广东省佛山市南海外国语学校2024-2025学年高一上学期期中数学试卷（PDF版，含答案）

广东省佛山市南海外国语学校 2024-2025 学年高一上学期期中数学试
卷
一、单选题：本题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.设集合 = { | 2 2 3 < 0}， = { | > 1}，则 ∩ =( )
A. ( 1, ) B. ( , 3) C. (1, ) D. (3,+∞)
2.已知 ：log2( 1) < 1， ：( 2)
2 < 1，则 是 的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知 ∈ ，命题 ： ≥ 3，2 1 < 是假命题，则实数 的取值范围是( )
A. ( ∞, 5) B. (5,+∞) C. ( ∞, 5] D. [5,+∞)
4.已知奇函数 ( )在 上单调递增，且 (1) = 1，则关于 的不等式 ( ) < ( ) + 2的解集为( )
A. (0,1) B. (1,+∞) C. (0, ) D. ( , +∞)
5.如图，某汽车运输公司刚买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润 (单位：10万
元)与营运年数 ( ∈ )为二次函数关系，若使营运的年平均利润最大，则每辆客车应营运( )
A. 3年 B. 4年 C. 6年 D. 5年
6.用二分法求方程的近似解，求得 ( ) = 3 + 2 9的部分函数值数据如表所示：
1 2 1.5 1.625 1.75 1.875 1.8125
( ) 6 3 2.625 1.459 0.14 1.3418 0.5793
则当精确度为0.1时，方程 3 + 2 9 = 0的近似解可取为( )
A. 1.6 B. 1.7 C. 1.8 D. 1.9
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7.小明出国旅游，当地时间比中国时间晚一个小时，他需要将表的时针旋转，则转过的角的弧度数是( )

A. B. C. D.
3 6 3 6
8.某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过8万元时，按销售利润的15%进行奖励；
当销售利润超过8万元时，若超过多出的部分为 万元，则多出的部分按log5(2 + 1)进行奖励.记奖金为 (单
位：万元)，销售利润为 (单位：万元).如果业务员小江获得3.2万元的奖金，那么他的销售利润是( )万元．
A. 15 B. 25 C. 30 D. 20
9.设 = 0.50.7， = 0.70.5， = log0.75，则 ， ， 的大小关系是( )
A. < < B. < < C. < < D. < <
| 1|,0 ≤ < 2
10.已知函数 ( ) = { 1 ，若存在实数 1， 2， 3，满足0 ≤ 1 < 2 < 3 ≤ 3且 ( 1) = ( 2) =2 , 2 ≤ ≤ 3
( 3)，则( 1 + 2) 1 ( 3)的取值范围是( )
1 1 3 1 1 5 3
A. [ , ] B. [ , ] C. [ , 1] D. [ , ]
4 2 8 2 2 8 2
二、多选题：本题共 4 小题，共 24 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
8
11.若 = log23 1，2
= ，则下列结论正确的是( )
3
1 1 1
A. + = 2 B. < 0 C. < < 1 D. + ≥ 2
2
12.若函数 ( ) = 2 4 4的定义域为[0, ]，值域为[ 8, 4]，则实数 的值可能是( )
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
13.如图所示是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的剩留量 与净化
时间 (月)的近似函数关系： = ( ≥ 0, > 0且 ≠ 1)的图象.以下说法中正确的
是( )
2
A. =
3
1
B. 第4个月时，剩留量就会低于
5
C. 每月减少的有害物质质量都相等
1 1 1
D. 剩留量为 , , 时，所经过的时间分别是
2 4 8 1
， 2， 3，则 1 + 2 = 3
14.已知定义在 上的偶函数 ( )满足 ( + 4) = ( ) + (2)，且当 ∈ [0,2]时， ( )是减函数，则下列四
个命题中正确的是( )
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A. (2) = 0
B. 直线 = 2 为函数 = ( ) 图象的一条对称轴
C. 函数 ( ) 在区间[ 2,7]上存在 2 个零点
D. 若 ( ) = 在区间[ 6, 2]上的根为 1， 2，则 1 + 2 = 8
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
+1
15.若不等式 2 + 1 > 0的解集是{ |1 < < 2}，则不等式 > 0的解集为______．
1
16.如图，扇形 的面积是16 2，它的周长是20 ，求扇形的圆心角 的弧度
数为______．
2
17.幂函数 ( ) = 4 的图象关于 轴对称，且在(0,+∞)上递减，则整数 = ______．
18.已知函数 ( )是定义在 上的奇函数，且当 ≤ 0时， ( ) = 2 + 2 ，当 > 0时，函数 ( )的解析式为
______，不等式 3[ ( ) ( )] > 0的解集为______．
四、解答题：本题共 2 小题，共 26 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题12分)
已知函数 ( ) = ( 2 5)log 是对数函数， ( ) = log ( + 1) + log (3 )．
(1)讨论 ( )的单调性；
1
(2)若 ∈ [ , 2]，不等式 ( ) + 3 ≤ 0的解集非空，求实数 的取值范围．
3
20.(本小题14分)
2
已知定义域为 的函数 ( ) = 是奇函数．
2 +
(1)求 ， 的值；
(2)用定义证明 ( )在( ∞,+∞)上为减函数；
(3)若对于任意 ∈ ，不等式 ( 2 2 ) + (2 2 ) < 0恒成立，求 的范围．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
2
15.【答案】( , 2)
3
1
16.【答案】
2
17.【答案】2
18.【答案】 ( ) = 2 + 2 ( 2,0) ∪ (0,2)
19.【答案】解：(1)因为函数 ( ) = ( 2 5)log 是对数函数，所以
2 5 = 1，且 > 0， ≠ 1；
解得 = 3，所以 ( ) = log3( + 1) + log3(3 ) = log3( + 1)(3 ) = log3(
2 + 2 + 3)， ∈ ( 1,3)；
∈ ( 1,1)时， = 2 + 2 + 3单调递增，所以 ( ) = log3(
2 + 2 + 3)单调递增；
∈ [1,3)时， = 2 + 2 + 3单调递减，所以 ( ) = log3(
2 + 2 + 3)单调递减；
1
(2) ∈ [ , 2]时，3 ≤ 2 + 2 + 3 ≤ 4，1 ≤ log3(
2 + 2 + 3) ≤ log34， 3
即1 ≤ ( ) ≤ log34，
不等式 ( ) + 3 ≤ 0可化为 ( ) + 3 ≤ ，
不等式的解集非空，所以1 + 3 ≤ ，即 ≥ 4，
所以实数 的取值范围是[4,+∞)．
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20.【答案】解：(1) ∵ ( )为 上的奇函数，∴ (0) = 0，可得 = 1
又∵ ( 1) = (1)
1 2 1 1 2
∴ 1 = ，解之得 = 1 2 + 2+
1 2
经检验当 = 1且 = 1时， ( ) = ，满足 ( ) = ( )是奇函数． …(4分) 2 +1
1 2 2
(2)由(1)得 ( ) = = 1 +2 +1 2
，
+1
任取实数 1、 2，且 1 < 2
2 2 2(2 2 2 1)
则 ( 1) ( 2) = = 2 1+1 2 2+1 (2 1+1)(2 2+1)
∵ 1 < ，可得2
1 < 2 22 ，且(2
1 + 1)(2 2 + 1) > 0
∴ ( 1) ( 2) > 0，即 ( 1) > ( 2)，函数 ( )在( ∞,+∞)上为减函数； …(8分)
(3)根据(1)(2)知，函数 ( )是奇函数且在( ∞,+∞)上为减函数．
∴不等式 ( 2 2 ) + (2 2 ) < 0恒成立，即 ( 2 2 ) < (2 2 ) = ( 2 2 + )
也就是： 2 2 > 2 2 + 对任意的 ∈ 都成立．
变量分离，得 < 3 2 2 对任意的 ∈ 都成立，
1 1 1 1
∵ 3 2 2 = 3( )2 ，当 = 时有最小值为
3 3 3 3
1 1
∴ < ，即 的范围是( ∞, ). …(12分)
3 3
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