黑龙江省哈尔滨市第四中学2024-2025学年高一上学期期中数学试卷（PDF版，含答案）

黑龙江省哈尔滨市第四中学 2024-2025 学年高一上学期期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合 = {1,3,5,7,9}， = { | > 5}，则 ∩ =( )
A. {7,9} B. {5,7,9} C. {3,5,7,9} D. {1,3,5,7,9}
2.命题“对任意 ∈ ，都有 2 > ”的否定是( )
A. 存在 20 ∈ ，使得 0 > 0 B. 不存在 0 ∈ ，使得
2
0 > 0
C. 存在 0 ∈ ，使得
2 2
0 ≤ 0 D. 对任意 0 ∈ ，都有 0 ≤ 0
1
3.不等式 < 1的解集是( )

A. ( ∞, 1) B. (1, +∞) C. (0,1) D. ( ∞, 0) ∪ (1, ∞)
| + 1|, ≤ 1
4.设 ( ) = { ，则 ( (1)) =( )
2, > 1
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
5.下列各组函数是同一函数的是( )
① ( ) = √ 2 3与 ( ) = √ 2 ；
② ( ) = 与 ( ) = √ 2；
1
③ ( ) = 0与 ( ) =
0
；
④ ( ) = 2 2 1与 ( ) = 2 2 1．
A. ①② B. ①③ C. ③④ D. ①④
6.下列函数是偶函数，且在区间(0,1)上单调递增的是( )
1
A. = | | + 1 B. = 1 2 C. = D. = 2 2 + 4

7.二次函数 ( ) = 2 + 2 1在区间( ∞, 1)上单调递增的一个充分不必要条件为( )
1
A. > 1 B. < 2 C. < < 0 D. 0 < < 1
2
8.十六世纪中叶，英国数学家雷德科在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利
奥特首先使用“<”和“>”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若 ， ，
∈ ，则下列命题错误的是( )
A. 若 > ， > ，则 + > + B. 若 > ， < ，则 >
1 1
C. 若 > ，则 2 > 2 D. 若 > > 0，则 <

二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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9.设函数 ( )、 ( )的定义域都为 ，且 ( )是奇函数， ( )是偶函数，则下列结论正确的是( )
A. ( ) ( )是奇函数 B. | ( )| ( )是偶函数
C. ( ) | ( )|是偶函数 D. | ( ) ( )|是奇函数
10.下列说法正确的是( )
A. 若 > ， < 0，则 2 < 2 B. 若 > ， < 0，则 3 < 3
2+5
C. 若 < < 0，则 2 > > 2 D. 函数 = 的最小值是2
√ 2+4
11.高斯函数是数学中的一个重要函数，在自然科学、社会科学以及工程学等领域都能看到它的身影.设 ∈ ，
用符号[ ]表示不大于 的最大整数，如[1.6] = 1，[ 1.6] = 2称函数 ( ) = [ ]叫做高斯函数.下列关于高斯
函数 ( ) = [ ]的说法正确的有( )
A. ( 3) = 3 B. 若 ( ) = ( )，则| | < 1
C. 函数 = ( ) 的值域是[ 1,0) D. 函数 = ( )在[1, +∞)上单调递增
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
3 1
12.若正数 ， 满足 + = 5，则3 + 4 的最小值是______．

13.已知函数 ( 1)的定义域为( 1,0)，则函数 (2 + 1)的定义域为______．
1 2
14.已知 3 ( ) + 5 ( ) = + 1，则函数 ( )的解析式为______．

15.若幂函数 = ( 2
2
1) 2 3在区间(0, +∞)上是严格减函数，则 = ______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题12分)
已知集合 = { ||2 3| ≤ 7}， = { | 2 5 6 < 0}．
(1)求集合 、 ；
(2)求 ∪ 和( ) ∩ ．
17.(本小题12分)
√ 4 2
已知函数 ( ) = ．
2 | +2|
(1)求函数 ( )的定义域；
(2)判断函数 ( )的奇偶性，并证明．
18.(本小题12分)

已知函数 ( ) = + ，且 (1) = 5．

(1)求 ；
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(2)判断函数 ( )在(0,2)上是单调递增还是单调递减？并证明．
(3)画出函数 ( )在(0, +∞)上的大致图象. (要求写出关键点坐标，并画出图象的变化趋势)
19.(本小题12分)
某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜地将该镇打造成“生态水果特色小镇”.经调研发
现：某水果树的单株产量 (单位：千克)与施用肥料 (单位：千克)满足如下关系： ( ) =
5( 2 + 3),0 ≤ ≤ 2,
{50 肥料成本投入为10 元，其他成本投入(如培育管理、施肥等人工费)20 元.已知这种水
, 2 < ≤ 5,
1+
果的市场售价大约15元/千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株利润为 ( )(单位：元)．
(1)求单株利润 ( )(元)关于施用肥料 (千克)的关系式；
(2)当施用肥料的成本投入为多少元时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？
20.(本小题12分)
已知函数 ( ) = | | 1( ∈ )．
(1)当 = 2时，求函数 ( )的单调增区间(写出结论即可)；
(2)在(1)的条件下，当 > 2时， ( ) > 2 2恒成立，求实数 的取值范围．
(3)当 ∈ (0,3)，求函数 = ( )在 ∈ [1,2]上的最小值 ( )．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】5
3
13.【答案】( , 1)
2
3 5 1
14.【答案】 ( ) = + +
8 8 8
15.【答案】2
16.【答案】解：(1)集合 = { ||2 3| ≤ 7} = { | 7 ≤ 2 3 ≤ 7} = { | 2 ≤ ≤ 5}，
集合 = { | 2 5 6 < 0} = { | 1 < < 6}；
(2) ∪ = { | 2 ≤ < 6}；
= { | < 2或 > 5}，
所以( ) ∩ = { |5 < < 6}．
√ 4 2
17.【答案】解：(1)根据题意，函数 ( ) = ，
2 | +2|
则有4 2 ≥ 0且| + 2| ≠ 2，
解可得： 2 ≤ ≤ 2且 ≠ 0，
即函数的定义域为[ 2,0) ∪ (0,2]；
(2)函数 ( )是偶函数．
证明如下：函数 ( )的定义域为[ 2,0) ∪ (0,2]，
则2 | + 2| = ，
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√ 4 2 √ 4 2
故 ( ) = = = √ 4 2，
2 | +2|
( ) = √ 4 ( )2 = √ 4 2 = ( )，
所以 ( )是偶函数．

18.【答案】解(1)根据题意，函数 ( ) = + ，且 (1) = 5，

所以 (1) = 1 + = 5，所以 = 4．
4
(2)函数 ( ) = + ，函数 ( )在(0,2)上是单调递减．

证明如下：设0 < 1 < 2 < 2，
4 4 4 4 ( ) ( )( 4)
则 ( 1) ( 2) = ( 1 + ) ( 2 + ) = ( 1 2) + ( ) = ( ) + 4
2 1 = 1 2 1 2 ．
1 2
1 2
1 2 1 2 1 2
因为 1、 2 ∈ (0,2)，所以0 < 1 2 < 4，所以 1 2 > 0， 1 2 4 < 0，
又因为 1 < 2，所以 1 2 < 0，
( 1 所以 2
)( 1 2 4) > 0，即 ( 1) ( 2) > 0， 1 2
4
所以函数 ( ) = + 在(0,2)上是单调递减．

(3)函数 ( )在(0, +∞)上的大致图象如图，
19.【答案】解：(1)依题意 ( ) = 15 ( ) 10 20 ，
5( 2 + 3),0 ≤ ≤ 2,
又 ( ) = {50
, 2 < ≤ 5,
1+
75 2 30 + 225,0 ≤ ≤ 2,
所以 ( ) = {750
30 , 2 < ≤ 5.
1+
1
(2)当0 ≤ ≤ 2时， ( ) = 75 2 30 + 225，图象开口向上，对称轴为 = ，
5
1 1
所以 ( )在[0, ]上单调递减，在[ , 2]上单调递增，
5 5
又 (0) = 225， (2) = 465，
所以 ( )在[0,2]上的最大值为 (2) = 465．
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25 25
当2 < ≤ 5时， ( ) = 780 30( + 1 + ) ≤ 780 30 × 2√ (1 + ) = 480，
1+ 1+
25
当且仅当 = 1 + ，即 = 4时等号成立．
1+
因为465 < 480，
所以当投入的肥料费用为40元时，种植该果树获得的单株最大利润是480元．
2 + 2 1, ≤ 2
20.【答案】解：(1)当 = 2时， ( ) = | 2| 1 = { 2 ， 2 1, > 2
根据二次函数的性质可知， ( )的单调增区间为( ∞, 1)，(2, +∞)；
1
(2)当 > 2时， ( ) = ( 2) 1 = 2 2 1 > 2 2化为 > ( 1)2在(2, +∞)上恒成立，
2
1
因为函数 = ( 1)2在(2, +∞)上单调递减，
2
1 1 1
所以 ( 1)2 < ，所以 ≥ ，
2 2 2
1
即 的取值范围为[ , +∞)；
2
1
(3)当0 < ≤ 1时， ( ) = 2 1，开口向上，对称轴 = ≤ ，
2 2
所以函数 ( )在[1,2]上单调递增， ( ) = (1) = ；
2 + 1,1 ≤ < 1
当1 < < 2时， ( ) = { 2 ，对称轴 = ∈ ( , 1)， 1, ≤ ≤ 2 2 2
结合二次函数性质可知， ( )在[1, ]上单调递减，在[ , 2]上单调递增，
所以 ( ) = ( ) = 1；
3
当2 ≤ < 3时， ( ) = 2 + 1，1 ≤ < ，
2 2
所以 ( ) = (2)，
即 ( ) = (2) = 2 5，
, 0 < ≤ 1
综上所述， ( ) = { 1,1 < < 2 ．
2 5,2 ≤ < 3
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