山东省济南市第一中学2024-2025学年高一上学期期中数学试卷（PDF版，含答案）

山东省济南市第一中学 2024-2025 学年高一上学期期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集 = {1,2,3,4}，集合 = {1,2,3}， = {2,4}，则( ) ∪ =( )
A. {0,2,3,4} B. {2,4} C. {2,3,4} D. {1,2,4}
2.命题“ ∈ ， 2 + 2 + 1 > 0”的否定是( )
A. ∈ ， 2 + 2 + 1 ≤ 0 B. ∈ ， 2 + 2 + 1 < 0
C. ∈ ，使得 2 + 2 + 1 < 0 D. ∈ ，使得 2 + 2 + 1 ≤ 0
3.函数 ( ) = ( 2 1) 4 +3是幂函数，且在(0, +∞)上单调递增，则 (2) =( )
1 1
A. B. 211 C. 或211 D. 2或2 11
2 2
( 2 1)
4.若函数 ( )的定义域为[ 1,2]，则函数 = 的定义域为( )
√ +1
A. ( √ 3, 2] B. [0, √ 3] C. ( 1,2] D. ( 1, √ 3]
5.下列命题中正确的是( )
1 1
A. 若 > ，则 <

B. 若 > ，则 2 > 2
+
C. 若 > > 0， > 0，则 <
+
D. 若 1 < < 4，2 < < 3，则 4 < < 2
2 2
6.不等式( 1)3 > (3 + 1)3的解为( )
1
A. ( , 1) B. ( 1,0)
3
C. (0,1) D. ( ∞, 0) ∪ (1, +∞)
2 + 5, ( ≤ 1) ( 2) ( 1)
7.已知函数 ( ) = { 满足对任意实数 ≠ ，都有 < 0成立，则 的取值范围
, ( > 1) 1 2 2 1

是( )
A. 0 < ≤ 3 B. ≥ 2 C. > 0 D. 2 ≤ ≤ 3
8.已知[ ]表示不超过实数 的最大整数，若函数 ( ) = [ ]，则下列说法正确的是( )
A. ( )是奇函数 B. ( )是偶函数
C. ( )在[0,1]上单调递增 D. ( )的值域为[0,1)
二、多选题：本题共 3 小题，共 104 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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9.已知函数 ( ) = ，则下列说法正确的是( )
+1
A. ( )的对称中心为( 1,1)
B. ( )的值域为
C. ( )在区间( 1, +∞)上单调递增
1 1 1 4047
D. (1) + (2) + (3) + + (2024)+ ( ) + ( ) + + ( )的值为
2 3 2024 2
10.已知正数 ， 满足 + = 2，则下列选项正确的是( )
1 1
A. + 的最小值是2 B. 的最小值是1

9
C. 2 + 2的最小值是4 D. ( + 1)的最大值是
4
11.已知定义在 上的函数 ( )满足 ( + ) = ( ) + ( )，当 > 0时， ( ) > 0， (2) = 4，则( )
A. (5) = 10 B. ( )为奇函数
C. ( )在 上单调递减 D. 当 < 1时， ( ) 2 > (2 )
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知 ( )是定义在 上的奇函数，当 > 0时， ( ) = 2 + 2，则 ( 1) = ______．
13.已知关于 的一元二次不等式 2 + + > 0的解集为( 1,5)，其中 ， ， 为常数．则不等式 2 + +
≤ 0的解集为______．
14.设 ( )是定义域为( ∞, 0) ∪ (0, +∞)，满足 ( ) + ( ) = 0，若对任意的 1， 2 ∈ ( ∞, 0)，都有不等
1 ( 2) 2 ( 式 1
)
< 0成立，且 ( 2) = 0，则不等式 ( ) < 0解集是______．
1 2
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
设全集 = ，集合 = { |1 ≤ ≤ 5}，集合 = { | 1 2 ≤ ≤ 2}．
(1)若 = 4，求 ∩ 与( ) ∪ ；
(2)若“ ∈ ”是“ ∈ ”的充分不必要条件，求实数 的取值范围．
16.(本小题12分)
2+ +1
(1)求函数 = ( < 0)的最大值；

(2)已知 > 0， > 0，若 + 9 + 7 = ，求 的最小值．
17.(本小题12分)
1 1
已知幂函数 ( )的图象过点( , )．
2 4
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(1)求函数 ( )的解析式；
(2)设函数 ( ) = 2 ( ) 8 + 2，若 ( ) > 0对任意 ∈ [ 3,2]恒成立，求实数 的取值范围．
18.(本小题12分)
已知 ( )是二次函数，且满足 (0) = 2， ( + 1) ( ) = 2 + 3．
(1)求函数 ( )的解析式；
(2)设函数 ( ) = ( ) (2 + ) ，求 ( )在区间[1,2]上的最小值 ( )的表达式．
19.(本小题12分)

已知函数 ( ) = 2是定义在[ 1,1]上的奇函数，且 (1) = 1． 1+
(1)求函数 ( )的解析式；
(2)判断并证明 ( )在[ 1,1]上的单调性；
(3)解不等式 (2 ) + ( 1) > 0．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】 3
1
13.【答案】[ 1, ]
5
14.【答案】( 2,0) ∪ (2, +∞)
15.【答案】解：(1)当 = 4时，可得 = { | 9 ≤ ≤ 2}，
因为集合 = { |1 ≤ ≤ 5}，
则 ∩ = { |1 ≤ ≤ 5} ∩ { | 9 ≤ ≤ 2} = { |1 ≤ ≤ 2}，
又由 = = { | < 1或 > 5}，
则( ) ∪ = { < 1或 > 5} ∪ { | 9 ≤ ≤ 2} = { | ≤ 2或 > 5}．
(2)由“ ∈ ”是“ ∈ ”的充分不必要条件，可得 真包含于 ，
因为 = { |1 ≤ ≤ 5}， = { | 1 2 ≤ ≤ 2}，
可得{
1 2 ≤ 1
且等号不能同时取到，解得 ≥ 7，
2 ≥ 5
所以实数 的取值范围为[7, +∞)．
16.【答案】解：(1)由 < 0，得 > 0，
2+ +1 1 1 1
因此 = = + + 1 = ( ) + 1 ≤ 2√ ( ) ( ) + 1 = 1，

1
当且仅当 = ，即 = 1时取等号，函数的最大值为 1．

(2)由 + 9 + 7 = ，得 + 9 = 7 ≥ 2√ 9 ，
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7
所以 + 9 = 7 ≥ 6√ ，当且仅当 = 9 ，即 = 21, = 时，等号成立，
3
得(√ 7)(√ + 1) ≥ 0，得√ ≥ 7，即 ≥ 49，
故 的最小值为49．
17.【答案】解：(1)设 ( ) = ，
1 1 1
由题意得 ( ) = ( ) = ，即 = 2，
2 2 4
所以 ( ) = 2；
(2)因为 ( ) = 2 ( ) 8 + 2 = 2 2 8 + 2 > 0对任意 ∈ [ 3,2]恒成立，
所以 < 2 2 8 + 2对任意 ∈ [ 3,2]恒成立，
所以 < (2 2 8 + 2) ，
根据二次函数的性质可知，当 = 2时，上式取得最小值 6，
故 < 6，
所以 的范围为{ | < 6}．
18.【答案】解：(1) ( )是二次函数，
则可设 ( ) = 2 + + ( ≠ 0)，
(0) = 2，
则 = 2，
( + 1) ( ) = 2 + 3，
则 ( + 1)2 + ( + 1) + 2 2 2 = 2 + 3，化简整理可得，2 + = 2 + 3，
{2 = 2 = 1故 ，即{ ，
+ = 3 = 2
故 ( ) = 2 + 2 + 2；

(2) ( ) = ( ) (2 + ) = 2 + 2，对称轴为 = ，
2

当 ≤ 1，即 ≤ 2时，
2
( )在[1,2]上单调递增，
当 = 1时， ( )取得最小值 (1) = 3 ，

当1 < < 2，即2 < < 4时，
2

( )在[1, ]上单调递减，在[ , 2]上单调递增，
2 2
2
当 = 时， ( )的最小值为 ( ) = 2 ，
2 2 4
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当 ≥ 2，即 ≥ 4时，
2
( )在[1,2]上单调递减，
当 = 2时， ( )取得最小值 (2) = 6 2 ，
3 , ≤ 2
2
综上所述， ( ) = { 2 , 2 < < 4．
4
6 2 , ≥ 4

19.【答案】解：(1)函数 ( ) = 是定义在[ 1,1]上的奇函数，
1+ 2

( ) = 2 = 1+ 1+ 2 = ( )，解得： = 0，

∴ ( ) = ，而 (1) = 1，解得 = 2，
1+ 2
2
∴ ( ) = 2， ∈ [ 1,1]． 1+
2
(2)函数 ( ) = 2在[ 1,1]上为减函数；证明如下： 1+
任意 1， 2 ∈ [ 1,1]且 1 < 2，
2 2 2( )(1 )
则 ( 1) ( 2) =
1 + 2 = 1 2 1 2
1+ 2
，
1 1+
2
2 (1+
2
1)(1+
2
2)
因为 1 ≤ 1 < 2 ≤ 1，所以 1 2 < 0，1 1 2 > 0，
所以 ( 1) ( 2) > 0，即 ( 1) > ( 2)，所以函数 ( )在[ 1,1]上为减函数．
(3)由题意，不等式 ( 1) + (2 ) > 0可化为 (2 ) > (1 )，
1 ≤ 2 ≤ 1
{ 1所以 1 ≤ 1 ≤ 1，解得0 ≤ < ，
3
2 < 1
1
所以该不等式的解集为[0, ).
3
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