物线的方程为 2 = 2 ( > 0)，
因为抛物线经过点 (1,2)，
解得 = 2，
所以抛物线的标准方程为 2 = 4 ，焦点坐标为(1,0)；
(Ⅱ)因为直线 经过焦点 且斜率是1，
所以直线 的方程为 = 1，
= 1
联立{ ，
2 = 4
消去 并整理得 2 6 + 1 = 0，
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不妨设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，
由韦达定理得 1 + 2 = 6， 1 2 = 1，
此时| | = √ 1 + 2 √ ( 1 +
2
2) 4 1 2 = 8，
1 √ 2
又 = = = ，
√ 2 2
1 √ 2
故 = × 8 × = 2√ 2．
2 2
20.【答案】解：(1) ∵抛物线 2 = 4 的焦点 (1,0)是双曲线 的一个顶点，即 = 1，
|1 0+2|
∴ = = 1，
√ 2 1+(2√ 2)
∴双曲线 的方程是 2 2 = 1；
(2)设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，
= 2 +
联立方程得{ ，消去 得3 2 + 4 + 2 + 1 = 0，
2 2 = 1
∵ = 4 2 12 > 0，解得 < √ 3或 > √ 3( )，
4 2
由韦达定理得， 1 + 2 = ， 1 + 2 = 2( 1 + 2) + 2 = ， 3 3
∵ = + ， ( 1 + 2, 1 + 2)，
4 2
即 ( , )，
3 3
4 2
∴ ( )2 ( )2 = 1，
3 3
√ 3
解得 = ± ，
2
不满足( )式，所以不存在 符合题意．
= 1 2
1 9 = 4
21.【答案】解：(1)法一：由题意{ 2 + 2 = 1 ，可得{
2 = 3，
4
2
2 = 2 + 2 = 1
2 2 1
则椭圆 的标准方程为 ： + = 1，离心率为 = = ；
4 3 2
法二：设椭圆的左焦点为 ′( 1,0)，
则由椭圆的定义知 32 = | ′| + | | = √ (1 + 1)2 + ( )2 +
2
3 5 3
√ (1 1)2 + ( )2 = + = 4，
2 2 2
2 2
所以 = 2，又 = 1，得 2 = 2 2 = 3，则椭圆 的标准方程为 ： + = 1，
4 3
1
离心率为 = = ；
2
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2
(2)因为直线 过点( , 0)且斜率不为0，
3
2
所以设直线 方程为 = + ， (
3 1
, 1)， ( 2, 2)，则 (6, 2)，
2
= +
3 32
联立{ 2 2 ，消去 得，(3
2 + 4) 2 + 4 = 0，
3
+ = 1
4 3
> 0
4 1 + 2 = 8
所以 3 2+4，所以 1 2 = ( 1 + 2)，
32 3
= 3
{ 1 2 3 2+4

= 1 2直线 方程为 2 ( 6) 6 ，由对称性可知直线 恒过的定点在 轴上， 1
( 1 6) 2
所以令 = 0，得 6 = 2 ，且
1
= 1 + ，
2 1 3
2 16 8 16
2( 1+ 6) 所以 6 = 3 = 1 2

3 2
( 1+ 2) = 3 3 2
8
= ，
2 1 2 1 2 1 3
10 10
可得 = ，直线 恒过的定点( , 0)．
3 3
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