广东省广州市某校2024-2025学年高二上学期期末数学模拟试卷（PDF版，含答案）

广东省广州市某校 2024-2025 学年高二上学期期末数学模拟试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线 ， 与平面 ， ，下列四个命题中正确的是( )
A. 若 ， ， ⊥ ， ⊥ ，则 ⊥
B. 若 ⊥ ， ⊥ ， ⊥ ，则 ⊥
C. 若 // ， // ， // ，则 //
D. 若直线 上存在两点到平面 的距离相等，则 //
2.已知等差数列{ }的前 项和为 ，且 3 + 4 = 11， 6 + 7 = 75，则 8 =( )
A. 52 B. 54 C. 56 D. 58
3.到直线3 4 11 = 0的距离为1的直线方程为( )
A. 3 4 1 = 0 B. 3 4 6 = 0或3 4 16 = 0
C. 3 4 + 1 = 0或3 4 1 = 0 D. 3 4 + 16 = 0或3 4 3 = 0
2 2
4.双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的渐近线与圆
2 + ( 4)2 = 4相切，则双曲线 的离心率为( )

2√ 3 4
A. B. 2 C. D. 4
3 3
2 1
5.已知直线 ： + + 3 = 0与直线 ：3 + (2 1) 1 = 0，( , > 0)，且 ⊥ ，则 + 的最小值

为( )
A. 12 B. 8 + 4√ 3 C. 15 D. 10 + 2√ 3
6.在空间中，“经过点 ( 0, 0, 0)，法向量为 = ( , , )的平面的方程(即平面上任意一点的坐标( , , )满
足的关系)是： ( 0) + ( 0) + ( 0) = 0”.如果给出平面 的方程是 + = 1，平面 的方

程是 = 1，则由这两平面所成的二面角的正弦值是( )
6 3 6
√ 7 √ 6 √ 78 1
A. B. C. D.
3 3 9 3
7.某家庭打算为子女储备“教育基金”，计划从2021年开始，每年年初存入一笔专用存款，使这笔款到2027
年底连本带息共有40万元收益.如果每年的存款数额相同，依年利息2%并按复利计算(复利是一种计算利息
的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息)，则每年应该存入约( )万元. (
参考数据：1.027 ≈ 1.149，1.028 ≈ 1.172)
A. 5.3 B. 4.6 C. 7.8 D. 6
8.已知圆 ：( + 1)2 + 2 = 2，点 在直线 ： 3 = 0上运动，直线 ， 与圆 相切，切点为 ， ，
则下列说法正确的是( )
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A. | |的最小值为2
B. | |最小时，弦 长为√ 6
C. | |最小时，弦 所在直线的斜率为 1
D. 四边形 的面积最小值为√ 3
二、多选题：本题共 4 小题，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，在平行六面体 1 1 1 1中，以顶点 为端点的三条棱长
都是2，且它们彼此的夹角都是60°， 为 1 与 1的交点，若 = ，
= ， 1 = ，则下列正确的是( )
A.
1
=
1
+
2 2
B. 1 = +
√ 6
C. cos( , 1) = 3
D. 1的长为2√ 3
10.已知直线 的方程为 + 1 = 0， ∈ ，则下列说法正确的是( )
A. 与直线 + + 1 = 0有唯一的交点
2
B. 与椭圆 + 2 = 1一定有两个交点
2
C. 与圆( 1)2 + 2 = 4一定有两个交点
2
D. 满足与双曲线 2 = 1有且只有一个公共点的直线 有2条
2
11.某市为了改善城市中心环境，计划将市区某工厂向城市外围迁移，需要拆除工厂内
一个高塔，施工单位在某平台 的北偏东45°方向40√ 2 处设立观测点 ，在平台 的正
西方向240 处设立观测点 ，已知经过 ， ， 三点的圆为圆 ，规定圆 及其内部区
域为安全预警区.以 为坐标原点， 的正东方向为 轴正方向，建立如图所示的平面直角
坐标系.经观测发现，在平台 的正南方向200 的 处，有一辆小汽车沿北偏西45°方向行驶，则( )
A. 观测点 ， 之间的距离是280
B. 圆 的方程为 2 + 2 + 240 320 = 0
C. 小汽车行驶路线所在直线的方程为 = 200
D. 小汽车会进入安全预警区
2 2
12.已知椭圆 + 2 = 1(0 < < 3)的左、右焦点分别为 1， 2，过点 1的直线 交椭圆于 ， 两点，若| |9
的最小值为4，则( )
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A. 椭圆的短轴长为√ 6
B. | 2| + | 2|最大值为8
√ 3
C. 离心率为
3
D. 椭圆上不存在点 ，使得∠ 1 2 = 90°
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13.石城永宁桥，省级文物保护单位，位于江西省赣州市石城县高田镇.永宁桥建筑风格独特，是一座楼阁式
抛物线形石拱桥.当石拱桥拱顶离水面1.6 时，水面宽6.4 ，当水面下降0.9 时，水面的宽度为______ ；
该石拱桥对应的抛物线的焦点到准线的距离为______ .
14.经过点 (0, 1)作直线 ，若直线 与连接 (1, 2)， (√ 3, 2)两点的线段总有公共点，则直线 的倾斜角
的取值范围是______．
15.已知点 是圆 2 + 2 = 1上的动点，点 是圆( 5)2 + ( 2)2 = 16上的动点，点 在直线 + + 5 =
0上运动，则| | + | |的最小值为______．
16.如图，在长方体 1 1 1 1中， = 3， = 1 = 2， ， 分
别为 ， 1的中点，点 在矩形 1 1内运动(包括边界)，若 1 //平面
，则 1 取最小值时，三棱锥 1 的体积为______．
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知△ 的顶点 (3,2)，边 上的中线所在直线方程为 3 + 8 = 0，边 上的高所在直线方程为2
9 = 0．
(1)求顶点 的坐标；
(2)求直线 的方程．
18.(本小题12分)
2 2
已知 为坐标原点，双曲线 ： = 1( > 0, > 0)的离心率为√ 3，且过点(2,2)．
2 2
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(1)求双曲线 的标准方程；
(2)圆 2 + 2 = 4的切线 与双曲线 相交于 ， 两点．
(ⅰ)证明： ⊥ ；
(ⅱ)求△ 面积的最小值．
19.(本小题12分)
如图，在四棱锥 中， ⊥ ，∠ = 120°，四边形 是菱形， = √ 2 = √ 2 ， 是
棱 上的动点，且 = ．
(1)证明： ⊥平面 ．
2√ 19
(2)是否存在实数 ，使得平面 与平面 所成锐二面角的余弦值是 ？若存在，求出 的值；若不存
19
在，请说明理由．
20.(本小题12分)
已知数列{ }是递增的等差数列，数列{ }是等比数列，且 1 = 3， 1 1、 2 1、 3 + 1成等比数列， 1 = 1，
5 2 2 = 3．
(1)求数列{ }和{ }的通项公式；

(2)若 = +

2 ，求数列{ }的前 项和 ． +1
21.(本小题12分)
假设某市2023年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中、低价房.预计在今后的若干年内，该市每
年新建住房面积平均比上年增长8%.另外，每年新建住房中，中、低价房的面积均比上一年增加50万平方米
.求：
(1)截至到2032年底，该市所建中、低价房的面积累计(以2023年为累计的第一年)为多少万平方米？
(2)哪一年底，当年建造的中、低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？
22.(本小题12分)
已知动点 在 2 + 2 = 4上，过 作 轴的垂线，垂足为 ，若 为 中点．
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(1)求点 的轨迹方程；
1 1 1
(2)过 (0, )作直线 交 的轨迹于 、 两点，并且交 轴于 点.若 = ， = ，求证： + 为定
2
值．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】8 3.2
3
14.【答案】[0, ] ∪ [ , )
3 4
15.【答案】√ 149 5
3
16.【答案】
4
17.【答案】解：(1)因为边 上的高所在直线方程为2 9 = 0，设直线 的方程为 + 2 + = 0，
又因为直线 过点 (3,2)，则 = 7，
得到直线 的方程为 + 2 7 = 0，
2 9 = 0
联立{ ，解得 的坐标为(1,3)；
+ 2 7 = 0
(2)设 ( , )，因为边 上的中线所在直线方程为 3 + 8 = 0，
边 上的高所在直线方程为2 9 = 0，
+3 +2 = 8
可得2 9 = 0且 3 + 8 = 0，解得{ ，即 的坐标为(8,7)．
2 2 = 7
则直线 的方程为4 7 + 17 = 0．
4 4
18.【答案】解：(1)由题意得 = √ 3，将(2,2)代入双曲线中得 = 1，
2 2
又 2 = 2 + 2，解得 2 = 2， 2 = 4，
2 2
故双曲线 的标准方程为 = 1；
2 4
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(2)证明：( )当切线 的斜率为0时，方程为 = ±2，
2 2
不妨设 = 2，此时 2 = 1，解得 = ±2，不妨设 ( 2,2)， (2,2)，
2 4
则 = ( 2,2) (2,2) = 4 + 4 = 0，所以 ⊥ ；
当切线斜率不为0时，设为 = + ，
| |
由圆心到直线距离可得 = 2，故 2 = 4 + 4 2，
√ 1+ 2
2 2
联立 = + 与 = 1得，(2 2 1) 2 + 4 + 2 2 4 = 0，
2 4
2 2 1 ≠ 0
则{ 年 2 = 4 + 4 2，
= 16 2 2 4(2 2 4)(2 2 1) > 0
√ 2
解得 ≠ ± ，
2
2
设 ( 1, 1)， ( , )，则
4 2 4
2 2 1 + 2 = 2 , 2 1 1 2 =
，
2 2 1
故 1 2 = ( 1 + )( 2 + ) =
2 1 2 + ( 1 + 2) +
2，
故 = + = (1 + 21 2 1 2 ) 1 2 + ( 1 + 2) +
2
2
2 2 4 4
2 2 2 2 4+2 2 2 4 22 4
2 2+2 2 2 2
= (1 + ) + =
2 2 1 2 2 1 2 2 1
2 4 4 2
= 2 = 0， 2 1
故 ⊥ ；
1 1
( )当切线/的斜率为0时，△ 的面积为 | || | = × 2√ 2 × 2√ 2 = 4，当切线斜率不为0时，
2 2
2√ 2√ 2+4 2 4
| | = √ 1 + 2√ ( 21 + 2) 4 1 2 = √ 1 + 2
，
|2 2 1|
因为 2 = 4 + 4 2，点 到切线 的距离为2，
√ 2 √ 4 2
故 1 2√ 2 8 8 + △ = × 2| | = √ 1 + 2 = ， 2 |2 2 1| |2 2 1|
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+1
当2 2 1 > 0时，令2 2 1 = > 0，则 2 = ，
2
故 8√ 4+ 2 4
√ 2+4 +3 3 4 1 2 1
△ = 2 = = 4√ 2 + + 1 = 4√ 3( + )
2 ，
2 1 3 3
因为 > 0，所以 1 2 1 2 1 △ = 4√ 3( + )2 > 4√ 3 × ( )2 = 4， 3 3 3 3
同理，当 > 0时， △ > 4，
综上，△ 面积的最小值为4．
19.【答案】解：(1)证明：因为四边形 是菱形，所以 ⊥ ，
因为 ⊥ ， ， 平面 ，且 ∩ = ，
所以 ⊥平面 ，
因为 平面 ，所以 ⊥ ，
因为 = √ 2 = √ 2 ，所以 2 = 2 + 2，即 ⊥ ，
因为 ， 平面 ，且 ∩ = ，
所以 ⊥平面 ．
(2)取棱 的中点 ，连接 ，因为四边形 是菱形，∠ = 120°，
所以△ 为等边三角形，故 AF⊥ ，
又 ⊥平面 ， ， 平面 ，
所以 ⊥ ， ⊥ ，故 AB， ， 两两垂直，
故以 为原点，分别以 ， ， 的方向为 ， ， 轴的正方向，建立空间直角坐标系，
设 = 2，则 (0,0,0)， (1,√ 3, 0)， ( 1,√ 3, 0)， (0,0,2)，
故 = (1,√ 3, 0)， = ( 1,√ 3, 2)， = (0,0,2)，
所以 = + = + = ( , √ 3 , 2 2 )，
设平面 的法向量为 = ( , , )，
则{ ⊥
= + √ 3 = 0，则{ ，
⊥ = + √ 3 + (2 2 ) = 0
令 √ 3 = √ 3，得 = (√ 3, 1, )，
1
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平面 的一个法向量为 = (0,1,0)，
设面 与面 所成的锐二面角为 ，
| | 1 2√ 19
= |cos < , > | = = =
则 | || | 2 193 ， √ 4+ 2
2 +1
整理得3 2 + 2 1 = 0，
1
解得 = 或 = 1(舍去)，
3
1
故存在实数 = ，使得面 与面 所成锐二面角的余弦值是
2√ 19．
3 19
20.【答案】解：(1)由 1 = 3， 1 1、 2 1、 3 + 1成等比数列，设公差为 ，
可得( 22 1) = ( 1 1)( 3 + 1)，即(3 + 1)
2 = (3 1)(3 + 2 + 1)，解得 = ±2，
∵ { }递增，∴ = 2，∴ = 2 + 1；
∵ 1 = 1， 5 2 2 = 3，设公比为 ，可得11 2 = 7，解得 = 2，
∴ = 2
1；
2 +1
(2) = +
= 2 12 +
1
2 = 2 + [ 2(2 + 1) 2 +3 2(2 + 3)]， +1
= (20 + 21 + 22 + + 2 1 ) + ( 23 25) + ( 25 27) + [ 2(2 + 1) 2(2 + 3)]
1 2
= + log 3 log (2 + 3)，
1 2 2 2
∴ = 2
3
1 + 2 ． 2 +3
21.【答案】解：(1)假设某市2023年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中、低价房，
预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上年增长8%，
另外，每年新建住房中，中、低价房的面积均比上一年增加50万平方米，
设中、低价房面积构成数列{ }，由题意可知{ }是等差数列，
( 1)
其中 1 = 250， = 50，则 = 250 + × 50 = 25
2 + 225 ，所以 10 = 4750， 2
所以截止2032年底，预计该市所建中、低价房的累计面积为4750万平方米；
(2)设新建住房面积构成数列{ }，
由题意可知{ }是等比数列，其中 = 400， = 1.08，则 = 400 × (1.08) 1 1 ，
由题意可知 > 0.85 ，所以250 + ( 1) × 50 > 400 × (1.08)
1 × 0.85，
经验证 = 1，2，3，4 可得：满足上述不等式的最小正整数 = 6，
所以到2028年底，当年建造的中、低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%．
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22.【答案】解：(1)设 ( , )， ( 0, 0)，
= 0 0 =
由题意得{ = 0，∴ { = 2 ，
2 0
2 2
由 在圆 2 + 2 = 4，得 2 + 4 2 = 4，即 + 2 = 1，∴点 的轨迹方程为 + 2 = 1；
4 4
1
(2)证明：当 斜率存在时，设直线 的方程为 = + ( ≠ 0)，
2
1
令 = 0，可得 ( , 0)，设 ( 1, 2 1
)， ( 2, 2)，
1 1 1
∵ = , 1 = ( 1)，∴ = 1 + ， 2 2 2
1 1 1 1 +
同理 = 1 + ， + = 2 + 1 2 ，
2 2 2 1 2
1
= +
由{ 2 ，得(4 2 + 1) 2 + 4 3 = 0，
2 + 4 2 = 4
4 3
∴由韦达定理可得 1 + 2 = 2 , 1 2 = 2 ，
4 +1 4 +1
4

1 1 + 2 2 8
∴ + = 2 + 1 2 = 2 + 4 +1 = 2 + = ，
2 31 2 2 × 3 32
4 +1
当 斜率不存在时， (0,1)， (0, 1)， (0,0)，
此时
1 3
= (0, ), = (0, 1), = (0, ), = (0,1)，
2 2
∴
1 3 1 3 = , = ，∴ = , = ，
2 2 2 2
1 1 2 8
∴ + = 2 + = ；
3 3
1 1 8
综上所述， + = 为定值．
3
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