中小学教育资源及组卷应用平台
大题精练04 带电粒子（带电体）在电场中的运动问题
一、考向分析
1.本专题主要讲解带电粒子(带电体)在电场中运动时动力学和能量观点的综合运用，高考常以计算题出现。
2.用到的知识:受力分析、运动分析、能量观点。
3.带电粒子在电场中的运动
(1)分析方法:先分析受力情况，再分析运动状态和运动过程(平衡、加速或减速，轨迹是直线还是曲线)，然后选用恰当的规律如牛顿运动定律、运动学公式、动能定理、能量守恒定律解题。
(2)受力特点:在讨论带电粒子或其他带电体的静止与运动问题时，重力是否要考虑，关键看重力与其他力相比较是否能忽略。一般来说，除明显暗示外，带电小球、液滴的重力不能忽略，电子、质子等带电粒子的重力可以忽略，一般可根据微粒的运动状态判断是否考虑重力作用。
4.用能量观点处理带电体的运动
对于受变力作用的带电体的运动，必须借助能量观点来处理。即使都是恒力作用的问题，用能量观点处理也常常更简捷。具体方法有:
二、动力学
牛顿第二运动定律 F合 = ma 或或者 Fx = m ax Fy = m ay
向心力
牛顿第三定律
三、运动学
匀变速直线运动 平均速度： Vt/ 2 == Vs/2 = 匀加速或匀减速直线运动：Vt/2 四、功和能
动能
功 W = Fs cos (恒力做功) W=Pt（拉力功率不变） W=f S相对路程 （阻力大小不变）
动能定理
五、电学
内容 重要的规律、公式和二级结论
1.电场、电场强度、点电荷的电场、电场线 (1)电场线密的地方电场强，稀疏的地方电场弱。 (2)电场强度的定义式E＝，其大小由电场本身性质决定。 (3)点电荷的电场强度的决定式E＝，由Q、r决定。 (4)匀强电场的电场强度E＝，d为沿电场方向上两点间的距离。
2.电势、电势差、电势能、等势面 (5)电势定义式φ＝，其大小与电势能Ep、电荷量q均无关。 (6)电势差：UAB＝φA－φB＝＝。 (7)静电力做正功，电势能减小；静电力做负功，电势能增大。 (8)等势面与电场线相互垂直，沿电场线方向电势降低最快。
3.匀强电场中电势差与电场强度的关系 (9)等差等势面越密的地方，电场越强；越稀疏的地方，电场越弱。 (10)匀强电场中的平行四边形的对边电势差相等，线段AB中点C的电势φC＝。
4.电容器的电容、平行板电容器的电容、常用电容器 (11)电容的定义式C＝＝，平行板电容器电容的决定式C＝。 (12)电容器接在电源上，电压不变，改变d或S或εr，板极上的电荷量变化；断开电源时，电容器电荷量不变，改变d，电场强度E＝不变。
六、电场中常见的运动类型
(1)匀变速直线运动：通常利用动能定理qU＝mv2－mv来求解；对于匀强电场，电场力做功也可以用W＝qEd来求解。
(2)偏转运动：一般研究带电粒子在匀强电场中的偏转问题．对于类平抛运动可直接利用平抛运动的规律以及推论；较复杂的曲线运动常用运动的合成与分解的方法来处理。
（2024 济南校级模拟）如图所示，Oxyz坐标系内有一边长为2L的立方体空间OABC﹣O1A1B1C1，整个立方体空间内存在沿x轴正方向的匀强电场（图中未画出），M和N分别是AB和O1C1中点。一质量为m、电荷量为q的带电微粒由M点静止释放，恰能通过N点。不计空气阻力，已知重力加速度为g。
（1）若M点的电势为零，求N点的电势；
（2）若该微粒在M点沿+z方向以初速度射入电场，求微粒离开立方体空间时的位置坐标；
（3）若从M点向AA1B1B正方形平面内各个方向均匀射出速率均为的该种带电微粒（如图），求能从O1A1B1C1正方形区域内射出的带电微粒数N1与总微粒数N0之比。
【解答】解：（1）设匀强电场的电场强度为E，经判定带电微粒从M至N做匀加速直线运动，qE与mg的合力方向沿MN直线，所以qE＝mg，带电微粒从M至N电场力做功q（φM﹣φN）＝2qEL，解得；
（2）带电微粒沿+z方向做匀速直线运动，得L＝v0t，微粒沿+x方向做初速为零的匀加速直线运动，qE＝max，，解得，微粒沿﹣y方向做自由落体运动，解得，所以微粒离开正方体空间时的位置坐标为
（3）设某一微粒的速度方向与+x方向夹θ角，该微粒恰好从B1C1（A1O1）边上射出正方体空间，则沿z方向L＝vt1sinθ沿+x方向，解得，带电微粒在﹣y方向运动的位移，所以微粒射出正方体空间时y＞0，所以能从O1A1B1C1正方形区域内射出电场的带电微粒数与总粒子数之比；
答：（1）N点的电势为；
（2）微粒离开立方体空间时的位置坐标为；
（3）能从O1A1B1C1正方形区域内射出的带电微粒数N1与总微粒数N0之比为。
1．（2024 仓山区校级二模）如图（a），长度L＝0.8m的光滑杆左端固定一带正电的点电荷A，其电荷量，一质量m＝0.02kg，带电量为q的小球B套在杆上。将杆沿水平方向固定于某非均匀外电场中，以杆左端为原点，沿杆向右为x轴正方向建立坐标系。点电荷A对小球B的作用力随B位置x的变化关系如图（b）中曲线Ⅰ所示，小球B所受水平方向的合力随B位置x的变化关系如图（b）中曲线Ⅱ所示，其中曲线Ⅱ在0.16≤x≤0.20和x≥0.40范围可近似看作直线。求：（静电力常量k＝9×109N m2/C2）可能用到的坐标：曲线Ⅰ中的（0.30，0.018）；曲线Ⅱ中的（0.16，0.030）、（0.20，0）、（0.30，﹣0.012）、（0.40，﹣0.004）
（1）小球B所带电量q及电性；
（2）非均匀外电场在.x＝0.3m处沿细杆方向的电场强度E大小和方向；
（3）已知小球在x＝0.2m处获得v＝0.4m/s的初速度时，最远可以运动到x＝0.4m。若小球在x＝0.16m处受到方向向右，大小为F＝0.04N的恒力作用后，由静止开始运动，为使小球能离开细杆，恒力作用的最小距离s是多少？
【解答】解：（1）小球B带正电
由图（b）中曲线I可知，当x＝0.3m时，有
解得
F1＝0.018N
因此
解得
q＝1×10﹣6C
（2）设在x＝0.3m处点电荷与小球间作用力为 F2，有
F公＝F2+qE
因此
方向水平向左
（3）根据图（b）中曲线Ⅱ围成的面积表示合电场力做的功，可知小球从
x＝0.16m到x＝0.2m处，合电场力做功为
小球从x＝0.2m 到x＝0.4m处，合电场力做功为
解得
由图可知小球从x＝0.4m到x＝0.8m处，合电场力做功为
W3＝﹣0.004×0.4J＝﹣1.6×10 3J
由动能定理可得
W1+W2+W3+F外s＝0
解得恒力作用的最小距离
解得
s＝0.065m
答：（1）小球B所带电量为1×10﹣6 C；
（2）非均匀外电场在x＝0.3m处沿细杆方向的电场强度大小为3×104N/C；
（3）恒力作用的最小距离s是0.065m。
2．（2024 仓山区校级二模）如图所示，在竖直向下的匀强电场中有轨道ABCDFMNP，其中BC部分为水平轨道，与曲面AB平滑连接。CDF和FMN是竖直放置的半圆轨道，在最高点F对接，与BC在C点相切。NP为一与FMN相切的水平平台，P处固定一轻弹簧。点D、N、P在同一水平线上。水平轨道BC粗糙，其余轨道均光滑，可视为质点的质量为m＝0.02kg的带正电的滑块从曲面AB上某处由静止释放。已知匀强电场的场强E＝2N/C，BC段长度L＝1m，CDF的半径R＝0.2m，FMN的半径r＝0.1m，滑块带电量q＝0.1C，滑块与BC间的动摩擦因数μ＝0.5，重力加速度g＝10m/s2，求：
（1）滑块通过半圆轨道CDF最高点F的最小速度vF；
（2）若滑块恰好能通过F点，求滑块释放点到水平轨道BC的高度h0；
（3）若滑块在整个运动过程中，始终不脱离轨道，且弹簧的形变始终在弹性限度内，求滑块释放点到水平轨道BC的高度h需要满足的条件。
【解答】解：（1）小球在 F点根据牛顿第二定律有
解得
vF＝2m/s
（2）设小球由h0处释放恰好通过F点，对小球从释放至F点这一过程，由动能定理得
解得
h0＝1m
（3）讨论：
①小球第一次运动到 D 点速度为零，对该过程由动能定理得
（mg+qE）（h1﹣R）﹣μ（mg+qE）L＝0
解得
h1＝0.7m
则当 h≤0.7m时，小球不过 D点，不脱离轨道
②小球第一次进入圆轨道可以经过F点，压缩弹簧被反弹，沿轨道PNMFDCBA 运动，再次返回后不过D。小球恰好可以经过F点，由动能定理可得
解得
h2＝1m
则当h≥1m时，小球可以通过F点
小球再次返回刚好到 D点：
（mg+qE）（h3﹣R）﹣μ（mg+qE） 3L＝0
解得
h3＝1.7m
则当h≤1.7m时，小球被弹簧反弹往复运动后不过D点
综上，当1m≤h≤1.7m，小球第一次进入圆轨道可以通过F点，往复运动第二次后不过D点，满足始终不脱离轨道。
③小球第一次进入圆轨道可以经过F点，压缩弹簧被反弹，第二次往复运动时满足小球恰好可以经过F点，由动能定理可得
解得 h4＝2m
则当h≥2m时，小球可以两次通过F点
小球再次返回刚好到D点：
（mg+qE）（h5﹣R）﹣μ（mg+qE） 5L＝0
解得
h5＝2.7m
则当h≤2.7m时，小球被弹簧反弹第二次往复运动后不过D点
综上2m≤h≤2.7m，小球第一、二次进入圆轨道可以通过F点，往复运动第二次后不过D点，满足始终不脱离轨道
以此类推，可得：
当h满足km≤h≤（0.7+k）m（k＝0，1，2，3 ）小球不脱离轨道
3．（2024 福建模拟）如图甲所示，水平放置的平行金属板A和B的距离为d，它们的右端安放着垂直于金属板的靶MN，现在A、B板上加上如图乙所示的方波形电压，电压的正向电压值为U0，反向电压值为，且每隔变向1次．现将质量为m的带正电，且电荷量为q的粒子束从AB的中点O以平行于金属板的方向OO′射入，设粒子能全部打在靶上而且所有粒子在A、B间的飞行时间均为T．不计重力的影响．
（1）定性分析在t＝0时刻从O点进入的粒子，在垂直于金属板的方向上的运动情况．
（2）求距靶MN的中心O′点多远的范围内有粒子击中．
【解答】解：（1）0～受到的电场力向下，向下加速运动，～T受到的电场力向上，向下做减速减速运动，所以在垂直于金属板的方向上先向下加速再向下减速
（2）粒子打在靶MN上的范围，实际上就是粒子在竖直方向所能到达的范围．
当粒子在0、T、2T…nT时刻进入电场中，粒子将打在O′点下方最远处，在前T/2时间内，粒子在竖直方向上的位移
在后时间内，粒子在竖直方向上的位移
其中，
可得
故O′点正下方最大位移为：y＝y1+y2
当粒子在、T时刻进入电场时，粒子将打在O′点上方最远处，在前时间内，粒子在竖直方向上的位移为：y1′a1′ （）2
在后时间内，粒子在竖直方向上的位移，有：
y2′＝v′a2′（）2
其中，
可得：y2′＝0
故O′点正上方最大位移为：y′＝y1′+y2′
答：（1）定性分析在t＝0时刻从O点进入的粒子，在垂直于金属板的方向上的运动情况先向下加速再向下减速．
（2）距靶MN的中心O′点～的范围内有粒子击中．
4．（2024 济南校级模拟）如图所示，内壁光滑的绝缘薄壁圆筒倾斜固定在水平地面上，倾角θ＝37°，圆筒的横截面圆的半径为圆筒上横截面圆的圆心，C、D分别为该截面圆的最低点和最高点，O′为圆筒下横截面圆的圆心，C′、D′分别为该截面圆的最低点和最高点，图中AB与CD垂直，A′B′与C′D′垂直。空间存在一沿D′D方向的匀强电场E0，一带电荷量q＝+0.1C、质量m＝1kg的小球（可视为质点）自A点从圆筒壁内侧以初速度v0沿与DC平行的方向抛出后，小球在ACBD面内做圆周运动，且恰未离开圆筒内壁，已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，重力加速度g＝10m/s2。
（1）求E0的大小；
（2）求v0的大小；
（3）若撤去电场E0，在空间施加方向与CD平行且向上的匀强电场E1，场强大小E1＝80N/C，让小球仍从A点以同样的速度抛出，则小球将以最短的时间从A′点离开圆筒，求圆筒的长度L（结果可保留π）。
【解答】解：（1）根据题得
qE0＝mgsinθ
解得
E0＝60N/C
（2）小球在圆筒内运动经过横截面的最高点时，设其做圆周运动速度大小为v，则有
小球从A点开始运动到最高点，由机械能守恒定律有
联立解得
v0＝2m/s
（3）加上电场E1后，小球受到的沿OD向上的电场力
F＝qE1
解得
F＝8N
小球的重力沿OC向下的分量
mgcosθ＝1×10×0.8N＝8N
表明小球在垂直于中轴线OO′的平面内做匀速圆周运动，设其周期为T，则有
解得
小球在平行中轴线OO′方向做初速度为零的匀加速直线运动，则有
由牛顿第二定律
mgsinθ＝ma
解得
答：（1）E0的大小为60N/C；
（2）v0的大小为2m/s；
（3）让小球仍从A点以同样的速度抛出，则小球将以最短的时间从A′点离开圆筒，圆筒的长度L为。
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
大题精练04 带电粒子（带电体）在电场中的运动问题
一、考向分析
1.本专题主要讲解带电粒子(带电体)在电场中运动时动力学和能量观点的综合运用，高考常以计算题出现。
2.用到的知识:受力分析、运动分析、能量观点。
3.带电粒子在电场中的运动
(1)分析方法:先分析受力情况，再分析运动状态和运动过程(平衡、加速或减速，轨迹是直线还是曲线)，然后选用恰当的规律如牛顿运动定律、运动学公式、动能定理、能量守恒定律解题。
(2)受力特点:在讨论带电粒子或其他带电体的静止与运动问题时，重力是否要考虑，关键看重力与其他力相比较是否能忽略。一般来说，除明显暗示外，带电小球、液滴的重力不能忽略，电子、质子等带电粒子的重力可以忽略，一般可根据微粒的运动状态判断是否考虑重力作用。
4.用能量观点处理带电体的运动
对于受变力作用的带电体的运动，必须借助能量观点来处理。即使都是恒力作用的问题，用能量观点处理也常常更简捷。具体方法有:
二、动力学
牛顿第二运动定律 F合 = ma 或或者 Fx = m ax Fy = m ay
向心力
牛顿第三定律
三、运动学
匀变速直线运动 平均速度： Vt/ 2 == Vs/2 = 匀加速或匀减速直线运动：Vt/2 四、功和能
动能
功 W = Fs cos (恒力做功) W=Pt（拉力功率不变） W=f S相对路程 （阻力大小不变）
动能定理
五、电学
内容 重要的规律、公式和二级结论
1.电场、电场强度、点电荷的电场、电场线 (1)电场线密的地方电场强，稀疏的地方电场弱。 (2)电场强度的定义式E＝，其大小由电场本身性质决定。 (3)点电荷的电场强度的决定式E＝，由Q、r决定。 (4)匀强电场的电场强度E＝，d为沿电场方向上两点间的距离。
2.电势、电势差、电势能、等势面 (5)电势定义式φ＝，其大小与电势能Ep、电荷量q均无关。 (6)电势差：UAB＝φA－φB＝＝。 (7)静电力做正功，电势能减小；静电力做负功，电势能增大。 (8)等势面与电场线相互垂直，沿电场线方向电势降低最快。
3.匀强电场中电势差与电场强度的关系 (9)等差等势面越密的地方，电场越强；越稀疏的地方，电场越弱。 (10)匀强电场中的平行四边形的对边电势差相等，线段AB中点C的电势φC＝。
4.电容器的电容、平行板电容器的电容、常用电容器 (11)电容的定义式C＝＝，平行板电容器电容的决定式C＝。 (12)电容器接在电源上，电压不变，改变d或S或εr，板极上的电荷量变化；断开电源时，电容器电荷量不变，改变d，电场强度E＝不变。
六、电场中常见的运动类型
(1)匀变速直线运动：通常利用动能定理qU＝mv2－mv来求解；对于匀强电场，电场力做功也可以用W＝qEd来求解。
(2)偏转运动：一般研究带电粒子在匀强电场中的偏转问题．对于类平抛运动可直接利用平抛运动的规律以及推论；较复杂的曲线运动常用运动的合成与分解的方法来处理。
（2024 济南校级模拟）如图所示，Oxyz坐标系内有一边长为2L的立方体空间OABC﹣O1A1B1C1，整个立方体空间内存在沿x轴正方向的匀强电场（图中未画出），M和N分别是AB和O1C1中点。一质量为m、电荷量为q的带电微粒由M点静止释放，恰能通过N点。不计空气阻力，已知重力加速度为g。
（1）若M点的电势为零，求N点的电势；
（2）若该微粒在M点沿+z方向以初速度射入电场，求微粒离开立方体空间时的位置坐标；
（3）若从M点向AA1B1B正方形平面内各个方向均匀射出速率均为的该种带电微粒（如图），求能从O1A1B1C1正方形区域内射出的带电微粒数N1与总微粒数N0之比。
1．（2024 仓山区校级二模）如图（a），长度L＝0.8m的光滑杆左端固定一带正电的点电荷A，其电荷量，一质量m＝0.02kg，带电量为q的小球B套在杆上。将杆沿水平方向固定于某非均匀外电场中，以杆左端为原点，沿杆向右为x轴正方向建立坐标系。点电荷A对小球B的作用力随B位置x的变化关系如图（b）中曲线Ⅰ所示，小球B所受水平方向的合力随B位置x的变化关系如图（b）中曲线Ⅱ所示，其中曲线Ⅱ在0.16≤x≤0.20和x≥0.40范围可近似看作直线。求：（静电力常量k＝9×109N m2/C2）可能用到的坐标：曲线Ⅰ中的（0.30，0.018）；曲线Ⅱ中的（0.16，0.030）、（0.20，0）、（0.30，﹣0.012）、（0.40，﹣0.004）
（1）小球B所带电量q及电性；
（2）非均匀外电场在.x＝0.3m处沿细杆方向的电场强度E大小和方向；
（3）已知小球在x＝0.2m处获得v＝0.4m/s的初速度时，最远可以运动到x＝0.4m。若小球在x＝0.16m处受到方向向右，大小为F＝0.04N的恒力作用后，由静止开始运动，为使小球能离开细杆，恒力作用的最小距离s是多少？
2．（2024 仓山区校级二模）如图所示，在竖直向下的匀强电场中有轨道ABCDFMNP，其中BC部分为水平轨道，与曲面AB平滑连接。CDF和FMN是竖直放置的半圆轨道，在最高点F对接，与BC在C点相切。NP为一与FMN相切的水平平台，P处固定一轻弹簧。点D、N、P在同一水平线上。水平轨道BC粗糙，其余轨道均光滑，可视为质点的质量为m＝0.02kg的带正电的滑块从曲面AB上某处由静止释放。已知匀强电场的场强E＝2N/C，BC段长度L＝1m，CDF的半径R＝0.2m，FMN的半径r＝0.1m，滑块带电量q＝0.1C，滑块与BC间的动摩擦因数μ＝0.5，重力加速度g＝10m/s2，求：
（1）滑块通过半圆轨道CDF最高点F的最小速度vF；
（2）若滑块恰好能通过F点，求滑块释放点到水平轨道BC的高度h0；
（3）若滑块在整个运动过程中，始终不脱离轨道，且弹簧的形变始终在弹性限度内，求滑块释放点到水平轨道BC的高度h需要满足的条件。
3．（2024 福建模拟）如图甲所示，水平放置的平行金属板A和B的距离为d，它们的右端安放着垂直于金属板的靶MN，现在A、B板上加上如图乙所示的方波形电压，电压的正向电压值为U0，反向电压值为，且每隔变向1次．现将质量为m的带正电，且电荷量为q的粒子束从AB的中点O以平行于金属板的方向OO′射入，设粒子能全部打在靶上而且所有粒子在A、B间的飞行时间均为T．不计重力的影响．
（1）定性分析在t＝0时刻从O点进入的粒子，在垂直于金属板的方向上的运动情况．
（2）求距靶MN的中心O′点多远的范围内有粒子击中．
4．（2024 济南校级模拟）如图所示，内壁光滑的绝缘薄壁圆筒倾斜固定在水平地面上，倾角θ＝37°，圆筒的横截面圆的半径为圆筒上横截面圆的圆心，C、D分别为该截面圆的最低点和最高点，O′为圆筒下横截面圆的圆心，C′、D′分别为该截面圆的最低点和最高点，图中AB与CD垂直，A′B′与C′D′垂直。空间存在一沿D′D方向的匀强电场E0，一带电荷量q＝+0.1C、质量m＝1kg的小球（可视为质点）自A点从圆筒壁内侧以初速度v0沿与DC平行的方向抛出后，小球在ACBD面内做圆周运动，且恰未离开圆筒内壁，已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，重力加速度g＝10m/s2。
（1）求E0的大小；
（2）求v0的大小；
（3）若撤去电场E0，在空间施加方向与CD平行且向上的匀强电场E1，场强大小E1＝80N/C，让小球仍从A点以同样的速度抛出，则小球将以最短的时间从A′点离开圆筒，求圆筒的长度L（结果可保留π）。
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
