四川省成都市树德中学2024-2025学年高一上学期期中数学试卷（PDF版，含答案）

四川省成都市树德中学 2024-2025 学年高一上学期期中数学试卷
一、单选题：本题共 7 小题，每小题 5 分，共 35 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集 = {0,1,2,3,4,5}，集合 = {1,2,3}， = {5,4,3}，则 ∩ =( )
A. {1,2,3,4,5} B. {1,2} C. {0,1,2} D. {0,1,2,3}
2.设集合 = { | = 2 + 1, ∈ }， = { | = + 1, ∈ }，则 ∩ =( )
A. (0,1)，(1,2) B. {(0,1)，(1,2)}
C. { | = 1或 = 2} D. { | ≥ 1}
3.已知函数 ( ) = ( 2) ， ∈ ，则“ = 1”是“ ( )是增函数”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知命题 ： ∈ ，( + 1)( 2 + 1) ≤ 0，命题 ： ∈ ， 2 + 1 > 0恒成立.若 和 都为真命题，
则实数 的取值范围为( )
A. ≥ 2 B. 2 < ≤ 1
C. ≤ 2或 ≥ 2 D. 1 < ≤ 2

5.已知函数 ( ) = ，则( )
√ 4 2
A. (√ 3) > (√ 2) > ( 1) B. (√ 2) > (√ 3) > ( 1)
C. (√ 2) > ( 1) > (√ 3) D. ( 1) > (√ 3) > (√ 2)
( ) ( ) , ( ) ≥ ( )
6.用 ( )表示非空集合 中元素的个数，定义 = { ，若 = {1,2}， =
( ) ( ) , ( ) < ( )
{ |( 2 + )( 2 + + 2) = 0}，且 = 1，设实数 的所有可能取值构成集合 ，则 ( ) =( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
( 1)2, ≥ 1
7.已知函数 ( ) = { ，若对于任意的实数 ，不等式4 ( ) ≤ ( 2 + 1)恒成立，则实数
(2 ), < 1
的取值范围为( )
1 1 3 3
A. [ , +∞) B. [ , 1] C. [ , +∞) D. [ , 1]
2 2 4 4
二、多选题：本题共 4 小题，共 23 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
8.下列说法正确的是( )
A. 若| | > ，则 2 > 2
1 1
B. “ > 2”是“ < ”的充分不必要条件
2
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2
C. 若幂函数 = ( 2 1) 2 3在区间(0, +∞)上是减函数，则 = 2
D. 命题“ ∈ ，| | + 2 ≥ 0”的否定为“ ∈ ，| | + 2 ≥ 0”
1 2 +1
9.已知函数 ( )满足 ( ) = ，则关于函数 ( )正确的说法是( )
+1
A. ( )的定义域为{ | ≠ 1} B. ( )值域为{ | ≠ 1，且 ≠ 2}
C. ( )在(0, +∞)单调递减 D. 不等式 ( ) > 2的解集为( 1,0)
10.已知 ， 均为正数，且 = 1，则( )
4 1 1
A. > 2√ B. 2 2 > 1 C. ≤ 1 D. + > 3

2+1
11.已知函数 ( ) = + 2 ，则下列结论正确的是( ) +1
A. ( )在(1, +∞)上单调递增
B. ( )值域为( ∞, 2] ∪ [2, +∞)
C. 当 > 0时，恒有 ( ) > 成立
D. 若 1 > 0， 2 > 0， 1 ≠ 2，且 ( 1) = ( 2)，则 1 + 2 > 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
3 2
12.不等式 ≥ 2的解集为______．
+3
13.若两个正实数 ， 满足4 + = 0，且不等式 ≥ 2 6 恒成立，则实数 的取值范围是 ．
14.已知函数 ( )， ( )都是定义在 上的函数， ( 1) + 2是奇函数， ( 2)是偶函数，且 ( ) (
2) = 3， ( 2) = 1，则 (2) + (3) + (4) = ______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
设集合 = { | 2 < < 3}， = { |3 < ≤ + 1}．
(1)若 ∈ ， ∈ ，求 的取值范围；
(2)若 ∈ ， ∈ ，求 的取值范围．
16.(本小题15分)
已知集合 为使函数 = √ 2 + + 1的定义域为 的 的取值范围，集合 = { | 2 + 2 + 2 1 ≤ 0}(
为常数， ∈ )，若 ∈ 是 ∈ 的必要条件，试求实数 的取值范围．
17.(本小题15分)
在园林博览会上，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放市场，已知该种设备年
固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入80元，设该公司一年内生产该设备 万台且全部售完，每万台
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180 2 , 0 < ≤ 20
的销售收入 ( )(万元)与年产量 (万台)满足如下关系式： ( ) = { 2000 9000 ．
70 + , > 20
( +1)
(1)写出年利润 ( )(万元)关于年产量 (万台)的函数解析式；(利润=销售收入 成本)
(2)当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大？并求最大利润．
18.(本小题17分)
已知函数 ( )的定义域为(0, +∞)，对任意正实数 、 都有 ( ) + 1 = ( ) + ( )，且当 > 1时， ( ) > 1．
1
(1)求 (2024) + ( )的值，
2024
(2)判断函数 ( )的单调性并加以证明；
(3)当 ∈ [1,3]时，关于 的不等式 ( 3) + ( ) > 2恒成立，求实数 的取值范围．
19.(本小题17分)
设函数 = 2 + ( ∈ , ∈ )．
5
(1)若 = ，且集合{ | = 0}中有且只有一个元素，求实数 的取值集合；
4
(2) < 0时，求不等式 < (2 2 ) + 2的解集；
(3)当 > 0， > 1时，记不等式 > 0的解集为 ，集合 = { | 2 < < 2 + }，若对于任意正数 ，
1 1
∩ ≠ ，求 的最大值．

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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】( ∞, 3) ∪ [8，+∞)
13.【答案】[ 2,8]
14.【答案】 6
15.【答案】(1)若 ∈ ， ∈ ，则 ，
1
当3 ≥ + 1, ≥ 时， = ，满足 ，
2
1
当3 < + 1, < 时， ≠ ，要使 ，
2
1
<
2 2 1
则需{3 ≥ 2 ，解得 ≤ < ， 3 2
+ 1 < 3
2
综上所述， 的取值范围是[ , +∞)．
3
(2)若 ∈ ， ∈ ， ∩ ≠ ，
1
当3 < + 1, < 时， ≠ ，要使 ∩ = ，
2
1 1
则需{ < 2 或{ < 2 ，解得 ≤ 3．
+ 1 ≤ 2 3 ≥ 3
1
当3 ≥ + 1, ≥ 时， = ，满足 ∩ = ．
2
1
综上所述， ∩ = 时， ≤ 3或 ≥ ，
2
1
所以当 ∩ ≠ 时， ∈ ( 3, )．
2
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16.【答案】解：集合 为使函数 = √ 2 + + 1的定义域为 ，
故 2 + + 1 ≥ 0，
所以△= 2 4 ≤ 0，解得 2 ≤ ≤ 2；
集合 = { | 2 + 2 + 2 1 ≤ 0}，
故：( + + 1)( + 1) ≤ 0，整理得： 1 ≤ ≤ 1 ，
由于 ∈ 是 ∈ 的必要条件，
所以 ，
1 ≤ 2
故{ ，整理得 1 ≤ ≤ 1．
2 ≤ 1
2 2 + 100 500,0 < 20
17.【答案】解：(1) ( ) = ( ) 80 50 = { 9000 ．
10 + 1950, > 20
+1
(2)当0 < 20时， ( ) = 2 2 + 100 50 = 2( 25)2 + 1200，
∴ ( ) = (20) = 1150，
900 900
当 > 20时， ( ) = 10( + 1 + ) + 1960 10 × 2√ ( + 1) × + 1960 = 1360，
+1 +1
900
当且仅当 + 1 = ，即 = 29时等号成立，
+1
∴ ( ) = (29) = 1360，
∵ 1360 > 1150，
当年产量为29万台时，该公司获得的利润最大为1360万元．
18.【答案】解：(1)函数 ( )的定义域为(0, +∞)，
对任意正实数 、 都有 ( ) + 1 = ( ) + ( )，且当 > 1时， ( ) > 1．
令 = = 1，则 (1) + 1 = 2 (1)，所以 (1) = 1，
1 1
所以 (2024) + ( ) = (2024 × ) + 1 = (1) + 1 = 1 + 1 = 2．
2024 2024
(2)函数 ( )在(0, +∞)上是增函数，

证明：设 2 > 1 > 0，则 ( 2) ( 1) = [(
2) 1] ( 1) = (
2) + ( 1) ( 1) 1 = (
2) 1，
1 1 1

因为 2 > 1，所以 ( 2) > 1，故 ( 2) ( 1) > 0， 1 1
所以 ( 2) > ( 1)，所以函数 ( )在(0, +∞)上是增函数；
(3)当 ∈ [1,3]时，关于 的不等式 ( 3) + ( ) > 2恒成立．
对任意正实数 、 都有 ( ) + 1 = ( ) + ( )，
所以 ( 3) + ( ) = ( 2 3 ) + 1 > 2，
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又因为 (1) = 1，则可化为 ( 2 3 ) > 1 = (1)．
由(1)知函数 ( )在(0, +∞)上是增函数，
3 > 0
3 1 3
所以{ > 0 对任意的 ∈ [1,3]恒成立，所以 > 且 > 2 + 对任意的 ∈ [1,3]恒成立．
2 3 > 1
1 3 1 1
所以 > ( 2 + ) ，记 = ∈ [ , 1]， ( ) =
2 + 3 ，
3
1
二次函数 ( )在区间[ , 1]上为增函数，所以， ( )
3
= (1) = 4，所以 > 4．
因此，实数 的取值范围是(4, +∞)．
19.【答案】解：(1)设函数 = 2 + ( ∈ , ∈ )，
5
若 = ，且集合{ | = 0}中有且只有一个元素，
4
5
当 = 时， = 2
5
+ + ，
4 4
5
当 = 0时，由 = 0，解得 = ，满足题意；
4
5 1
当 ≠ 0时，由 = 0有一解，得 = 1 + 4 ( ) = 0，解得 = 1或 = ，
4 4
1
所以实数 的取值集合{0, , 1}；
4
(2)由 < (2 2 ) + 2，得 2 + < (2 2 ) + 2，
整理得 2
1
+ (2 1) 2 < 0，即( 1)( + 2) < 0，而 < 0，则( )( + 2) > 0，

1 1 1
当 < < 0时， < 2，解得 < 或 > 2；
2
1 1
当 = 时， = 2，解得 ≠ 2；
2
1 1 1
当 < 时， > 2，解得 < 2或 > ，
2
1 1
所以当 ≤ < 0时，原不等式的解集为( ∞, ) ∪ ( 2, +∞)，
2
1 1
当 < 时，原不等式的解集为( ∞, 2) ∪ ( , +∞)；
2
(3)当 > 0， > 1时，记不等式 > 0的解集为 ，集合 = { | 2 < < 2 + }，
若对于任意正数 ， ∩ ≠ ，
集合 = { | 2 < < 2 + }，对于任意正数 ， 2 ∈ ，由 ∩ ≠ ，
得当 = 2时，函数 ≥ 0，则4 2 ≥ 0，即4 ≥ + 2 > 3，
1 1 4 1 3 2 +2
因此 ≤ = ，令 = 3 2 > 1，则 = ，
+2 ( +2) 3
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1 1 9 9 1 16
于是 ≤ = 16 ≤ ，当且仅当 = ，即 = 4， = 1， = 2时取等号， ( +2)( +8) + +10 2

1 1 1
所以 的最大值为 ．
2
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