第二章 直线和圆的方程 达标检测（含解析）-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册
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| 名称 | 第二章 直线和圆的方程 达标检测（含解析）-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 927.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-12-31 10:15:21 | ||
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文档简介
第2章直线和圆的方程达标检测卷-2024-2025学年高二数学上学期人教A版2019
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．圆与圆的位置关系是（ ）
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
2．已知为直线上的动点，点满足，则点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．若点与关于直线对称，则的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
4．直线绕原点逆时针旋转后所对应的直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
5．点关于直线的对称点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．已知点，经过点P作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
7．直线被圆截得的弦长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点、的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，、，点满足．设点的轨迹为，则下列说法错误的是（ ）
A．轨迹的方程为
B．面积最大值为
C．若，则的最大值为
D．在上存在点，使得
二、多选题
9．已知直线，，下列说法正确的有（ ）
A．过定点 B．当时，
C．的充要条件是 D．点到直线的距离的最小值为
10．已知直线，直线，圆，则下列选项正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若与圆C相交于A，B两点，则最小值为2
D．过上一点P向圆C作切线，切点为Q，则最小值为
11．已知圆，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为 B．的最大值为
C．的最大值为 D．的最大值为
三、填空题
12．若直线：与垂直，则 ．
13．圆与圆的公共弦长为 .
14．唐代诗人李颀的诗古从军行开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为 ．
四、解答题
15．已知直线的倾斜角为，，且这条直线经过点．
(1)求直线的方程．
(2)直线恒过定点，求点到直线的距离．
16．在平面直角坐标系中，圆经过和点，且圆心在直线上.
(1)求圆的标准方程；
(2)若直线被圆截得弦长为，求实数的值
17．已知圆的圆心在直线上，且点，在上.
(1)求圆的标准方程；
(2)若倾斜角为的直线经过点，且与圆相交于D，E两点，求.
18．已知平面内的动点与两个定点的距离的比为，记动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程，并说明其形状；
(2)已知，过直线上的动点分别作曲线的两条切线（为切点），证明：直线过定点，并求该定点坐标；
19．在平面直角坐标系中，已知圆：和圆：．
(1)若直线过点，且与圆相切，求直线的方程；
(2)设为直线上的点，满足：过点的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等．试求满足条件的点的坐标．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B B D D B A D AB ABD
题号 11
答案 CD
1．B
【分析】首先确定两圆的圆心与半径，再求出圆心距，即可判断.
【详解】由得圆心坐标为，半径，
由得圆心坐标为，半径，
∴，，，∴，即两圆相交．
故选：B．
2．B
【分析】根据给定条件，用点的坐标表示出点的坐标，再代入直线的方程化简即得.
【详解】设点，由，得点，又点在直线上，
因此，整理得，
所以点的轨迹方程为.
故选：B
3．B
【分析】由题意知，则，根据斜率公式及斜率与倾斜角的关系求解．
【详解】由题意知，则，
∴，得，
设的倾斜角为，，
∴，则．
故选：B．
4．D
【分析】根据所给直线的方程求出直线的斜率，进而根据直线垂直即可求斜率.
【详解】由，得，则斜率，
因为绕原点逆时针旋转后所对应的直线与原直线垂直，
所以，所求直线的斜率为，
故选：D.
5．D
【分析】求出垂直于直线且过点的表达式，求出交点坐标，即可得出关于直线的对称点．
【详解】由题意，
在直线中，斜率为，
垂直于直线且过点的直线方程为，即，
设两直线交点为，
由，解得：，
，
点关于直线的对称点的坐标为，
即．
故选：D．
6．B
【分析】利用两点式斜率公式求出直线和直线的斜率，根据斜率的变化规律数形结合即可求解.
【详解】由题得，，
因为直线l与连接，两点的线段总有公共点，结合图可知，.
故选：B
7．A
【分析】直线过圆内一定点，当（为圆心）时，弦长最短，再由勾股定理得弦长．
【详解】易知直线过定点，圆心为，
，在圆内，
当直线时，直线被圆截得的弦长最短，
且最短弦长为，
故选：A．
8．D
【分析】对于A，通过直接法求出点的轨迹方程即可判断；对于B，数形结合可判断；对于C，设
，转化为直线与曲线有公共点，结合直线与圆的位置关系可判断；对于D，求出点的轨迹方程，转化为两圆的位置关系即可判断.
【详解】设，不与、重合，
由、，有，，
，即，化简得，
所以点的轨迹曲线是以为圆心，半径的圆，如图所示，
对于A选项，由曲线的方程为，选项A正确；
对于B选项，由图可知，当时，点到直线的距离取最大值，
所以，，B对；
对于C选项，设，可得，
由题意可知，直线与圆有公共点，则，
解得，故的最大值为，C对；
对于D选项，设，由得，
化简得，因为，
所以上不存在点，使得，故D错误.
故选：D.
9．AB
【分析】由直线方程求定点可判定A；根据两直线垂直的条件可判定B；根据两直线平行的充要条件可判定C，由点到直线的距离公式可判定D.
【详解】直线，即，
令，得，则过定点，故A正确；
当时，直线，，可得，故B正确；
若直线，平行，则，解得，
当时，直线，，符合题意；
当时，直线，，符合题意，
则的充要条件是，故C错误；
点到直线的距离，当时，，故D错误.
故选：AB.
10．ABD
【分析】由两直线平行的定义可求出的值，从而判断A；根据两直线垂直的定义即可求出的值，从而判断B；当时，取最小值，利用勾股定理即可求得的最小值，从而判断C；当时，取得最小值，先求出圆心到直线的距离，利用勾股定理即可求得的最小值.
【详解】对于A，若，则，得，故A正确.
对于B，若，则，得，故B正确.
对于C，因为,化简可得，
令，解得，故过定点，
当时，取最小值，
则，故C不正确.
对于D，因为，
所以当取得最小值时，取得最小值，
而当时，取得最小值为圆心到直线的距离，
故当时，取得最小值为，故D正确.
故选：ABD.
11．CD
【分析】先化简圆的标准方程，再结合三角换元求范围即可判断A,B,D,设,再联立方程应用判别式即可求出参数范围判断C.
【详解】因为圆，则，
设,
,所以当时，的最大值为，A错误；
,所以当时，的最大值为，B错误；
,
所以当时，的最大值为，D正确；
设,则,圆，圆心,半径为，
则圆心到直线的距离小于等于半径，，
所以,计算得，所以的最大值为，C正确.
故选：CD.
12．
【分析】由两直线垂直的条件得到两直线斜率的关系即可得到的值.
【详解】，∵，∴，
∴，即，
∴，∴，
故答案为：
13．
【分析】将两圆方程作差可得出相交弦所在直线的方程，求出圆的圆心到相交弦所在直线的距离，利用勾股定理可求得相交弦长.
【详解】将圆与圆的方程作差可得，
所以，两圆相交弦所在直线的方程为，
圆的圆心为原点，半径为，
原点到直线的距离为，
所以，两圆的公共弦长为.
故答案为：.
14．
【分析】先求出点关于直线的对称点，然后计算到军营区域的最短距离.
【详解】求点关于直线的对称点的坐标,设，
直线的斜率为，则所在直线的斜率为，
因为中点在直线上，且.
由，解方程组得，，所以.
军营区域是以原点为圆心，半径的圆及其内部.
则到原点的距离.
到军营区域的最短距离为.
“将军饮马”的最短总路程为.
故答案为：.
15．(1)
(2)
【分析】（1）求出直线斜率，由点斜式求出直线方程；
（2）直线变形后求出定点坐标，进而由点到直线距离公式求出答案.
【详解】（1）∵，∴，
∴直线的斜率，又直线过点，
∴由直线的方程为，即.
（2）∵直线整理得：
令，得，∴直线过定点，
则点到直线的距离.
16．(1)；
(2).
【分析】（1）先求线段的垂直平分线所在直线的方程，进而求圆心和半径，即可得方程.
（2）由垂径定理可得圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式运算求解.
【详解】（1）依题意，线段的中点，直线的斜率，
则线段的垂直平分线的方程为，由，解得，
因此圆的圆心，半径，
所以圆的方程为.
（2）由直线被曲线截得弦长为，得圆心到直线的距离
因此，解得，
所以实数的值为.
17．(1)
(2)
【分析】（1）先求出线段的垂直平分线所在的直线方程，与联立解出圆心坐标，再求出圆的半径即可；
（2）由已知可得直线的方程，求出圆心到直线的距离，由勾股定理即可求解.
【详解】（1）设线段的中点为，则，
因为直线的斜率为，
所以线段的垂直平分线的斜率为，
所以线段的垂直平分线所在的直线方程为，
由得，
所以圆心，半径为，
所以圆的标准方程为；
（2）因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，
又直线经过点，所以直线的方程为，
即，
所以点到直线的距离为，
所以.
18．(1)，曲线是以为圆心，半径为2的圆；
(2)证明见解析，
【分析】（1）根据已知及两点距离公式有，整理即可得曲线方程；
（2）根据题设知在以为直径的圆上，并写出对应方程，结合在上，即可求直线，进而确定定点坐标；
【详解】（1）设，
由，得，
化简得，即
故曲线是以为圆心，半径为2的圆；
（2）由题意知，与圆相切，为切点，
则，则四点共圆
在以为直径的圆上，
，又，
则的中点为，
以线段为直径的圆的方程为，
整理得，①，
又在上，②，
由两圆方程作差即②-①得：.
所以，切点弦所在直线的方程为.
则恒过坐标点.
19．(1)或
(2)
【分析】直线斜率不存在时，显然满足题意；当斜率存在时，设，利用圆心到直线距离等于半径可构造方程求得，由此可得切线方程；
设点，当直线斜率存在时，根据截得弦长相等可求得的值；当斜率为0时，易知不满足题意；当直线斜率存在且不为时，假设直线方程，根据垂径定理表示出直线被圆截得的弦长，根据有无数个解可确定的取值.
【详解】（1）（1）由圆的方程知：圆心，半径；
当直线斜率不存在时，即：，此时直线与圆显然相切，满足题意；
当直线斜率存在时，设其方程为：，即，
∴圆心到直线的距离，解得：，
∴直线方程为：，即；
综上所述：直线方程为或.
（2）（2）由圆的方程知：圆心，半径；设点，
①当过的直线斜率不存在时，则方程为：，方程为：；
则：被圆截得的弦长为：；
∴：被圆截得的弦长为，解得：或；
∴或；
②当过的直线斜率为0时，直线斜率不存在，此时：与圆相离，不合题意；
③当过的直线斜率存在且不为0时，
设：，则：，
即：，：，
∴圆心到直线的距离；圆心到直线的距离；
∵直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，
∴，即，∴，
又，，∴，∴，
当时，整理可得：，
∵满足题意的直线，有无数对，∴，解得：，即；
当时，整理可得：，
∵满足题意的直线，有无数对，∴，方程组无解；
综上所述：满足条件的点的坐标为．
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．圆与圆的位置关系是（ ）
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
2．已知为直线上的动点，点满足，则点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．若点与关于直线对称，则的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
4．直线绕原点逆时针旋转后所对应的直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
5．点关于直线的对称点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．已知点，经过点P作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
7．直线被圆截得的弦长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点、的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，、，点满足．设点的轨迹为，则下列说法错误的是（ ）
A．轨迹的方程为
B．面积最大值为
C．若，则的最大值为
D．在上存在点，使得
二、多选题
9．已知直线，，下列说法正确的有（ ）
A．过定点 B．当时，
C．的充要条件是 D．点到直线的距离的最小值为
10．已知直线，直线，圆，则下列选项正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若与圆C相交于A，B两点，则最小值为2
D．过上一点P向圆C作切线，切点为Q，则最小值为
11．已知圆，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为 B．的最大值为
C．的最大值为 D．的最大值为
三、填空题
12．若直线：与垂直，则 ．
13．圆与圆的公共弦长为 .
14．唐代诗人李颀的诗古从军行开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为 ．
四、解答题
15．已知直线的倾斜角为，，且这条直线经过点．
(1)求直线的方程．
(2)直线恒过定点，求点到直线的距离．
16．在平面直角坐标系中，圆经过和点，且圆心在直线上.
(1)求圆的标准方程；
(2)若直线被圆截得弦长为，求实数的值
17．已知圆的圆心在直线上，且点，在上.
(1)求圆的标准方程；
(2)若倾斜角为的直线经过点，且与圆相交于D，E两点，求.
18．已知平面内的动点与两个定点的距离的比为，记动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程，并说明其形状；
(2)已知，过直线上的动点分别作曲线的两条切线（为切点），证明：直线过定点，并求该定点坐标；
19．在平面直角坐标系中，已知圆：和圆：．
(1)若直线过点，且与圆相切，求直线的方程；
(2)设为直线上的点，满足：过点的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等．试求满足条件的点的坐标．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B B D D B A D AB ABD
题号 11
答案 CD
1．B
【分析】首先确定两圆的圆心与半径，再求出圆心距，即可判断.
【详解】由得圆心坐标为，半径，
由得圆心坐标为，半径，
∴，，，∴，即两圆相交．
故选：B．
2．B
【分析】根据给定条件，用点的坐标表示出点的坐标，再代入直线的方程化简即得.
【详解】设点，由，得点，又点在直线上，
因此，整理得，
所以点的轨迹方程为.
故选：B
3．B
【分析】由题意知，则，根据斜率公式及斜率与倾斜角的关系求解．
【详解】由题意知，则，
∴，得，
设的倾斜角为，，
∴，则．
故选：B．
4．D
【分析】根据所给直线的方程求出直线的斜率，进而根据直线垂直即可求斜率.
【详解】由，得，则斜率，
因为绕原点逆时针旋转后所对应的直线与原直线垂直，
所以，所求直线的斜率为，
故选：D.
5．D
【分析】求出垂直于直线且过点的表达式，求出交点坐标，即可得出关于直线的对称点．
【详解】由题意，
在直线中，斜率为，
垂直于直线且过点的直线方程为，即，
设两直线交点为，
由，解得：，
，
点关于直线的对称点的坐标为，
即．
故选：D．
6．B
【分析】利用两点式斜率公式求出直线和直线的斜率，根据斜率的变化规律数形结合即可求解.
【详解】由题得，，
因为直线l与连接，两点的线段总有公共点，结合图可知，.
故选：B
7．A
【分析】直线过圆内一定点，当（为圆心）时，弦长最短，再由勾股定理得弦长．
【详解】易知直线过定点，圆心为，
，在圆内，
当直线时，直线被圆截得的弦长最短，
且最短弦长为，
故选：A．
8．D
【分析】对于A，通过直接法求出点的轨迹方程即可判断；对于B，数形结合可判断；对于C，设
，转化为直线与曲线有公共点，结合直线与圆的位置关系可判断；对于D，求出点的轨迹方程，转化为两圆的位置关系即可判断.
【详解】设，不与、重合，
由、，有，，
，即，化简得，
所以点的轨迹曲线是以为圆心，半径的圆，如图所示，
对于A选项，由曲线的方程为，选项A正确；
对于B选项，由图可知，当时，点到直线的距离取最大值，
所以，，B对；
对于C选项，设，可得，
由题意可知，直线与圆有公共点，则，
解得，故的最大值为，C对；
对于D选项，设，由得，
化简得，因为，
所以上不存在点，使得，故D错误.
故选：D.
9．AB
【分析】由直线方程求定点可判定A；根据两直线垂直的条件可判定B；根据两直线平行的充要条件可判定C，由点到直线的距离公式可判定D.
【详解】直线，即，
令，得，则过定点，故A正确；
当时，直线，，可得，故B正确；
若直线，平行，则，解得，
当时，直线，，符合题意；
当时，直线，，符合题意，
则的充要条件是，故C错误；
点到直线的距离，当时，，故D错误.
故选：AB.
10．ABD
【分析】由两直线平行的定义可求出的值，从而判断A；根据两直线垂直的定义即可求出的值，从而判断B；当时，取最小值，利用勾股定理即可求得的最小值，从而判断C；当时，取得最小值，先求出圆心到直线的距离，利用勾股定理即可求得的最小值.
【详解】对于A，若，则，得，故A正确.
对于B，若，则，得，故B正确.
对于C，因为,化简可得，
令，解得，故过定点，
当时，取最小值，
则，故C不正确.
对于D，因为，
所以当取得最小值时，取得最小值，
而当时，取得最小值为圆心到直线的距离，
故当时，取得最小值为，故D正确.
故选：ABD.
11．CD
【分析】先化简圆的标准方程，再结合三角换元求范围即可判断A,B,D,设,再联立方程应用判别式即可求出参数范围判断C.
【详解】因为圆，则，
设,
,所以当时，的最大值为，A错误；
,所以当时，的最大值为，B错误；
,
所以当时，的最大值为，D正确；
设,则,圆，圆心,半径为，
则圆心到直线的距离小于等于半径，，
所以,计算得，所以的最大值为，C正确.
故选：CD.
12．
【分析】由两直线垂直的条件得到两直线斜率的关系即可得到的值.
【详解】，∵，∴，
∴，即，
∴，∴，
故答案为：
13．
【分析】将两圆方程作差可得出相交弦所在直线的方程，求出圆的圆心到相交弦所在直线的距离，利用勾股定理可求得相交弦长.
【详解】将圆与圆的方程作差可得，
所以，两圆相交弦所在直线的方程为，
圆的圆心为原点，半径为，
原点到直线的距离为，
所以，两圆的公共弦长为.
故答案为：.
14．
【分析】先求出点关于直线的对称点，然后计算到军营区域的最短距离.
【详解】求点关于直线的对称点的坐标,设，
直线的斜率为，则所在直线的斜率为，
因为中点在直线上，且.
由，解方程组得，，所以.
军营区域是以原点为圆心，半径的圆及其内部.
则到原点的距离.
到军营区域的最短距离为.
“将军饮马”的最短总路程为.
故答案为：.
15．(1)
(2)
【分析】（1）求出直线斜率，由点斜式求出直线方程；
（2）直线变形后求出定点坐标，进而由点到直线距离公式求出答案.
【详解】（1）∵，∴，
∴直线的斜率，又直线过点，
∴由直线的方程为，即.
（2）∵直线整理得：
令，得，∴直线过定点，
则点到直线的距离.
16．(1)；
(2).
【分析】（1）先求线段的垂直平分线所在直线的方程，进而求圆心和半径，即可得方程.
（2）由垂径定理可得圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式运算求解.
【详解】（1）依题意，线段的中点，直线的斜率，
则线段的垂直平分线的方程为，由，解得，
因此圆的圆心，半径，
所以圆的方程为.
（2）由直线被曲线截得弦长为，得圆心到直线的距离
因此，解得，
所以实数的值为.
17．(1)
(2)
【分析】（1）先求出线段的垂直平分线所在的直线方程，与联立解出圆心坐标，再求出圆的半径即可；
（2）由已知可得直线的方程，求出圆心到直线的距离，由勾股定理即可求解.
【详解】（1）设线段的中点为，则，
因为直线的斜率为，
所以线段的垂直平分线的斜率为，
所以线段的垂直平分线所在的直线方程为，
由得，
所以圆心，半径为，
所以圆的标准方程为；
（2）因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，
又直线经过点，所以直线的方程为，
即，
所以点到直线的距离为，
所以.
18．(1)，曲线是以为圆心，半径为2的圆；
(2)证明见解析，
【分析】（1）根据已知及两点距离公式有，整理即可得曲线方程；
（2）根据题设知在以为直径的圆上，并写出对应方程，结合在上，即可求直线，进而确定定点坐标；
【详解】（1）设，
由，得，
化简得，即
故曲线是以为圆心，半径为2的圆；
（2）由题意知，与圆相切，为切点，
则，则四点共圆
在以为直径的圆上，
，又，
则的中点为，
以线段为直径的圆的方程为，
整理得，①，
又在上，②，
由两圆方程作差即②-①得：.
所以，切点弦所在直线的方程为.
则恒过坐标点.
19．(1)或
(2)
【分析】直线斜率不存在时，显然满足题意；当斜率存在时，设，利用圆心到直线距离等于半径可构造方程求得，由此可得切线方程；
设点，当直线斜率存在时，根据截得弦长相等可求得的值；当斜率为0时，易知不满足题意；当直线斜率存在且不为时，假设直线方程，根据垂径定理表示出直线被圆截得的弦长，根据有无数个解可确定的取值.
【详解】（1）（1）由圆的方程知：圆心，半径；
当直线斜率不存在时，即：，此时直线与圆显然相切，满足题意；
当直线斜率存在时，设其方程为：，即，
∴圆心到直线的距离，解得：，
∴直线方程为：，即；
综上所述：直线方程为或.
（2）（2）由圆的方程知：圆心，半径；设点，
①当过的直线斜率不存在时，则方程为：，方程为：；
则：被圆截得的弦长为：；
∴：被圆截得的弦长为，解得：或；
∴或；
②当过的直线斜率为0时，直线斜率不存在，此时：与圆相离，不合题意；
③当过的直线斜率存在且不为0时，
设：，则：，
即：，：，
∴圆心到直线的距离；圆心到直线的距离；
∵直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，
∴，即，∴，
又，，∴，∴，
当时，整理可得：，
∵满足题意的直线，有无数对，∴，解得：，即；
当时，整理可得：，
∵满足题意的直线，有无数对，∴，方程组无解；
综上所述：满足条件的点的坐标为．