北京市海淀区北京大学附属中学2024-2025学年高三12月月考数学试卷（含答案）

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北大附中2025届12月阶段检测
数学
命题人：高三数学组 审核人：高三数学组
本试卷满分150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束，试卷和答题卡一并收回.
考号：_____姓名：_____
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 设为等差数列的前项和.已知，，则（ ）
A. 为递减数列 B. 数列为递增数列 C. 为递增数列 D.
4. 已知向量，且向量，方向相同，则可以是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知实数a，b满足，则（ ）
A. B. C. D.
6. 过点且与抛物线恰有一个公共点的直线的条数为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
7. 已知动圆的半径为，其圆心到点的距离为2，点为圆上的一点，则点到直线距离的最大值为（ ）
A. B. C. D.
8. 在△中，“”是“”的（ ）
A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
9. 德国科学家Wilhelm Peukert于19世纪末提出蓄电池的容量（单位：Ah），放电时间（单位：h）与放电电流（单位：A）之间关系的经验公式：，其中为Peukert常数，不同材料的Peukert常数不一样.有两块不同材料的蓄电池，第一块蓄电池的容量为，Peukert常数为；第二块蓄电池的容量为，Peukert常数为.第一块电池测试：当放电电流时，放电时间，当放电电流时，放电时间；第二块电池测试：当放电电流时，放电时间，当放电电流时，放电时间，则（ ）
A. ， B. ， C. ， D. ，
10. 已知是平面直角坐标系中的点集.设是中两点间的距离的最大值，S是表示的图形的面积，则（ ）
A ， B. ，
C. ， D. ，
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 双曲线的渐近线方程为_____.
12. 过点且与直线（为常数）垂直的直线方程为_____.
13. 若对任意的实数，恒成立，则满足条件的一组，的值为_____，_____.
14. 已知，若对，都有，则的取值范围是_____.
15. 已知是直角三角形，是直角，内角，，所对的边分别为，，
，面积为，，.给出下列四个结论：
①当，时，；
②，；
③存在，使得，为等腰直角三角形；
④任取，为递增数列.
其中所有正确的结论是_____.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 在中，，，.
（1）求的值；
（2）求的面积.
17. 平面直角坐标系中，已知圆，上存在两点关于直线对称.
（1）求的半径；
（2）过坐标原点的直线被截得的弦长为2，求的方程.
18. 已知函数在上单调.从以下三个条件中选择一个作为已知，使得存在.
①；②的图像关于直线对称；③的最大值为.
（1）求函数单调增区间；
（2）已知且，求最小值.
注：如果选择的条件不符合要求，本题得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
19. 已知椭圆经过点，离心率为.
（1）求的方程；
（2）若，为上的两点，且直线与直线的斜率之积为，求证：直线过定点.
20. 已知函数，曲线在处的切线方程为.
（1）求，的值：
（2）求证：有且只有一个零点；
（3）记的零点为，曲线在处的切线与轴交于.若，求的取值范围.
21. 对给定的整数，若在数集中任取个元素，都可以通过这个元素进行加减乘除四则运算（每个元素都必须使用且只能使用1次），使其结果为的整数倍，则称整数具有性质.
（1）若，，请分别判断5是否具有性质和，并说明理由；
（2）求证：3具有性质，其中表示整数集；
（3）若12具有性质，求的最小值，其中表示整数集
北大附中2025届12月阶段检测
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1.
【答案】B
2.
【答案】A
3.
【答案】C
4.
【答案】B
5.
【答案】C
6.
【答案】D
7.
【答案】D
8.
【答案】B
9.
【答案】D
10.
【答案】A
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】 ①. ②.
14.【答案】
15.
【答案】①②④
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16.
【解析】
【分析】（1）根据同角三角函数关系式求出，再根据，结合两角和的正弦公式进行计算.
（2）根据正弦定理求出的值，再利用三角形面积公式计算面积.
【小问1详解】
因为，，根据，则. 因为，
根据两角和的正弦公式已知，，且，.
则.
【小问2详解】
根据正弦定理，则.
再由三角形面积公式，则.
17.
【解析】
【分析】（1）首先将圆的方程配成标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意点在直线上，即可求出，从而得解；
（2）首先求出圆心到直线的距离，再分斜率存在与不存在两种情况讨论，分别求出所对应的直线方程，即可得解.
【小问1详解】
圆，即，
则圆心为，半径，
因为上存在两点关于直线对称，所以点在直线上，
所以，解得，
所以的半径；
【小问2详解】
由（1）可得，圆心为，
因为过坐标原点的直线被截得的弦长为，所以圆心到直线的距离，
若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时圆心到直线的距离，符合题意；
若直线的斜率存在，设直线的方程为，则，解得，
所以直线的方程为，即；
综上可得直线的方程为或.
18.
【解析】
【分析】（1）利用二倍角公式化简，再根据所选条件，求出的值，再检验是否满足在上单调，即可确定函数解析式，再根据正弦函数的性质计算可得；
（2）由（1）可知，依题意可得，再分别求出所对应的的取值集合，即可判断.
【小问1详解】
因为
，
若选①，则，
所以，
当时，，因为在上不单调，不符合题意，故舍去；
若选②的图像关于直线对称，
则，解得，
所以，
当时，，因为在上单调递减，符合题意，
令，，解得，，
所以函数的单调递增区间为，；
若选③的最大值为，因为（其中）
所以，解得或；
当时，由①可知，不符合题意；
当时，由②可知，符合题意；
所以，
当时，，因为在上单调递减，符合题意，
令，，解得，，
所以函数的单调递增区间为，；
【小问2详解】
由（1）可知，
则，令，
即，即，
即或，
当，则或，
解得或；
当，则或，
解得或；
因为且，
所以
19.
【解析】
【分析】（1）依题意可得、、的方程组，求出、，即可得解；
（2）当直线的斜率不存在时推出矛盾，当直线的斜率存在时，设，,，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，利用斜率公式得到方程，求出的值，即可得证.
【小问1详解】
依题意可得，解得，
所以椭圆的方程为；
【小问2详解】
①当直线的斜率不存在时，设．
则，，
，不合题意．
②当直线的斜率存在时，设，,，
联立方程，得．
，，．
又，
即．
将，代入上式，
得，即，
解得或，
当时，，恒过点，不符合题意，故舍去；
当时，，恒过点，符合题意；
直线过定点.
20.
【解析】
【分析】（1）根据切点是曲线与切线的共点，可求出切点纵坐标，将切点代入曲线求出的值，再根据切线的几何意义求出的值；
（2）根据解析式本身特点，判断出在时恒成立，再用导数求出的单调区间和极值，结合赋值法，用零点存在性定理判断出零点所在区间，得出结论；
（3）结合导数的几何意义，将导数在处的切线表示出来，得到切线与轴交点的横坐标，即，对求导，得出单调性和极值，结合（2）问中隐零点的表达式，判断出符合的的取值范围.
【小问1详解】
将切点代入切线得，
即，所以，
因为，
由题意得，即，解得.
【小问2详解】
结合（1）知，定义域为，
因为在上恒成立，易知当时，，
令，得，令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，取得极小值，
又，，
由零点存在性定理可知有且只有一个零点
【小问3详解】
由（2）知，则，，
则在处的切线为，
令，得，
因为在处的切线与轴交点为，
即，
令，，
结合（2）中结论知：时，，时，，
令得或，
令得或，
即当时，在单调递增，在单调递减，
所以，由（2）知，
所以此时，即，符合题意，
当时，在单调递减，在单调递增，
所以，
由（2）知，即，
代入得，
即此时，不符合题意，舍去.
综上所述，的取值范围是.
21.
【解析】
【分析】（1）根据题意举例求解；
（2）分任取两个元素之一是三的倍数、任取的两个元素被除都余或和任取的两个元素一个被除余，另一个被除余三种情况；
（3）先证明任意两个元素不能凑出的整数倍，结合（2）结论并使用（2）中相同思路证明任意三个元素能凑出的整数倍，求出的最小值.
【小问1详解】
若从中选和两个元素，进行四则运算均得不到的整数倍，
所以5不具有性质，
若从中任选两个元素，则通过相减即可得到的整数倍，
所以5具有性质；
【小问2详解】
若任取两个元素之一是三的倍数，
则他们的乘积是的倍数，若任取的两个元素被除都余或，
则他们的差是的倍数，若任取的两个元素一个被除余，另一个被除余，
则他们的和是的倍数，所以3具有性质；
【小问3详解】
设任取两个元素一个为，另一个为，
取，，易证明，，，均不是的倍数，
所以任取两个元素不能凑出的倍数，
设任取三个元素分别为，
若至少两个余数相同，则两个余数相同的数的差一定是的倍数，
故差与另一个数的乘积为4的倍数.
若这三个元素除的余数相异，
第一种情况，若有个元素是的倍数，这三个元素的乘积为的倍数，
第二种情况，3个数都不是4的倍数，
设，，，
则，则是的倍数，
已经证明任意三个元素可以凑出的倍数，
根据（2）可知任意两个元素可以凑出的倍数，根据题意这两个数不能再使用，
取这两个数，然后再任取个数，按照以上证明方法凑出倍数，
它们的乘积就是的倍数，所以的最小值是.
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