2024北京高考物理真题力学计算专题复习练习题（有解析）
文档属性
| 名称 | 2024北京高考物理真题力学计算专题复习练习题（有解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 10.7MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 物理 | ||
| 更新时间 | 2025-01-02 22:23:46 | ||
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文档简介
力学计算专题复习练习题
真题再现
1.（2022·北京卷）体育课上，甲同学在距离地面高处将排球击出，球的初速度沿水平方向，大小为；乙同学在离地处将排球垫起，垫起前后球的速度大小相等，方向相反。已知排球质量，取重力加速度。不计空气阻力。求：
（1）排球被垫起前在水平方向飞行的距离x；
（2）排球被垫起前瞬间的速度大小v及方向；
（3）排球与乙同学作用过程中所受冲量的大小I。
2.（2021·北京卷）如图所示，小物块A、B的质量均为m = 0.10 kg，B静止在轨道水平段的末端。A以水平速度v0与B碰撞，碰后两物块粘在一起水平抛出。抛出点距离水平地面的竖直高度为h = 0.45 m，两物块落地点距离轨道末端的水平距离为s = 0.30 m，取重力加速度g = 10 m/s2。求：
（1）两物块在空中运动的时间t；
（2）两物块碰前A的速度v0的大小；
（3）两物块碰撞过程中损失的机械能。
模拟练习
1.（2023·清华附中·校考三模）在2022年北京举办的第二十四届冬奥会中，跳台滑雪是其中最具观赏性的项目之一。某滑道示意图如下，长直助滑道AB与弯曲滑道BC平滑衔接，滑道BC高，C是半径圆弧的最低点。质量的运动员从A处由静止开始匀加速下滑，BC段的阻力忽略不计。加速度，到达B点时速度。取重力加速度。
（1）求长直助滑道的长度L；
（2）求运动员在段所受合外力的冲量I的大小；
（3）求出运动员经过C点时的速度大小；
（4）画出运动员在C点时的受力图，并求其所受支持力的大小。
2.（2023·北京第166中学·校考三模）在一次表演中某同学用他的拳头向下打断了一块木板。如图，拳头的质量为m1，木板的质量为m2。木板向下偏离距离d时木板将折断。木板向下弯曲至木板折断时，其弹性可视为劲度系数为k的弹簧。为了简化问题的研究，假设碰撞是指包括拳头和木板的瞬间作用，碰撞后拳头随木板的弯曲一起向下运动，直到木板折断。碰撞后拳头、木板、地球组成的系统，机械能是守恒的。
（1）画出木板折断前，弹力F的大小随木板向下偏离距离x的图像，并据此证明，折断前木板的弹性势能：；
（2）拳头和木板向下运动所对应的重力势能变化可忽略不计。求：
①使木板折断所需要拳头的最小速率v；
②若将图中的木板换为水泥板，并用①的速率对其打击，水泥板向下偏移的距离为时将会折断，水泥板的弹性对应的劲度系数以及水泥板的质量均为木板的10倍，此种情况下是否能让水泥板折断，试说明理由。
3.（2023·北京第101中学·校考三模）如图1所示，运动员做“蹲跳起”动作，离开地面的瞬间，全身绷紧，之后离开地面的最大高度为H。设重力加速度为g，不计空气阻力。
（1）求运动员离开地面瞬间的速度。
（2）地面是不会对人做功的，那么人是如何获得机械能的呢？为了解释这个问题，小亮同学构建了如下模型：如图2所示，将人的上半身和下半身分别看作质量为m1和m2的物块，上、下半身间的作用力看成物块间竖直轻弹簧的弹力。将m1从平衡位置向下压距离h，表示人“蹲下”；然后松手，m1向上运动，表示人“站起”；当m1回到平衡位置时，突然将弹簧的长度锁定，m2被带离地面，表示人“跳起”。试结合这一模型，计算运动员在“站起”过程中至少要做多少功。
（3）如图3所示的是立定跳远动作分解图，有一个动作要领是起跳过程中要大幅度摆臂，且离开地面前瞬间手臂向前甩。将人的手臂和其他部位看成两个部分，试从物理的角度解释起跳时摆臂的原因。
4.（2023·北京第101中学·校考三模）如图所示，用一象棋子压着一纸条，放在水平桌面上接近边缘处，小亮同学用较大的力气将纸条抽出，棋子掉落在水平地面上的P点。已知棋子的质量为m，桌子边缘到地面的高度为h，与P的水平距离为s，设重力加速度为g，不计空气阻力，求：
（1）棋子在空中运动的时间；
（2）纸条给棋子的冲量大小；
（3）要想使棋子的水平射程比P点更远一点，抽纸条的力气应该稍微大一点还是稍微小一点？说明理由（抽出纸条过程中可忽略棋子的位移）。
5.（2023·北京市中关村中学·校考三模）滑雪是广受师生喜欢的运动，某滑雪的滑道如图所示。斜面滑道与水平滑道由很小的圆弧平滑衔接，斜面滑道的倾角。学生乘坐滑雪板由静止开始，从滑道上高处滑下，滑上水平面后，与静止的老师所坐的滑雪板发生碰撞，碰撞后他们以共同的速度运动，碰撞前后学生的运动方向不变。已知学生和滑雪板的总质量，老师和滑雪板的总质量为，人与滑雪板均可视为质点，不计一切摩擦和阻力，取重力加速度，，。求：
（1）小孩和滑雪板在斜面滑道下滑的加速度a的大小；
（2）小孩和滑雪板滑到斜面底端时的速度v的大小；
（3）碰撞过程中学生和老师（包括各自滑雪板）组成的系统损失的机械能。
6.（2023·北京市中关村中学·校考三模）简谐运动是一种理想化的运动模型，是机械振动中最简单、最基本的振动．它具有如下特点：
1）简谐运动的物体受到回复力的作用，回复力F回的大小与物体偏离平衡位置的位移x成正比，回复力的方向与物体偏离平衡位置的位移方向相反，即：F回 = -kx，其中k为振动系数，其值由振动系统决定；
2）简谐运动是一种周期性运动，其周期与振动物体的质量的平方根成正比，与振动系统的振动系数的平方根成反比，而与振幅无关，即：。
试论证分析如下问题：
（1）如图甲，摆长为L、摆球质量为m的单摆在AB间做小角度的自由摆动，当地重力加速度为g。
a. 当摆球运动到P点时，摆角为θ，画出摆球受力的示意图，并写出此时刻摆球受到的回复力F回大小；
b. 请结合简谐运动的特点，证明单摆在小角度摆动时周期为。
（提示：用弧度制表示角度，当角θ很小时，sinθ ≈ θ，θ角对应的弧长与它所对的弦长也近似相等）
（2）类比法、等效法等都是研究和学习物理过程中常用的重要方法．长为L的轻质绝缘细线下端系着一个带电量为+q，质量为m的小球．将该装置处于场强大小为E的竖直向下的匀强电场中，如图乙所示；将该装置处于磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里的匀强磁场中，如图丙所示．带电小球在乙、丙图中均做小角度的简谐运动．请分析求出带电小球在乙、丙两图中振动的周期．
（3）场是物理学中重要的概念，除了电场和磁场，还有引力场．物体之间的万有引力就是通过引力场发生作用的，地球附近的引力场叫做重力场．
a. 类比电场强度的定义方法，定义“重力场强度”，并说明两种场的共同点（至少写出两条）；
b. 类比电场中的电场线，在图丁地球周围描绘出“重力场线”．
7．（2023·北京朝阳·统考一模）中国航天技术处于世界领先水平，航天过程有发射、在轨和着陆返回等关键环节。
（1）航天员在空间站长期处于失重状态，为缓解此状态带来的不适，科学家设想建造一种环形空间站，如图所示。圆环绕中心轴匀速旋转，航天员（可视为质点）站在圆环内的侧壁上，随圆环做圆周运动的半径为r，可受到与他站在地球表面时相同大小的支持力。已知地球表面的重力加速度为g。求圆环转动的角速度大小ω。
（2）启动反推发动机是着陆返回过程的一个关键步骤。返回舱在距离地面较近时通过γ射线精准测距来启动返回舱的发动机向下喷气，使其减速着地。
a、已知返回舱的质量为M，其底部装有4台反推发动机，每台发动机喷嘴的横截面积为S，喷射气体的密度为ρ，返回舱距地面高度为H时速度为，若此时启动反推发动机，返回舱此后的运动可视为匀减速直线运动，到达地面时速度恰好为零。不考虑返回舱的质量变化，不计喷气前气体的速度，不计空气阻力。求气体被喷射出时相对地面的速度大小v；
b、图是返回舱底部γ射线精准测距原理简图。返回舱底部的发射器发射γ射线。为简化问题，我们假定：γ光子被地面散射后均匀射向地面上方各个方向。已知发射器单位时间内发出N个γ光子，地面对光子的吸收率为η，紧邻发射器的接收器接收γ射线的有效面积为A。当接收器单位时间内接收到n个γ光子时就会自动启动反推发动机，求此时返回舱底部距离地面的高度h。
8．（2023·北京东城·统考一模）应用恰当的方法可以对一些问题进行深入分析，比如，研究一般的曲线运动时，可以把这条曲线分割为许多很短的小段，每小段都可以看作圆周运动的一部分，此圆的半径就是曲线在该点的曲率半径p，用来描述这一点的弯曲程度，如图甲所示，这样，在分析质点经过曲线上某位置的运动时，就可以采用圆周运动的分析方法来处理。如图乙所示，有人设计了一个光滑的抛物线形轨道，位于平面直角坐标系的第二象限内，末端恰好位于坐标原点O，且切线沿水平方向，质量为m的小滑块从轨道上的A点由静止开始下滑，滑到轨道末端时速度大小为，轨道对其支持力大小为，之后小滑块离开轨道做平抛运动。已知轨道曲线与小滑块做平抛运动的轨迹关于坐标原点O对称，重力加速度为g。
（1）求轨道末端的曲率半径；
（2）小滑块做平抛运动时经过B点（图中未出），若由A点运动到O点与由O点运动到B点经过相同路程，用表示小滑块由A点运动到O点过程动量变化量，用表示小滑块由O点运动到B点过程的动量变化量，通过分析比较与的大小；
（3）轨道上的C点距x轴的距离为，求小滑块经过C点时受到的支持力大小。
9．（2023·北京丰台·统考一模）跑酷不仅可以强健体质，也可使得自身反应能力更加迅速。现有一运动员在图示位置起跳，运动过程姿势不变且不发生转动，到达墙面时鞋底与墙面接触并恰好不发生滑动，通过鞋底与墙面间相互作用可以获得向上的升力。已知运动员起跳时速度为，与水平方向夹角为θ，到达墙壁时速度方向恰好与墙面垂直，运动员鞋底与墙面的动摩擦因数为μ（），最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，全过程忽略空气阻力影响。
（1）求运动员起跳时的水平分速度与竖直分速度；
（2）运动员与墙发生相互作用的时间为t，蹬墙后速度竖直向上，不再与墙发生相互作用，求蹬墙后运动员上升的最大高度H；
（3）若运动员蹬墙后水平方向速度大小不变，方向相反，为了能够到达起跳位置的正上方，且距离地面高度不低于蹬墙结束时的高度，求运动员与墙发生相互作用的最长时间。
10．（2023·北京海淀八模（三））如图所示，质量M=0.9kg的木板A静止在粗糙的水平地面上，质量m=1kg、可视为质点的物块B静止放在木板的右端，t=0时刻一质量为m0=0.1kg的子弹以速度v0=50m/s水平射入并留在木板A内（此过程时间极短）。已知物块B与木板A间的动摩擦因数=0.20，木板A与地面间的动摩擦因数=0.30，各接触面间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，且物块始终在木板上。取重力加速度大小g=10m/s2，求：
（1）子弹射入木板过程中系统损失的机械能；
（2）子弹“停”在木板内之后瞬间A和B的加速度大小；
（3）最终物块B停止运动时距离木板A右端的距离。
11．（2023·北京平谷·统考一模）长度为L的轻质细绳上端固定在P点，下端系一质量为m的小球（小球的大小可以忽略）。重力加速度为g。
（1）在水平拉力F的作用下，细绳与竖直方向的夹角为，小球保持静止，如图a所示。求拉力F的大小。
（2）使小球在水平面内做圆周运动，如图b所示。当小球做圆周运动的角速度为某一合适值时，细绳跟竖直方向的夹角恰好也为，求此时小球做圆周运动的角速度。
（3）若图a和图b中细绳拉力分别为T和，比较T和的大小。
12．（2023·北京西城·统考一模）动量守恒定律的适用范围非常广泛，不仅适用于低速、宏观的问题，也适用于近代物理研究的高速（接近光速）、微观（小到分子、原子的尺度）领域．
（1）质量为、速度为v的A球跟质量为m的静止B球发生弹性正碰．求碰后A球的速度大小．
（2）核反应堆里的中子速度不能太快，否则不易被铀核“捕获”，因此，在反应堆内要放“慢化剂”，让中子与慢化剂中的原子核碰撞，以便把中子的速度降下来．若认为碰撞前慢化剂中的原子核都是静止的，且将中子与原子核的碰撞看作弹性正碰，慢化剂应该选用质量较大的还是质量较小的原子核？请分析说明理由．
（3）光子不仅具有能量，而且具有动量．科学家在实验中观察到，一个电子和一个正电子以相同的动能对心碰撞发生湮灭，转化为光子．有人认为这个过程可能只生成一个光子，也有人认为这个过程至少生成两个光子．你赞同哪个观点？请分析说明理由．
13．（2023·北京延庆·统考一模）如图所示，小球A质量为m，系在细线的一端，线的另一端固定在O点，绳长为，O点到光滑水平面的距离为。物块B和C的质量分别是和，B与C用轻弹簧拴接，置于光滑的水平面上，且B物块位于O点正下方。现拉动小球使细线水平伸直，小球由静止释放，运动到最低点时与物块B发生正碰（碰撞时间极短），反弹后上升到最高点时到水平面的高度为。小球与物块均视为质点，不计空气阻力，重力加速度为g，求：
（1）小球A运动到最低点与B碰撞前细绳拉力F的大小；
（2）碰撞过程B物块受到的冲量大小I；
（3）物块C的最大速度的大小，并在坐标系中定量画出B、C两物块的速度随时间变化的关系图像。（画出一个周期的图像）
14．（2023·北京汇文中学·校考一模）接触物体之间的相互作用，如绳中的拉力、接触面间的压力、支持力等是生活中常见的力的作用。在处理这些相互作用时，我们常用到一些理想模型：如物体间通过轻绳连接，斜面与平面间通过光滑小圆弧连接，等等。这些理想化的连接条件与一般的情形相比有哪些区别和联系呢？请分析以下问题。
(1)如图1所示，质量均匀分布的长绳AB质量为m，绳长为l，B端与一质量为M的物块相连，物块可视为质点。现在A端作用一个大小恒定为F的水平外力，使绳拉着物块沿光滑水平面做直线运动。
a.求在绳内距A端x处绳的拉力FT与x的关系；
b.请证明：若绳质量m远小于物块质量M，可认为绳中拉力处处相等，且等于绳端点受到的力。
(2)如图2所示，斜面与平面（在水平方向）之间通过光滑小圆弧连接，可视为质点的小物体从斜面上某处下滑，通过小圆弧滑到平面上。
a.在沿连接处的小圆弧滑下的过程中，请说明支持力对小物体运动状态的改变起什么作用？
b.若斜面与平面间没有小圆弧，而是直接相接，如图3所示，将小物体从斜面上较高位置释放，若小物体的材质使得小物体碰到平面后不反弹，请通过分析和必要的计算说明碰触平面后小物体可能的运动情况及对应的条件。（小物体与平面碰触的时间很短，可不考虑重力的作用；请对论证过程中用到的物理量加以说明）
15．（2023·北京四中·校考一模）2022年北京冬奥会自由式滑雪女子大跳台比赛中，中国队运动员谷爱凌力压世界排名第一的选手，最后一跳以向左偏轴转体1620°的动作完美逆转（如图1），获得个人首金。大跳台比赛比赛场地分为助滑区、起跳台、着陆坡和终点区域四个部分。图2是某技术公司对谷爱凌夺冠一跳的“高度-时间”分析。已知谷爱凌及身上的装置总质量为m=65kg。根据这些信息回答下述问题
（1）不考虑运动员转体的动作，将运动员看做质点。
a、设助滑出发区距地面高度为，运动员从静止出发，从起跳台起跳后能达到的最大高度距地面为，不计人体能量的消耗、不计一切摩擦，求运动员在最高点的速度大小v（用字母表示）；
b、请你根据图2中信息，估算v大小；
c、运动员落到着陆坡时，垂直坡面方向的速度在极短时间内减为0，因此运动员要承受极大的冲击力。设运动员在最高点速度约为v=20m/s，落到着陆坡时的速度方向与水平成，着陆坡的倾角，雪板与坡面经大约的撞击时间后继续滑行。请根据以上条件估算运动员受到的冲击力。（保留1位有效数字）（可能会用到数据：，，，）（提示，先写表达式，再代数）。
（2）考虑运动员的转体动作。
a、若谷爱凌在空中腾空的时间约为3s，在空中转动的角速度几乎不变，求她在空中转动的角速度大小；
b、物体转动动能可以理解为各部分绕轴转动的动能之和。已知物体转动的惯性用物理量I来描述，它的名称为“转动惯量”，物体转动的快慢用角速度描述。请类比质点动能表达式，写出物体转动动能表达式；
c、若将谷爱凌在空中转动，理想化为一个半径约为0.20m的圆柱体的转动，已知圆柱体的转动惯量为（m为圆柱体质量，R为圆柱体半径），并假设谷爱凌在冲出跳台的瞬间（约0.02s）内获得足够的角速度，请问她瞬间转体爆发的功率大约多大？（保留1位有效数字）。
16．（2023·北京海淀·统考一模）反冲是常见的现象。
（1）静止的铀核（）放出1个动能为E的未知粒子后，衰变为1个钍核（）。
a．请写出上述衰变过程的核反应方程；
b．求反冲的钍核的动能。（计算中可忽略质子和中子质量的差异，不考虑相对论效应）
（2）如图所示，用轻绳连接的滑块A和B（均可视为质点）静止在光滑水平面上，其间有一被轻绳束缚而处于压缩状态的轻质弹簧，已知滑块A的质量为m，弹簧的弹性势能为。请证明：滑块B的质量M越大，剪断轻绳，当弹簧恢复原长时，滑块A获得的动能就越大。
（3）如图所示，以地心为参考系，质量为M的卫星只在地球引力的作用下沿与赤道面共面的椭圆轨道运动。卫星的发动机短暂点火可使卫星变更轨道：将质量为的气体在极短时间内一次性向后喷出。假设无论发动机在什么位置短暂点火，点火后喷出气体相对点火后卫星的速度大小u都相同。如果想使点火后卫星的动能尽可能大，请通过分析，指出最佳的点火位置。
17．（2023·北京石景山·统考一模）如图所示，长度为 l 的轻绳上端固定在O点，下端系一质量为 m 的小球（小球的大小可以忽略、重力加速度为）．
（1） 在水平拉力F的作用下，轻绳与竖直方向的夹角为α，小球保持静止．画出此时小球的受力图，并求力F的大小；
（2）由图示位置无初速释放小球，不计空气阻力．求小球通过最低点时:
a．小球的动量大小；
b．小球对轻绳拉力大小．
18．（2023·北京海淀八模（三））如图所示，实线和虚线分别是沿x轴传播的一列简谐横波在和时刻的波形图。已知在时刻，处的质点向y轴正方向运动。
(1)求该波的最小频率；
(2)若，求该波的波速。
19．（2023·北京房山·统考一模）如图所示，小物块A沿光滑水平桌面以的速度匀速运动，与静止在水平桌面末端的小物块B发生碰撞，碰后两物块粘在一起水平飞出。已知小物块A、B的质量均为，A、B的飞出点距离水平地面的竖直高度为，取重力加速度。求：
（1）两物块碰后的速度的大小；
（2）两物块碰撞过程中损失的机械能；
（3）两物块落地点距离水平桌面末端的水平位移的大小。
20．（2023·北京房山·统考一模）雨滴打在荷叶上可以使荷叶上下振动，说明从高处落下的雨滴对物体具有一定冲击力，可以做功。
（1）已知质量为m的雨滴由静止开始，下落高度为h时速度大小为v，重力加速度为g，求这一过程中重力做的功和空气阻力所做的功；
（2）若雨滴所受空气阻力与其速度的平方成正比，某一雨滴下落的速度v与其下落时间t之间的关系如图所示，观察图线发现OA段是倾斜直线，AB段逐渐弯曲，B点之后趋于水平，请分析图线出现这种趋势的原因；
（3）为估算雨滴撞击荷叶产生的压强p，某同学将一圆柱形的量杯置于院中，测得一段时间t内杯中水面上升的高度为h，测得雨滴接触荷叶前的速度为v。不考虑雨滴的反弹，已知水的平均密度为，不计雨滴重力，请估算雨滴撞击荷叶产生的压强p的大小。
21．（2023·北京门头沟·统考一模）如图1所示，滑雪运动员在助滑道上获得一定速度后从跳台飞出，身体前倾与滑雪板尽量平行，在空中飞行一段距离后落在倾斜的雪道上，其过程可简化为图2。现有一运动员从跳台O处沿水平方向飞出，在雪道P处着落。运动员质量为50kg，OP间距离，倾斜雪道与水平方向的夹角，不计空气阻力。（，，）求：
（1）运动员在空中飞行的时间t；
（2）运动员在O处的速度的大小；
（3）运动员在飞行过程中动量变化量的大小。
22．（2023·北京门头沟·统考一模）20世纪人类最伟大的创举之一是开拓了太空这一全新活动领域。请应用所学物理知识，思考并解决以下问题。
（1）航天器是一个微重力实验室，由于失重现象，物体的质量常采用动力学方法测量。如图所示是测量空间站质量的原理图。若已知飞船质量为m，其推进器的平均推力F，在飞船与空间站对接后，推进器工作时间为t时，测出飞船和空间站的速度变化是，求空间站的质量。
（2）飞船和空间站一起以速度v绕地球做匀速圆周运动。已知飞船的质量为m，某时刻空间站和飞船分离，分离时空间站与飞船沿轨道切线方向的相对速度为u。试分析计算分离后飞船相对地面的速度和空间站相对地面的速度分别是多少。
（3）若分离后的飞船运行轨道附近范围内有密度为（恒量）的稀薄空气。稀薄空气可看成是由彼此没有相互作用的均匀小颗粒组成，所有小颗粒原来都静止。假设每个小颗粒与飞船碰撞后具有与飞船相同的速度，且碰撞时间很短。已知地球的质量为M，飞船为柱状体，横截面积为S，沿半径为r的圆形轨道在高空绕地球运行，引力常数为G。试通过分析推导说明飞船在该轨道运行时所受空气阻力f大小的影响因素。
23．（2023·北京通州·统考一模）如图所示，竖直平面内的四分之一光滑圆弧轨道半径为，下端与水平桌面相切，小球A从圆弧轨道顶端无初速度滑下，与静止在圆弧轨道底端的小球B相碰，A与B碰撞后结合为一个整体，在水平桌面上滑动。已知A和B的质量均为，A、B与桌面之间的动摩擦因数，重力加速度g取10，A、B均可视为质点，不考虑空气阻力。求：
（1）与B碰撞前瞬间，小球A的速度v的大小；
（2）与B碰撞前瞬间，小球A对轨道压力F的大小；
（3）A和B整体在水平桌面上滑行的最远距离x。
24．（2023·北京通州·统考一模）为寻找可靠的航天动力装置，科学家们正持续进行太阳帆推进器和离子推进器的研究。太阳帆推进器是利用太阳光作用在太阳帆的压力提供动力，离子推进器则是利用电场加速后的离子气体的反冲作用加速航天器。
（1）由量子理论可知每个光子的动量为（h为普朗克常量，为光子的波长），光子的能量为为光子的频率），调整太阳帆使太阳光垂直照射，已知真空中光速为c，光子的频率v，普朗克常量h，太阳帆面积为S，时间t内太阳光垂直照射到太阳帆每平方米面积上的太阳光能为E，宇宙飞船的质量为M，所有光子照射到太阳帆上后全部被等速率反射，求：
①时间t内作用在太阳帆光子个数N；
②在太阳光压下宇宙飞船的加速度a的大小。
（2）离子推进器的原理如图所示：进入电离室的气体被电离，其中正离子飘入电极A、B之间的匀强电场（离子初速度忽略不计），A，B间电压为U，使正离子加速形成离子束，在加速正离子束的过程中所消耗的功率为P，推进器获得的恒定推力为F．为提高能量的转换效率，即要使尽量大，请通过论证说明可行的方案。设正离子质量为m，电荷量为q。
25.（2023·北京东城·统考二模）一个质量为m的物体，在光滑水平面上向左做匀加速直线运动。某时刻物体的速度为v1，经过一段时间 t，速度变为v2。
（1）求物体的加速度大小a；
（2）若物体所受合力为F，在 t时间内动量的变化量为 p，根据牛顿第二定律推导 p与F的关系；
（3）若物体继续向左运动与竖直墙壁发生碰撞。碰前瞬间物体的速度大小为7m/s，碰后物体以6m/s的速度反向运动。碰撞时间为0.05s，已知m=0.5kg，求碰撞过程中墙壁对物体的平均作用力。
26．（2023·北京昌平·统考二模）如图所示，一枚炮弹发射的初速度为，发射角为。它飞行到最高点时炸裂成质量均为m的A、B两部分，A部分炸裂后竖直下落，B部分继续向前飞行。重力加速度为g，不计空气阻力，不计炸裂过程中炮弹质量的变化。求：
（1）炸裂后瞬间B部分速度的大小和方向；
（2）炸裂前后，A、B系统机械能的变化量
（3）A、B两部分落地点之间的水平距离。
27．（2023·北京中关村中学·校考模拟）如图一个带有光滑圆弧的滑块B，静止于光滑水平面上，圆弧最低点与水平面相切，其质量为M，圆弧半径为R，另一个质量为的小球A，以水平速度，沿圆弧的最低点进入圆弧，求：
(1)小球A能上升的最大高度；
(2)A、B最终分离时的速度。
28．（2023·北京中关村中学·校考模拟）第24届冬奥会将于2022年在北京举行，冰壶是比赛项目之一。如图甲，蓝壶静止在大本营圆心O处，红壶推出后经过P点沿直线向蓝壶滑去，滑行一段距离后，队员在红壶前方开始。不断刷冰，直至两壶发生正碰为止。已知，红壶经过P点时速度v0=3.25m/s，P、O两点相距L=27m，大本营半径R=1.83m，从红壶进人刷冰区域后某时刻开始，两壶正碰前后的v-t图线如图乙所示。假设在未刷冰区域内两壶与冰面间的动摩擦因数恒定且相同，红壶进入刷冰区域内与冰面间的动摩擦因数变小且恒定，两壶质量相等且均视为质点。
（1）试计算说明碰后蓝壶是否会滑出大本营；
（2）求在刷冰区域内红壶滑行的距离s。
29．（2023·北京育才学校·校考模拟）如图所示，光滑轨道槽ABCD与粗糙轨道槽GH（点G与点D在同一高度但不相交，FH与圆相切）通过光滑圆轨道EF平滑连接，组成一套完整的轨道，整个装置位于竖直平面内．现将一质量的小球甲从AB段距地面高处静止释放，与静止在水平轨道上、质量为1kg的小球乙发生完全弹性碰撞．碰后小球乙滑上右边斜面轨道并能通过轨道的最高点E点．已知CD、GH与水平面的夹角为θ=37°，GH段的动摩擦因数为μ=0.25，圆轨道的半径R＝0.4m，E点离水平面的竖直高度为3R（E点为轨道的最高点），（，，）求两球碰撞后：
（1）小球乙第一次通过E点时对轨道的压力大小；
（2）小球乙沿GH段向上滑行后距离地面的最大高度；
（3）若将小球乙拿走，只将小球甲从AB段离地面h处自由释放后，小球甲又能沿原路径返回，试求h的取值范围．
参考答案
真题再现
1.（2022·北京卷）体育课上，甲同学在距离地面高处将排球击出，球的初速度沿水平方向，大小为；乙同学在离地处将排球垫起，垫起前后球的速度大小相等，方向相反。已知排球质量，取重力加速度。不计空气阻力。求：
（1）排球被垫起前在水平方向飞行的距离x；
（2）排球被垫起前瞬间的速度大小v及方向；
（3）排球与乙同学作用过程中所受冲量的大小I。
【答案】（1）；（2），方向与水平方向夹角；（3）
【详解】（1）设排球在空中飞行的时间为t，则
解得；则排球在空中飞行的水平距离
（2）乙同学垫起排球前瞬间排球在竖直方向速度的大小
得；根据
得；设速度方向与水平方向夹角为（如答图所示）
则有
（3）根据动量定理，排球与乙同学作用过程中所受冲量的大小
2.（2021·北京卷）如图所示，小物块A、B的质量均为m = 0.10 kg，B静止在轨道水平段的末端。A以水平速度v0与B碰撞，碰后两物块粘在一起水平抛出。抛出点距离水平地面的竖直高度为h = 0.45 m，两物块落地点距离轨道末端的水平距离为s = 0.30 m，取重力加速度g = 10 m/s2。求：
（1）两物块在空中运动的时间t；
（2）两物块碰前A的速度v0的大小；
（3）两物块碰撞过程中损失的机械能。
【答案】（1）0.30 s；（2）；（3）
【详解】（1）竖直方向为自由落体运动，由
得
t = 0.30 s
（2）设A、B碰后速度为，水平方向为匀速运动，由
得
根据动量守恒定律，由
得
（3）两物体碰撞过程中损失的机械能
得
模拟练习
1.（2023·清华附中·校考三模）在2022年北京举办的第二十四届冬奥会中，跳台滑雪是其中最具观赏性的项目之一。某滑道示意图如下，长直助滑道AB与弯曲滑道BC平滑衔接，滑道BC高，C是半径圆弧的最低点。质量的运动员从A处由静止开始匀加速下滑，BC段的阻力忽略不计。加速度，到达B点时速度。取重力加速度。
（1）求长直助滑道的长度L；
（2）求运动员在段所受合外力的冲量I的大小；
（3）求出运动员经过C点时的速度大小；
（4）画出运动员在C点时的受力图，并求其所受支持力的大小。
【答案】（1）100m；（2）1800N·s；（3）；（4）见解析
【详解】（1）已知AB段的初末速度，则利用运动学公式，有
可解得
（2）根据动量定理可知合外力的冲量等于动量的改变量所以
（3）从B运动到C由动能定理可得
解得
（4）小球在最低点的受力如图所示
由牛顿第二定律可得
解得
2.（2023·北京第166中学·校考三模）在一次表演中某同学用他的拳头向下打断了一块木板。如图，拳头的质量为m1，木板的质量为m2。木板向下偏离距离d时木板将折断。木板向下弯曲至木板折断时，其弹性可视为劲度系数为k的弹簧。为了简化问题的研究，假设碰撞是指包括拳头和木板的瞬间作用，碰撞后拳头随木板的弯曲一起向下运动，直到木板折断。碰撞后拳头、木板、地球组成的系统，机械能是守恒的。
（1）画出木板折断前，弹力F的大小随木板向下偏离距离x的图像，并据此证明，折断前木板的弹性势能：；
（2）拳头和木板向下运动所对应的重力势能变化可忽略不计。求：
①使木板折断所需要拳头的最小速率v；
②若将图中的木板换为水泥板，并用①的速率对其打击，水泥板向下偏移的距离为时将会折断，水泥板的弹性对应的劲度系数以及水泥板的质量均为木板的10倍，此种情况下是否能让水泥板折断，试说明理由。
【答案】（1），证明过程见解析；（2）①；②能，理由见解析
【详解】（1）根据胡克定律可知
作出F-x图像如图所示。
F-x图像与坐标轴所围的面积表示弹力F的功，根据功能关系可知折断前木板的弹性势能为
（2）①拳头与木板接触的一瞬间，拳头与木板组成的系统内力远大于外力，可视为动量守恒，之后拳头和木板达到共同速度v1，假设木板折断时，拳头和木板向下的速度恰好为零，则此时对应出拳的速率最小。根据动量守恒定律有
根据机械能守恒定律有
联立以上两式解得
②根据①题结论可求得让水泥板折断的最小出拳速率为
所以用①的速率对水泥板打击，能让水泥板折断。
3.（2023·北京第101中学·校考三模）如图1所示，运动员做“蹲跳起”动作，离开地面的瞬间，全身绷紧，之后离开地面的最大高度为H。设重力加速度为g，不计空气阻力。
（1）求运动员离开地面瞬间的速度。
（2）地面是不会对人做功的，那么人是如何获得机械能的呢？为了解释这个问题，小亮同学构建了如下模型：如图2所示，将人的上半身和下半身分别看作质量为m1和m2的物块，上、下半身间的作用力看成物块间竖直轻弹簧的弹力。将m1从平衡位置向下压距离h，表示人“蹲下”；然后松手，m1向上运动，表示人“站起”；当m1回到平衡位置时，突然将弹簧的长度锁定，m2被带离地面，表示人“跳起”。试结合这一模型，计算运动员在“站起”过程中至少要做多少功。
（3）如图3所示的是立定跳远动作分解图，有一个动作要领是起跳过程中要大幅度摆臂，且离开地面前瞬间手臂向前甩。将人的手臂和其他部位看成两个部分，试从物理的角度解释起跳时摆臂的原因。
【答案】（1）；（2）；（3）见解析
【详解】（1）运动员离开地面做竖直上抛运动，由
解得
（2）从m1下压距离h位置松手瞬间开始到将弹簧长度锁定瞬间结束，这个过程表示人的“站起”过程。设弹簧长度锁定前瞬间，m1速度为u，弹簧长度锁定后瞬间m1与m2整体离地，速度为，由弹簧长度锁定过程系统动量守恒
解得
则至少需要做功
（3）把手臂和躯体看作两个部分，向前摆臂会使得起跳瞬间手臂部分的速度比身体的速度大，根据系统的动量守恒，起跳后身体速度还会增大，从而提高成绩。
4.（2023·北京第101中学·校考三模）如图所示，用一象棋子压着一纸条，放在水平桌面上接近边缘处，小亮同学用较大的力气将纸条抽出，棋子掉落在水平地面上的P点。已知棋子的质量为m，桌子边缘到地面的高度为h，与P的水平距离为s，设重力加速度为g，不计空气阻力，求：
（1）棋子在空中运动的时间；
（2）纸条给棋子的冲量大小；
（3）要想使棋子的水平射程比P点更远一点，抽纸条的力气应该稍微大一点还是稍微小一点？说明理由（抽出纸条过程中可忽略棋子的位移）。
【答案】（1）；（2）；（3）见解析
【详解】（1）棋子在空中做平抛运动，运动的时间由
解得
（2）棋子做平抛的初速度
纸条给棋子的冲量大小为
（3）用稍微小的力气，这样纸条抽出的时间更长，棋子受滑动摩擦力作用的时间也更长，冲量更大，获得的初速度也越大。
5.（2023·北京市中关村中学·校考三模）滑雪是广受师生喜欢的运动，某滑雪的滑道如图所示。斜面滑道与水平滑道由很小的圆弧平滑衔接，斜面滑道的倾角。学生乘坐滑雪板由静止开始，从滑道上高处滑下，滑上水平面后，与静止的老师所坐的滑雪板发生碰撞，碰撞后他们以共同的速度运动，碰撞前后学生的运动方向不变。已知学生和滑雪板的总质量，老师和滑雪板的总质量为，人与滑雪板均可视为质点，不计一切摩擦和阻力，取重力加速度，，。求：
（1）小孩和滑雪板在斜面滑道下滑的加速度a的大小；
（2）小孩和滑雪板滑到斜面底端时的速度v的大小；
（3）碰撞过程中学生和老师（包括各自滑雪板）组成的系统损失的机械能。
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）小孩和滑雪板在斜面滑道下滑时的受力如图所示；
根据牛顿第二定律
（2）由机械能守恒定律有
解得
（3）碰撞过程中学生和老师（包括各自冰车）组成的系统动量守恒，设碰撞后他们相同的速度大小为v，系统损失的机械能为
解得
6.（2023·北京市中关村中学·校考三模）简谐运动是一种理想化的运动模型，是机械振动中最简单、最基本的振动．它具有如下特点：
1）简谐运动的物体受到回复力的作用，回复力F回的大小与物体偏离平衡位置的位移x成正比，回复力的方向与物体偏离平衡位置的位移方向相反，即：F回 = -kx，其中k为振动系数，其值由振动系统决定；
2）简谐运动是一种周期性运动，其周期与振动物体的质量的平方根成正比，与振动系统的振动系数的平方根成反比，而与振幅无关，即：。
试论证分析如下问题：
（1）如图甲，摆长为L、摆球质量为m的单摆在AB间做小角度的自由摆动，当地重力加速度为g。
a. 当摆球运动到P点时，摆角为θ，画出摆球受力的示意图，并写出此时刻摆球受到的回复力F回大小；
b. 请结合简谐运动的特点，证明单摆在小角度摆动时周期为。
（提示：用弧度制表示角度，当角θ很小时，sinθ ≈ θ，θ角对应的弧长与它所对的弦长也近似相等）
（2）类比法、等效法等都是研究和学习物理过程中常用的重要方法．长为L的轻质绝缘细线下端系着一个带电量为+q，质量为m的小球．将该装置处于场强大小为E的竖直向下的匀强电场中，如图乙所示；将该装置处于磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里的匀强磁场中，如图丙所示．带电小球在乙、丙图中均做小角度的简谐运动．请分析求出带电小球在乙、丙两图中振动的周期．
（3）场是物理学中重要的概念，除了电场和磁场，还有引力场．物体之间的万有引力就是通过引力场发生作用的，地球附近的引力场叫做重力场．
a. 类比电场强度的定义方法，定义“重力场强度”，并说明两种场的共同点（至少写出两条）；
b. 类比电场中的电场线，在图丁地球周围描绘出“重力场线”．
【答案】(1) a: b:略见解析(2) , ,
(3) ①都是一种看不见的特殊物质；②场强都是矢量，既有大小，又有方向；③两种场力做功都与路径无关，可以引入“势”的概念；④保守力做功的过程，都伴随着一种势能的变化；⑤都可以借助电场线（重力场线）、等势面（等高线）来形象描述场
【详解】（1）a.单摆受力分析
回复力
b. 因为
当θ很小时，，θ等于θ角对应的弧长与半径的比值
当θ很小时，弧长PO近似等于弦长，即摆球偏离平衡位置的位移x
振动系数
k代入简谐运动周期公式
单摆周期公式
（2）图乙中，摆球受到重力G、电场力F电和摆线拉力T，与重力场中的单摆类比，
等效的“重力”
带入单摆周期公式得
图丙中，摆球受到重力G、洛伦兹力F洛和摆线拉力T，与重力场中的单摆类比,洛伦兹力始终沿摆线方向，不产生回复力的效果
单摆周期与重力场中相同
（3）a．处在重力场中某点的物体所受的重力与物体质量的比值，叫做该点的重力场强度．用g表示，定义式
两种场的共同点：
①都是一种看不见的特殊物质；②场强都是矢量，既有大小，又有方向；③两种场力做功都与路径无关，可以引入“势”的概念；④保守力做功的过程，都伴随着一种势能的变化；⑤都可以借助电场线（重力场线）、等势面（等高线）来形象描述场；
b.如图为重力场分布情况．
7．（2023·北京朝阳·统考一模）中国航天技术处于世界领先水平，航天过程有发射、在轨和着陆返回等关键环节。
（1）航天员在空间站长期处于失重状态，为缓解此状态带来的不适，科学家设想建造一种环形空间站，如图所示。圆环绕中心轴匀速旋转，航天员（可视为质点）站在圆环内的侧壁上，随圆环做圆周运动的半径为r，可受到与他站在地球表面时相同大小的支持力。已知地球表面的重力加速度为g。求圆环转动的角速度大小ω。
（2）启动反推发动机是着陆返回过程的一个关键步骤。返回舱在距离地面较近时通过γ射线精准测距来启动返回舱的发动机向下喷气，使其减速着地。
a、已知返回舱的质量为M，其底部装有4台反推发动机，每台发动机喷嘴的横截面积为S，喷射气体的密度为ρ，返回舱距地面高度为H时速度为，若此时启动反推发动机，返回舱此后的运动可视为匀减速直线运动，到达地面时速度恰好为零。不考虑返回舱的质量变化，不计喷气前气体的速度，不计空气阻力。求气体被喷射出时相对地面的速度大小v；
b、图是返回舱底部γ射线精准测距原理简图。返回舱底部的发射器发射γ射线。为简化问题，我们假定：γ光子被地面散射后均匀射向地面上方各个方向。已知发射器单位时间内发出N个γ光子，地面对光子的吸收率为η，紧邻发射器的接收器接收γ射线的有效面积为A。当接收器单位时间内接收到n个γ光子时就会自动启动反推发动机，求此时返回舱底部距离地面的高度h。
【答案】（1）；（2）a、；b、
【详解】（1）设航天员质量为m，所受侧壁对他的支持力N提供向心力，有
同时
解得
（2）a、设t时间内每台发动机喷射出的气体质量为m，气体相对地面速度为v，气体受到返回舱的作用力为F，则有
又
解得
由牛顿第三定律可知，气体对返回舱的作用力大小
返回舱在匀减速下落的过程中，根据牛顿第二定律有
根据运动学公式有
解得
b、接收器单位时间单位面积接收的光子个数为
故接收器单位时间接收光子的个数
解得
8．（2023·北京东城·统考一模）应用恰当的方法可以对一些问题进行深入分析，比如，研究一般的曲线运动时，可以把这条曲线分割为许多很短的小段，每小段都可以看作圆周运动的一部分，此圆的半径就是曲线在该点的曲率半径p，用来描述这一点的弯曲程度，如图甲所示，这样，在分析质点经过曲线上某位置的运动时，就可以采用圆周运动的分析方法来处理。如图乙所示，有人设计了一个光滑的抛物线形轨道，位于平面直角坐标系的第二象限内，末端恰好位于坐标原点O，且切线沿水平方向，质量为m的小滑块从轨道上的A点由静止开始下滑，滑到轨道末端时速度大小为，轨道对其支持力大小为，之后小滑块离开轨道做平抛运动。已知轨道曲线与小滑块做平抛运动的轨迹关于坐标原点O对称，重力加速度为g。
（1）求轨道末端的曲率半径；
（2）小滑块做平抛运动时经过B点（图中未出），若由A点运动到O点与由O点运动到B点经过相同路程，用表示小滑块由A点运动到O点过程动量变化量，用表示小滑块由O点运动到B点过程的动量变化量，通过分析比较与的大小；
（3）轨道上的C点距x轴的距离为，求小滑块经过C点时受到的支持力大小。
【答案】（1）；（2）与的大小相等；（3）
【详解】（1）小滑块运动到O点时，根据牛顿第二定律
解得
（2）设A点距x轴的距离为，小滑块由A点运动到O点的过程中
根据动能定理
小滑块由O点运动到达B点过程中，下落距离也为，则
根据动量定理
解得
因此，与的大小相等。
（3）如图所示，小滑块经过C点时受到重力、支持力作用，C点处的曲率半径为
根据牛顿第二定律有
从C点运动到O点过程中根据动能定理有
由于轨道曲线与平抛轨迹关于坐标原点O对称，所以在平抛轨迹上有对称点D，其曲率半径为，距x轴的距离为。小滑块运动到D点时速度为，在D点时，
从O点运动到D点过程中根据动能定理有
联立可得
9．（2023·北京丰台·统考一模）跑酷不仅可以强健体质，也可使得自身反应能力更加迅速。现有一运动员在图示位置起跳，运动过程姿势不变且不发生转动，到达墙面时鞋底与墙面接触并恰好不发生滑动，通过鞋底与墙面间相互作用可以获得向上的升力。已知运动员起跳时速度为，与水平方向夹角为θ，到达墙壁时速度方向恰好与墙面垂直，运动员鞋底与墙面的动摩擦因数为μ（），最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，全过程忽略空气阻力影响。
（1）求运动员起跳时的水平分速度与竖直分速度；
（2）运动员与墙发生相互作用的时间为t，蹬墙后速度竖直向上，不再与墙发生相互作用，求蹬墙后运动员上升的最大高度H；
（3）若运动员蹬墙后水平方向速度大小不变，方向相反，为了能够到达起跳位置的正上方，且距离地面高度不低于蹬墙结束时的高度，求运动员与墙发生相互作用的最长时间。
【答案】（1），；（2）；（3）
【详解】（1）水平方向分速度
竖直方向分速度
（2）设墙对运动员平均弹力大小为N，平均最大静摩擦力为f，蹬墙后运动员获得竖直向上的速度为，人质量为m，设水平向右为正方向，由动量定理得
设竖直向上为正方向，由动量定理得
其中
联立得
运动员蹬墙结束后竖直方向做匀减速直线运动至速度为零，由
得
（3）设墙对运动员平均弹力大小为，平均最大静摩擦力为，蹬墙后运动员获得竖直向上的速度为v，与墙发生相互作用的时间为，人的质量为m，设水平向右为正方向，由动量定理得
设竖直向上为正方向，由动量定理得
其中
联立得
设运动员起跳位置离墙面水平距离为x，到达墙面所需时间为，离墙后到达起跳位置正上方运动时间为，起跳后水平方向做匀速直线运动，得，
运动员离墙后水平方向做匀速直线运动，竖直方向做初速度为v，加速度为g的匀变速直线运动，当竖直位移为0时，水平位移不小于x。根据上述分析，得，
联立式
作用的最长时间为
10．（2023·北京海淀八模（三））如图所示，质量M=0.9kg的木板A静止在粗糙的水平地面上，质量m=1kg、可视为质点的物块B静止放在木板的右端，t=0时刻一质量为m0=0.1kg的子弹以速度v0=50m/s水平射入并留在木板A内（此过程时间极短）。已知物块B与木板A间的动摩擦因数=0.20，木板A与地面间的动摩擦因数=0.30，各接触面间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，且物块始终在木板上。取重力加速度大小g=10m/s2，求：
（1）子弹射入木板过程中系统损失的机械能；
（2）子弹“停”在木板内之后瞬间A和B的加速度大小；
（3）最终物块B停止运动时距离木板A右端的距离。
【答案】（1）112.5J；（2）8m/s2，2m/s2；（3）1.125m
【详解】（1）子弹射中木板A的过程动量守恒
由能量守恒，子弹射入木板过程中系统损失的机械能为
解得，
（2）子弹“停”在木板内之后瞬间对B应用牛顿第二定律可得
对子弹与A组成的整体应用牛顿第二定律可得
解得，
（3）子弹停在木板A内之后，AB发生相对滑动，A减速，B加速，设经过时间二者共速，有
解得
此时二者速度为
故此过程A与B相对地面的位移分别为
共速后，因为，故二者分别做匀减速运动，对子弹与A组成的整体应用牛顿第二定律可得
对B应用牛顿第二定律可得
解得，
共速后AB继续滑行的距离分别为
故最终物块B停止运动时距离木板A右端的距离为
联立可得
11．（2023·北京平谷·统考一模）长度为L的轻质细绳上端固定在P点，下端系一质量为m的小球（小球的大小可以忽略）。重力加速度为g。
（1）在水平拉力F的作用下，细绳与竖直方向的夹角为，小球保持静止，如图a所示。求拉力F的大小。
（2）使小球在水平面内做圆周运动，如图b所示。当小球做圆周运动的角速度为某一合适值时，细绳跟竖直方向的夹角恰好也为，求此时小球做圆周运动的角速度。
（3）若图a和图b中细绳拉力分别为T和，比较T和的大小。
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）根据平衡条件可得
解得
（2）小球在水平面内做圆周运动，则
其中
解得
（3）图a和图b中细绳拉力分别为T和，则
则
12．（2023·北京西城·统考一模）动量守恒定律的适用范围非常广泛，不仅适用于低速、宏观的问题，也适用于近代物理研究的高速（接近光速）、微观（小到分子、原子的尺度）领域．
（1）质量为、速度为v的A球跟质量为m的静止B球发生弹性正碰．求碰后A球的速度大小．
（2）核反应堆里的中子速度不能太快，否则不易被铀核“捕获”，因此，在反应堆内要放“慢化剂”，让中子与慢化剂中的原子核碰撞，以便把中子的速度降下来．若认为碰撞前慢化剂中的原子核都是静止的，且将中子与原子核的碰撞看作弹性正碰，慢化剂应该选用质量较大的还是质量较小的原子核？请分析说明理由．
（3）光子不仅具有能量，而且具有动量．科学家在实验中观察到，一个电子和一个正电子以相同的动能对心碰撞发生湮灭，转化为光子．有人认为这个过程可能只生成一个光子，也有人认为这个过程至少生成两个光子．你赞同哪个观点？请分析说明理由．
【答案】（1）；（2）慢化剂应该选用质量较小的原子核；（3）赞成“这个过程至少生成两个光子”的观点
【详解】（1）两球发生弹性正碰，设碰后A球速度为，B球速度为，则
得
（2）设中子质量为m，碰前速度为，碰后速度为，原子核质量为M，碰后速度为，中子与原子核发生弹性正碰，则，
得
可见，原子核质量M越小，碰后中子速度越小，因此，慢化剂应该选用质量较小的原子核；
（3）我赞成“这个过程至少生成两个光子”的观点，正负电子对撞过程遵循动量守恒定律．对撞前正负电子组成的系统总动量为0，若只生成一个光子，则对撞后动量不可能为0，只有生成两个及两个以上的光子时系统总动量才有可能为0，因此“这个过程至少生成两个光子”的观点正确。
13．（2023·北京延庆·统考一模）如图所示，小球A质量为m，系在细线的一端，线的另一端固定在O点，绳长为，O点到光滑水平面的距离为。物块B和C的质量分别是和，B与C用轻弹簧拴接，置于光滑的水平面上，且B物块位于O点正下方。现拉动小球使细线水平伸直，小球由静止释放，运动到最低点时与物块B发生正碰（碰撞时间极短），反弹后上升到最高点时到水平面的高度为。小球与物块均视为质点，不计空气阻力，重力加速度为g，求：
（1）小球A运动到最低点与B碰撞前细绳拉力F的大小；
（2）碰撞过程B物块受到的冲量大小I；
（3）物块C的最大速度的大小，并在坐标系中定量画出B、C两物块的速度随时间变化的关系图像。（画出一个周期的图像）
【答案】（1）；（2）；（3），见解析
【详解】（1）根据题意可知，小球A运动到最低点过程中机械能守恒，设小球A运动到最低点的速度为，由机械能守恒定律有
解得
在最低点，由牛顿第二定律有
解得
（2）根据题意可知，小球与物块B发生正碰（碰撞时间极短），则碰撞过程A、B组成的系统动量守恒，设碰撞后小球A的速度为，物块B的速度为，规定向右为正方向，由动量守恒定律有
由机械能守恒定律有
联立解得
对物块B，由动量定理有
（3）根据题意可知，B与C用轻弹簧拴接，开始时，物块B压缩弹簧，B做加速度增大的减速运动，C做加速度增大加速运动，当B、C速度相等时，弹簧压缩最短，由动量守恒定律有
解得
之后C的速度大于B的速度，弹簧开始恢复，则C做加速度减小的加速运动，B做加速度减小的减速运动，当弹簧恢复到原长，C的速度最大，B的速度最小，由动量守恒定律和能量守恒定律有
联立解得
之后C拉开弹簧，开始做加速度增大的减速运动，B做加速度增大的加速运动，当速度相等时，弹簧伸长最长，之后C的速度小于B的速度，C做加速度减小的减速运动，B做加速度减小的加速运动，当弹簧恢复原长，B的速度最大为，C的速度最小为0，之后重复开始，即完成一个运动周期。由上述分析可知，B、C两物块的速度随时间变化的关系图像，如图所示
14．（2023·北京汇文中学·校考一模）接触物体之间的相互作用，如绳中的拉力、接触面间的压力、支持力等是生活中常见的力的作用。在处理这些相互作用时，我们常用到一些理想模型：如物体间通过轻绳连接，斜面与平面间通过光滑小圆弧连接，等等。这些理想化的连接条件与一般的情形相比有哪些区别和联系呢？请分析以下问题。
(1)如图1所示，质量均匀分布的长绳AB质量为m，绳长为l，B端与一质量为M的物块相连，物块可视为质点。现在A端作用一个大小恒定为F的水平外力，使绳拉着物块沿光滑水平面做直线运动。
a.求在绳内距A端x处绳的拉力FT与x的关系；
b.请证明：若绳质量m远小于物块质量M，可认为绳中拉力处处相等，且等于绳端点受到的力。
(2)如图2所示，斜面与平面（在水平方向）之间通过光滑小圆弧连接，可视为质点的小物体从斜面上某处下滑，通过小圆弧滑到平面上。
a.在沿连接处的小圆弧滑下的过程中，请说明支持力对小物体运动状态的改变起什么作用？
b.若斜面与平面间没有小圆弧，而是直接相接，如图3所示，将小物体从斜面上较高位置释放，若小物体的材质使得小物体碰到平面后不反弹，请通过分析和必要的计算说明碰触平面后小物体可能的运动情况及对应的条件。（小物体与平面碰触的时间很短，可不考虑重力的作用；请对论证过程中用到的物理量加以说明）
【答案】(1) a . ，b.见解析；(2)a.见解析，b.见解析
【详解】(1)a.以物块和绳的整体为研究对象，由牛顿第二定律有
以物块和与其相连的长为（l―x）的绳为研究对象，由牛顿第二定律有
联立解得
b.由上式可知，当M>>m时，对于x在0到l之间取任意值时，都有
即若绳质量m远小于物块质量M，可认为绳中拉力处处相等，且等于绳端点受到的力。
(2) a.在沿连接处的小圆弧滑下的过程中，支持力能改变小物体速度的方向；
b.设小物体与平面相互作用时，竖直方向的弹力为FN，水平方向的摩擦力为 FN；设相互作用前瞬间，小物体水平分速度和竖直分速度的大小分别为v0cosα和v0sinα，经过时间Δt后分别变为vx和 vy。小物体与平面作用后的运动情况与其材质有关。
依据题目条件，小物体材质使得其碰到平面后不反弹，则存在以下两种可能：
①若在Δt时间内，小物体的竖直分速度vy变为零的同时，水平分速度vx也变为零，则小物体静止于斜面底端很近的位置。这种情况由于在竖直方向上
在水平方向上
可知发生这种情况要求=
如>，小物体也静止于斜面底端。
②若<，则竖直分速度vy为零时，水平分速度vx还不为零，则小物体在平面上以vx为初速度，―g为加速度做减速运动直至停下。
15．（2023·北京四中·校考一模）2022年北京冬奥会自由式滑雪女子大跳台比赛中，中国队运动员谷爱凌力压世界排名第一的选手，最后一跳以向左偏轴转体1620°的动作完美逆转（如图1），获得个人首金。大跳台比赛比赛场地分为助滑区、起跳台、着陆坡和终点区域四个部分。图2是某技术公司对谷爱凌夺冠一跳的“高度-时间”分析。已知谷爱凌及身上的装置总质量为m=65kg。根据这些信息回答下述问题
（1）不考虑运动员转体的动作，将运动员看做质点。
a、设助滑出发区距地面高度为，运动员从静止出发，从起跳台起跳后能达到的最大高度距地面为，不计人体能量的消耗、不计一切摩擦，求运动员在最高点的速度大小v（用字母表示）；
b、请你根据图2中信息，估算v大小；
c、运动员落到着陆坡时，垂直坡面方向的速度在极短时间内减为0，因此运动员要承受极大的冲击力。设运动员在最高点速度约为v=20m/s，落到着陆坡时的速度方向与水平成，着陆坡的倾角，雪板与坡面经大约的撞击时间后继续滑行。请根据以上条件估算运动员受到的冲击力。（保留1位有效数字）（可能会用到数据：，，，）（提示，先写表达式，再代数）。
（2）考虑运动员的转体动作。
a、若谷爱凌在空中腾空的时间约为3s，在空中转动的角速度几乎不变，求她在空中转动的角速度大小；
b、物体转动动能可以理解为各部分绕轴转动的动能之和。已知物体转动的惯性用物理量I来描述，它的名称为“转动惯量”，物体转动的快慢用角速度描述。请类比质点动能表达式，写出物体转动动能表达式；
c、若将谷爱凌在空中转动，理想化为一个半径约为0.20m的圆柱体的转动，已知圆柱体的转动惯量为（m为圆柱体质量，R为圆柱体半径），并假设谷爱凌在冲出跳台的瞬间（约0.02s）内获得足够的角速度，请问她瞬间转体爆发的功率大约多大？（保留1位有效数字）。
【答案】（1）a、 ；b、 ；c、（2）a、 ；b、；c、
【解析】
【详解】（1）a、根据机械能守恒
解得
b、根据图像可得
解得
c、从最高点到斜坡的运动为平抛，则落到斜坡时
速度垂直斜坡的分量为
根据动量定量
解得
（2）a、角速度
b、转动动能
c、根据功能关系
解得
16．（2023·北京海淀·统考一模）反冲是常见的现象。
（1）静止的铀核（）放出1个动能为E的未知粒子后，衰变为1个钍核（）。
a．请写出上述衰变过程的核反应方程；
b．求反冲的钍核的动能。（计算中可忽略质子和中子质量的差异，不考虑相对论效应）
（2）如图所示，用轻绳连接的滑块A和B（均可视为质点）静止在光滑水平面上，其间有一被轻绳束缚而处于压缩状态的轻质弹簧，已知滑块A的质量为m，弹簧的弹性势能为。请证明：滑块B的质量M越大，剪断轻绳，当弹簧恢复原长时，滑块A获得的动能就越大。
（3）如图所示，以地心为参考系，质量为M的卫星只在地球引力的作用下沿与赤道面共面的椭圆轨道运动。卫星的发动机短暂点火可使卫星变更轨道：将质量为的气体在极短时间内一次性向后喷出。假设无论发动机在什么位置短暂点火，点火后喷出气体相对点火后卫星的速度大小u都相同。如果想使点火后卫星的动能尽可能大，请通过分析，指出最佳的点火位置。
【答案】（1）a．；b．；（2）见解析；（3）卫星应该在其速率最大的近地点处点火喷气
【详解】（1）a．根据质量数和质子数守恒，则铀核衰变方程为
b．设质子和中子的质量均为m，衰变后氦核的速度为，钍核的速度为，选氦核的运动方向为正方向，根据动量守恒定律得
解得钍核的速度大小为
又
则反冲的钍核的动能
（2）滑块A和B系统动量守恒，设弹簧恢复原长时，滑块A和B的速度分别为和，选取滑块A运动方向为正方向，则根据动量守恒定律可得
又由能量守恒定律可知，弹簧弹性势能为
则滑块A获得的动能为
m和均为定值，因此滑块B的质量M越大，剪断轻绳，当弹簧恢复原长时，滑块A获得的动能就越大。
（3）卫星喷气的过程中，可认为卫星和喷出的气体所组成的系统动量守恒，设喷气前卫星沿椭圆轨道运动的速度为，喷出后卫星的速度为v，以喷气前卫星运动方向为正方向，根据动量守恒定律，有
解得
由上式可知，卫星在椭圆轨道上运动速度大的地方喷气，喷气后卫星的动能
也就越大，因此卫星应该在其速率最大的近地点处点火喷气。
17．（2023·北京石景山·统考一模）如图所示，长度为 l 的轻绳上端固定在O点，下端系一质量为 m 的小球（小球的大小可以忽略、重力加速度为）．
（1） 在水平拉力F的作用下，轻绳与竖直方向的夹角为α，小球保持静止．画出此时小球的受力图，并求力F的大小；
（2）由图示位置无初速释放小球，不计空气阻力．求小球通过最低点时:
a．小球的动量大小；
b．小球对轻绳拉力大小．
【答案】（1） ；mgtanα；（2）；
【分析】（1）小球受重力、绳子的拉力和水平拉力平衡，根据共点力平衡求出力F的大小．
（2）根据机械能守恒定律求出小球第一次到达最低点的速度，求出动量的大小，然后再根据牛顿第二定律，小球重力和拉力的合力提供向心力，求出绳子拉力的大小．
【详解】（1）小球受到重力、绳子的拉力以及水平拉力的作用，受力如图
根据平衡条件，得拉力的大小：
（2）a．小球从静止运动到最低点的过程中，
由动能定理：
则通过最低点时，小球动量的大小：
b．根据牛顿第二定律可得：
根据牛顿第三定律，小球对轻绳的拉力大小为：
【点睛】本题综合考查了共点力平衡，牛顿第二定律、机械能守恒定律，难度不大，关键搞清小球在最低点做圆周运动向心力的来源．
18．（2023·北京海淀八模（三））如图所示，实线和虚线分别是沿x轴传播的一列简谐横波在和时刻的波形图。已知在时刻，处的质点向y轴正方向运动。
(1)求该波的最小频率；
(2)若，求该波的波速。
【答案】(1)12.5Hz；(2)75m/s
【详解】(1)由波形图可知
解得（）
当
时，可求解最大周期
则最小频率
(2)若
则由上述表达式可知
即
解得
由图中读出波长为
则波速
19．（2023·北京房山·统考一模）如图所示，小物块A沿光滑水平桌面以的速度匀速运动，与静止在水平桌面末端的小物块B发生碰撞，碰后两物块粘在一起水平飞出。已知小物块A、B的质量均为，A、B的飞出点距离水平地面的竖直高度为，取重力加速度。求：
（1）两物块碰后的速度的大小；
（2）两物块碰撞过程中损失的机械能；
（3）两物块落地点距离水平桌面末端的水平位移的大小。
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）碰撞过程，两物块组成的系统满足动量守恒，则有
解得
（2）两物块碰撞过程中损失的机械能为
（3）两物块在空中做平抛运动，竖直方向有
解得
两物块落地点距离水平桌面末端的水平位移的大小
20．（2023·北京房山·统考一模）雨滴打在荷叶上可以使荷叶上下振动，说明从高处落下的雨滴对物体具有一定冲击力，可以做功。
（1）已知质量为m的雨滴由静止开始，下落高度为h时速度大小为v，重力加速度为g，求这一过程中重力做的功和空气阻力所做的功；
（2）若雨滴所受空气阻力与其速度的平方成正比，某一雨滴下落的速度v与其下落时间t之间的关系如图所示，观察图线发现OA段是倾斜直线，AB段逐渐弯曲，B点之后趋于水平，请分析图线出现这种趋势的原因；
（3）为估算雨滴撞击荷叶产生的压强p，某同学将一圆柱形的量杯置于院中，测得一段时间t内杯中水面上升的高度为h，测得雨滴接触荷叶前的速度为v。不考虑雨滴的反弹，已知水的平均密度为，不计雨滴重力，请估算雨滴撞击荷叶产生的压强p的大小。
【答案】（1）；；（2）见解析；（3）
【详解】（1）这一过程中重力做的功为
由动能定理，可得
解得
（2）依题意雨滴所受空气阻力与其速度的平方成正比，当雨滴速度较小时，阻力较小，与重力相比忽略不计，此过程做自由落体运动，故OA段是倾斜直线，当阻力不能忽略时，由牛顿第二定律可知
随着雨滴速度的增加，其阻力增大，加速度减小。做加速度逐渐减小的加速运动，故AB段逐渐弯曲，当雨滴所受阻力与自身重力等大时，受力平衡。将做匀速直线运动，故B点之后趋于水平。
（3）设t时间内有质量为m的雨水落到荷叶上，取向上为正方向，根据动量定理可得
设量杯的横截面积为S，有
雨滴撞击荷叶产生的压强为
联立，解得
21．（2023·北京门头沟·统考一模）如图1所示，滑雪运动员在助滑道上获得一定速度后从跳台飞出，身体前倾与滑雪板尽量平行，在空中飞行一段距离后落在倾斜的雪道上，其过程可简化为图2。现有一运动员从跳台O处沿水平方向飞出，在雪道P处着落。运动员质量为50kg，OP间距离，倾斜雪道与水平方向的夹角，不计空气阻力。（，，）求：
（1）运动员在空中飞行的时间t；
（2）运动员在O处的速度的大小；
（3）运动员在飞行过程中动量变化量的大小。
【答案】（1）3s；（2）20m/s；（3）
【详解】（1）运动员从跳台O处沿水平方向飞出，做平抛运动，在竖直方向则有
解得运动员在空中飞行的时间t为
（2）运动员做平抛运动，在水平方向则有
解得运动员在O处的速度的大小为
（3）由动量定理可得运动员在飞行过程中动量变化量的大小为
22．（2023·北京门头沟·统考一模）20世纪人类最伟大的创举之一是开拓了太空这一全新活动领域。请应用所学物理知识，思考并解决以下问题。
（1）航天器是一个微重力实验室，由于失重现象，物体的质量常采用动力学方法测量。如图所示是测量空间站质量的原理图。若已知飞船质量为m，其推进器的平均推力F，在飞船与空间站对接后，推进器工作时间为t时，测出飞船和空间站的速度变化是，求空间站的质量。
（2）飞船和空间站一起以速度v绕地球做匀速圆周运动。已知飞船的质量为m，某时刻空间站和飞船分离，分离时空间站与飞船沿轨道切线方向的相对速度为u。试分析计算分离后飞船相对地面的速度和空间站相对地面的速度分别是多少。
（3）若分离后的飞船运行轨道附近范围内有密度为（恒量）的稀薄空气。稀薄空气可看成是由彼此没有相互作用的均匀小颗粒组成，所有小颗粒原来都静止。假设每个小颗粒与飞船碰撞后具有与飞船相同的速度，且碰撞时间很短。已知地球的质量为M，飞船为柱状体，横截面积为S，沿半径为r的圆形轨道在高空绕地球运行，引力常数为G。试通过分析推导说明飞船在该轨道运行时所受空气阻力f大小的影响因素。
【答案】（1）；（2），；（3）见解析
【详解】（1）对飞船和空间站有
解得
（2）分离瞬间有
两者的相对速度
解得，
（3）对飞船有
在极短时间发生碰撞的小颗粒的质量
对这部分小颗粒有
根据牛顿第三定律有
解得
可知飞船在该轨道运行时所受空气阻力f大小的影响因素有飞船运动的轨道半径、稀薄空气的密度与飞船的横截面积。
23．（2023·北京通州·统考一模）如图所示，竖直平面内的四分之一光滑圆弧轨道半径为，下端与水平桌面相切，小球A从圆弧轨道顶端无初速度滑下，与静止在圆弧轨道底端的小球B相碰，A与B碰撞后结合为一个整体，在水平桌面上滑动。已知A和B的质量均为，A、B与桌面之间的动摩擦因数，重力加速度g取10，A、B均可视为质点，不考虑空气阻力。求：
（1）与B碰撞前瞬间，小球A的速度v的大小；
（2）与B碰撞前瞬间，小球A对轨道压力F的大小；
（3）A和B整体在水平桌面上滑行的最远距离x。
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）设两小球质量均为m，对小球A从圆弧轨道顶端滑到底端的过程，由机械能守恒定律有
解得
代入数据得
（2）由牛顿第二定律
得
由牛顿第三定律，得小球A对轨道压力大小为
（3）对A、B碰撞的过程应用动量守恒定律有
解得
对A、B整体在水平桌面上滑行的过程应用动能定理有
解得
24．（2023·北京通州·统考一模）为寻找可靠的航天动力装置，科学家们正持续进行太阳帆推进器和离子推进器的研究。太阳帆推进器是利用太阳光作用在太阳帆的压力提供动力，离子推进器则是利用电场加速后的离子气体的反冲作用加速航天器。
（1）由量子理论可知每个光子的动量为（h为普朗克常量，为光子的波长），光子的能量为为光子的频率），调整太阳帆使太阳光垂直照射，已知真空中光速为c，光子的频率v，普朗克常量h，太阳帆面积为S，时间t内太阳光垂直照射到太阳帆每平方米面积上的太阳光能为E，宇宙飞船的质量为M，所有光子照射到太阳帆上后全部被等速率反射，求：
①时间t内作用在太阳帆光子个数N；
②在太阳光压下宇宙飞船的加速度a的大小。
（2）离子推进器的原理如图所示：进入电离室的气体被电离，其中正离子飘入电极A、B之间的匀强电场（离子初速度忽略不计），A，B间电压为U，使正离子加速形成离子束，在加速正离子束的过程中所消耗的功率为P，推进器获得的恒定推力为F．为提高能量的转换效率，即要使尽量大，请通过论证说明可行的方案。设正离子质量为m，电荷量为q。
【答案】（1）①；②；（2），为提高能量的转换效率，可以用质量大的粒子、用带电量少的离子、减小加速电压。
【详解】（1）①时间t内，作用在太阳帆的光子的总能量为
时间t内作用在太阳帆的光子个数为
②根据动量定理得
故太阳光对飞船的推力为
根据牛顿第二定律可知，在太阳光压下宇宙飞船的加速度为
（2）正离子飘入匀强电场，电场力做功功率为
正离子在电场中做匀加速直线运动，则有
联立，可得
根据牛顿第三定律，可知引擎获得的推力F的大小为
分析，可知
为提高能量的转换效率，可以用质量大的粒子、用带电量少的离子、减小加速电压。
25.（2023·北京东城·统考二模）一个质量为m的物体，在光滑水平面上向左做匀加速直线运动。某时刻物体的速度为v1，经过一段时间 t，速度变为v2。
（1）求物体的加速度大小a；
（2）若物体所受合力为F，在 t时间内动量的变化量为 p，根据牛顿第二定律推导 p与F的关系；
（3）若物体继续向左运动与竖直墙壁发生碰撞。碰前瞬间物体的速度大小为7m/s，碰后物体以6m/s的速度反向运动。碰撞时间为0.05s，已知m=0.5kg，求碰撞过程中墙壁对物体的平均作用力。
【答案】（1）；（2）见解析；（3）130N，方向水平向右
【详解】（1）根据匀变速直线运动规律
可得
（2）根据牛顿第二定律
所以
（3）由（2）分析可知
解得
方向水平向右。
26．（2023·北京昌平·统考二模）如图所示，一枚炮弹发射的初速度为，发射角为。它飞行到最高点时炸裂成质量均为m的A、B两部分，A部分炸裂后竖直下落，B部分继续向前飞行。重力加速度为g，不计空气阻力，不计炸裂过程中炮弹质量的变化。求：
（1）炸裂后瞬间B部分速度的大小和方向；
（2）炸裂前后，A、B系统机械能的变化量
（3）A、B两部分落地点之间的水平距离。
【答案】（1），方向水平向右；（2）机械能增加了；（3）
【详解】（1）炮弹炸裂前瞬间速度为
方向水平向右
炸裂过程中根据水平方向动量守恒，规定水平向右为正方向，有
炸裂后A部分竖直下落，说明此时A的水平速度为零，解得
方向水平向右
（2）炸裂前后系统机械能的变化量为
解得
A、B系统机械能增加了。
（3）炸裂后，A做自由落体运动，B做平抛运动，下落时间为
落地后，A、B两部分落地点之间的水平距离为
解得
27．（2023·北京中关村中学·校考模拟）如图一个带有光滑圆弧的滑块B，静止于光滑水平面上，圆弧最低点与水平面相切，其质量为M，圆弧半径为R，另一个质量为的小球A，以水平速度，沿圆弧的最低点进入圆弧，求：
(1)小球A能上升的最大高度；
(2)A、B最终分离时的速度。
【答案】(1)4R；(2)，。
【解析】
(1)设小球A能上升的最大高度为H，A刚脱离B时水平方向的速度为v，对A、B，由水平方向动量守恒及能量守恒，有
带入v0=，可得小球A能上升的最大高度H=4R；
(2)设A、B最终分离时的速度分别为v1和v2，由水平方向动量守恒及能量守恒，有
解得，。
28．（2023·北京中关村中学·校考模拟）第24届冬奥会将于2022年在北京举行，冰壶是比赛项目之一。如图甲，蓝壶静止在大本营圆心O处，红壶推出后经过P点沿直线向蓝壶滑去，滑行一段距离后，队员在红壶前方开始。不断刷冰，直至两壶发生正碰为止。已知，红壶经过P点时速度v0=3.25m/s，P、O两点相距L=27m，大本营半径R=1.83m，从红壶进人刷冰区域后某时刻开始，两壶正碰前后的v-t图线如图乙所示。假设在未刷冰区域内两壶与冰面间的动摩擦因数恒定且相同，红壶进入刷冰区域内与冰面间的动摩擦因数变小且恒定，两壶质量相等且均视为质点。
（1）试计算说明碰后蓝壶是否会滑出大本营；
（2）求在刷冰区域内红壶滑行的距离s。
【答案】（1）会滑出；（2）s=15m
【解析】（1）设冰壶的质量为m，碰撞前、后瞬间红壶、蓝壶的速度分别为v1、和，由图乙可得
v1=1.25m/s
=0.25m/s
由动量守恒定律得①
设碰后蓝壶滑行距离为s1，红壶、蓝壶的加速度大小均为a1
②
③
由①②③及图乙信息得s1=2.00m>R=1.83m④
会滑出；
（2）设在不刷冰区域红壶受到的摩擦力大小为
⑤
由图乙可得t=0时红壶的速度=1.35m/s，设在刷冰区域红壶受到的摩擦力大小为，加速度大小为
⑥
在红壶经过P点到与蓝壶发生正碰前的过程中，由动能定理得
⑧
代入数据得s=15m⑨
29．（2023·北京育才学校·校考模拟）如图所示，光滑轨道槽ABCD与粗糙轨道槽GH（点G与点D在同一高度但不相交，FH与圆相切）通过光滑圆轨道EF平滑连接，组成一套完整的轨道，整个装置位于竖直平面内．现将一质量的小球甲从AB段距地面高处静止释放，与静止在水平轨道上、质量为1kg的小球乙发生完全弹性碰撞．碰后小球乙滑上右边斜面轨道并能通过轨道的最高点E点．已知CD、GH与水平面的夹角为θ=37°，GH段的动摩擦因数为μ=0.25，圆轨道的半径R＝0.4m，E点离水平面的竖直高度为3R（E点为轨道的最高点），（，，）求两球碰撞后：
（1）小球乙第一次通过E点时对轨道的压力大小；
（2）小球乙沿GH段向上滑行后距离地面的最大高度；
（3）若将小球乙拿走，只将小球甲从AB段离地面h处自由释放后，小球甲又能沿原路径返回，试求h的取值范围．
【答案】（1）30N ；（2）1.62m ；（3）h≤0.8m或h≥2.32m
【详解】（1）小球甲从A点到B点由机械能守恒定律可得：
两小球碰撞时由动量守恒定律可得：
由机械能守恒定律可得：
小球乙从BC轨道滑至E 点过程，由机械能守恒定律得：
小球乙在E点，根据牛顿第二定律及向心力公式，
根据牛顿第三定律小球乙对轨道的压力N＇=N，由以上各式并代入数据得：，=30N
（2）D、G离地面的高度
设小球乙上滑的最大高度为，则小球乙在GH段滑行的距离
小球乙从水平轨道位置滑至最高点的过程，根据动能定理：
其中，，
由以上各式并代入数据得
（3）只有小球甲时，小球甲要沿原路径返回，若未能完成圆周运动，则
若能完成圆周运动，则小球甲返回时必须能经过圆轨道最高点E．设小球沿GH上升的竖直高度为，上升过程克服摩擦力做功为，则：
小球甲从释放位置滑至最高点的过程，根据动能定理：
设小球甲返回至G点时的速度为，根据动能定理：
从G点返回至E点的过程，根据机械能守恒：
在E点，
由以上各式得h=2.32m
故小球甲沿原路径返回的条件为或
真题再现
1.（2022·北京卷）体育课上，甲同学在距离地面高处将排球击出，球的初速度沿水平方向，大小为；乙同学在离地处将排球垫起，垫起前后球的速度大小相等，方向相反。已知排球质量，取重力加速度。不计空气阻力。求：
（1）排球被垫起前在水平方向飞行的距离x；
（2）排球被垫起前瞬间的速度大小v及方向；
（3）排球与乙同学作用过程中所受冲量的大小I。
2.（2021·北京卷）如图所示，小物块A、B的质量均为m = 0.10 kg，B静止在轨道水平段的末端。A以水平速度v0与B碰撞，碰后两物块粘在一起水平抛出。抛出点距离水平地面的竖直高度为h = 0.45 m，两物块落地点距离轨道末端的水平距离为s = 0.30 m，取重力加速度g = 10 m/s2。求：
（1）两物块在空中运动的时间t；
（2）两物块碰前A的速度v0的大小；
（3）两物块碰撞过程中损失的机械能。
模拟练习
1.（2023·清华附中·校考三模）在2022年北京举办的第二十四届冬奥会中，跳台滑雪是其中最具观赏性的项目之一。某滑道示意图如下，长直助滑道AB与弯曲滑道BC平滑衔接，滑道BC高，C是半径圆弧的最低点。质量的运动员从A处由静止开始匀加速下滑，BC段的阻力忽略不计。加速度，到达B点时速度。取重力加速度。
（1）求长直助滑道的长度L；
（2）求运动员在段所受合外力的冲量I的大小；
（3）求出运动员经过C点时的速度大小；
（4）画出运动员在C点时的受力图，并求其所受支持力的大小。
2.（2023·北京第166中学·校考三模）在一次表演中某同学用他的拳头向下打断了一块木板。如图，拳头的质量为m1，木板的质量为m2。木板向下偏离距离d时木板将折断。木板向下弯曲至木板折断时，其弹性可视为劲度系数为k的弹簧。为了简化问题的研究，假设碰撞是指包括拳头和木板的瞬间作用，碰撞后拳头随木板的弯曲一起向下运动，直到木板折断。碰撞后拳头、木板、地球组成的系统，机械能是守恒的。
（1）画出木板折断前，弹力F的大小随木板向下偏离距离x的图像，并据此证明，折断前木板的弹性势能：；
（2）拳头和木板向下运动所对应的重力势能变化可忽略不计。求：
①使木板折断所需要拳头的最小速率v；
②若将图中的木板换为水泥板，并用①的速率对其打击，水泥板向下偏移的距离为时将会折断，水泥板的弹性对应的劲度系数以及水泥板的质量均为木板的10倍，此种情况下是否能让水泥板折断，试说明理由。
3.（2023·北京第101中学·校考三模）如图1所示，运动员做“蹲跳起”动作，离开地面的瞬间，全身绷紧，之后离开地面的最大高度为H。设重力加速度为g，不计空气阻力。
（1）求运动员离开地面瞬间的速度。
（2）地面是不会对人做功的，那么人是如何获得机械能的呢？为了解释这个问题，小亮同学构建了如下模型：如图2所示，将人的上半身和下半身分别看作质量为m1和m2的物块，上、下半身间的作用力看成物块间竖直轻弹簧的弹力。将m1从平衡位置向下压距离h，表示人“蹲下”；然后松手，m1向上运动，表示人“站起”；当m1回到平衡位置时，突然将弹簧的长度锁定，m2被带离地面，表示人“跳起”。试结合这一模型，计算运动员在“站起”过程中至少要做多少功。
（3）如图3所示的是立定跳远动作分解图，有一个动作要领是起跳过程中要大幅度摆臂，且离开地面前瞬间手臂向前甩。将人的手臂和其他部位看成两个部分，试从物理的角度解释起跳时摆臂的原因。
4.（2023·北京第101中学·校考三模）如图所示，用一象棋子压着一纸条，放在水平桌面上接近边缘处，小亮同学用较大的力气将纸条抽出，棋子掉落在水平地面上的P点。已知棋子的质量为m，桌子边缘到地面的高度为h，与P的水平距离为s，设重力加速度为g，不计空气阻力，求：
（1）棋子在空中运动的时间；
（2）纸条给棋子的冲量大小；
（3）要想使棋子的水平射程比P点更远一点，抽纸条的力气应该稍微大一点还是稍微小一点？说明理由（抽出纸条过程中可忽略棋子的位移）。
5.（2023·北京市中关村中学·校考三模）滑雪是广受师生喜欢的运动，某滑雪的滑道如图所示。斜面滑道与水平滑道由很小的圆弧平滑衔接，斜面滑道的倾角。学生乘坐滑雪板由静止开始，从滑道上高处滑下，滑上水平面后，与静止的老师所坐的滑雪板发生碰撞，碰撞后他们以共同的速度运动，碰撞前后学生的运动方向不变。已知学生和滑雪板的总质量，老师和滑雪板的总质量为，人与滑雪板均可视为质点，不计一切摩擦和阻力，取重力加速度，，。求：
（1）小孩和滑雪板在斜面滑道下滑的加速度a的大小；
（2）小孩和滑雪板滑到斜面底端时的速度v的大小；
（3）碰撞过程中学生和老师（包括各自滑雪板）组成的系统损失的机械能。
6.（2023·北京市中关村中学·校考三模）简谐运动是一种理想化的运动模型，是机械振动中最简单、最基本的振动．它具有如下特点：
1）简谐运动的物体受到回复力的作用，回复力F回的大小与物体偏离平衡位置的位移x成正比，回复力的方向与物体偏离平衡位置的位移方向相反，即：F回 = -kx，其中k为振动系数，其值由振动系统决定；
2）简谐运动是一种周期性运动，其周期与振动物体的质量的平方根成正比，与振动系统的振动系数的平方根成反比，而与振幅无关，即：。
试论证分析如下问题：
（1）如图甲，摆长为L、摆球质量为m的单摆在AB间做小角度的自由摆动，当地重力加速度为g。
a. 当摆球运动到P点时，摆角为θ，画出摆球受力的示意图，并写出此时刻摆球受到的回复力F回大小；
b. 请结合简谐运动的特点，证明单摆在小角度摆动时周期为。
（提示：用弧度制表示角度，当角θ很小时，sinθ ≈ θ，θ角对应的弧长与它所对的弦长也近似相等）
（2）类比法、等效法等都是研究和学习物理过程中常用的重要方法．长为L的轻质绝缘细线下端系着一个带电量为+q，质量为m的小球．将该装置处于场强大小为E的竖直向下的匀强电场中，如图乙所示；将该装置处于磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里的匀强磁场中，如图丙所示．带电小球在乙、丙图中均做小角度的简谐运动．请分析求出带电小球在乙、丙两图中振动的周期．
（3）场是物理学中重要的概念，除了电场和磁场，还有引力场．物体之间的万有引力就是通过引力场发生作用的，地球附近的引力场叫做重力场．
a. 类比电场强度的定义方法，定义“重力场强度”，并说明两种场的共同点（至少写出两条）；
b. 类比电场中的电场线，在图丁地球周围描绘出“重力场线”．
7．（2023·北京朝阳·统考一模）中国航天技术处于世界领先水平，航天过程有发射、在轨和着陆返回等关键环节。
（1）航天员在空间站长期处于失重状态，为缓解此状态带来的不适，科学家设想建造一种环形空间站，如图所示。圆环绕中心轴匀速旋转，航天员（可视为质点）站在圆环内的侧壁上，随圆环做圆周运动的半径为r，可受到与他站在地球表面时相同大小的支持力。已知地球表面的重力加速度为g。求圆环转动的角速度大小ω。
（2）启动反推发动机是着陆返回过程的一个关键步骤。返回舱在距离地面较近时通过γ射线精准测距来启动返回舱的发动机向下喷气，使其减速着地。
a、已知返回舱的质量为M，其底部装有4台反推发动机，每台发动机喷嘴的横截面积为S，喷射气体的密度为ρ，返回舱距地面高度为H时速度为，若此时启动反推发动机，返回舱此后的运动可视为匀减速直线运动，到达地面时速度恰好为零。不考虑返回舱的质量变化，不计喷气前气体的速度，不计空气阻力。求气体被喷射出时相对地面的速度大小v；
b、图是返回舱底部γ射线精准测距原理简图。返回舱底部的发射器发射γ射线。为简化问题，我们假定：γ光子被地面散射后均匀射向地面上方各个方向。已知发射器单位时间内发出N个γ光子，地面对光子的吸收率为η，紧邻发射器的接收器接收γ射线的有效面积为A。当接收器单位时间内接收到n个γ光子时就会自动启动反推发动机，求此时返回舱底部距离地面的高度h。
8．（2023·北京东城·统考一模）应用恰当的方法可以对一些问题进行深入分析，比如，研究一般的曲线运动时，可以把这条曲线分割为许多很短的小段，每小段都可以看作圆周运动的一部分，此圆的半径就是曲线在该点的曲率半径p，用来描述这一点的弯曲程度，如图甲所示，这样，在分析质点经过曲线上某位置的运动时，就可以采用圆周运动的分析方法来处理。如图乙所示，有人设计了一个光滑的抛物线形轨道，位于平面直角坐标系的第二象限内，末端恰好位于坐标原点O，且切线沿水平方向，质量为m的小滑块从轨道上的A点由静止开始下滑，滑到轨道末端时速度大小为，轨道对其支持力大小为，之后小滑块离开轨道做平抛运动。已知轨道曲线与小滑块做平抛运动的轨迹关于坐标原点O对称，重力加速度为g。
（1）求轨道末端的曲率半径；
（2）小滑块做平抛运动时经过B点（图中未出），若由A点运动到O点与由O点运动到B点经过相同路程，用表示小滑块由A点运动到O点过程动量变化量，用表示小滑块由O点运动到B点过程的动量变化量，通过分析比较与的大小；
（3）轨道上的C点距x轴的距离为，求小滑块经过C点时受到的支持力大小。
9．（2023·北京丰台·统考一模）跑酷不仅可以强健体质，也可使得自身反应能力更加迅速。现有一运动员在图示位置起跳，运动过程姿势不变且不发生转动，到达墙面时鞋底与墙面接触并恰好不发生滑动，通过鞋底与墙面间相互作用可以获得向上的升力。已知运动员起跳时速度为，与水平方向夹角为θ，到达墙壁时速度方向恰好与墙面垂直，运动员鞋底与墙面的动摩擦因数为μ（），最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，全过程忽略空气阻力影响。
（1）求运动员起跳时的水平分速度与竖直分速度；
（2）运动员与墙发生相互作用的时间为t，蹬墙后速度竖直向上，不再与墙发生相互作用，求蹬墙后运动员上升的最大高度H；
（3）若运动员蹬墙后水平方向速度大小不变，方向相反，为了能够到达起跳位置的正上方，且距离地面高度不低于蹬墙结束时的高度，求运动员与墙发生相互作用的最长时间。
10．（2023·北京海淀八模（三））如图所示，质量M=0.9kg的木板A静止在粗糙的水平地面上，质量m=1kg、可视为质点的物块B静止放在木板的右端，t=0时刻一质量为m0=0.1kg的子弹以速度v0=50m/s水平射入并留在木板A内（此过程时间极短）。已知物块B与木板A间的动摩擦因数=0.20，木板A与地面间的动摩擦因数=0.30，各接触面间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，且物块始终在木板上。取重力加速度大小g=10m/s2，求：
（1）子弹射入木板过程中系统损失的机械能；
（2）子弹“停”在木板内之后瞬间A和B的加速度大小；
（3）最终物块B停止运动时距离木板A右端的距离。
11．（2023·北京平谷·统考一模）长度为L的轻质细绳上端固定在P点，下端系一质量为m的小球（小球的大小可以忽略）。重力加速度为g。
（1）在水平拉力F的作用下，细绳与竖直方向的夹角为，小球保持静止，如图a所示。求拉力F的大小。
（2）使小球在水平面内做圆周运动，如图b所示。当小球做圆周运动的角速度为某一合适值时，细绳跟竖直方向的夹角恰好也为，求此时小球做圆周运动的角速度。
（3）若图a和图b中细绳拉力分别为T和，比较T和的大小。
12．（2023·北京西城·统考一模）动量守恒定律的适用范围非常广泛，不仅适用于低速、宏观的问题，也适用于近代物理研究的高速（接近光速）、微观（小到分子、原子的尺度）领域．
（1）质量为、速度为v的A球跟质量为m的静止B球发生弹性正碰．求碰后A球的速度大小．
（2）核反应堆里的中子速度不能太快，否则不易被铀核“捕获”，因此，在反应堆内要放“慢化剂”，让中子与慢化剂中的原子核碰撞，以便把中子的速度降下来．若认为碰撞前慢化剂中的原子核都是静止的，且将中子与原子核的碰撞看作弹性正碰，慢化剂应该选用质量较大的还是质量较小的原子核？请分析说明理由．
（3）光子不仅具有能量，而且具有动量．科学家在实验中观察到，一个电子和一个正电子以相同的动能对心碰撞发生湮灭，转化为光子．有人认为这个过程可能只生成一个光子，也有人认为这个过程至少生成两个光子．你赞同哪个观点？请分析说明理由．
13．（2023·北京延庆·统考一模）如图所示，小球A质量为m，系在细线的一端，线的另一端固定在O点，绳长为，O点到光滑水平面的距离为。物块B和C的质量分别是和，B与C用轻弹簧拴接，置于光滑的水平面上，且B物块位于O点正下方。现拉动小球使细线水平伸直，小球由静止释放，运动到最低点时与物块B发生正碰（碰撞时间极短），反弹后上升到最高点时到水平面的高度为。小球与物块均视为质点，不计空气阻力，重力加速度为g，求：
（1）小球A运动到最低点与B碰撞前细绳拉力F的大小；
（2）碰撞过程B物块受到的冲量大小I；
（3）物块C的最大速度的大小，并在坐标系中定量画出B、C两物块的速度随时间变化的关系图像。（画出一个周期的图像）
14．（2023·北京汇文中学·校考一模）接触物体之间的相互作用，如绳中的拉力、接触面间的压力、支持力等是生活中常见的力的作用。在处理这些相互作用时，我们常用到一些理想模型：如物体间通过轻绳连接，斜面与平面间通过光滑小圆弧连接，等等。这些理想化的连接条件与一般的情形相比有哪些区别和联系呢？请分析以下问题。
(1)如图1所示，质量均匀分布的长绳AB质量为m，绳长为l，B端与一质量为M的物块相连，物块可视为质点。现在A端作用一个大小恒定为F的水平外力，使绳拉着物块沿光滑水平面做直线运动。
a.求在绳内距A端x处绳的拉力FT与x的关系；
b.请证明：若绳质量m远小于物块质量M，可认为绳中拉力处处相等，且等于绳端点受到的力。
(2)如图2所示，斜面与平面（在水平方向）之间通过光滑小圆弧连接，可视为质点的小物体从斜面上某处下滑，通过小圆弧滑到平面上。
a.在沿连接处的小圆弧滑下的过程中，请说明支持力对小物体运动状态的改变起什么作用？
b.若斜面与平面间没有小圆弧，而是直接相接，如图3所示，将小物体从斜面上较高位置释放，若小物体的材质使得小物体碰到平面后不反弹，请通过分析和必要的计算说明碰触平面后小物体可能的运动情况及对应的条件。（小物体与平面碰触的时间很短，可不考虑重力的作用；请对论证过程中用到的物理量加以说明）
15．（2023·北京四中·校考一模）2022年北京冬奥会自由式滑雪女子大跳台比赛中，中国队运动员谷爱凌力压世界排名第一的选手，最后一跳以向左偏轴转体1620°的动作完美逆转（如图1），获得个人首金。大跳台比赛比赛场地分为助滑区、起跳台、着陆坡和终点区域四个部分。图2是某技术公司对谷爱凌夺冠一跳的“高度-时间”分析。已知谷爱凌及身上的装置总质量为m=65kg。根据这些信息回答下述问题
（1）不考虑运动员转体的动作，将运动员看做质点。
a、设助滑出发区距地面高度为，运动员从静止出发，从起跳台起跳后能达到的最大高度距地面为，不计人体能量的消耗、不计一切摩擦，求运动员在最高点的速度大小v（用字母表示）；
b、请你根据图2中信息，估算v大小；
c、运动员落到着陆坡时，垂直坡面方向的速度在极短时间内减为0，因此运动员要承受极大的冲击力。设运动员在最高点速度约为v=20m/s，落到着陆坡时的速度方向与水平成，着陆坡的倾角，雪板与坡面经大约的撞击时间后继续滑行。请根据以上条件估算运动员受到的冲击力。（保留1位有效数字）（可能会用到数据：，，，）（提示，先写表达式，再代数）。
（2）考虑运动员的转体动作。
a、若谷爱凌在空中腾空的时间约为3s，在空中转动的角速度几乎不变，求她在空中转动的角速度大小；
b、物体转动动能可以理解为各部分绕轴转动的动能之和。已知物体转动的惯性用物理量I来描述，它的名称为“转动惯量”，物体转动的快慢用角速度描述。请类比质点动能表达式，写出物体转动动能表达式；
c、若将谷爱凌在空中转动，理想化为一个半径约为0.20m的圆柱体的转动，已知圆柱体的转动惯量为（m为圆柱体质量，R为圆柱体半径），并假设谷爱凌在冲出跳台的瞬间（约0.02s）内获得足够的角速度，请问她瞬间转体爆发的功率大约多大？（保留1位有效数字）。
16．（2023·北京海淀·统考一模）反冲是常见的现象。
（1）静止的铀核（）放出1个动能为E的未知粒子后，衰变为1个钍核（）。
a．请写出上述衰变过程的核反应方程；
b．求反冲的钍核的动能。（计算中可忽略质子和中子质量的差异，不考虑相对论效应）
（2）如图所示，用轻绳连接的滑块A和B（均可视为质点）静止在光滑水平面上，其间有一被轻绳束缚而处于压缩状态的轻质弹簧，已知滑块A的质量为m，弹簧的弹性势能为。请证明：滑块B的质量M越大，剪断轻绳，当弹簧恢复原长时，滑块A获得的动能就越大。
（3）如图所示，以地心为参考系，质量为M的卫星只在地球引力的作用下沿与赤道面共面的椭圆轨道运动。卫星的发动机短暂点火可使卫星变更轨道：将质量为的气体在极短时间内一次性向后喷出。假设无论发动机在什么位置短暂点火，点火后喷出气体相对点火后卫星的速度大小u都相同。如果想使点火后卫星的动能尽可能大，请通过分析，指出最佳的点火位置。
17．（2023·北京石景山·统考一模）如图所示，长度为 l 的轻绳上端固定在O点，下端系一质量为 m 的小球（小球的大小可以忽略、重力加速度为）．
（1） 在水平拉力F的作用下，轻绳与竖直方向的夹角为α，小球保持静止．画出此时小球的受力图，并求力F的大小；
（2）由图示位置无初速释放小球，不计空气阻力．求小球通过最低点时:
a．小球的动量大小；
b．小球对轻绳拉力大小．
18．（2023·北京海淀八模（三））如图所示，实线和虚线分别是沿x轴传播的一列简谐横波在和时刻的波形图。已知在时刻，处的质点向y轴正方向运动。
(1)求该波的最小频率；
(2)若，求该波的波速。
19．（2023·北京房山·统考一模）如图所示，小物块A沿光滑水平桌面以的速度匀速运动，与静止在水平桌面末端的小物块B发生碰撞，碰后两物块粘在一起水平飞出。已知小物块A、B的质量均为，A、B的飞出点距离水平地面的竖直高度为，取重力加速度。求：
（1）两物块碰后的速度的大小；
（2）两物块碰撞过程中损失的机械能；
（3）两物块落地点距离水平桌面末端的水平位移的大小。
20．（2023·北京房山·统考一模）雨滴打在荷叶上可以使荷叶上下振动，说明从高处落下的雨滴对物体具有一定冲击力，可以做功。
（1）已知质量为m的雨滴由静止开始，下落高度为h时速度大小为v，重力加速度为g，求这一过程中重力做的功和空气阻力所做的功；
（2）若雨滴所受空气阻力与其速度的平方成正比，某一雨滴下落的速度v与其下落时间t之间的关系如图所示，观察图线发现OA段是倾斜直线，AB段逐渐弯曲，B点之后趋于水平，请分析图线出现这种趋势的原因；
（3）为估算雨滴撞击荷叶产生的压强p，某同学将一圆柱形的量杯置于院中，测得一段时间t内杯中水面上升的高度为h，测得雨滴接触荷叶前的速度为v。不考虑雨滴的反弹，已知水的平均密度为，不计雨滴重力，请估算雨滴撞击荷叶产生的压强p的大小。
21．（2023·北京门头沟·统考一模）如图1所示，滑雪运动员在助滑道上获得一定速度后从跳台飞出，身体前倾与滑雪板尽量平行，在空中飞行一段距离后落在倾斜的雪道上，其过程可简化为图2。现有一运动员从跳台O处沿水平方向飞出，在雪道P处着落。运动员质量为50kg，OP间距离，倾斜雪道与水平方向的夹角，不计空气阻力。（，，）求：
（1）运动员在空中飞行的时间t；
（2）运动员在O处的速度的大小；
（3）运动员在飞行过程中动量变化量的大小。
22．（2023·北京门头沟·统考一模）20世纪人类最伟大的创举之一是开拓了太空这一全新活动领域。请应用所学物理知识，思考并解决以下问题。
（1）航天器是一个微重力实验室，由于失重现象，物体的质量常采用动力学方法测量。如图所示是测量空间站质量的原理图。若已知飞船质量为m，其推进器的平均推力F，在飞船与空间站对接后，推进器工作时间为t时，测出飞船和空间站的速度变化是，求空间站的质量。
（2）飞船和空间站一起以速度v绕地球做匀速圆周运动。已知飞船的质量为m，某时刻空间站和飞船分离，分离时空间站与飞船沿轨道切线方向的相对速度为u。试分析计算分离后飞船相对地面的速度和空间站相对地面的速度分别是多少。
（3）若分离后的飞船运行轨道附近范围内有密度为（恒量）的稀薄空气。稀薄空气可看成是由彼此没有相互作用的均匀小颗粒组成，所有小颗粒原来都静止。假设每个小颗粒与飞船碰撞后具有与飞船相同的速度，且碰撞时间很短。已知地球的质量为M，飞船为柱状体，横截面积为S，沿半径为r的圆形轨道在高空绕地球运行，引力常数为G。试通过分析推导说明飞船在该轨道运行时所受空气阻力f大小的影响因素。
23．（2023·北京通州·统考一模）如图所示，竖直平面内的四分之一光滑圆弧轨道半径为，下端与水平桌面相切，小球A从圆弧轨道顶端无初速度滑下，与静止在圆弧轨道底端的小球B相碰，A与B碰撞后结合为一个整体，在水平桌面上滑动。已知A和B的质量均为，A、B与桌面之间的动摩擦因数，重力加速度g取10，A、B均可视为质点，不考虑空气阻力。求：
（1）与B碰撞前瞬间，小球A的速度v的大小；
（2）与B碰撞前瞬间，小球A对轨道压力F的大小；
（3）A和B整体在水平桌面上滑行的最远距离x。
24．（2023·北京通州·统考一模）为寻找可靠的航天动力装置，科学家们正持续进行太阳帆推进器和离子推进器的研究。太阳帆推进器是利用太阳光作用在太阳帆的压力提供动力，离子推进器则是利用电场加速后的离子气体的反冲作用加速航天器。
（1）由量子理论可知每个光子的动量为（h为普朗克常量，为光子的波长），光子的能量为为光子的频率），调整太阳帆使太阳光垂直照射，已知真空中光速为c，光子的频率v，普朗克常量h，太阳帆面积为S，时间t内太阳光垂直照射到太阳帆每平方米面积上的太阳光能为E，宇宙飞船的质量为M，所有光子照射到太阳帆上后全部被等速率反射，求：
①时间t内作用在太阳帆光子个数N；
②在太阳光压下宇宙飞船的加速度a的大小。
（2）离子推进器的原理如图所示：进入电离室的气体被电离，其中正离子飘入电极A、B之间的匀强电场（离子初速度忽略不计），A，B间电压为U，使正离子加速形成离子束，在加速正离子束的过程中所消耗的功率为P，推进器获得的恒定推力为F．为提高能量的转换效率，即要使尽量大，请通过论证说明可行的方案。设正离子质量为m，电荷量为q。
25.（2023·北京东城·统考二模）一个质量为m的物体，在光滑水平面上向左做匀加速直线运动。某时刻物体的速度为v1，经过一段时间 t，速度变为v2。
（1）求物体的加速度大小a；
（2）若物体所受合力为F，在 t时间内动量的变化量为 p，根据牛顿第二定律推导 p与F的关系；
（3）若物体继续向左运动与竖直墙壁发生碰撞。碰前瞬间物体的速度大小为7m/s，碰后物体以6m/s的速度反向运动。碰撞时间为0.05s，已知m=0.5kg，求碰撞过程中墙壁对物体的平均作用力。
26．（2023·北京昌平·统考二模）如图所示，一枚炮弹发射的初速度为，发射角为。它飞行到最高点时炸裂成质量均为m的A、B两部分，A部分炸裂后竖直下落，B部分继续向前飞行。重力加速度为g，不计空气阻力，不计炸裂过程中炮弹质量的变化。求：
（1）炸裂后瞬间B部分速度的大小和方向；
（2）炸裂前后，A、B系统机械能的变化量
（3）A、B两部分落地点之间的水平距离。
27．（2023·北京中关村中学·校考模拟）如图一个带有光滑圆弧的滑块B，静止于光滑水平面上，圆弧最低点与水平面相切，其质量为M，圆弧半径为R，另一个质量为的小球A，以水平速度，沿圆弧的最低点进入圆弧，求：
(1)小球A能上升的最大高度；
(2)A、B最终分离时的速度。
28．（2023·北京中关村中学·校考模拟）第24届冬奥会将于2022年在北京举行，冰壶是比赛项目之一。如图甲，蓝壶静止在大本营圆心O处，红壶推出后经过P点沿直线向蓝壶滑去，滑行一段距离后，队员在红壶前方开始。不断刷冰，直至两壶发生正碰为止。已知，红壶经过P点时速度v0=3.25m/s，P、O两点相距L=27m，大本营半径R=1.83m，从红壶进人刷冰区域后某时刻开始，两壶正碰前后的v-t图线如图乙所示。假设在未刷冰区域内两壶与冰面间的动摩擦因数恒定且相同，红壶进入刷冰区域内与冰面间的动摩擦因数变小且恒定，两壶质量相等且均视为质点。
（1）试计算说明碰后蓝壶是否会滑出大本营；
（2）求在刷冰区域内红壶滑行的距离s。
29．（2023·北京育才学校·校考模拟）如图所示，光滑轨道槽ABCD与粗糙轨道槽GH（点G与点D在同一高度但不相交，FH与圆相切）通过光滑圆轨道EF平滑连接，组成一套完整的轨道，整个装置位于竖直平面内．现将一质量的小球甲从AB段距地面高处静止释放，与静止在水平轨道上、质量为1kg的小球乙发生完全弹性碰撞．碰后小球乙滑上右边斜面轨道并能通过轨道的最高点E点．已知CD、GH与水平面的夹角为θ=37°，GH段的动摩擦因数为μ=0.25，圆轨道的半径R＝0.4m，E点离水平面的竖直高度为3R（E点为轨道的最高点），（，，）求两球碰撞后：
（1）小球乙第一次通过E点时对轨道的压力大小；
（2）小球乙沿GH段向上滑行后距离地面的最大高度；
（3）若将小球乙拿走，只将小球甲从AB段离地面h处自由释放后，小球甲又能沿原路径返回，试求h的取值范围．
参考答案
真题再现
1.（2022·北京卷）体育课上，甲同学在距离地面高处将排球击出，球的初速度沿水平方向，大小为；乙同学在离地处将排球垫起，垫起前后球的速度大小相等，方向相反。已知排球质量，取重力加速度。不计空气阻力。求：
（1）排球被垫起前在水平方向飞行的距离x；
（2）排球被垫起前瞬间的速度大小v及方向；
（3）排球与乙同学作用过程中所受冲量的大小I。
【答案】（1）；（2），方向与水平方向夹角；（3）
【详解】（1）设排球在空中飞行的时间为t，则
解得；则排球在空中飞行的水平距离
（2）乙同学垫起排球前瞬间排球在竖直方向速度的大小
得；根据
得；设速度方向与水平方向夹角为（如答图所示）
则有
（3）根据动量定理，排球与乙同学作用过程中所受冲量的大小
2.（2021·北京卷）如图所示，小物块A、B的质量均为m = 0.10 kg，B静止在轨道水平段的末端。A以水平速度v0与B碰撞，碰后两物块粘在一起水平抛出。抛出点距离水平地面的竖直高度为h = 0.45 m，两物块落地点距离轨道末端的水平距离为s = 0.30 m，取重力加速度g = 10 m/s2。求：
（1）两物块在空中运动的时间t；
（2）两物块碰前A的速度v0的大小；
（3）两物块碰撞过程中损失的机械能。
【答案】（1）0.30 s；（2）；（3）
【详解】（1）竖直方向为自由落体运动，由
得
t = 0.30 s
（2）设A、B碰后速度为，水平方向为匀速运动，由
得
根据动量守恒定律，由
得
（3）两物体碰撞过程中损失的机械能
得
模拟练习
1.（2023·清华附中·校考三模）在2022年北京举办的第二十四届冬奥会中，跳台滑雪是其中最具观赏性的项目之一。某滑道示意图如下，长直助滑道AB与弯曲滑道BC平滑衔接，滑道BC高，C是半径圆弧的最低点。质量的运动员从A处由静止开始匀加速下滑，BC段的阻力忽略不计。加速度，到达B点时速度。取重力加速度。
（1）求长直助滑道的长度L；
（2）求运动员在段所受合外力的冲量I的大小；
（3）求出运动员经过C点时的速度大小；
（4）画出运动员在C点时的受力图，并求其所受支持力的大小。
【答案】（1）100m；（2）1800N·s；（3）；（4）见解析
【详解】（1）已知AB段的初末速度，则利用运动学公式，有
可解得
（2）根据动量定理可知合外力的冲量等于动量的改变量所以
（3）从B运动到C由动能定理可得
解得
（4）小球在最低点的受力如图所示
由牛顿第二定律可得
解得
2.（2023·北京第166中学·校考三模）在一次表演中某同学用他的拳头向下打断了一块木板。如图，拳头的质量为m1，木板的质量为m2。木板向下偏离距离d时木板将折断。木板向下弯曲至木板折断时，其弹性可视为劲度系数为k的弹簧。为了简化问题的研究，假设碰撞是指包括拳头和木板的瞬间作用，碰撞后拳头随木板的弯曲一起向下运动，直到木板折断。碰撞后拳头、木板、地球组成的系统，机械能是守恒的。
（1）画出木板折断前，弹力F的大小随木板向下偏离距离x的图像，并据此证明，折断前木板的弹性势能：；
（2）拳头和木板向下运动所对应的重力势能变化可忽略不计。求：
①使木板折断所需要拳头的最小速率v；
②若将图中的木板换为水泥板，并用①的速率对其打击，水泥板向下偏移的距离为时将会折断，水泥板的弹性对应的劲度系数以及水泥板的质量均为木板的10倍，此种情况下是否能让水泥板折断，试说明理由。
【答案】（1），证明过程见解析；（2）①；②能，理由见解析
【详解】（1）根据胡克定律可知
作出F-x图像如图所示。
F-x图像与坐标轴所围的面积表示弹力F的功，根据功能关系可知折断前木板的弹性势能为
（2）①拳头与木板接触的一瞬间，拳头与木板组成的系统内力远大于外力，可视为动量守恒，之后拳头和木板达到共同速度v1，假设木板折断时，拳头和木板向下的速度恰好为零，则此时对应出拳的速率最小。根据动量守恒定律有
根据机械能守恒定律有
联立以上两式解得
②根据①题结论可求得让水泥板折断的最小出拳速率为
所以用①的速率对水泥板打击，能让水泥板折断。
3.（2023·北京第101中学·校考三模）如图1所示，运动员做“蹲跳起”动作，离开地面的瞬间，全身绷紧，之后离开地面的最大高度为H。设重力加速度为g，不计空气阻力。
（1）求运动员离开地面瞬间的速度。
（2）地面是不会对人做功的，那么人是如何获得机械能的呢？为了解释这个问题，小亮同学构建了如下模型：如图2所示，将人的上半身和下半身分别看作质量为m1和m2的物块，上、下半身间的作用力看成物块间竖直轻弹簧的弹力。将m1从平衡位置向下压距离h，表示人“蹲下”；然后松手，m1向上运动，表示人“站起”；当m1回到平衡位置时，突然将弹簧的长度锁定，m2被带离地面，表示人“跳起”。试结合这一模型，计算运动员在“站起”过程中至少要做多少功。
（3）如图3所示的是立定跳远动作分解图，有一个动作要领是起跳过程中要大幅度摆臂，且离开地面前瞬间手臂向前甩。将人的手臂和其他部位看成两个部分，试从物理的角度解释起跳时摆臂的原因。
【答案】（1）；（2）；（3）见解析
【详解】（1）运动员离开地面做竖直上抛运动，由
解得
（2）从m1下压距离h位置松手瞬间开始到将弹簧长度锁定瞬间结束，这个过程表示人的“站起”过程。设弹簧长度锁定前瞬间，m1速度为u，弹簧长度锁定后瞬间m1与m2整体离地，速度为，由弹簧长度锁定过程系统动量守恒
解得
则至少需要做功
（3）把手臂和躯体看作两个部分，向前摆臂会使得起跳瞬间手臂部分的速度比身体的速度大，根据系统的动量守恒，起跳后身体速度还会增大，从而提高成绩。
4.（2023·北京第101中学·校考三模）如图所示，用一象棋子压着一纸条，放在水平桌面上接近边缘处，小亮同学用较大的力气将纸条抽出，棋子掉落在水平地面上的P点。已知棋子的质量为m，桌子边缘到地面的高度为h，与P的水平距离为s，设重力加速度为g，不计空气阻力，求：
（1）棋子在空中运动的时间；
（2）纸条给棋子的冲量大小；
（3）要想使棋子的水平射程比P点更远一点，抽纸条的力气应该稍微大一点还是稍微小一点？说明理由（抽出纸条过程中可忽略棋子的位移）。
【答案】（1）；（2）；（3）见解析
【详解】（1）棋子在空中做平抛运动，运动的时间由
解得
（2）棋子做平抛的初速度
纸条给棋子的冲量大小为
（3）用稍微小的力气，这样纸条抽出的时间更长，棋子受滑动摩擦力作用的时间也更长，冲量更大，获得的初速度也越大。
5.（2023·北京市中关村中学·校考三模）滑雪是广受师生喜欢的运动，某滑雪的滑道如图所示。斜面滑道与水平滑道由很小的圆弧平滑衔接，斜面滑道的倾角。学生乘坐滑雪板由静止开始，从滑道上高处滑下，滑上水平面后，与静止的老师所坐的滑雪板发生碰撞，碰撞后他们以共同的速度运动，碰撞前后学生的运动方向不变。已知学生和滑雪板的总质量，老师和滑雪板的总质量为，人与滑雪板均可视为质点，不计一切摩擦和阻力，取重力加速度，，。求：
（1）小孩和滑雪板在斜面滑道下滑的加速度a的大小；
（2）小孩和滑雪板滑到斜面底端时的速度v的大小；
（3）碰撞过程中学生和老师（包括各自滑雪板）组成的系统损失的机械能。
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）小孩和滑雪板在斜面滑道下滑时的受力如图所示；
根据牛顿第二定律
（2）由机械能守恒定律有
解得
（3）碰撞过程中学生和老师（包括各自冰车）组成的系统动量守恒，设碰撞后他们相同的速度大小为v，系统损失的机械能为
解得
6.（2023·北京市中关村中学·校考三模）简谐运动是一种理想化的运动模型，是机械振动中最简单、最基本的振动．它具有如下特点：
1）简谐运动的物体受到回复力的作用，回复力F回的大小与物体偏离平衡位置的位移x成正比，回复力的方向与物体偏离平衡位置的位移方向相反，即：F回 = -kx，其中k为振动系数，其值由振动系统决定；
2）简谐运动是一种周期性运动，其周期与振动物体的质量的平方根成正比，与振动系统的振动系数的平方根成反比，而与振幅无关，即：。
试论证分析如下问题：
（1）如图甲，摆长为L、摆球质量为m的单摆在AB间做小角度的自由摆动，当地重力加速度为g。
a. 当摆球运动到P点时，摆角为θ，画出摆球受力的示意图，并写出此时刻摆球受到的回复力F回大小；
b. 请结合简谐运动的特点，证明单摆在小角度摆动时周期为。
（提示：用弧度制表示角度，当角θ很小时，sinθ ≈ θ，θ角对应的弧长与它所对的弦长也近似相等）
（2）类比法、等效法等都是研究和学习物理过程中常用的重要方法．长为L的轻质绝缘细线下端系着一个带电量为+q，质量为m的小球．将该装置处于场强大小为E的竖直向下的匀强电场中，如图乙所示；将该装置处于磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里的匀强磁场中，如图丙所示．带电小球在乙、丙图中均做小角度的简谐运动．请分析求出带电小球在乙、丙两图中振动的周期．
（3）场是物理学中重要的概念，除了电场和磁场，还有引力场．物体之间的万有引力就是通过引力场发生作用的，地球附近的引力场叫做重力场．
a. 类比电场强度的定义方法，定义“重力场强度”，并说明两种场的共同点（至少写出两条）；
b. 类比电场中的电场线，在图丁地球周围描绘出“重力场线”．
【答案】(1) a: b:略见解析(2) , ,
(3) ①都是一种看不见的特殊物质；②场强都是矢量，既有大小，又有方向；③两种场力做功都与路径无关，可以引入“势”的概念；④保守力做功的过程，都伴随着一种势能的变化；⑤都可以借助电场线（重力场线）、等势面（等高线）来形象描述场
【详解】（1）a.单摆受力分析
回复力
b. 因为
当θ很小时，，θ等于θ角对应的弧长与半径的比值
当θ很小时，弧长PO近似等于弦长，即摆球偏离平衡位置的位移x
振动系数
k代入简谐运动周期公式
单摆周期公式
（2）图乙中，摆球受到重力G、电场力F电和摆线拉力T，与重力场中的单摆类比，
等效的“重力”
带入单摆周期公式得
图丙中，摆球受到重力G、洛伦兹力F洛和摆线拉力T，与重力场中的单摆类比,洛伦兹力始终沿摆线方向，不产生回复力的效果
单摆周期与重力场中相同
（3）a．处在重力场中某点的物体所受的重力与物体质量的比值，叫做该点的重力场强度．用g表示，定义式
两种场的共同点：
①都是一种看不见的特殊物质；②场强都是矢量，既有大小，又有方向；③两种场力做功都与路径无关，可以引入“势”的概念；④保守力做功的过程，都伴随着一种势能的变化；⑤都可以借助电场线（重力场线）、等势面（等高线）来形象描述场；
b.如图为重力场分布情况．
7．（2023·北京朝阳·统考一模）中国航天技术处于世界领先水平，航天过程有发射、在轨和着陆返回等关键环节。
（1）航天员在空间站长期处于失重状态，为缓解此状态带来的不适，科学家设想建造一种环形空间站，如图所示。圆环绕中心轴匀速旋转，航天员（可视为质点）站在圆环内的侧壁上，随圆环做圆周运动的半径为r，可受到与他站在地球表面时相同大小的支持力。已知地球表面的重力加速度为g。求圆环转动的角速度大小ω。
（2）启动反推发动机是着陆返回过程的一个关键步骤。返回舱在距离地面较近时通过γ射线精准测距来启动返回舱的发动机向下喷气，使其减速着地。
a、已知返回舱的质量为M，其底部装有4台反推发动机，每台发动机喷嘴的横截面积为S，喷射气体的密度为ρ，返回舱距地面高度为H时速度为，若此时启动反推发动机，返回舱此后的运动可视为匀减速直线运动，到达地面时速度恰好为零。不考虑返回舱的质量变化，不计喷气前气体的速度，不计空气阻力。求气体被喷射出时相对地面的速度大小v；
b、图是返回舱底部γ射线精准测距原理简图。返回舱底部的发射器发射γ射线。为简化问题，我们假定：γ光子被地面散射后均匀射向地面上方各个方向。已知发射器单位时间内发出N个γ光子，地面对光子的吸收率为η，紧邻发射器的接收器接收γ射线的有效面积为A。当接收器单位时间内接收到n个γ光子时就会自动启动反推发动机，求此时返回舱底部距离地面的高度h。
【答案】（1）；（2）a、；b、
【详解】（1）设航天员质量为m，所受侧壁对他的支持力N提供向心力，有
同时
解得
（2）a、设t时间内每台发动机喷射出的气体质量为m，气体相对地面速度为v，气体受到返回舱的作用力为F，则有
又
解得
由牛顿第三定律可知，气体对返回舱的作用力大小
返回舱在匀减速下落的过程中，根据牛顿第二定律有
根据运动学公式有
解得
b、接收器单位时间单位面积接收的光子个数为
故接收器单位时间接收光子的个数
解得
8．（2023·北京东城·统考一模）应用恰当的方法可以对一些问题进行深入分析，比如，研究一般的曲线运动时，可以把这条曲线分割为许多很短的小段，每小段都可以看作圆周运动的一部分，此圆的半径就是曲线在该点的曲率半径p，用来描述这一点的弯曲程度，如图甲所示，这样，在分析质点经过曲线上某位置的运动时，就可以采用圆周运动的分析方法来处理。如图乙所示，有人设计了一个光滑的抛物线形轨道，位于平面直角坐标系的第二象限内，末端恰好位于坐标原点O，且切线沿水平方向，质量为m的小滑块从轨道上的A点由静止开始下滑，滑到轨道末端时速度大小为，轨道对其支持力大小为，之后小滑块离开轨道做平抛运动。已知轨道曲线与小滑块做平抛运动的轨迹关于坐标原点O对称，重力加速度为g。
（1）求轨道末端的曲率半径；
（2）小滑块做平抛运动时经过B点（图中未出），若由A点运动到O点与由O点运动到B点经过相同路程，用表示小滑块由A点运动到O点过程动量变化量，用表示小滑块由O点运动到B点过程的动量变化量，通过分析比较与的大小；
（3）轨道上的C点距x轴的距离为，求小滑块经过C点时受到的支持力大小。
【答案】（1）；（2）与的大小相等；（3）
【详解】（1）小滑块运动到O点时，根据牛顿第二定律
解得
（2）设A点距x轴的距离为，小滑块由A点运动到O点的过程中
根据动能定理
小滑块由O点运动到达B点过程中，下落距离也为，则
根据动量定理
解得
因此，与的大小相等。
（3）如图所示，小滑块经过C点时受到重力、支持力作用，C点处的曲率半径为
根据牛顿第二定律有
从C点运动到O点过程中根据动能定理有
由于轨道曲线与平抛轨迹关于坐标原点O对称，所以在平抛轨迹上有对称点D，其曲率半径为，距x轴的距离为。小滑块运动到D点时速度为，在D点时，
从O点运动到D点过程中根据动能定理有
联立可得
9．（2023·北京丰台·统考一模）跑酷不仅可以强健体质，也可使得自身反应能力更加迅速。现有一运动员在图示位置起跳，运动过程姿势不变且不发生转动，到达墙面时鞋底与墙面接触并恰好不发生滑动，通过鞋底与墙面间相互作用可以获得向上的升力。已知运动员起跳时速度为，与水平方向夹角为θ，到达墙壁时速度方向恰好与墙面垂直，运动员鞋底与墙面的动摩擦因数为μ（），最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，全过程忽略空气阻力影响。
（1）求运动员起跳时的水平分速度与竖直分速度；
（2）运动员与墙发生相互作用的时间为t，蹬墙后速度竖直向上，不再与墙发生相互作用，求蹬墙后运动员上升的最大高度H；
（3）若运动员蹬墙后水平方向速度大小不变，方向相反，为了能够到达起跳位置的正上方，且距离地面高度不低于蹬墙结束时的高度，求运动员与墙发生相互作用的最长时间。
【答案】（1），；（2）；（3）
【详解】（1）水平方向分速度
竖直方向分速度
（2）设墙对运动员平均弹力大小为N，平均最大静摩擦力为f，蹬墙后运动员获得竖直向上的速度为，人质量为m，设水平向右为正方向，由动量定理得
设竖直向上为正方向，由动量定理得
其中
联立得
运动员蹬墙结束后竖直方向做匀减速直线运动至速度为零，由
得
（3）设墙对运动员平均弹力大小为，平均最大静摩擦力为，蹬墙后运动员获得竖直向上的速度为v，与墙发生相互作用的时间为，人的质量为m，设水平向右为正方向，由动量定理得
设竖直向上为正方向，由动量定理得
其中
联立得
设运动员起跳位置离墙面水平距离为x，到达墙面所需时间为，离墙后到达起跳位置正上方运动时间为，起跳后水平方向做匀速直线运动，得，
运动员离墙后水平方向做匀速直线运动，竖直方向做初速度为v，加速度为g的匀变速直线运动，当竖直位移为0时，水平位移不小于x。根据上述分析，得，
联立式
作用的最长时间为
10．（2023·北京海淀八模（三））如图所示，质量M=0.9kg的木板A静止在粗糙的水平地面上，质量m=1kg、可视为质点的物块B静止放在木板的右端，t=0时刻一质量为m0=0.1kg的子弹以速度v0=50m/s水平射入并留在木板A内（此过程时间极短）。已知物块B与木板A间的动摩擦因数=0.20，木板A与地面间的动摩擦因数=0.30，各接触面间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，且物块始终在木板上。取重力加速度大小g=10m/s2，求：
（1）子弹射入木板过程中系统损失的机械能；
（2）子弹“停”在木板内之后瞬间A和B的加速度大小；
（3）最终物块B停止运动时距离木板A右端的距离。
【答案】（1）112.5J；（2）8m/s2，2m/s2；（3）1.125m
【详解】（1）子弹射中木板A的过程动量守恒
由能量守恒，子弹射入木板过程中系统损失的机械能为
解得，
（2）子弹“停”在木板内之后瞬间对B应用牛顿第二定律可得
对子弹与A组成的整体应用牛顿第二定律可得
解得，
（3）子弹停在木板A内之后，AB发生相对滑动，A减速，B加速，设经过时间二者共速，有
解得
此时二者速度为
故此过程A与B相对地面的位移分别为
共速后，因为，故二者分别做匀减速运动，对子弹与A组成的整体应用牛顿第二定律可得
对B应用牛顿第二定律可得
解得，
共速后AB继续滑行的距离分别为
故最终物块B停止运动时距离木板A右端的距离为
联立可得
11．（2023·北京平谷·统考一模）长度为L的轻质细绳上端固定在P点，下端系一质量为m的小球（小球的大小可以忽略）。重力加速度为g。
（1）在水平拉力F的作用下，细绳与竖直方向的夹角为，小球保持静止，如图a所示。求拉力F的大小。
（2）使小球在水平面内做圆周运动，如图b所示。当小球做圆周运动的角速度为某一合适值时，细绳跟竖直方向的夹角恰好也为，求此时小球做圆周运动的角速度。
（3）若图a和图b中细绳拉力分别为T和，比较T和的大小。
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）根据平衡条件可得
解得
（2）小球在水平面内做圆周运动，则
其中
解得
（3）图a和图b中细绳拉力分别为T和，则
则
12．（2023·北京西城·统考一模）动量守恒定律的适用范围非常广泛，不仅适用于低速、宏观的问题，也适用于近代物理研究的高速（接近光速）、微观（小到分子、原子的尺度）领域．
（1）质量为、速度为v的A球跟质量为m的静止B球发生弹性正碰．求碰后A球的速度大小．
（2）核反应堆里的中子速度不能太快，否则不易被铀核“捕获”，因此，在反应堆内要放“慢化剂”，让中子与慢化剂中的原子核碰撞，以便把中子的速度降下来．若认为碰撞前慢化剂中的原子核都是静止的，且将中子与原子核的碰撞看作弹性正碰，慢化剂应该选用质量较大的还是质量较小的原子核？请分析说明理由．
（3）光子不仅具有能量，而且具有动量．科学家在实验中观察到，一个电子和一个正电子以相同的动能对心碰撞发生湮灭，转化为光子．有人认为这个过程可能只生成一个光子，也有人认为这个过程至少生成两个光子．你赞同哪个观点？请分析说明理由．
【答案】（1）；（2）慢化剂应该选用质量较小的原子核；（3）赞成“这个过程至少生成两个光子”的观点
【详解】（1）两球发生弹性正碰，设碰后A球速度为，B球速度为，则
得
（2）设中子质量为m，碰前速度为，碰后速度为，原子核质量为M，碰后速度为，中子与原子核发生弹性正碰，则，
得
可见，原子核质量M越小，碰后中子速度越小，因此，慢化剂应该选用质量较小的原子核；
（3）我赞成“这个过程至少生成两个光子”的观点，正负电子对撞过程遵循动量守恒定律．对撞前正负电子组成的系统总动量为0，若只生成一个光子，则对撞后动量不可能为0，只有生成两个及两个以上的光子时系统总动量才有可能为0，因此“这个过程至少生成两个光子”的观点正确。
13．（2023·北京延庆·统考一模）如图所示，小球A质量为m，系在细线的一端，线的另一端固定在O点，绳长为，O点到光滑水平面的距离为。物块B和C的质量分别是和，B与C用轻弹簧拴接，置于光滑的水平面上，且B物块位于O点正下方。现拉动小球使细线水平伸直，小球由静止释放，运动到最低点时与物块B发生正碰（碰撞时间极短），反弹后上升到最高点时到水平面的高度为。小球与物块均视为质点，不计空气阻力，重力加速度为g，求：
（1）小球A运动到最低点与B碰撞前细绳拉力F的大小；
（2）碰撞过程B物块受到的冲量大小I；
（3）物块C的最大速度的大小，并在坐标系中定量画出B、C两物块的速度随时间变化的关系图像。（画出一个周期的图像）
【答案】（1）；（2）；（3），见解析
【详解】（1）根据题意可知，小球A运动到最低点过程中机械能守恒，设小球A运动到最低点的速度为，由机械能守恒定律有
解得
在最低点，由牛顿第二定律有
解得
（2）根据题意可知，小球与物块B发生正碰（碰撞时间极短），则碰撞过程A、B组成的系统动量守恒，设碰撞后小球A的速度为，物块B的速度为，规定向右为正方向，由动量守恒定律有
由机械能守恒定律有
联立解得
对物块B，由动量定理有
（3）根据题意可知，B与C用轻弹簧拴接，开始时，物块B压缩弹簧，B做加速度增大的减速运动，C做加速度增大加速运动，当B、C速度相等时，弹簧压缩最短，由动量守恒定律有
解得
之后C的速度大于B的速度，弹簧开始恢复，则C做加速度减小的加速运动，B做加速度减小的减速运动，当弹簧恢复到原长，C的速度最大，B的速度最小，由动量守恒定律和能量守恒定律有
联立解得
之后C拉开弹簧，开始做加速度增大的减速运动，B做加速度增大的加速运动，当速度相等时，弹簧伸长最长，之后C的速度小于B的速度，C做加速度减小的减速运动，B做加速度减小的加速运动，当弹簧恢复原长，B的速度最大为，C的速度最小为0，之后重复开始，即完成一个运动周期。由上述分析可知，B、C两物块的速度随时间变化的关系图像，如图所示
14．（2023·北京汇文中学·校考一模）接触物体之间的相互作用，如绳中的拉力、接触面间的压力、支持力等是生活中常见的力的作用。在处理这些相互作用时，我们常用到一些理想模型：如物体间通过轻绳连接，斜面与平面间通过光滑小圆弧连接，等等。这些理想化的连接条件与一般的情形相比有哪些区别和联系呢？请分析以下问题。
(1)如图1所示，质量均匀分布的长绳AB质量为m，绳长为l，B端与一质量为M的物块相连，物块可视为质点。现在A端作用一个大小恒定为F的水平外力，使绳拉着物块沿光滑水平面做直线运动。
a.求在绳内距A端x处绳的拉力FT与x的关系；
b.请证明：若绳质量m远小于物块质量M，可认为绳中拉力处处相等，且等于绳端点受到的力。
(2)如图2所示，斜面与平面（在水平方向）之间通过光滑小圆弧连接，可视为质点的小物体从斜面上某处下滑，通过小圆弧滑到平面上。
a.在沿连接处的小圆弧滑下的过程中，请说明支持力对小物体运动状态的改变起什么作用？
b.若斜面与平面间没有小圆弧，而是直接相接，如图3所示，将小物体从斜面上较高位置释放，若小物体的材质使得小物体碰到平面后不反弹，请通过分析和必要的计算说明碰触平面后小物体可能的运动情况及对应的条件。（小物体与平面碰触的时间很短，可不考虑重力的作用；请对论证过程中用到的物理量加以说明）
【答案】(1) a . ，b.见解析；(2)a.见解析，b.见解析
【详解】(1)a.以物块和绳的整体为研究对象，由牛顿第二定律有
以物块和与其相连的长为（l―x）的绳为研究对象，由牛顿第二定律有
联立解得
b.由上式可知，当M>>m时，对于x在0到l之间取任意值时，都有
即若绳质量m远小于物块质量M，可认为绳中拉力处处相等，且等于绳端点受到的力。
(2) a.在沿连接处的小圆弧滑下的过程中，支持力能改变小物体速度的方向；
b.设小物体与平面相互作用时，竖直方向的弹力为FN，水平方向的摩擦力为 FN；设相互作用前瞬间，小物体水平分速度和竖直分速度的大小分别为v0cosα和v0sinα，经过时间Δt后分别变为vx和 vy。小物体与平面作用后的运动情况与其材质有关。
依据题目条件，小物体材质使得其碰到平面后不反弹，则存在以下两种可能：
①若在Δt时间内，小物体的竖直分速度vy变为零的同时，水平分速度vx也变为零，则小物体静止于斜面底端很近的位置。这种情况由于在竖直方向上
在水平方向上
可知发生这种情况要求=
如>，小物体也静止于斜面底端。
②若<，则竖直分速度vy为零时，水平分速度vx还不为零，则小物体在平面上以vx为初速度，―g为加速度做减速运动直至停下。
15．（2023·北京四中·校考一模）2022年北京冬奥会自由式滑雪女子大跳台比赛中，中国队运动员谷爱凌力压世界排名第一的选手，最后一跳以向左偏轴转体1620°的动作完美逆转（如图1），获得个人首金。大跳台比赛比赛场地分为助滑区、起跳台、着陆坡和终点区域四个部分。图2是某技术公司对谷爱凌夺冠一跳的“高度-时间”分析。已知谷爱凌及身上的装置总质量为m=65kg。根据这些信息回答下述问题
（1）不考虑运动员转体的动作，将运动员看做质点。
a、设助滑出发区距地面高度为，运动员从静止出发，从起跳台起跳后能达到的最大高度距地面为，不计人体能量的消耗、不计一切摩擦，求运动员在最高点的速度大小v（用字母表示）；
b、请你根据图2中信息，估算v大小；
c、运动员落到着陆坡时，垂直坡面方向的速度在极短时间内减为0，因此运动员要承受极大的冲击力。设运动员在最高点速度约为v=20m/s，落到着陆坡时的速度方向与水平成，着陆坡的倾角，雪板与坡面经大约的撞击时间后继续滑行。请根据以上条件估算运动员受到的冲击力。（保留1位有效数字）（可能会用到数据：，，，）（提示，先写表达式，再代数）。
（2）考虑运动员的转体动作。
a、若谷爱凌在空中腾空的时间约为3s，在空中转动的角速度几乎不变，求她在空中转动的角速度大小；
b、物体转动动能可以理解为各部分绕轴转动的动能之和。已知物体转动的惯性用物理量I来描述，它的名称为“转动惯量”，物体转动的快慢用角速度描述。请类比质点动能表达式，写出物体转动动能表达式；
c、若将谷爱凌在空中转动，理想化为一个半径约为0.20m的圆柱体的转动，已知圆柱体的转动惯量为（m为圆柱体质量，R为圆柱体半径），并假设谷爱凌在冲出跳台的瞬间（约0.02s）内获得足够的角速度，请问她瞬间转体爆发的功率大约多大？（保留1位有效数字）。
【答案】（1）a、 ；b、 ；c、（2）a、 ；b、；c、
【解析】
【详解】（1）a、根据机械能守恒
解得
b、根据图像可得
解得
c、从最高点到斜坡的运动为平抛，则落到斜坡时
速度垂直斜坡的分量为
根据动量定量
解得
（2）a、角速度
b、转动动能
c、根据功能关系
解得
16．（2023·北京海淀·统考一模）反冲是常见的现象。
（1）静止的铀核（）放出1个动能为E的未知粒子后，衰变为1个钍核（）。
a．请写出上述衰变过程的核反应方程；
b．求反冲的钍核的动能。（计算中可忽略质子和中子质量的差异，不考虑相对论效应）
（2）如图所示，用轻绳连接的滑块A和B（均可视为质点）静止在光滑水平面上，其间有一被轻绳束缚而处于压缩状态的轻质弹簧，已知滑块A的质量为m，弹簧的弹性势能为。请证明：滑块B的质量M越大，剪断轻绳，当弹簧恢复原长时，滑块A获得的动能就越大。
（3）如图所示，以地心为参考系，质量为M的卫星只在地球引力的作用下沿与赤道面共面的椭圆轨道运动。卫星的发动机短暂点火可使卫星变更轨道：将质量为的气体在极短时间内一次性向后喷出。假设无论发动机在什么位置短暂点火，点火后喷出气体相对点火后卫星的速度大小u都相同。如果想使点火后卫星的动能尽可能大，请通过分析，指出最佳的点火位置。
【答案】（1）a．；b．；（2）见解析；（3）卫星应该在其速率最大的近地点处点火喷气
【详解】（1）a．根据质量数和质子数守恒，则铀核衰变方程为
b．设质子和中子的质量均为m，衰变后氦核的速度为，钍核的速度为，选氦核的运动方向为正方向，根据动量守恒定律得
解得钍核的速度大小为
又
则反冲的钍核的动能
（2）滑块A和B系统动量守恒，设弹簧恢复原长时，滑块A和B的速度分别为和，选取滑块A运动方向为正方向，则根据动量守恒定律可得
又由能量守恒定律可知，弹簧弹性势能为
则滑块A获得的动能为
m和均为定值，因此滑块B的质量M越大，剪断轻绳，当弹簧恢复原长时，滑块A获得的动能就越大。
（3）卫星喷气的过程中，可认为卫星和喷出的气体所组成的系统动量守恒，设喷气前卫星沿椭圆轨道运动的速度为，喷出后卫星的速度为v，以喷气前卫星运动方向为正方向，根据动量守恒定律，有
解得
由上式可知，卫星在椭圆轨道上运动速度大的地方喷气，喷气后卫星的动能
也就越大，因此卫星应该在其速率最大的近地点处点火喷气。
17．（2023·北京石景山·统考一模）如图所示，长度为 l 的轻绳上端固定在O点，下端系一质量为 m 的小球（小球的大小可以忽略、重力加速度为）．
（1） 在水平拉力F的作用下，轻绳与竖直方向的夹角为α，小球保持静止．画出此时小球的受力图，并求力F的大小；
（2）由图示位置无初速释放小球，不计空气阻力．求小球通过最低点时:
a．小球的动量大小；
b．小球对轻绳拉力大小．
【答案】（1） ；mgtanα；（2）；
【分析】（1）小球受重力、绳子的拉力和水平拉力平衡，根据共点力平衡求出力F的大小．
（2）根据机械能守恒定律求出小球第一次到达最低点的速度，求出动量的大小，然后再根据牛顿第二定律，小球重力和拉力的合力提供向心力，求出绳子拉力的大小．
【详解】（1）小球受到重力、绳子的拉力以及水平拉力的作用，受力如图
根据平衡条件，得拉力的大小：
（2）a．小球从静止运动到最低点的过程中，
由动能定理：
则通过最低点时，小球动量的大小：
b．根据牛顿第二定律可得：
根据牛顿第三定律，小球对轻绳的拉力大小为：
【点睛】本题综合考查了共点力平衡，牛顿第二定律、机械能守恒定律，难度不大，关键搞清小球在最低点做圆周运动向心力的来源．
18．（2023·北京海淀八模（三））如图所示，实线和虚线分别是沿x轴传播的一列简谐横波在和时刻的波形图。已知在时刻，处的质点向y轴正方向运动。
(1)求该波的最小频率；
(2)若，求该波的波速。
【答案】(1)12.5Hz；(2)75m/s
【详解】(1)由波形图可知
解得（）
当
时，可求解最大周期
则最小频率
(2)若
则由上述表达式可知
即
解得
由图中读出波长为
则波速
19．（2023·北京房山·统考一模）如图所示，小物块A沿光滑水平桌面以的速度匀速运动，与静止在水平桌面末端的小物块B发生碰撞，碰后两物块粘在一起水平飞出。已知小物块A、B的质量均为，A、B的飞出点距离水平地面的竖直高度为，取重力加速度。求：
（1）两物块碰后的速度的大小；
（2）两物块碰撞过程中损失的机械能；
（3）两物块落地点距离水平桌面末端的水平位移的大小。
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）碰撞过程，两物块组成的系统满足动量守恒，则有
解得
（2）两物块碰撞过程中损失的机械能为
（3）两物块在空中做平抛运动，竖直方向有
解得
两物块落地点距离水平桌面末端的水平位移的大小
20．（2023·北京房山·统考一模）雨滴打在荷叶上可以使荷叶上下振动，说明从高处落下的雨滴对物体具有一定冲击力，可以做功。
（1）已知质量为m的雨滴由静止开始，下落高度为h时速度大小为v，重力加速度为g，求这一过程中重力做的功和空气阻力所做的功；
（2）若雨滴所受空气阻力与其速度的平方成正比，某一雨滴下落的速度v与其下落时间t之间的关系如图所示，观察图线发现OA段是倾斜直线，AB段逐渐弯曲，B点之后趋于水平，请分析图线出现这种趋势的原因；
（3）为估算雨滴撞击荷叶产生的压强p，某同学将一圆柱形的量杯置于院中，测得一段时间t内杯中水面上升的高度为h，测得雨滴接触荷叶前的速度为v。不考虑雨滴的反弹，已知水的平均密度为，不计雨滴重力，请估算雨滴撞击荷叶产生的压强p的大小。
【答案】（1）；；（2）见解析；（3）
【详解】（1）这一过程中重力做的功为
由动能定理，可得
解得
（2）依题意雨滴所受空气阻力与其速度的平方成正比，当雨滴速度较小时，阻力较小，与重力相比忽略不计，此过程做自由落体运动，故OA段是倾斜直线，当阻力不能忽略时，由牛顿第二定律可知
随着雨滴速度的增加，其阻力增大，加速度减小。做加速度逐渐减小的加速运动，故AB段逐渐弯曲，当雨滴所受阻力与自身重力等大时，受力平衡。将做匀速直线运动，故B点之后趋于水平。
（3）设t时间内有质量为m的雨水落到荷叶上，取向上为正方向，根据动量定理可得
设量杯的横截面积为S，有
雨滴撞击荷叶产生的压强为
联立，解得
21．（2023·北京门头沟·统考一模）如图1所示，滑雪运动员在助滑道上获得一定速度后从跳台飞出，身体前倾与滑雪板尽量平行，在空中飞行一段距离后落在倾斜的雪道上，其过程可简化为图2。现有一运动员从跳台O处沿水平方向飞出，在雪道P处着落。运动员质量为50kg，OP间距离，倾斜雪道与水平方向的夹角，不计空气阻力。（，，）求：
（1）运动员在空中飞行的时间t；
（2）运动员在O处的速度的大小；
（3）运动员在飞行过程中动量变化量的大小。
【答案】（1）3s；（2）20m/s；（3）
【详解】（1）运动员从跳台O处沿水平方向飞出，做平抛运动，在竖直方向则有
解得运动员在空中飞行的时间t为
（2）运动员做平抛运动，在水平方向则有
解得运动员在O处的速度的大小为
（3）由动量定理可得运动员在飞行过程中动量变化量的大小为
22．（2023·北京门头沟·统考一模）20世纪人类最伟大的创举之一是开拓了太空这一全新活动领域。请应用所学物理知识，思考并解决以下问题。
（1）航天器是一个微重力实验室，由于失重现象，物体的质量常采用动力学方法测量。如图所示是测量空间站质量的原理图。若已知飞船质量为m，其推进器的平均推力F，在飞船与空间站对接后，推进器工作时间为t时，测出飞船和空间站的速度变化是，求空间站的质量。
（2）飞船和空间站一起以速度v绕地球做匀速圆周运动。已知飞船的质量为m，某时刻空间站和飞船分离，分离时空间站与飞船沿轨道切线方向的相对速度为u。试分析计算分离后飞船相对地面的速度和空间站相对地面的速度分别是多少。
（3）若分离后的飞船运行轨道附近范围内有密度为（恒量）的稀薄空气。稀薄空气可看成是由彼此没有相互作用的均匀小颗粒组成，所有小颗粒原来都静止。假设每个小颗粒与飞船碰撞后具有与飞船相同的速度，且碰撞时间很短。已知地球的质量为M，飞船为柱状体，横截面积为S，沿半径为r的圆形轨道在高空绕地球运行，引力常数为G。试通过分析推导说明飞船在该轨道运行时所受空气阻力f大小的影响因素。
【答案】（1）；（2），；（3）见解析
【详解】（1）对飞船和空间站有
解得
（2）分离瞬间有
两者的相对速度
解得，
（3）对飞船有
在极短时间发生碰撞的小颗粒的质量
对这部分小颗粒有
根据牛顿第三定律有
解得
可知飞船在该轨道运行时所受空气阻力f大小的影响因素有飞船运动的轨道半径、稀薄空气的密度与飞船的横截面积。
23．（2023·北京通州·统考一模）如图所示，竖直平面内的四分之一光滑圆弧轨道半径为，下端与水平桌面相切，小球A从圆弧轨道顶端无初速度滑下，与静止在圆弧轨道底端的小球B相碰，A与B碰撞后结合为一个整体，在水平桌面上滑动。已知A和B的质量均为，A、B与桌面之间的动摩擦因数，重力加速度g取10，A、B均可视为质点，不考虑空气阻力。求：
（1）与B碰撞前瞬间，小球A的速度v的大小；
（2）与B碰撞前瞬间，小球A对轨道压力F的大小；
（3）A和B整体在水平桌面上滑行的最远距离x。
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）设两小球质量均为m，对小球A从圆弧轨道顶端滑到底端的过程，由机械能守恒定律有
解得
代入数据得
（2）由牛顿第二定律
得
由牛顿第三定律，得小球A对轨道压力大小为
（3）对A、B碰撞的过程应用动量守恒定律有
解得
对A、B整体在水平桌面上滑行的过程应用动能定理有
解得
24．（2023·北京通州·统考一模）为寻找可靠的航天动力装置，科学家们正持续进行太阳帆推进器和离子推进器的研究。太阳帆推进器是利用太阳光作用在太阳帆的压力提供动力，离子推进器则是利用电场加速后的离子气体的反冲作用加速航天器。
（1）由量子理论可知每个光子的动量为（h为普朗克常量，为光子的波长），光子的能量为为光子的频率），调整太阳帆使太阳光垂直照射，已知真空中光速为c，光子的频率v，普朗克常量h，太阳帆面积为S，时间t内太阳光垂直照射到太阳帆每平方米面积上的太阳光能为E，宇宙飞船的质量为M，所有光子照射到太阳帆上后全部被等速率反射，求：
①时间t内作用在太阳帆光子个数N；
②在太阳光压下宇宙飞船的加速度a的大小。
（2）离子推进器的原理如图所示：进入电离室的气体被电离，其中正离子飘入电极A、B之间的匀强电场（离子初速度忽略不计），A，B间电压为U，使正离子加速形成离子束，在加速正离子束的过程中所消耗的功率为P，推进器获得的恒定推力为F．为提高能量的转换效率，即要使尽量大，请通过论证说明可行的方案。设正离子质量为m，电荷量为q。
【答案】（1）①；②；（2），为提高能量的转换效率，可以用质量大的粒子、用带电量少的离子、减小加速电压。
【详解】（1）①时间t内，作用在太阳帆的光子的总能量为
时间t内作用在太阳帆的光子个数为
②根据动量定理得
故太阳光对飞船的推力为
根据牛顿第二定律可知，在太阳光压下宇宙飞船的加速度为
（2）正离子飘入匀强电场，电场力做功功率为
正离子在电场中做匀加速直线运动，则有
联立，可得
根据牛顿第三定律，可知引擎获得的推力F的大小为
分析，可知
为提高能量的转换效率，可以用质量大的粒子、用带电量少的离子、减小加速电压。
25.（2023·北京东城·统考二模）一个质量为m的物体，在光滑水平面上向左做匀加速直线运动。某时刻物体的速度为v1，经过一段时间 t，速度变为v2。
（1）求物体的加速度大小a；
（2）若物体所受合力为F，在 t时间内动量的变化量为 p，根据牛顿第二定律推导 p与F的关系；
（3）若物体继续向左运动与竖直墙壁发生碰撞。碰前瞬间物体的速度大小为7m/s，碰后物体以6m/s的速度反向运动。碰撞时间为0.05s，已知m=0.5kg，求碰撞过程中墙壁对物体的平均作用力。
【答案】（1）；（2）见解析；（3）130N，方向水平向右
【详解】（1）根据匀变速直线运动规律
可得
（2）根据牛顿第二定律
所以
（3）由（2）分析可知
解得
方向水平向右。
26．（2023·北京昌平·统考二模）如图所示，一枚炮弹发射的初速度为，发射角为。它飞行到最高点时炸裂成质量均为m的A、B两部分，A部分炸裂后竖直下落，B部分继续向前飞行。重力加速度为g，不计空气阻力，不计炸裂过程中炮弹质量的变化。求：
（1）炸裂后瞬间B部分速度的大小和方向；
（2）炸裂前后，A、B系统机械能的变化量
（3）A、B两部分落地点之间的水平距离。
【答案】（1），方向水平向右；（2）机械能增加了；（3）
【详解】（1）炮弹炸裂前瞬间速度为
方向水平向右
炸裂过程中根据水平方向动量守恒，规定水平向右为正方向，有
炸裂后A部分竖直下落，说明此时A的水平速度为零，解得
方向水平向右
（2）炸裂前后系统机械能的变化量为
解得
A、B系统机械能增加了。
（3）炸裂后，A做自由落体运动，B做平抛运动，下落时间为
落地后，A、B两部分落地点之间的水平距离为
解得
27．（2023·北京中关村中学·校考模拟）如图一个带有光滑圆弧的滑块B，静止于光滑水平面上，圆弧最低点与水平面相切，其质量为M，圆弧半径为R，另一个质量为的小球A，以水平速度，沿圆弧的最低点进入圆弧，求：
(1)小球A能上升的最大高度；
(2)A、B最终分离时的速度。
【答案】(1)4R；(2)，。
【解析】
(1)设小球A能上升的最大高度为H，A刚脱离B时水平方向的速度为v，对A、B，由水平方向动量守恒及能量守恒，有
带入v0=，可得小球A能上升的最大高度H=4R；
(2)设A、B最终分离时的速度分别为v1和v2，由水平方向动量守恒及能量守恒，有
解得，。
28．（2023·北京中关村中学·校考模拟）第24届冬奥会将于2022年在北京举行，冰壶是比赛项目之一。如图甲，蓝壶静止在大本营圆心O处，红壶推出后经过P点沿直线向蓝壶滑去，滑行一段距离后，队员在红壶前方开始。不断刷冰，直至两壶发生正碰为止。已知，红壶经过P点时速度v0=3.25m/s，P、O两点相距L=27m，大本营半径R=1.83m，从红壶进人刷冰区域后某时刻开始，两壶正碰前后的v-t图线如图乙所示。假设在未刷冰区域内两壶与冰面间的动摩擦因数恒定且相同，红壶进入刷冰区域内与冰面间的动摩擦因数变小且恒定，两壶质量相等且均视为质点。
（1）试计算说明碰后蓝壶是否会滑出大本营；
（2）求在刷冰区域内红壶滑行的距离s。
【答案】（1）会滑出；（2）s=15m
【解析】（1）设冰壶的质量为m，碰撞前、后瞬间红壶、蓝壶的速度分别为v1、和，由图乙可得
v1=1.25m/s
=0.25m/s
由动量守恒定律得①
设碰后蓝壶滑行距离为s1，红壶、蓝壶的加速度大小均为a1
②
③
由①②③及图乙信息得s1=2.00m>R=1.83m④
会滑出；
（2）设在不刷冰区域红壶受到的摩擦力大小为
⑤
由图乙可得t=0时红壶的速度=1.35m/s，设在刷冰区域红壶受到的摩擦力大小为，加速度大小为
⑥
在红壶经过P点到与蓝壶发生正碰前的过程中，由动能定理得
⑧
代入数据得s=15m⑨
29．（2023·北京育才学校·校考模拟）如图所示，光滑轨道槽ABCD与粗糙轨道槽GH（点G与点D在同一高度但不相交，FH与圆相切）通过光滑圆轨道EF平滑连接，组成一套完整的轨道，整个装置位于竖直平面内．现将一质量的小球甲从AB段距地面高处静止释放，与静止在水平轨道上、质量为1kg的小球乙发生完全弹性碰撞．碰后小球乙滑上右边斜面轨道并能通过轨道的最高点E点．已知CD、GH与水平面的夹角为θ=37°，GH段的动摩擦因数为μ=0.25，圆轨道的半径R＝0.4m，E点离水平面的竖直高度为3R（E点为轨道的最高点），（，，）求两球碰撞后：
（1）小球乙第一次通过E点时对轨道的压力大小；
（2）小球乙沿GH段向上滑行后距离地面的最大高度；
（3）若将小球乙拿走，只将小球甲从AB段离地面h处自由释放后，小球甲又能沿原路径返回，试求h的取值范围．
【答案】（1）30N ；（2）1.62m ；（3）h≤0.8m或h≥2.32m
【详解】（1）小球甲从A点到B点由机械能守恒定律可得：
两小球碰撞时由动量守恒定律可得：
由机械能守恒定律可得：
小球乙从BC轨道滑至E 点过程，由机械能守恒定律得：
小球乙在E点，根据牛顿第二定律及向心力公式，
根据牛顿第三定律小球乙对轨道的压力N＇=N，由以上各式并代入数据得：，=30N
（2）D、G离地面的高度
设小球乙上滑的最大高度为，则小球乙在GH段滑行的距离
小球乙从水平轨道位置滑至最高点的过程，根据动能定理：
其中，，
由以上各式并代入数据得
（3）只有小球甲时，小球甲要沿原路径返回，若未能完成圆周运动，则
若能完成圆周运动，则小球甲返回时必须能经过圆轨道最高点E．设小球沿GH上升的竖直高度为，上升过程克服摩擦力做功为，则：
小球甲从释放位置滑至最高点的过程，根据动能定理：
设小球甲返回至G点时的速度为，根据动能定理：
从G点返回至E点的过程，根据机械能守恒：
在E点，
由以上各式得h=2.32m
故小球甲沿原路径返回的条件为或
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