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小题精练03 整体与隔离法解决连接体问题
一、整体法与隔离法的使用条件
二、应用整体法和隔离法的解题技巧
(1)如图所示，一起加速运动的物体系统，若力作用于m1上，则m1和m2间的相互作用力为F12＝。此结论与有无摩擦无关(有摩擦，两物体与接触面的动摩擦因数必须相同)，物体系统沿水平面、斜面、竖直方向运动时，此结论都成立。两物体的连接物为轻弹簧、轻杆时，此结论不变。
(2)通过跨过滑轮的绳连接的连接体问题：若要求绳的拉力，一般都必须采用隔离法。绳跨过定滑轮连接的两物体的加速度虽然大小相同但方向不同，故采用隔离法。
隔离m1：T-μm1g=m1a 隔离m2：m2g-T=m2a 得， 隔离m1：m1g-T=m1a 隔离m2：T-m2g=m2a 得，
若μ=0， 且m2<(3)下面几种物理模型，在临界情况下，a＝gtan α。
（2023 河南模拟）如图所示，质量为m2的物体2放在正沿平直轨道行驶的车厢底板上，并用竖直细绳通过光滑定滑轮连接质量为m1的物体1，某时刻观察到与物体1相连接的细绳与竖直方向成θ角，重力加速度为g，则下列说法正确的是（ ）
A．车厢向右减速运动
B．物体2所受底板的摩擦力大小为m2gtanθ，方向向右
C．车厢向左加速运动
D．物体2对底板的压力大小为m2g﹣m1gsinθ
（2024 四川一模）小球A、B通过一条轻绳跨过定滑轮连接，它们穿在一根竖直杆上。当小球A、B平衡时，连接两球的轻绳与竖直杆的夹角分别为2θ和θ。不计所有接触面间的摩擦，若小球A的质量为mA，则小球B的质量为（ ）
A． B．
C． D．mA（2cosθ﹣1）
（2024 河南模拟）如图所示，轻杆上端可绕光滑铰链O在竖直平面内自由转动。可视为质点的小球A固定在轻杆末端。用细绳连接小球B，绳的另一端穿过位于O点正下方的小孔P与A相连。用沿绳斜向上的拉力F作用于小球A，使杆保持水平，某时刻撤去拉力，小球A、B带动轻杆绕O点转动。已知小球A、B的质量均为m，杆长为3L，OP长为5L，重力加速度为g，忽略一切阻力。则下列说法正确的是（ ）
A．杆保持水平时，轻杆对小球A的拉力大小为
B．运动过程中，两小球速度大小相等时的速度值为
C．运动过程中，两小球速度大小相等时细绳对小球A的拉力大小为
D．运动过程中，两小球速度大小相等时轻杆对小球A的拉力大小为
（2024 兴宁区二模）
如图所示，质量分别为m1＝1kg和m2＝2kg的两个大小完全相同的物块，通过轻绳相连，并接在装有定滑轮的小车上，不计一切摩擦。在水平推力F1的作用下m1紧贴着小车，且小车和两个物块恰好一起向右做初速度为零的匀加速运动，若将图中两个小物块的位置互换，在水平推力F2的作用下m2紧贴着小车，使得小车和两个物块恰好一起向右做初速度为零的匀加速运动，若两次运动的时间相同，则两次小车运动的位移之比为（ ）
A．1：1
B．2：1
C．1：4
D．以上都有可能，与小车的质量有关
（2023 重庆模拟）如图所示，质量均为m的三个物体（可视为质点）A、B、C均放在粗糙水平面上，动摩擦因数均为μ，物体间用原长为L的轻弹簧连接，每根弹簧劲度系数均为k。现用外力F拉动物体A，使三个物体一起加速运动，则A、C间的距离为（初始状态弹簧均为原长）（ ）
A． B． C． D．
（2023 河北模拟）如图所示，轻弹簧一端与质量为m的物块A相连接，另一端与小立柱（质量忽略不计）栓接，第一次将A放在物块B上，物块B的上表面水平，小立柱固定在B上，物块B放在固定斜面上，AB相对静止的一起沿斜面下滑，第二次将A放在物块C上，C的上表面与斜面平行，小立柱固定在C上，物块C放在固定斜面上，AC相对静止的一起沿斜面下滑，已知斜面倾角为β＝30°，B、C质量相等，与斜面的动摩擦因数均为，两次轻弹簧均处于伸长状态，弹力大小均为mg。已知重力加速度为g。则两次下滑过程中A、B间的摩擦力与A、C间的摩擦力之比为（ ）
A． B．
C． D．
（2023 湖南模拟）如图所示，质量分别为m和2m的A、B两个物块置于粗糙固定的足够长的斜面上，且固定在一轻质弹簧两端，已知弹簧的劲度系数为k，两物块与斜面间的动摩擦因数均为μ，斜面的倾角为θ，现沿斜面向上在物块B上施加一拉力F，使两物块一起沿斜面向上做匀加速直线运动，弹簧始终在弹性限度内，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．减小动摩擦因数，其他条件不变，则弹簧的总长将变大
B．改变斜面的倾角，保持拉力F方向仍然沿斜面向上，大小不变，则弹簧的总长将随倾角的变化而变化
C．如果两物块运动过程中突然撤去拉力F，撤去F瞬间物块A的加速度大小为
D．如果两物块运动过程中突然撤去拉力F，撤去F瞬间物块B的加速度大小为
（2023 邢台模拟）如图所示，两同种材料的滑块A、B，用轻质细绳通过光滑定滑轮相连，A放在粗糙的水平桌面上，由静止释放A、B两滑块，此时A、B两滑块的加速度大小均为a1；A和B调换位置并也都由静止释放，此时A、B两滑块的加速度大小均为a2，已知两滑块与水平面间的最大静摩擦力和滑动摩擦力相等，滑块与桌面间的动摩擦因数 ，A滑块的质量为12m，B滑块的质量为8m，重力加速度为g。下列说法正确的是 （ ）
A．调换前A和B的加速度大小均为
B．调换后A和B的加速度大小均为
C．调换前后绳的拉力不变
D．调换后绳的拉力变大
（2023 湖北模拟）如图所示，一根轻绳跨过一轻质定滑轮，轻绳一端系一个质量为m的物体A。将物体A固定，质量为2m的人抓着轻绳匀速向下爬，轻绳处于竖直状态。已知重力加速度大小为g，某时刻释放物体A，若人相对于轻绳匀速向下爬，则物体A的加速度（ ）
A．大小为g，方向向上 B．大小为g，方向向下
C．大小为g，方向向上 D．大小为g，方向向下
（多选）（2024 福建一模）如图所示，质量分别为2m和m的两个物体A、B用跨过光滑定滑轮的绳子连接，两物体恰好做匀速运动。A、B与桌面的动摩擦因数相同，重力加速度大小为g，不计空气阻力及绳子的质量。若将A与B互换，则（ ）
A．两物体做加速运动，加速度
B．两物体做加速运动，加速度
C．绳子中拉力大小不变
D．绳子中拉力大小变为原来的2倍
（多选）（2023 莱阳市校级模拟）如图，四个滑块叠放在倾角为θ的固定光滑斜面上，其中B和C的质量均为m，A和D的质量均为3m，B和C之间用一平行于斜面的轻绳连接，现对A施加平行于斜面向上的拉力F，使得四个滑块以相同加速度一起沿着斜面向上运动，滑块间的动摩擦因数均为μ，重力加速度为g，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则（ ）
A．拉力F的最大值为1.3μmgcosθ
B．C对D的摩擦力为0.3μmgcosθ时，A对B的摩擦力为0.5μmgcosθ﹣5mgsinθ
C．当拉力F取得最大值时，轻绳上的弹力大小为0.8μmgcosθ
D．当拉力F取得最大值时，C、D间的摩擦力为0.6μmgcosθ
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小题精练03 整体与隔离法解决连接体问题
一、整体法与隔离法的使用条件
二、应用整体法和隔离法的解题技巧
(1)如图所示，一起加速运动的物体系统，若力作用于m1上，则m1和m2间的相互作用力为F12＝。此结论与有无摩擦无关(有摩擦，两物体与接触面的动摩擦因数必须相同)，物体系统沿水平面、斜面、竖直方向运动时，此结论都成立。两物体的连接物为轻弹簧、轻杆时，此结论不变。
(2)通过跨过滑轮的绳连接的连接体问题：若要求绳的拉力，一般都必须采用隔离法。绳跨过定滑轮连接的两物体的加速度虽然大小相同但方向不同，故采用隔离法。
隔离m1：T-μm1g=m1a 隔离m2：m2g-T=m2a 得， 隔离m1：m1g-T=m1a 隔离m2：T-m2g=m2a 得，
若μ=0， 且m2<(3)下面几种物理模型，在临界情况下，a＝gtan α。
（2023 河南模拟）如图所示，质量为m2的物体2放在正沿平直轨道行驶的车厢底板上，并用竖直细绳通过光滑定滑轮连接质量为m1的物体1，某时刻观察到与物体1相连接的细绳与竖直方向成θ角，重力加速度为g，则下列说法正确的是（ ）
A．车厢向右减速运动
B．物体2所受底板的摩擦力大小为m2gtanθ，方向向右
C．车厢向左加速运动
D．物体2对底板的压力大小为m2g﹣m1gsinθ
【解答】解：AC、以物体1为研究对象，受到竖直向下的重力和沿绳向上的拉力，其合力水平向右，如图1所示，则由牛顿第二定律得
m1gtanθ＝m1a
所以物体1的加速度大小为a＝gtanθ，方向水平向右，所以车厢向右加速运动或者向左减速运动，故AC错误；
B、物体2的加速度与物体1的加速度相同，分析物体2 的受力，如图2所示，根据牛顿第二定律得：
f＝m2a＝m2gtanθ，方向水平向右，故B正确；
D、对物体1，有Tcosθ＝m1g
对物体2，竖直方向有
N+T＝m2g
联立解得：N＝m2g
根据牛顿第三定律知，物体2对底板的压力大小为N′＝N＝m2g，故D错误。
故选：B。
（2024 四川一模）小球A、B通过一条轻绳跨过定滑轮连接，它们穿在一根竖直杆上。当小球A、B平衡时，连接两球的轻绳与竖直杆的夹角分别为2θ和θ。不计所有接触面间的摩擦，若小球A的质量为mA，则小球B的质量为（ ）
A． B．
C． D．mA（2cosθ﹣1）
【解答】解：分别对A、B两球分析，运用合成法，如图所示：
由几何知识得：Tcos2θ＝mAg，Tcosθ＝mBg
联立解得：mB，故A正确、BCD错误。
故选：A。
（2024 河南模拟）如图所示，轻杆上端可绕光滑铰链O在竖直平面内自由转动。可视为质点的小球A固定在轻杆末端。用细绳连接小球B，绳的另一端穿过位于O点正下方的小孔P与A相连。用沿绳斜向上的拉力F作用于小球A，使杆保持水平，某时刻撤去拉力，小球A、B带动轻杆绕O点转动。已知小球A、B的质量均为m，杆长为3L，OP长为5L，重力加速度为g，忽略一切阻力。则下列说法正确的是（ ）
A．杆保持水平时，轻杆对小球A的拉力大小为
B．运动过程中，两小球速度大小相等时的速度值为
C．运动过程中，两小球速度大小相等时细绳对小球A的拉力大小为
D．运动过程中，两小球速度大小相等时轻杆对小球A的拉力大小为
【解答】解：A、对小球A受力分析如图1，可知三力构成的矢量三角形与△OPA相似，根据相似三角形性质有：
代入数据解得：，故A错误；
B、小球A绕O点转动做圆周运动，速度方向沿圆周轨迹切线方向，又因小球A、B通过细绳连接在一起，两者沿绳方向的分速度相等，故两小球速度大小相等时，细绳与小球A的圆周轨迹相切，如图2所示，由几何关系得：，
此时小球A下降的高度：
小球B下降的高度：
对系统由机械能守恒有：mghA+mghB
联立代入数据解得：，故B错误；
C、两小球速度大小相等时，对小球A受力分析如图3，沿绳方向应有：T'+mgcosθ＝ma1
小球B与小球A沿绳方向的加速度大小相等，则对小球B有：mg﹣T'＝ma1
将角度θ代入并联立解得：，故C正确；
D、对A球，在速度最大时，沿杆方向应有：
代入数据解得：，故D错误。
故选：C。
（2024 兴宁区二模）
如图所示，质量分别为m1＝1kg和m2＝2kg的两个大小完全相同的物块，通过轻绳相连，并接在装有定滑轮的小车上，不计一切摩擦。在水平推力F1的作用下m1紧贴着小车，且小车和两个物块恰好一起向右做初速度为零的匀加速运动，若将图中两个小物块的位置互换，在水平推力F2的作用下m2紧贴着小车，使得小车和两个物块恰好一起向右做初速度为零的匀加速运动，若两次运动的时间相同，则两次小车运动的位移之比为（ ）
A．1：1
B．2：1
C．1：4
D．以上都有可能，与小车的质量有关
【解答】解：由题意可知，图甲中m2受到向右的合外力等于绳子的拉力，也等于m1的重力，所以m2的加速度：a1
图甲中三者一起向右做加速运动，则小车的加速度也是
同理可知题图乙中小车的加速度为
所以两题图中小车的加速度之比为
因为两次运动的时间相同，由x
则两次小车运动的位移之比，与小车的质量无关，故ABD错误，C正确。
故选：C。
（2023 重庆模拟）如图所示，质量均为m的三个物体（可视为质点）A、B、C均放在粗糙水平面上，动摩擦因数均为μ，物体间用原长为L的轻弹簧连接，每根弹簧劲度系数均为k。现用外力F拉动物体A，使三个物体一起加速运动，则A、C间的距离为（初始状态弹簧均为原长）（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：对三个物体组成的整体，根据牛顿第二定律得：
对B、C整体，根据牛顿第二定律得：2ma＝kΔx1﹣2μmg
对C，根据牛顿第二定律得：ma＝kΔx2﹣μmg
A、C间的距离为：x＝2L+Δx1+Δx2
联立解得：，故B正确，ACD错误。
故选：B。
（2023 河北模拟）如图所示，轻弹簧一端与质量为m的物块A相连接，另一端与小立柱（质量忽略不计）栓接，第一次将A放在物块B上，物块B的上表面水平，小立柱固定在B上，物块B放在固定斜面上，AB相对静止的一起沿斜面下滑，第二次将A放在物块C上，C的上表面与斜面平行，小立柱固定在C上，物块C放在固定斜面上，AC相对静止的一起沿斜面下滑，已知斜面倾角为β＝30°，B、C质量相等，与斜面的动摩擦因数均为，两次轻弹簧均处于伸长状态，弹力大小均为mg。已知重力加速度为g。则两次下滑过程中A、B间的摩擦力与A、C间的摩擦力之比为（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：物块B、C质量相等，设B、C质量均为M，A与B保持相对静止，则二者向下的加速度是相等的，对A、B整体，由牛顿第二定律有
（M+m）gsinβ﹣μ（M+m）gcosβ＝（M+m）a1
解得：a1＝gsinβ﹣μgcosβ
同理，A与C保持相对静止，则二者向下的加速度也是相等的，对A、C整体，由牛顿第二定律有
（M+m）gsinβ﹣μ（M+m）gcosβ＝（M+m）a2
解得：a2＝gsinβ﹣μgcosβ＝a1
第一次以A为研究对象，A受重力、物块B竖直向上的支持力、弹簧水平向左的弹力，因为A所受合力沿斜面向下，由力的合成与分解知识可知，A在水平方向上所受合力一定向右，即A所受静摩擦力水平向右，则有
fAB﹣F弹＝ma1cosβ
第二次仍以A为研究对象，A受重力、物块C垂直斜面斜向上的支持力、弹簧沿斜面向上的弹力，物块C对A沿斜面向上的静摩擦力，由牛顿第二定律有
mgsinβ﹣F弹﹣fAC＝ma2
又：F弹
联立各式，解得：
故ABD错误，C正确。
故选：C。
（2023 湖南模拟）如图所示，质量分别为m和2m的A、B两个物块置于粗糙固定的足够长的斜面上，且固定在一轻质弹簧两端，已知弹簧的劲度系数为k，两物块与斜面间的动摩擦因数均为μ，斜面的倾角为θ，现沿斜面向上在物块B上施加一拉力F，使两物块一起沿斜面向上做匀加速直线运动，弹簧始终在弹性限度内，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．减小动摩擦因数，其他条件不变，则弹簧的总长将变大
B．改变斜面的倾角，保持拉力F方向仍然沿斜面向上，大小不变，则弹簧的总长将随倾角的变化而变化
C．如果两物块运动过程中突然撤去拉力F，撤去F瞬间物块A的加速度大小为
D．如果两物块运动过程中突然撤去拉力F，撤去F瞬间物块B的加速度大小为
【解答】解：AB、对AB整体，由牛顿第二定律得：F﹣3mgsinθ﹣μ 3mgcosθ＝3ma
对物块A，由牛顿第二定律有：F弹﹣mgsinθ﹣μmgcosθ＝ma
联立解得弹簧的弹力大小为：
根据胡克定律有：F弹＝kx
解得弹簧形变量：
弹簧的总长为：，可知弹簧的总长与斜面的倾角和动摩擦因数均无关，故AB错误；
C、撤去拉力F瞬间，弹簧来不及形变，物块A的加速度不变，对A，由牛顿第二定律得：
，方向沿斜面向上，故C错误；
D、对B，由牛顿第二定律得撤去F瞬间物块B加速度为：
aBg（sinθ+μcosθ），方向沿斜面向下，故D正确。
故选：D。
（2023 邢台模拟）如图所示，两同种材料的滑块A、B，用轻质细绳通过光滑定滑轮相连，A放在粗糙的水平桌面上，由静止释放A、B两滑块，此时A、B两滑块的加速度大小均为a1；A和B调换位置并也都由静止释放，此时A、B两滑块的加速度大小均为a2，已知两滑块与水平面间的最大静摩擦力和滑动摩擦力相等，滑块与桌面间的动摩擦因数 ，A滑块的质量为12m，B滑块的质量为8m，重力加速度为g。下列说法正确的是 （ ）
A．调换前A和B的加速度大小均为
B．调换后A和B的加速度大小均为
C．调换前后绳的拉力不变
D．调换后绳的拉力变大
【解答】解：A、调换前，对A滑块受力分析如图
根据牛顿第二定律得：T﹣12μmg＝12ma
对B滑块受力分析如图：
根据牛顿第二定律得：8mg﹣T＝8ma
联立解得：ag
Tmg
故A错误；
B、调换后对B受力分析，根据牛顿第二定律得：T﹣8μmg＝8ma
对A受力分析，根据牛顿第二定律得：12mg﹣T＝12ma
联立解得：ag
Tmg
故B错误；
CD、由AB得，调换前后，绳上的拉力不变，根据上面计算得绳上的拉力不变，故C正确，D错误。
故选：C。
（2023 湖北模拟）如图所示，一根轻绳跨过一轻质定滑轮，轻绳一端系一个质量为m的物体A。将物体A固定，质量为2m的人抓着轻绳匀速向下爬，轻绳处于竖直状态。已知重力加速度大小为g，某时刻释放物体A，若人相对于轻绳匀速向下爬，则物体A的加速度（ ）
A．大小为g，方向向上 B．大小为g，方向向下
C．大小为g，方向向上 D．大小为g，方向向下
【解答】解：释放A后，A的加速度方向向上，且人和A加速度大小相等。
对人和物体组成的系统整体分析受力，由牛顿第二定律F＝ma得：2mg﹣mg＝（2m+m）a
解得
故C正确，ABD错误。
故选：C。
（多选）（2024 福建一模）如图所示，质量分别为2m和m的两个物体A、B用跨过光滑定滑轮的绳子连接，两物体恰好做匀速运动。A、B与桌面的动摩擦因数相同，重力加速度大小为g，不计空气阻力及绳子的质量。若将A与B互换，则（ ）
A．两物体做加速运动，加速度
B．两物体做加速运动，加速度
C．绳子中拉力大小不变
D．绳子中拉力大小变为原来的2倍
【解答】解：设A、B与桌面的动摩擦因数为μ，A、B两物体恰好做匀速运动时，对A、B分别由力的平衡有：T＝μ 2mg，T＝mg，可得μ＝0.5
将A与B互换后，分别对A、B由牛顿第二定律有：T′﹣μmg＝ma，2mg﹣T′＝2ma
联立方程可得：，T′＝mg，可知绳子中拉力大小不变，故BC正确，AD错误。
故选：BC。
（多选）（2023 莱阳市校级模拟）如图，四个滑块叠放在倾角为θ的固定光滑斜面上，其中B和C的质量均为m，A和D的质量均为3m，B和C之间用一平行于斜面的轻绳连接，现对A施加平行于斜面向上的拉力F，使得四个滑块以相同加速度一起沿着斜面向上运动，滑块间的动摩擦因数均为μ，重力加速度为g，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则（ ）
A．拉力F的最大值为1.3μmgcosθ
B．C对D的摩擦力为0.3μmgcosθ时，A对B的摩擦力为0.5μmgcosθ﹣5mgsinθ
C．当拉力F取得最大值时，轻绳上的弹力大小为0.8μmgcosθ
D．当拉力F取得最大值时，C、D间的摩擦力为0.6μmgcosθ
【解答】解：A、滑块B、C、D靠A、B之间的静摩擦力作为动力，当A、B之间的静摩擦力为最大静摩擦力时，滑块B、C、D有最大加速度，则对滑块B、C、D整体，由牛顿第二定律有
μmgcosθ﹣（m+m+3m）gsinθ＝（m+m+3m）a1
解得：a1gsinθ
同理，滑块D靠C、D之间的静摩擦力作为动力，当C、D之间的静摩擦力为最大静摩擦力时，滑块D有最大加速度，则对滑块D，由牛顿第二定律有
μmgcosθ﹣3mgsinθ＝3ma2
解得：a2gsinθ
为了确保四个滑块以相同加速度一起沿着斜面向上运动，则共同运动的最大加速度应取a1、a2中的最小值，即amax＝a1gsinθ
对四个滑块组成单位整体，由牛顿第二定律有
Fmax﹣（3m+m+m+3m）gsinθ＝（3m+m+m+3m）amax
解得：Fmax＝1.6μmgcosθ
故A错误；
B、滑块C对D的摩擦力为0.3μmgcosθ时，对D，由牛顿第二定律有
0.3μmgcosθ﹣3mgsinθ＝3ma
设此时A对B的摩擦力为fAB，对B、C、D，由牛顿第二定律有
fAB﹣（m+m+3m）gsinθ＝（m+m+3m）a
解得：fAB＝0.5μmgcosθ
故B错误；
C、当拉力F取得最大值时，四个滑块组成的整体获得最大加速度amax，对C、D整体，由牛顿第二定律有
T﹣（m+3m）gsinθ＝（m+3m）amax
解得：T＝0.8μmgcosθ
故C正确；
D、当拉力F取得最大值时，四个滑块获得最大加速度amax，对D，由牛顿第二定律有
fCD﹣3mgsinθ＝3mamax
解得：fCD＝0.6μmgcosθ
故D正确。
故选：CD。
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