辽宁省沈阳市东北育才学校双语校区2024-2025学年高二上学期期中数学试卷（PDF版，含答案）

辽宁省东北育才学校双语校区 2024-2025 学年高二上学期期中数学试
卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量 = (2, , 1)， = (2,0,2)， = (0,1, 1)，若 ， ， 共面，则 等于( )
A. 1 B. 1 C. 1或 1 D. 1或0
2.若圆 1：
2 + 2 + 4 4 + 7 = 0与圆 2 22： + 4 + 2 + = 0相切，则实数 =( )
A. 11 B. 31 C. 11或31 D. 11或 31
3.已知抛物线 ： 2 = 2 ( > 0)的焦点 到准线的距离为2，过焦点 的直线 与抛物线交于 ， 两点，则
2| | + 3| |的最小值为( )
5
A. √ 6 + B. 2√ 6 + 5 C. 4√ 6 + 10 D. 11
2
4.已知直线 ： = 2， 为圆 ： 2 + 2 4 = 0上一动点，则点 到直线 的距离的最大值为( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
2 2
5.已知点 是椭圆 + = 1上一动点， 是圆( + 3)2 + 2 = 1上一动点，点 (6,3√ 3)，则| | | |的
25 16
最大值为( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
2 2
6.已知双曲线 2 2 = 1( > 0, > 0)左，右焦点分别为 1( , 0)， 2( , 0)，若双曲线右支上存在点 使得

= ，则离心率的取值范围为( )
sin∠ 1 2 sin∠ 2 1
A. [√ 2 + 1,+∞) B. (1,√ 2 + 1] C. (1, √ 2 + 1) D. (√ 2 + 1,+∞)
2 2
7.已知圆 ： 2 + 2

= 1，点 在椭圆 ： + = 1运动，过点 作圆 的两条切线，切点分别为 ， ，则
9 3
| + |的取值范围是( )
√ 6 2√ 3 √ 3 2√ 3 √ 6 √ 3 2 2√ 3
A. [ , ] B. [ , ] C. [ , ] D. [ , ]
3 3 3 3 3 2 3 3
8.已知 为坐标原点， 为抛物线 ： 2 = 4 的焦点，直线 与 交于点 ， (点 在第一象限)，若 = 0，
则△ 与△ 面积之和的最小值为( )
A. 6√ 5 B. 7√ 5 C. 8√ 5 D. 9√ 5
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知正方体 1 1 1 1的边长为2， 、 、 、 分别为 1、 、 、
1的中点，则下列结论正确的是( )
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A. 1 ⊥
B. 1 //平面
C. 点 1到平面 的距离为2

D. 二面角 的大小为
4
10.抛物线 ： 2 = 2 ( > 0)的焦点为 ， ( 1, 1)、 ( 2, 2)是抛物线上的两个动点， 是线段 的中
点，过 作 准线的垂线，垂足为 ，则( )
A. 若 = 2 ，则直线 的斜率为2√ 2或 2√ 2
B. 若 //
1
，则| | = | |
2
1
C. 若 和 不平行，则| | < | |
2
| | √ 3
D. 若∠ = 120°，则 的最大值为
| | 3
2 2
11.已知 1， 2是双曲线 2 2 = 1( > 0, > 0)的左、右焦点，且| 1 2| = 4，点 是双曲线上位于第一象
限内的动点，∠ 1 2的平分线交 轴于点 ，过点 2作 2 垂直于 于点 .则下列说法正确的是( )
A. 若点 2到双曲线的渐近线的距离为√ 3，则双曲线的离心率为2
B. 当∠ 1 2 = 60°时，△ 1 2面积为4√ 3
C. 当| 1| = 3 时，点 的坐标为(1,0)
2√ 35
D. 若| 1 | = √ 11 ，则0 < < 7
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知抛物线 2 = 2 ( > 0)上一点 到焦点的距离比它到直线 ： + 6 = 0的距离小2，则 = ______．
2 2
13.如图所示，已知椭圆的方程为 + = 1，若点 为椭圆上的点，且∠
4 3 1
2 = 120°，则△ 1 2的面积
是______．
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2 2 2 2
14.已知椭圆 1： 2 + 2 = 1( > > 0)与双曲线 2： 2 2 = 1( > 0, > 0)有共同的焦点 1， 2，点 为
两曲线的一个公共点，且∠ 1 2 = 60°，椭圆的离心率为 1，双曲线的离心率为 ，那么
2 + 22 1 2的最小值
为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知圆 过点 (1,2)， (1,0)，且圆心在 + 1 = 0上．
(1)求圆 的标准方程；
(2)若直线 ：3 4 + 2 = 0与圆 交于 、 两点，求线段 的长度．
16.(本小题12分)
如图， ⊥平面 ， // ， // ， ⊥ ， = = 1， = = 2．
(1)求证： //平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值．
17.(本小题12分)
2 2
已知双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的焦距为4，离心率为2， 1， 2分别为 的左、右焦点，两点 ( 1, 1)，
( 2, 2)都在 上．
(1)求 的方程；
(2)若 2 = 2 2 ，求直线 的方程；
(3)若 1// 2，且 1 2 < 0， 1 2 > 0，求四个点 ， ， 1， 2所构成四边形的面积的最小值．
18.(本小题12分)
如图，在四棱锥 中， ⊥平面 ，底面 是菱形， = = 2，∠ = 60°．
(1)求证：直线 ⊥平面 ；
5
(2)设点 在线段 上，且二面角 的余弦值为 ，求点 到底面 的距离．
7
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19.(本小题12分)
阅读材料：“到角公式”是解析几何中的一个术语，用于解决两直线对称的问题.其内容为：若将直线 1绕 1
与 2的交点逆时针方向旋转到与直线 2第一次重合时所转的角为 ，则称 为 1到 2的角，当直线 1与 2不垂直

且斜率都存在时， = 2 1 (其中
1+ 1
， 2分别为直线 1和 2的斜率).结合阅读材料，回答下述问题：
1 2
2 2
已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的左、右焦点分别为 1， 2， ( 2,1)为椭圆上一点， (0, 1)，四边形
1 2的面积为2√ 3, 为坐标原点．
(1)求椭圆 的方程；
(2)求∠ 1 2的角平分线所在的直线 的方程；
(3)过点 的且斜率存在的直线 1， 2分别与椭圆交于点 ， (均异于点 )，若点 到直线 1， 2的距离相等，
证明：直线 过定点．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】8
3√ 3
13.【答案】
5
2+√ 3
14.【答案】
2
15.【答案】解：(1)因为圆 过点 (1,2)， (1,0)，
所以线段 的中垂线方程为 = 1，则圆心在直线 = 1上，
= 1 = 0
又圆心在 + 1 = 0上，所以{ ，解得{ ，所以圆心 (0,1)，
+ 1 = 0 = 1
又| | = √ 12 + ( 1)2 = √ 2，所以圆 的标准方程为 2 + ( 1)2 = 2．
|0 4+2| 2
(2)圆心 (0,1)到直线 ：3 4 + 2 = 0的距离 = =
√ 2
5，
32+( 4)
所以 2 2√ 46| | = 2√ 2 2 = 2√ (√ 2)2 ( )2 = ．
5 5
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16.【答案】证明：(1)因为 ⊥平面 ， ， 平面 ，
所以 ⊥ ， ⊥ ，
因为 ⊥ ，
所以 ， ， 两两垂直，
所以以 为原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴，建立空间
直角坐标系，如图所示，
设 = ( > 0)，因为 ⊥平面 ， = = 1， = = 2，
所以 (0,0,0)， (1,0,0)， (1,2,0)， (0,1,0)， (0,0,2)， (1,2, )，
因为 ， ， 两两垂直，所以 = (1,0,0)为平面 的一个法向量，
因为 = (0,2, )，
所以 = 0，所以 ⊥ ，
因为 平面 ，
所以 //平面 ；
解：(2)由(1)可得 = ( 1,1,0), = ( 1,0,2), = ( 1, 2,2)，
设平面 的法向量为 = ( , , )，则
= + = 0
{ ，令 = 1，则 = (2,2,1)，
= + 2 = 0

2 4+2 4
所以cos , = = = ，
| || | √ 1+4+4 √ 4+4+1 9
4
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
9
17.【答案】解：(1)因为双曲线 的焦距为4，离心率为2，
2 = 4 = 1

所以{ = 2 ，解得{ = √ 3，
2 + 2 = 2 = 2
2
故曲线 的方程为 2 = 1．
3
(2)由(1)有 2(2,0)，因为 2 = 2 2 ，所以(2 1, 1) = 2( 2 2, 2)，所以 1 = 2 2，
所以直线 过右焦点 2，且直线 的斜率不为零，设直线 的方程为 = + 2，
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= + 2
联立{ 2 22 2 ，消去 可得(3 1) + 12 + 9 = 0， = 1
3
易知3 2 1 ≠ 0，其中 = 36 2 + 36 > 0恒成立，
12 9
1 + 2 = , = ， 3 2 1 1 2 3 2 1
12 9
代入 1 = 2 2，消元得 2 = 2 ,
2 = ，
3 1 2 2(3 2 1)
12 9
所以( )2 = ，解得 √ 35
3 2 1 2(3 2 1) = ± ，满足 > 0， 35
所以直线 的方程为 √ 35 ± 2 = 0．
35
(3)因为 1 2 < 0， 1 2 > 0，
则 ， ，分别在两支上，且 ， ，都在 的上方或 的下方，
不妨设都在 的上方，又 1// 2，
则 在第二象限， 在第一象限，如图所示，
延长 1交双曲线与点 ，延迟 2交双曲线于点 ，
由对称性可知四边形 为平行四边形，且面积为四边形 1 2 面积的2倍，
由题设 ( 3, 3)，直线 的方程为 = 2，直线 的方程为 = + 2，
√ 2
由第(2)问易得 36 +36| | = √ 1 + 2| 1 2| = √ 1 + 2 × ， |3 2 1|
2
因为3 2 1 < 0，所以 6(1+ )| | = ，
1 3 2
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4
两条直线 与 间的距离 = ，
√ 1+ 2
所以 1 1 12
√ 2+1
四边形 = 四边形 = | | × = ， 1 2 2 2 1 3 2
2√ 3
令 = √ 1 + 2， ∈ [1, ),
3
12 12
所以 四边形 1 2 = =4 3 2 4 ， 3

4 4 4 3 2√ 3
设 ( ) = 3 ，则 ′( ) = 2 3 = 2 ，在 ∈ [1, )上恒为减函数， 3
12
所以 2√ 3四边形 1 2 = 4 在 上恒为增函数， 3 ∈ [1, )
3
当 = 1时即 = 0，取得最小值为12，
所以四个点 ， ， 1， 2所构成的四边形的面积的最小值为12．
18.【答案】解：(1)证明：由菱形的性质可知 ⊥ ，
因为 ⊥平面
所以 ⊥ ，且 ∩ = ，
所以直线 ⊥平面 ；
(2)以点 为坐标原点， ， 方向为 轴， 轴正方向，
如图所示，在平面 内与 垂直的方向为 轴正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系 ，
设 ( , , )，且 = (0 ≤ ≤ 1)，
由于 (0,0,2), (√ 3, 3,0), (√ 3, 1,0), (0,0,0)，
= √ 3
故：( , , 2) = (√ 3, 3, 2)，据此可得：{ = 3 ，
= 2 + 2
即点 的坐标为 (√ 3 , 3 , 2 + 2)，
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设平面 的法向量为 = ( , , )，
= 2 = 0
则{ ，
= (√ 3 √ 3 ) + (1 3 ) + (2 2) = 0
令 = 2，则 = √ 3，
故 = (2,0, √ 3)，
设平面 的法向量为 = ( , , )，
= √ 3 + = 0
则{ ，
= (√ 3 √ 3 ) + (1 3 ) + (2 2) = 0
令 = 1，则 √ 3 = √ 3， = ，
1
√ 3
据此可得平面 的一个法向量为： = (1, √ 3, )，
1
3
2+
1 5
5 =
二面角 的余弦值为 ，故： 2 7
7 3
，
√ 7×√ 1+3+ 2
(1 )
整理得14 2 19 + 6 = 0，
1 6
解得： = 或 = ．
2 7
由点 的坐标为 √ 3 3 或 6√ 3 18 2 ( , , 1) ( , , )．
2 2 7 7 7
2
易知点 到底面 的距离为1或者 ．
7
1
19.【答案】解：(1) ∵四边形 1 2的面积为 × 2 × (1 + 1) = 2√ 3，解得 = √ 3， 2
可得 2 = 2 2 = 3，即 2 = 3 + 2，又 ( 2,1)为椭圆上一点，
4 1 4 1
∴ 2 2
2
+ 2 = 1，得 2 + 2 = 1，解得 = 3， = 6，
3+
2∴椭圆 的方程为
2
+ = 1；
6 3
(2)由(1) 1( √ 3, 0), 2(√ 3, 0)，
1 1
= , = ， 1 √ 3 2 2 2 √ 3
1 1
设∠ 1 2的角平分线所在的直线 的斜率为 ，则 < < ， √ 3 2 2 √ 3

根据到角公式可得 1 = 2 ，化简得 2 = 1，∴ = 1(正值舍去)，
1+ 1+ 1 2
此时直线 的方程为 1 = ( + 2)，即 + + 1 = 0；
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(3)证明：设直线 1， 2的斜率分别为 1， 2( 1 ≠ 2)，
可得直线 1： 1 = 1( + 2)， 2： 1 = 2( + 2)，
|2 1+2| |2 2+2|
若点 到直线 1， 2的距离相等，则
=
2 2，化简得 2 1 = 1， √ 1+ √1 1+ 2
1 = 1( + 2)
由椭圆方程与 1方程联立{ 2 2 ，
+ = 1
6 3
可得(1 + 2 2) 21 + (8
2
1 + 4
2
1) + 8 1 + 8 1 4 = 0，
2 2
8 1+8 4 4 ∴ 2 × = 1 ，可得 = 1
+4 1 2
2 2 ，
1+2 1 1+2 1
2 2
4 +4 2 2 +4 +1
∴ =
1 1 1 1
1( 2 + 2) + 1 = 2 ，
1+2 1 1+2 1
2 2
4 +4 2 2 +4 +1
∴ ( 1 1 , 1 12 2 )，
1+2 1 1+2 1
2 2
4 +4 2 2 +4 +1
同理可得 ( 2 22 ,
2 2
2 )，∵ 2 1 = 1，
1+2 2 1+2 2
2 2
2 4 4 +4 2
∴ ( 1 1 , 1 12 2 )，
2+ 1 1+ 1
2 2
2 1+4 1+1 1+4 2
2
1
2 4 3
1+2 1 1+ 1 1 1+ 1+1∴ = 2 2 =
4 1+4 1 2 2 1 4 1 4
4 3
2 1+ 1 1+2 2 2
1+2 1 2+ 1
3 2
(1 1)( 1+1) 1+1+ = = 12 2 2，
(1 1)(2 1 1+2) 2 1+2 1
2 2 2
2 +4 +1 +1+ 4 +4 2
可得直线 的方程为 1 1 1 1 1 12 = 2 ( + 2 )，
1+2 1 2 1+2 1 1+2 1
化简得(2 2 21 + 2 1) 9 1 = ( 1 + 1 + 1) ，
∴ (2 )(1 + 21) + 1( 9) = 0，
2 = 0 = 6
由{ ，解得{ ，
9 = 0 = 3
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可得直线 过定点( 6, 3)．
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