河北省石家庄市第四十二中学2024-2025学年高一上学期期中数学试卷（PDF版，含答案）

河北省石家庄市第四十二中学 2024-2025 学年高一上学期期中数学试
卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数 ( ) = ( 1) +1是幂函数，则 (2) =( )
A. 8 B. 4 C. 2 D. 1
3
2.函数 ( ) = 2零点所在的一个区间是( )

A. ( 2, 1) B. (0,1) C. (1,2) D. (2, +∞)
3.已知集合 = { | = 2 , > 0}， = { | = lg(2 2)}，则 ∩ 为( )
A. (1,2) B. (1, +∞) C. [2, +∞) D. [1, +∞)
5 1
4.已知 = ( ) 2， = log25， = log37，则 ， ， 的大小顺序是( ) 3
A. > > B. > > C. > > D. > >
5.若 > 1，则函数 = 与 = (1 ) 2的图象可能是下列四个选项中的( )
A. B. C. D.
1 + log (2 ) < 1
6.设函数 ( ) = { 2
2 1
，则 ( 2) + (log212) =( )
≥ 1
A. 3 B. 6 C. 9 D. 12
7.已知函数 ( ) = ( 20.5 + 3 )在(2, +∞)上单调递减，则实数 的取值范围( )
A. ( ∞, 4] B. [4, +∞) C. [ 4,4] D. ( 4,4]
( 3) + 7 + 2, < 1
8.已知 ( ) = { 2 在( ∞, +∞)上单调递减，则实数 的取值范围为( ) + , ≥ 1
1 2 2
A. (0,3) B. [ , 3) C. [ , 3) D. ( , 3)
2 9 9
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的有( )
1
A. “ > 1”是“ < 1”的充分不必要条件

B. 命题“ < 1， 2 < 1”的否定是“ ≥ 1， 2 ≥ 1”
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C. 若 > ，则
2
>
2
1 1
D. 若 > 0， > 0，且 + 4 = 1，则 + 的最小值为9

( 2) ( )10.定义在 上的函数 ( )，对任意的 1，
1
2 ∈ ( ∞, 2]，都有 > 0，且函数 = ( + 2)为偶函数， 2 1
则下列说法正确的是( )
A. = ( 2)关于直线 = 4对称
B. = ( )在 ∈ (2, +∞)上单调递增
C. (1) > ( )
D. 若 (0) = 0，则( 1) ( ) > 0的解集为( ∞, 0) ∪ (1,4)
| |, ≤ ,
11.已知函数 ( ) = { 2 其中 > 0.若存在实数 ，使得关于 的方程 ( ) = 有三个不 2 + 4 , > ,
同的根，则实数 可能的值有( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.若函数 ( ) = log (2 3) + 4( > 0且 ≠ 1)的图象经过定点，则定点坐标______．
13.已知函数 ( )是定义在[ 1,2 ]上的偶函数，且当 > 0时， ( )单调递增，则关于 的不等式 ( 1) >
( )的解集为______．
14.教材必修1第87页给出了图象对称与奇偶性的联系：若 = ( )为奇函数，则 = ( ) + 的图象关
2 1 2 +3
于点( , )中心对称，易知： ( ) = 是奇函数，则 ( ) = 图象的对称中心是______． 2 +1 2 +2
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题15分)
计算：
1 9 3 3
(1)求值：0.125 3 ( )0 + 42 + (√ 2 × √3)6；
8
1
(2) 25 + 2 lg√ 0.1 9 × 2 + 5 52
2 2 3
．
16.(本小题15分)
已知集合 = { |3 ≤ ≤ + 5}， = { |2 < < 10}．
(1)当 = 2时，求 ( ∪ )，( ) ∩ ；
(2)若 ∩ = ，求实数 的取值范围．
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17.(本小题15分)
3 +
已知函数 ( ) = 为奇函数． 3 +1
(1)写出 ( )的定义域，并求 的值；
(2)判断函数 ( )的单调性，并利用定义加以证明；
(3)若对任意的 ∈ ，不等式 ( 2 2 ) + (2 2 ) > 0恒成立，求实数 的取值范围．
18.(本小题15分)
某机械厂生产一批零件，受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，其次品率 与日产量 (万件)之
1
, 0 < ≤
间满足关系： = {12 (其中 为小于12的正整数).已知每生产1万件合格的零件该厂可以盈利
3
, >
4
30万元，但每生产1万件次品将亏损10万元，故厂方希望定出合适的日产量使得利润最大. (注：次品率=次
品数/生产量，如 = 0.1表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品)．
(1)将生产这批零件每天的盈利额 (万元)表示为日产量 (万件)的函数；
(2)当日产量为多少时，该厂可获得最大利润？
19.(本小题17分)
已知函数 ( ) = 4 ( + 1) 2 1．
(1)若 = 0，求 ( )在区间[ 1,2]上的值域；
(2)若方程 ( ) + 2 = 0有实根，求实数 的取值范围；
1 2
(3)设函数 ( ) = ( ) 2 +4 1，若对任意的 1 ∈ [ 1,2]，总存在 2 ∈ [0,3]，使得 ( 1) ≥ ( 2)，求实数 的2
取值范围．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】(2,4)
1 2 4 5
13.【答案】[ , ) ∪ ( , ]
3 3 3 3
5
14.【答案】(1, )
4
3 1
15.【答案】解：(1)原式= 2 1 + 22× ×62 + (√ 2)6 × 33 = 2 1 + 8 + 72 = 81；
1 1 1 1
(2)原式= 5 + 2 0.1 2 23 × 32 + = 1 + 2 + = 0． 2 2 2 2
16.【答案】解：(1)当 = 2时， = { |3 ≤ ≤ 7}，所以 ∪ = { |2 < < 10}，
= ( ∞, 3) ∪ (7, +∞)，
所以 ( ∪ ) = ( ∞, 2] ∪ [10, ∞)，( ) ∩ = (2,3) ∪ (7,10)；
(2)若 ∩ = ，则 ，
当 = 时，3 > + 5，解得 < 2；
3 ≤ + 5
当 ≠ 时，{ ，解得 2 ≤ < 5；
+ 5 < 10
综上所述： 的取值范围为{ | < 5}．
17.【答案】解：(1)函数 ( )的定义域为 ，
1+ 3 1
则 (0) = = 0，解得 = 1，此时 ( ) = ， 2 3 +1
3 1 3 (3 1) 1 3
满足 ( ) =
3
=
+1 3 (3
= = ( )，
+1) 1+3
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所以 = 1；
3 1 3 +1 2 2
(2)由(1)知： ( ) = = = 1 ， 3 +1 3 +1 3 +1
则函数 ( )在定义域 上单调递增，
证明如下：
设任意的 1 < 2，
则3 2 > 3 1 > 0，则3 1 3 2 < 0，3 1 + 1 > 0，3 2 + 1 > 0，
2 2 2(3 1 3 2)
则 ( 1) ( 2) = 1 1 +3 1+1 3
= ，
2+1 (3 1+1)(3 2+1)
所以 ( 1) ( 2) < 0，即 ( 1) < ( 2)，
所以函数 ( )在定义域 上单调递增．
(3)因为不等式 ( 2 2 ) + (2 2 ) > 0对任意的 ∈ 恒成立，
且函数 ( )为 上的奇函数，
所以， (2 2 ) > ( 2 2 ) = (2 2)对任意的 ∈ 恒成立，
又因为函数 ( )为增函数，则2 2 > 2 2，
则3 2 2 > 0对任意的 ∈ 恒成立，
1
所以 = 4 + 12 < 0，解得 < ．
3
1
因此实数 的取值范围是( ∞, )．
3
18.【答案】解：(1) ∵次品率 与日产量 (万件)之间满足关系为：
1
, 0 < ≤
= {12 (其中 为小于12的正整数)，
3
, >
4
又 = 30 (1 ) 10 = (30 40 ) ，
1 1 320 30 2
当0 ≤ ≤ 时， = ，故 = (30 40 ) = ，
12 12 12
3 3
当 > 时， = ，故 = (30 40 × ) = 0，
4 4
∴盈利额 (万元)与日产量 (万件)间的函数关系为：
30 2+320
= { , 0 ≤ ≤ 12 ；
0, >
(2)当 > 时，每天的盈利额为0；只需求0 ≤ ≤ 时 的最大值，
设 = 12 ，0 ≤ ≤ ，则 = 12 ，且 ∈ [12 , 12]，
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2
30(12 ) +320(12 ) 30 2+400 480 16
∴ = = = 30( + ) + 400，

16 16
①当12 ≤ 4，即8 ≤ < 12时， = 30( + ) + 400 ≤ 30 × 2√ × + 400 = 160，

16
当且仅当 = ，即 = 4 ∈ [12 , 12]时，

∴ 取最大值160，此时 = 8；
16
②当12 > 4，即0 ≤ < 8时，易知 = + 在[4, +∞)上单调递增，

16
∴ = 30( + ) + 400在[12 , 12]上单调递减，

∴当 = 12 ，即 = 时， 取最大值．
综上所述，当0 ≤ < 8时，日产量 = (万件)时，可获最大利润；
当8 ≤ < 12时，日产量 = 8(万件)时，可获最大利润．
19.【答案】解：(1)当 = 0时， ( ) = 4 2 1 = (2 )2 2 1，
1
令 = 2 ，因为 ∈ [ 1,2]，所以 ∈ [ , 4]，
2
1 5 1
则原函数即为二次函数 ( ) = 2 1 = ( )2 ，开口向上，对称轴为 = ，
2 4 2
1
所以当 ∈ [ , 4]，函数 ( )单调递增，
2
1 5
所以 ( ) = ( ) = ， 2 4
( ) = (4) = 11，
5
所以 ( ) ∈ [ , 11]．
4
5
所以 = 0时， ( )在区间[ 1,2]上的值域为[ , 11]；
4
(2)由(1)知当令 = 2 ， > 0， ( ) = 2 ( + 1) 1，
则 ( ) + 2 = 0，
即 2 ( + 1) + 1 = 0有实数根，此时实数根大于零，
+1
> 0
所以可得{ 2 ，
= ( + 1)2 4 ≥ 0
> 1
即{ ，解得： ≥ 1．
≤ 3 或 ≥ 1
所以方程 ( ) + 2 = 0有实根时，
实数 的取值范围为[1, +∞)；
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1 2 2+4 1 2 2 4 +1 2( 1)2(3)由题意得 ( ) = ( ) = 2 = 2 1，
2
若对任意的 1 ∈ [ 1,2]，总存在 2 ∈ [0,3]，使得 ( 1) ≥ ( 2)，可得 ( 1) ≥ ( 2) ，
由函数 = 2( 1)2 1可得，
当 2 ∈ [0,1)时单调递减，当 2 ∈ [1,3]时单调递增，
又函数 = 2 为增函数，
2
所以由复合函数定义可得函数 ( ) = 22( 1) 1在 2 ∈ [0,1)时单调递减， 2 ∈ [1,3]时单调递增，
1
所以当 2 = 1时， ( 2)有最小值 ( 2) = (1) = ， 2
1
由(2)知当令 = 2 ， 1 ∈ [ 1,2]， ∈ [ , 4]， 2
所以 2
1 1
( + 1) 1 ≥ 在 ∈ [ , 4]上恒成立，
2 2
3 1
即 ≥ + 1在 ∈ [ , 4]上恒成立，
2 2
3 1
因为函数 = , = 在 ∈ [ , 4]时均单调递增，
2 2
3 1
所以函数 = 在 ∈ [ , 4]时单调递增，
2 2
3 5
所以( ) = ，
2 2
5 7
所以 ≥ + 1， ≤ ．
2 2
7
所以实数 的取值范围为( ∞, ].
2
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