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大题精练05 带电粒子（带电体）在复合场中的运动问题
一、考向分析
1.本专题是磁场、力学、电场等知识的综合应用，高考往往以计算压轴题的形式出现。
2.复杂的物理问题一定是需要在定性的分析和思考后进行定量运算的，而最终能否解决问题，数理思维能力起着关键作用。物理教学中有意识地培养学生的数理思维，对学生科学思维的形成具有重要作用。带电粒子在磁场中的运动正是对学生数理思维的培养与考査的主要问题。解决本专题的核心要点需要学生熟练学握下列方法与技巧
3.粒子运动的综合型试题大致有两类，一是粒子依次进入不同的有界场区,二是粒子进入复合场与组合场区其运动形式有匀变速直线运动、类抛体运动与匀速圆周运动。涉及受力与运动分析、临界状态分析、运动的合成与分解以及相关的数学知识等。问题的特征是有些隐含条件需要通过一些几何知识获得,对数学能力的要求较高。
二、动力学
牛顿第二运动定律 F合 = ma 或或者 Fx = m ax Fy = m ay
向心力
牛顿第三定律
三、运动学
匀速圆周运动 线速度: V= == R 角速度：= S=Rθ 向心力: F= ma = m2 R=mvω= mR 轨迹：
四、电磁学
磁场 洛伦兹力 1. F=BILsinθ f=qVBsinθ 2. M=NBIScosθ 匀强磁场 M=NBIS=Kθ 辐向磁场 3. R= T= (只有洛仑兹力提供向心力才成立) 4.回旋加速器 Rm= T= t磁 =n t电=
五、解题思路
1.三种典型情况
(1)若只有两个场，所受合力为零，则表现为匀速直线运动或静止状态。例如电场与磁场叠加满足qE＝qvB时，重力场与磁场叠加满足mg＝qvB时，重力场与电场叠加满足mg＝qE时。
(2)若三场共存，所受合力为零时，粒子做匀速直线运动，其中洛伦兹力F＝qvB的方向与速度v垂直。
(3)若三场共存，粒子做匀速圆周运动时，则有mg＝qE，粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，即qvB＝m。
2.当带电粒子做复杂的曲线运动或有约束的变速直线运动时，一般用动能定理或能量守恒定律求解。
3.分析
（2024 山东一模）如图甲所示的空间坐标系x轴、y轴、z轴交于O点。空间存在如图乙所示的周期性匀强电场以及如图丙所示的周期性匀强磁场，电场与磁场均沿z轴正方向，E0大小未知，B0。t＝0时刻，一质量为m、电荷量为+q的粒子自O点沿x轴正方向以速度v0射入，t时粒子到达坐标点（2L，0，L）。粒子重力忽略不计，忽略一切阻力。
（1）求电场强度E0的大小；
（2）求t时粒子的位置坐标；
（3）求粒子再次回到z轴时的z轴坐标；
（4）如果保持电场规律不变，磁场的方向改为沿x轴正方向，求t时粒子的位置坐标。
【解答】解：（1）在t＝0到时间内，粒子在xOz平面内，在电场力作用下做类平抛运动，则有：
解得：
（2）根据类平抛运动的推论：末速度的反向延长交分运动匀速运动位移的中点。在时刻粒子的速度分解见图1，沿+x方向的速度分量为v0，沿+z方向的速度分量为vy＝v0。
在到时间内粒子在磁场中运动，在平行于xOy平面内，粒子在洛伦兹力作用下以v0为线速度做匀速圆周运动。
由牛顿第二定律得：
解得：R＝L
粒子圆周运动周期为：
因此时间段的时间为：ΔtT
故在该平面内，粒子刚好转半个圆周，可得：x轴坐标为2L，y轴坐标为﹣2L。
在+z方向粒子以速度v0做匀速直线运动，沿+z方向运动的距离为：
可得z轴坐标为z1+z2＝L+πL
可得在时粒子的位置坐标为（2L，﹣2L，L+πL）。
（3）在时刻粒子沿﹣x方向、+z方向的分速度大小均为v0。
在至时间内（时间间隔为）粒子在电场中运动，在xOz平面内粒子在电场力作用下做类斜抛运动，则沿+z方向做匀加速直线运动，则有：
此时沿+z方向的分速度为：
沿﹣x方向做匀加速直线运动的距离为：
x′＝v0 2L
此时粒子恰好回到yOz平面内，与z轴的距离为2L（由第二问的结果的y轴坐标得知）。
在至时间内（时间间隔为T）粒子在磁场中运动，平行于xOy平面内，粒子仍在洛伦兹力作用下以v0为线速度做匀速圆周运动，向靠近z轴的方向偏转半个圆周（圆周直径为2L），在该段时间结束时恰好回到z轴。该段时间内在+z方向上做匀速直线运动，分速度为v3＝2v0，则有：
则此时z轴坐标为：
z＝z1+z2+z3+z4＝4L+3πL
（4）在t＝0到时间内，粒子的运动与（1）相同。磁场方向变化后粒子运动过程如下：
在到时间内在磁场中运动，在x轴方向做匀速直线运动，该方向速度分量依然为v0，该段时间内
则x轴坐标变为：
x＝2L+πL
在平行于yOz平面内仍是轨迹为半个圆周的匀速圆周运动，半径仍为L。
在时刻，z轴坐标为L不变，y轴坐标为2L。沿﹣z方向、+x方向的分速度大小均为v0。
在至时间内（时间间隔为）在电场中运动，在xOz平面内在做类斜抛运动，根据前述计算过程得知沿﹣z方向减速为零，则y轴坐标不变仍为2L，z轴坐标为零。
沿+x方向以速度v0做匀速直线运动，则该段时间内有：
则x轴坐标变为：
x＝4L+πL
在时刻只有沿+x方向的速度，大小为v0。
在至时间内在磁场中运动，此时间内速度方向与磁场方向平行，粒子沿+x方向做匀速直线运动，该段时间内有：
则x轴坐标变为
x＝4L+2πL
y轴、z轴的坐标不变，z轴坐标仍为零，y轴坐标仍为2L。
在至时间内（时间间隔为）在电场中运动，在xOz平面在内做类平抛运动，沿+z方向匀加速直线运动，z轴坐标再次变为L，而y轴坐标不变仍为2L，沿+z方向的速度变为v0。
沿+x方向以速度v0做匀速直线运动，该段时间内有：
则x轴坐标变为：
x＝6L+2πL
在时刻，沿+z方向、+x方向的分速度大小均为v0。
在至时间内在磁场中运动，在平行于yOz平面内仍是轨迹为半个圆周的匀速圆周运动，半径仍为L，则z轴坐标为L不变，y轴坐标变为4L。
沿+x方向以速度v0做匀速直线运动，该段时间内有：
则x轴坐标变为
x＝6L+3πL
最终可得在时粒子的位置坐标为（6L+3πL，4L，L）。
全程粒子运动轨迹在xOz平面内和yOz平面内的投影如图2所示。
答：（1）电场强度E0的大小为；
（2）t时粒子的位置坐标为（2L，﹣2L，L+πL）；
（3）粒子再次回到z轴时的z轴坐标为4L+3πL；
（4）t时粒子的位置坐标为（6L+3πL，4L，L）。
1．（2024 北碚区校级模拟）如图所示直角坐标系xOy平面内，位于A（﹣d，0）点的粒子枪由粒子源C和加速电场组成。粒子源C可以不断提供初速度为零、比荷（即：）为k的正电粒子，粒子枪从A点沿y轴正方向发出粒子。区域Ⅰ（x≤0）内存在磁感应强度为B、方向垂直坐标平面向外的匀强磁场，区域Ⅱ（0＜x＜d，y≥﹣2d）内存在电场强度为E、方向沿x轴正方向的匀强电场，区域Ⅲ（d≤x≤3d）内存在垂直坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小仍为B。不计正电粒子的重力以及它们之间的相互作用，完成下列问题：
（1）当加速电场电压为U0时，求粒子枪射出粒子的速度v0；
（2）调节加速电场电压U，发现全部粒子第一次到达y轴的位置范围为0≤yd，求电压U的取值范围；
（3）研究其中垂直穿过y轴的粒子，求该粒子最终离开磁场的位置坐标。
（粒子枪发射粒子后，不再影响粒子的运动。计算中可能用到：1.4，1.7，2.2，2.4，2.6，2.8）
【解答】解：（1）根据动能定理得：
解得：
（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，已知全部粒子第一次到达y轴的位置范围为0≤yd，运动轨迹如图1所示：
由几何关系可得在区域Ⅰ的磁场中运动的半径最小为，运动半径最大为2d。
即运动半径满足：R≤2d
由洛伦兹力提供向心力得：
又有：
解得：
（3）垂直穿过y轴的粒子在区域Ⅰ中的运动的半径为：R1＝d
由洛伦兹力提供向心力得：，解得：v1＝kBd
粒子在区域Ⅱ的电场中加速过程，根据动能定理得：
解得：
在区域Ⅲ中运动轨迹为半个圆周，由：，可得运动半径为：1.4d
之后进入电场减速运动，由对称性可知速度变为v1进入区域Ⅰ（此时y轴坐标为﹣1.8d），运动半径为R1＝d，运动半个圆周第二次垂直穿过y轴坐标为y＝0.2d。运动轨迹如图2所示，
之后重复前一过程，在区域Ⅱ第二次加速，在区域Ⅲ运动半圆周离开磁场坐标为（d，﹣2.6d），进入无场区做匀速运动，再进入区域Ⅰ圆周运动半径为R2＝1.4d，之后在区域Ⅱ第3次加速，根据动能定理得：
，解得：v3kBd
之后在区域Ⅲ运动为：1.7d
同理，在区域Ⅱ第4次加速后，在区域Ⅲ运动半径为R4＝2d，此次在区域Ⅲ的运动轨迹恰好与磁场的右边界相切。
在区域Ⅱ第5次加速后，在Ⅲ区域运动半径为，粒子将从右边界离开区域Ⅲ磁场，运动轨迹与几何关系如下图所示：
由几何关系可得：NO′2（2d）2，解得：NO′＝d
该粒子最终离开磁场的位置的y坐标为：
y＝﹣（R5﹣NO′﹣0.2d）＝﹣（1.2d）＝﹣（2.2d﹣1.2d）＝﹣d
粒子离开磁场的坐标为（3d，﹣d）
答：（1）粒子枪射出粒子的速度大小v0为；
（2）电压U的取值范围为；
（3）该粒子最终离开磁场的位置坐标为（3d，﹣d）。
2．（2024 岳麓区校级模拟）截至2023年8月底，武威重离子中心已完成近900例患者治疗，疗效显著。医用重离子放疗设备主要由加速和散射两部分组成，整个系统如甲图所示，简化模型如乙图所示。乙图中，区域Ⅰ为加速区，加速电压为U，区域Ⅱ、Ⅲ为散射区域，偏转磁场磁感应强度大小均为B，区域Ⅱ中磁场沿y轴正方向，区域Ⅲ中磁场沿x轴正方向。质量为m、电荷量为q的带正电的重离子在O点由静止进入加速电场，离子离开区域Ⅱ时速度偏转了37°，不计离子的重力，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。
（1）求离子进入磁场区域Ⅱ时速度大小；
（2）求磁场Ⅱ的宽度d；
（3）区域Ⅲ磁场宽为，在区域Ⅲ右侧边界放置一接收屏，接收屏中心O'与离子进入电场时的O点在同一直线上，求当离子到达接收屏时距离接收屏中心O'点的距离。
【解答】解：（1）离子在加速电场中加速，有
qUmv2
解得
v
（2）离子进入磁场区域Ⅱ时，速度与磁场方向垂直，做匀速圆周运动，离开时速度偏转了37°，即转过的圆弧所对的圆心角为37°，如图所示
则
d＝Rsin37°
qvB
解得
d
（3）离子在磁场中等螺距前进：离子进入磁场区Ⅲ时，速度与磁场夹角为37°，则离子在x轴方向做匀速直线运动，在yOz平面做匀速圆周运动
vx＝vcos37°
vz＝vsin37°
x方向匀速
vxt＝d'
在yOz平面
qvzB
T
解得
t＝6.25T
即离子转了6.25圈打在接收屏上，y轴上距离O'的距离
y＝R1
z轴上距离O'的距离
z＝R（1 cos37°）+R1
解得
z
离子在接收屏上距O'点的距离
s
解得
s
答：（1）离子进入磁场区域Ⅱ时速度大小；
（2）磁场Ⅱ的宽度；
（3）当离子到达接收屏时距离接收屏中心O'点的距离。
3．（2024 连山区校级模拟）如图所示，在光滑绝缘水平面上建立直角坐标系xOy，在第一象限有竖直向上的匀强磁场，在第二、三象限所在的水平面内（不含y轴）有沿y轴正方向的匀强电场，在第四象限所在的水平面内（含y轴负半轴）有与y轴负方向成30°的匀强电场，两电场的电场强度大小均为E。一质量为m、电荷量为﹣q（q＞0）的小球甲，从y轴负半轴上A点（纵坐标未知）由静止释放，然后小球运动经过x轴上的P点（d，0）进入匀强磁场中，并恰好垂直于y轴与静止在y轴上的质量也为m且不带电的小球乙发生正碰，碰后二者粘合在一起进入y轴左侧匀强电场中。两小球均可为视为质点且碰撞时间极短，求：
（1）匀强磁场的磁感应强度B的大小；
（2）甲、乙二者碰撞后第一次经过x轴的位置坐标。（结果可带根号）
【解答】解：（1）分析小球在第四象限内的运动，可得
且
解得
小球运动如下图所示
因为在磁场中旋转后垂直于y轴，则由几何关系可知
Rcos30°＝d
即
在磁场中
方程联立解得
（2）设在y轴上发生碰撞时的点为C点，则
碰撞瞬间动量守恒，以v的方向为正方向，则有
mv＝2mv共
解得
在第二象限中的运动是类平抛运动，则
由运动学公式可得
对应x轴方向位移大小为
x＝v共t
解得
甲、乙二者碰撞后第一次经过x轴的位置坐标为。
答：（1）匀强磁场的磁感应强度B的大小为；
（2）甲、乙二者碰撞后第一次经过x轴的位置坐标为。
4．（2024 宛城区校级模拟）如图所示，在平面直角坐标系的第一象限内有沿x轴正向的匀强电场Ⅰ，在y＜0的区域内有沿y轴正向的匀强电场Ⅱ和垂直于坐标平面向外的匀强磁场，一个质量为m、带电量为q的小球从第二象限内坐标为（﹣d，d）的P点沿x轴正向抛出，小球从坐标为的Q点进入电场Ⅰ，小球在电场Ⅰ中做直线运动后进入y＜0的区域，小球恰好从坐标原点O第二次经过x轴，重力加速度为g，不计小球大小，电场Ⅰ、Ⅱ的电场强度大小相等，求：
（1）小球从P点抛出的初速度大小；
（2）匀强电场的电场强度大小；
（3）匀强磁场的磁感应强度大小及小球第三次经过x轴的位置离O点的距离。
【解答】解：（1）设小球抛出的初速度大小为v0，小球在第二象限做平抛运动，根据平抛运动规律可得：
d＝v0t1
解得：
（2）设小球进电场Ⅰ时的速度为v1，由P到Q的过程，根据动能定理得：
解得：
设小球进电场Ⅰ时的速度方向与x轴正方向的夹角为θ，则有：
v1cosθ＝v0，解得：θ＝45°
由于小球在电场Ⅰ中做直线运动，所以电场力与重力的合力的方向与速度方向共线，则所受电场力水平向右，小球带正电，可得：
解得：
（3）设小球第一次到达x轴的速度大小为v2，在电场Ⅰ中的加速度大小为a，根据牛顿第二定律得：
，解得：a
在电场Ⅰ中小球做匀加速直线运动，由运动学公式得：
解得：
小球进入y＜0的区域后，因电场力与重力等大反向，故小球在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动，根据题意及几何关系，小球做圆周运动的半径r满足：
根据牛顿第二定律得：
解得磁感应强度大小为：
小球从O点第二次进入电场Ⅰ，在O点电场力与重力的合力F的方向与速度方向垂直，可得小球做类平抛运动。设小球第二次在电场Ⅰ中运动的时间为t2，则有：
s＝v2t2
解得：，s＝l
小球第三次经过x轴的位置离O点的距离为：
答：（1）小球从P点抛出的初速度大小为；
（2）匀强电场的电场强度大小为；
（3）匀强磁场的磁感应强度大小为。小球第三次经过x轴的位置离O点的距离为8d。
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大题精练05 带电粒子（带电体）在复合场中的运动问题
一、考向分析
1.本专题是磁场、力学、电场等知识的综合应用，高考往往以计算压轴题的形式出现。
2.复杂的物理问题一定是需要在定性的分析和思考后进行定量运算的，而最终能否解决问题，数理思维能力起着关键作用。物理教学中有意识地培养学生的数理思维，对学生科学思维的形成具有重要作用。带电粒子在磁场中的运动正是对学生数理思维的培养与考査的主要问题。解决本专题的核心要点需要学生熟练学握下列方法与技巧
3.粒子运动的综合型试题大致有两类，一是粒子依次进入不同的有界场区,二是粒子进入复合场与组合场区其运动形式有匀变速直线运动、类抛体运动与匀速圆周运动。涉及受力与运动分析、临界状态分析、运动的合成与分解以及相关的数学知识等。问题的特征是有些隐含条件需要通过一些几何知识获得,对数学能力的要求较高。
二、动力学
牛顿第二运动定律 F合 = ma 或或者 Fx = m ax Fy = m ay
向心力
牛顿第三定律
三、运动学
匀速圆周运动 线速度: V= == R 角速度：= S=Rθ 向心力: F= ma = m2 R=mvω= mR 轨迹：
四、电磁学
磁场 洛伦兹力 1. F=BILsinθ f=qVBsinθ 2. M=NBIScosθ 匀强磁场 M=NBIS=Kθ 辐向磁场 3. R= T= (只有洛仑兹力提供向心力才成立) 4.回旋加速器 Rm= T= t磁 =n t电=
五、解题思路
1.三种典型情况
(1)若只有两个场，所受合力为零，则表现为匀速直线运动或静止状态。例如电场与磁场叠加满足qE＝qvB时，重力场与磁场叠加满足mg＝qvB时，重力场与电场叠加满足mg＝qE时。
(2)若三场共存，所受合力为零时，粒子做匀速直线运动，其中洛伦兹力F＝qvB的方向与速度v垂直。
(3)若三场共存，粒子做匀速圆周运动时，则有mg＝qE，粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，即qvB＝m。
2.当带电粒子做复杂的曲线运动或有约束的变速直线运动时，一般用动能定理或能量守恒定律求解。
3.分析
（2024 山东一模）如图甲所示的空间坐标系x轴、y轴、z轴交于O点。空间存在如图乙所示的周期性匀强电场以及如图丙所示的周期性匀强磁场，电场与磁场均沿z轴正方向，E0大小未知，B0。t＝0时刻，一质量为m、电荷量为+q的粒子自O点沿x轴正方向以速度v0射入，t时粒子到达坐标点（2L，0，L）。粒子重力忽略不计，忽略一切阻力。
（1）求电场强度E0的大小；
（2）求t时粒子的位置坐标；
（3）求粒子再次回到z轴时的z轴坐标；
（4）如果保持电场规律不变，磁场的方向改为沿x轴正方向，求t时粒子的位置坐标。
1．（2024 北碚区校级模拟）如图所示直角坐标系xOy平面内，位于A（﹣d，0）点的粒子枪由粒子源C和加速电场组成。粒子源C可以不断提供初速度为零、比荷（即：）为k的正电粒子，粒子枪从A点沿y轴正方向发出粒子。区域Ⅰ（x≤0）内存在磁感应强度为B、方向垂直坐标平面向外的匀强磁场，区域Ⅱ（0＜x＜d，y≥﹣2d）内存在电场强度为E、方向沿x轴正方向的匀强电场，区域Ⅲ（d≤x≤3d）内存在垂直坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小仍为B。不计正电粒子的重力以及它们之间的相互作用，完成下列问题：
（1）当加速电场电压为U0时，求粒子枪射出粒子的速度v0；
（2）调节加速电场电压U，发现全部粒子第一次到达y轴的位置范围为0≤yd，求电压U的取值范围；
（3）研究其中垂直穿过y轴的粒子，求该粒子最终离开磁场的位置坐标。
（粒子枪发射粒子后，不再影响粒子的运动。计算中可能用到：1.4，1.7，2.2，2.4，2.6，2.8）
2．（2024 岳麓区校级模拟）截至2023年8月底，武威重离子中心已完成近900例患者治疗，疗效显著。医用重离子放疗设备主要由加速和散射两部分组成，整个系统如甲图所示，简化模型如乙图所示。乙图中，区域Ⅰ为加速区，加速电压为U，区域Ⅱ、Ⅲ为散射区域，偏转磁场磁感应强度大小均为B，区域Ⅱ中磁场沿y轴正方向，区域Ⅲ中磁场沿x轴正方向。质量为m、电荷量为q的带正电的重离子在O点由静止进入加速电场，离子离开区域Ⅱ时速度偏转了37°，不计离子的重力，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。
（1）求离子进入磁场区域Ⅱ时速度大小；
（2）求磁场Ⅱ的宽度d；
（3）区域Ⅲ磁场宽为，在区域Ⅲ右侧边界放置一接收屏，接收屏中心O'与离子进入电场时的O点在同一直线上，求当离子到达接收屏时距离接收屏中心O'点的距离。
3．（2024 连山区校级模拟）如图所示，在光滑绝缘水平面上建立直角坐标系xOy，在第一象限有竖直向上的匀强磁场，在第二、三象限所在的水平面内（不含y轴）有沿y轴正方向的匀强电场，在第四象限所在的水平面内（含y轴负半轴）有与y轴负方向成30°的匀强电场，两电场的电场强度大小均为E。一质量为m、电荷量为﹣q（q＞0）的小球甲，从y轴负半轴上A点（纵坐标未知）由静止释放，然后小球运动经过x轴上的P点（d，0）进入匀强磁场中，并恰好垂直于y轴与静止在y轴上的质量也为m且不带电的小球乙发生正碰，碰后二者粘合在一起进入y轴左侧匀强电场中。两小球均可为视为质点且碰撞时间极短，求：
（1）匀强磁场的磁感应强度B的大小；
（2）甲、乙二者碰撞后第一次经过x轴的位置坐标。（结果可带根号）
4．（2024 宛城区校级模拟）如图所示，在平面直角坐标系的第一象限内有沿x轴正向的匀强电场Ⅰ，在y＜0的区域内有沿y轴正向的匀强电场Ⅱ和垂直于坐标平面向外的匀强磁场，一个质量为m、带电量为q的小球从第二象限内坐标为（﹣d，d）的P点沿x轴正向抛出，小球从坐标为的Q点进入电场Ⅰ，小球在电场Ⅰ中做直线运动后进入y＜0的区域，小球恰好从坐标原点O第二次经过x轴，重力加速度为g，不计小球大小，电场Ⅰ、Ⅱ的电场强度大小相等，求：
（1）小球从P点抛出的初速度大小；
（2）匀强电场的电场强度大小；
（3）匀强磁场的磁感应强度大小及小球第三次经过x轴的位置离O点的距离。
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