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小题精练12 有界磁场 磁聚焦 平移圆 放缩圆 旋转圆问题
一、直线边界
直线边界磁场又分单边直线边界和双边平行直线边界。单边直线边界如图甲、乙、丙所示，粒子进出磁场具有对称性；双边平行直线边界如图丁、戊所示，粒子进出磁场存在临界条件。
解决这类问题的“三部曲”：画轨迹、找圆心、定半径。
如果粒子从同一直线边界射入和射出，那么粒子进入磁场时速度与边界的夹角和射出磁场时速度与边界的夹角相等。
二、矩形边界
矩形边界磁场是指分布在矩形范围内的有界磁场，带电粒子的轨迹只是一部分圆弧。垂直于某边射入，从某一顶点射出是常见的临界情况。
解决该类问题的关键是把握临界情况，如图所示。常见的有如下几种情况：(设粒子从ad边中点e垂直射入)
(1)两个临界半径
①从d点射出：r1＝。
②从c点射出：r＝2＋ab2。
(2)三种情况
①r≤r1，粒子从ed段射出。
②r1③r>r2，粒子从cf段射出(不会到达f点)。
三、圆形边界
圆形边界磁场是指分布在圆形区域内的有界磁场，带电粒子在圆形边界的匀强磁场中的轨迹也是一段不完整的圆弧。由于此类问题涉及两个圆：粒子运动轨迹的圆与磁场区域的圆，能很好地考查学生的综合分析能力，所以是近年来高考的热点。
带电粒子在圆形边界磁场中运动的四个结论：
(1)径向进出：当粒子运动方向与磁场方向垂直时，沿圆形磁场半径方向射入的带电粒子，必沿径向射出圆形磁场区域，即粒子出射速度的反向延长线必过磁场圆的圆心，如图1所示。
(2)等角进出：入射速度方向与过入射点的磁场圆半径的夹角等于出射速度方向与过出射点的磁场圆半径的夹角，如图2所示。径向进出是等角进出的一种特殊情况(θ＝0°)。
(3)点入平出：若带电粒子从圆形匀强磁场区域圆周上一点沿垂直于磁场方向进入磁场，当带电粒子做圆周运动的半径与圆形磁场区域的半径相同时，所有带电粒子都以平行于磁场区域圆周上入射点处的切线方向射出磁场，如图3所示。
(4)平入点出：若带电粒子以相互平行的速度射入磁场，且带电粒子在磁场中做圆周运动的半径和圆形磁场区域半径相同，则这些带电粒子将会从磁场区域圆周上同一点射出，且磁场区域圆周上该点的切线与带电粒子射入磁场时的速度方向平行，如图4所示。
四、四分之一平面边界
四分之一平面边界磁场是指分布在平面直角坐标系中某一象限范围的有界磁场，带电粒子的轨迹只是一部分圆弧，粒子轨迹与坐标轴相切或垂直是常见的临界情况。
解决该类问题的关键是明确粒子射入(射出)磁场的位置坐标，及速度方向与坐标轴的夹角关系，然后分析粒子做圆周运动的轨迹、圆心，寻找几何关系求解问题。
五、三角形边界
三角形边界磁场是指分布在三角形区域内的有界磁场，粒子的轨迹也是一段圆弧，由于三角形有等边三角形、等腰三角形、直角三角形等不同类型，所以会有不同的临界情景。
解答该类问题主要把握以下两点：
(1)射入磁场的方式
①从某顶点射入。
②从某条边上某点(如中点)垂直(或成某一角度)射入。
(2)射出点的判断
其临界条件是判断轨迹可能与哪条边相切，进而判定出射点的可能位置。
六、平移圆问题
1．适用条件
(1)速度大小一定，方向一定，入射点不同但在同一直线上
粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同但在同一直线上的带电粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为v0，则圆周运动半径R＝，如图所示(图中只画出粒子带负电的情景)。
(2)轨迹圆圆心共线
带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上，该直线与入射点的连线平行。
2．界定方法
将半径为R＝的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这种方法叫“平移圆法”。
七、放缩圆问题
1．适用条件
(1)速度方向一定，大小不同
粒子源发射速度方向一定、大小不同的带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化。
(2)轨迹圆圆心共线
如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v越大，运动半径也越大。带电粒子沿同一方向射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP′上。
2．界定方法
以入射点P为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩做轨迹，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩圆法”。
八、旋转圆问题
1．适用条件
(1)速度大小一定，方向不同
粒子源发射速度大小一定、方向不同的带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若射入初速度为v0，则圆周运动半径为R＝，如图所示。
(2)轨迹圆圆心共圆
带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点为圆心、半径R＝的圆上。
2．界定方法
将半径为R＝的圆以带电粒子入射点为圆心进行旋转，从而探索粒子的临界条件，这种方法称为“旋转圆法”。
（2024 湖南模拟）如图所示，某真空室内充满匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁场内有一块足够长的平面感光板MN，点a为MN与水平直线ab的交点，MN与直线ab的夹角为θ＝53°，ab间的距离为d＝10cm。在b点的点状的电子源向纸面内各个方向发射电子，电子做圆周运动的半径为r＝5cm，不计电子间的相互作用和重力，sin53°＝0.8，则MN上被电子打中的区域的长度为（ ）
A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm
（2024 吉林二模）一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，ab＝cd＝2L，bc＝de＝L，一束粒子，在纸面内从a点垂直于ab射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子之间的相互作用。已知粒子的质量为3m，电荷量为2q。在磁场中运动时间最长的粒子，其运动速率为（ ）
A． B． C． D．
（2024 揭阳二模）如图所示，垂直纸面向里的匀强磁场区域，磁感应强度大小为B，边界分别是半径为R和2R的同心圆，O为圆心。在圆心O处有一粒子源（图中未画出），在纸面内沿各个方向发射出比荷为的带负电的粒子，速度连续分布且粒子间的相互作用力可忽略不计，这些带电粒子受到的重力也可以忽略不计，已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。若所有的粒子都不能射出磁场，则下列说法正确的是（ ）
A．某粒子恰好不从大圆边界射出磁场，其在磁场中运动的时间为（不考虑粒子再次进入磁场的情况）
B．某粒子恰好不从大圆边界射出磁场，其在磁场中运动的时间为（不考虑粒子再次进入磁场的情况）
C．粒子速度的最大值为
D．粒子速度的最大值为
（2024 青秀区校级模拟）如图，在平面直角坐标系Oxy的第一象限内，存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一个质量为m、电量为q的粒子从y轴上的点射入磁场，入射速度方向与y轴正方的夹角为α＝150°，粒子垂直x轴离开磁场。不计粒子的重力。则正确的是（ ）
A．粒子一定带负电
B．粒子在磁场中运动的时间为
C．粒子入射速率为
D．粒子离开磁场的位置到O点的距离为
（2024 南宁模拟）如图所示，竖直平面内半径为R的圆形区域内有一垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，P、Q为圆形区域竖直直径的两个端点，M、N为圆形区域水平直径的两个端点。大量质量均为m、电荷量为q的带正电粒子，以相同的速率从P点向纸面内的各个方向射入磁场区域。已知粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径r＝3R，粒子的重力、空气阻力和粒子间的相互作用均不计，则下列说法正确的是（ ）
A．带电粒子可以沿竖直方向射出磁场
B．粒子在磁场中运动的最长时间大于
C．不可能有粒子从M点射出磁场
D．不可能有粒子从N点射出磁场
（2024 江西模拟）如图所示，粒子甲垂直ab边界进入垂直纸面向外的匀强磁场时发生核反应：甲→乙+丙，产生的乙和丙粒子垂直经过磁场的轨迹如图所示。已知乙和丙的电荷量大小相等，轨迹半径之比为5：3，不计重力及空气阻力，则（ ）
A．甲带正电
B．乙带负电
C．甲、乙的动量大小之比为8：5
D．乙、丙的动量大小之比为1：1
（2024 浑南区校级三模）如图所示，射线AB、AC为一足够大的匀强磁场区域的边界，内部磁场方向垂直纸面向里。两个质量相同且带异种电荷的粒子a、b以相同的速度先后从AB边上的D点垂直AB边射入磁场，两粒子运动的轨迹均与AC相切，忽略粒子受到的重力及粒子间的相互作用力，sin∠BAC＝0.6，下列说法正确的是（ ）
A．a粒子带负电
B．a、b两粒子运动轨迹半径之比为3：1
C．a、b两粒子所带的电荷量之比为1：4
D．b粒子在磁场中的轨迹直径等于两切点的距离
（2024 碑林区校级模拟）如图所示，真空区域内有宽度为d、磁感应强度为B的匀强磁场，方向垂直纸面向里，MN、PQ是磁场的边界。质量为m、电荷量为q的带正电的粒子（不计重力），沿着与MN夹角θ为30°的方向以某一速度射入磁场中，粒子恰好未能从PQ边界射出磁场。下列说法不正确的是（ ）
A．可求出粒子在磁场中运动的半径
B．可求出粒子在磁场中运动的加速度大小
C．若仅减小射入速度，则粒子在磁场中运动的时间一定变短
D．若仅增大磁感应强度，则粒子在磁场中运动的时间一定变短
（2024 青羊区校级三模）如图所示，在该区域存在一个方向垂直于纸面向里、磁感应强度大小为B的圆形磁场区域（图中未画出）。一个质量为m、电荷量为q的带正电粒子从M点以水平向左的初速度射入磁场中，M点在磁场中，一段时间后从N点穿过竖直线MN，在N点时运动方向MN成30°，MN的长度为3L，不计粒子重力，下列说法不正确的是（ ）
A．粒子在磁场中做圆周运动的半径为L
B．粒子从M到N所用的时间为
C．从M到N过程中粒子所受洛伦兹力的冲量大小为BqL
D．圆形匀强磁场区域的最小面积为
（2024 郫都区校级二模）如图所示，一半径为R的光滑绝缘半球面开口向下，固定在水平面上。整个空间存在磁感应强度为B、方向竖直向下的匀强磁场。一电荷量为q（q＞0）、质量为m的小球P在球面上做水平的匀速圆周运动，圆心为O′。球心O到该圆周上任一点的连线与竖直方向的夹角为θ＝60°。若重力加速度为g，以下说法正确的是（ ）
A．从上面俯视小球沿顺时针方向运转
B．球面对小球的弹力大小为
C．小球的速率越大，则小球受到的洛伦兹力越大
D．磁感应强度的大小可能为
（2023 文昌模拟）如图所示，空间中存在着正交的匀强磁场和匀强电场，已知电场强度大小为E，方向竖直向下，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面。一个电子由O点以一定初速度v0水平向右飞入其中，运动轨迹如图所示，其中O、Q和P分别为轨迹在一个周期内的最高点和最低点，不计电子的重力。下列说法正确的是（ ）
A．磁感应强度方向垂直纸面向外
B．电子的初速度v0小于
C．由P点至Q点的运动过程中，电子的速度增大
D．调整电子的初速度大小与方向可以使其做匀加速直线运动
（2023 西城区一模）如图所示，圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，一带电粒子从圆周上的P点沿半径方向射入磁场。若粒子射入磁场时的速度大小为v1，运动轨迹为PN；若粒子射入磁场时的速度大小为v2，运动轨迹为PM。不计粒子的重力，下列判断正确的是（ ）
A．粒子带负电
B．速度v1大于速度v2
C．粒子以速度v1射入时，在磁场中运动时间较长
D．粒子以速度v1射入时，在磁场中受到的洛伦兹力较大
（2023 长春模拟）质谱仪可测定同位素的组成。，现有一束一价的钾39和钾41离子经电场加速后，沿着与磁场边界垂直的方向进入匀强磁场中，如图所示。测试时规定加速电压大小为U0，但在实验过程中加速电压有较小的波动，可能偏大或偏小ΔU．为使钾39和钾41打在照相底片上的区域不重叠，不计离子的重力，则ΔU不得超过（ ）
A．U0 B．U0 C．U0 D．U0
（2023 沙坪坝区校级模拟）实验中，将离子束从回旋加速器中引出可以采用磁屏蔽通道法。使用磁屏蔽通道法引出离子的原理如图所示：离子从P点以速度v进入通道时，由于引出通道内的磁场强度发生改变，离子运动轨迹半径增大，可使离子引出加速器。已知回旋加速器D型盒的半径为R，圆心在O点，D型盒区域中磁场垂直纸面向里，磁感应强度为B，引出通道外侧末端Q点到O点距离为L，OQ与OP的夹角为θ，离子带电为q，质量为m，则（ ）
A．离子经过引出通道后的速度大于v
B．引出通道内的磁感应强度大于B
C．若离子恰能从引出通道的Q点引出，引出通道中的磁感应强度
D．若引出通道中磁场为B2时，该离子能引出加速器，则此时将一带电量2q，质量为2m的离子一定不能从加速器中引出
（2023 东莞市校级模拟）如图所示，质量为m、电荷量为q的带正电粒子从M点以大小为v0、方向与竖直方向成θ角斜向下的初速度垂直于磁场方向射入边界线竖直的匀强磁场，最后从边界上的N点射出磁场。已知磁场的磁感应强度大小为B，不计粒子受到的重力，则M、N两点间的距离为（ ）
A． B．
C． D．
（2023 碑林区校级模拟）一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，其中射线bc足够长，∠abc＝135°。其他地方磁场的范围足够大。一束质量为m、电荷量为q的带正电粒子，在纸面内从a点垂直于ab射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子之间的相互作用。以下说法正确的是（ ）
A．从bc边射出的粒子在磁场中运动的时间都相等
B．若从a点入射的速度越大，则在磁场中运动的时间越长
C．粒子在磁场中最长运动时间不大于
D．粒子在磁场中最长运动时间不大于
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小题精练12 有界磁场 磁聚焦 平移圆 放缩圆 旋转圆问题
一、直线边界
直线边界磁场又分单边直线边界和双边平行直线边界。单边直线边界如图甲、乙、丙所示，粒子进出磁场具有对称性；双边平行直线边界如图丁、戊所示，粒子进出磁场存在临界条件。
解决这类问题的“三部曲”：画轨迹、找圆心、定半径。
如果粒子从同一直线边界射入和射出，那么粒子进入磁场时速度与边界的夹角和射出磁场时速度与边界的夹角相等。
二、矩形边界
矩形边界磁场是指分布在矩形范围内的有界磁场，带电粒子的轨迹只是一部分圆弧。垂直于某边射入，从某一顶点射出是常见的临界情况。
解决该类问题的关键是把握临界情况，如图所示。常见的有如下几种情况：(设粒子从ad边中点e垂直射入)
(1)两个临界半径
①从d点射出：r1＝。
②从c点射出：r＝2＋ab2。
(2)三种情况
①r≤r1，粒子从ed段射出。
②r1③r>r2，粒子从cf段射出(不会到达f点)。
三、圆形边界
圆形边界磁场是指分布在圆形区域内的有界磁场，带电粒子在圆形边界的匀强磁场中的轨迹也是一段不完整的圆弧。由于此类问题涉及两个圆：粒子运动轨迹的圆与磁场区域的圆，能很好地考查学生的综合分析能力，所以是近年来高考的热点。
带电粒子在圆形边界磁场中运动的四个结论：
(1)径向进出：当粒子运动方向与磁场方向垂直时，沿圆形磁场半径方向射入的带电粒子，必沿径向射出圆形磁场区域，即粒子出射速度的反向延长线必过磁场圆的圆心，如图1所示。
(2)等角进出：入射速度方向与过入射点的磁场圆半径的夹角等于出射速度方向与过出射点的磁场圆半径的夹角，如图2所示。径向进出是等角进出的一种特殊情况(θ＝0°)。
(3)点入平出：若带电粒子从圆形匀强磁场区域圆周上一点沿垂直于磁场方向进入磁场，当带电粒子做圆周运动的半径与圆形磁场区域的半径相同时，所有带电粒子都以平行于磁场区域圆周上入射点处的切线方向射出磁场，如图3所示。
(4)平入点出：若带电粒子以相互平行的速度射入磁场，且带电粒子在磁场中做圆周运动的半径和圆形磁场区域半径相同，则这些带电粒子将会从磁场区域圆周上同一点射出，且磁场区域圆周上该点的切线与带电粒子射入磁场时的速度方向平行，如图4所示。
四、四分之一平面边界
四分之一平面边界磁场是指分布在平面直角坐标系中某一象限范围的有界磁场，带电粒子的轨迹只是一部分圆弧，粒子轨迹与坐标轴相切或垂直是常见的临界情况。
解决该类问题的关键是明确粒子射入(射出)磁场的位置坐标，及速度方向与坐标轴的夹角关系，然后分析粒子做圆周运动的轨迹、圆心，寻找几何关系求解问题。
五、三角形边界
三角形边界磁场是指分布在三角形区域内的有界磁场，粒子的轨迹也是一段圆弧，由于三角形有等边三角形、等腰三角形、直角三角形等不同类型，所以会有不同的临界情景。
解答该类问题主要把握以下两点：
(1)射入磁场的方式
①从某顶点射入。
②从某条边上某点(如中点)垂直(或成某一角度)射入。
(2)射出点的判断
其临界条件是判断轨迹可能与哪条边相切，进而判定出射点的可能位置。
六、平移圆问题
1．适用条件
(1)速度大小一定，方向一定，入射点不同但在同一直线上
粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同但在同一直线上的带电粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为v0，则圆周运动半径R＝，如图所示(图中只画出粒子带负电的情景)。
(2)轨迹圆圆心共线
带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上，该直线与入射点的连线平行。
2．界定方法
将半径为R＝的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这种方法叫“平移圆法”。
七、放缩圆问题
1．适用条件
(1)速度方向一定，大小不同
粒子源发射速度方向一定、大小不同的带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化。
(2)轨迹圆圆心共线
如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v越大，运动半径也越大。带电粒子沿同一方向射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP′上。
2．界定方法
以入射点P为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩做轨迹，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩圆法”。
八、旋转圆问题
1．适用条件
(1)速度大小一定，方向不同
粒子源发射速度大小一定、方向不同的带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若射入初速度为v0，则圆周运动半径为R＝，如图所示。
(2)轨迹圆圆心共圆
带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点为圆心、半径R＝的圆上。
2．界定方法
将半径为R＝的圆以带电粒子入射点为圆心进行旋转，从而探索粒子的临界条件，这种方法称为“旋转圆法”。
（2024 湖南模拟）如图所示，某真空室内充满匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁场内有一块足够长的平面感光板MN，点a为MN与水平直线ab的交点，MN与直线ab的夹角为θ＝53°，ab间的距离为d＝10cm。在b点的点状的电子源向纸面内各个方向发射电子，电子做圆周运动的半径为r＝5cm，不计电子间的相互作用和重力，sin53°＝0.8，则MN上被电子打中的区域的长度为（ ）
A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm
【解答】解：电子从b点射出后，在磁场中沿顺时针方向做圆周运动，
如图所示的两个圆分别表示电子打在板上的两个临界情况，一个打在a点，一个打在C点，打在C点的电子轨迹恰好与板相切，过b点做MN的垂线bD，过O1做bD垂线O1E，由几何知识可得
bD＝absin53°＝10×0.8cm＝8cm
又因DE＝O1C＝5cm
所以bE＝bD﹣DE
解得：CD＝4cm
所以MN上被电子打中的区域的长度为
aC＝aD+CD＝ab cos53°+CD＝10×0.6cm+4cm＝10cm，
故ABD错误，C正确；
故选：C。
（2024 吉林二模）一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，ab＝cd＝2L，bc＝de＝L，一束粒子，在纸面内从a点垂直于ab射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子之间的相互作用。已知粒子的质量为3m，电荷量为2q。在磁场中运动时间最长的粒子，其运动速率为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：设粒子的运动轨迹过bcde上的某一点g，O为粒子做圆周运动轨迹的圆心，运动轨迹对应的圆心角∠aOg最大时，粒子运动时间最长，由几何关系可知当c点与g点重合时，粒子运动时间最长，如下图所示：
设运动半径为R，由几何关系可得：（2L﹣R）2+L2＝R2
解得：
已知粒子的质量为3m，电荷量为2q，由洛伦兹力提供向心力得：
解得：，故ABC错误，D正确。
故选：D。
（2024 揭阳二模）如图所示，垂直纸面向里的匀强磁场区域，磁感应强度大小为B，边界分别是半径为R和2R的同心圆，O为圆心。在圆心O处有一粒子源（图中未画出），在纸面内沿各个方向发射出比荷为的带负电的粒子，速度连续分布且粒子间的相互作用力可忽略不计，这些带电粒子受到的重力也可以忽略不计，已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。若所有的粒子都不能射出磁场，则下列说法正确的是（ ）
A．某粒子恰好不从大圆边界射出磁场，其在磁场中运动的时间为（不考虑粒子再次进入磁场的情况）
B．某粒子恰好不从大圆边界射出磁场，其在磁场中运动的时间为（不考虑粒子再次进入磁场的情况）
C．粒子速度的最大值为
D．粒子速度的最大值为
【解答】解：AB、粒子在磁场中做匀速圆周运动，粒子恰好不从大圆边界射出磁场，其运动轨迹与大圆相切，画出轨迹如图所示。
设轨迹半径为r，由几何关系可知
R2+r2＝（2R﹣r）2
解得：
则tan∠OCA，得∠OCA＝53°，∠ACD＝2∠OCA＝2×53°＝106°
该粒子在磁场中运动的时间
，故A错误，B正确；
CD、由洛伦兹力提供向心力，有，解得最大速度为：，故CD错误。
故选：B。
（2024 青秀区校级模拟）如图，在平面直角坐标系Oxy的第一象限内，存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一个质量为m、电量为q的粒子从y轴上的点射入磁场，入射速度方向与y轴正方的夹角为α＝150°，粒子垂直x轴离开磁场。不计粒子的重力。则正确的是（ ）
A．粒子一定带负电
B．粒子在磁场中运动的时间为
C．粒子入射速率为
D．粒子离开磁场的位置到O点的距离为
【解答】解：A．粒子垂直x轴离开磁场，根据左手定则可知粒子带正电，故A错误；
BC．粒子垂直x轴离开磁场，α＝150°，运动轨迹如图
粒子运动的半径为
洛伦兹力提供向心力
解得
轨迹对应的圆心角为30°，粒子在磁场中运动的时间为
，故BC错误；
D．粒子离开磁场的位置到O点的距离为
，故D正确。
故选：D。
（2024 南宁模拟）如图所示，竖直平面内半径为R的圆形区域内有一垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，P、Q为圆形区域竖直直径的两个端点，M、N为圆形区域水平直径的两个端点。大量质量均为m、电荷量为q的带正电粒子，以相同的速率从P点向纸面内的各个方向射入磁场区域。已知粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径r＝3R，粒子的重力、空气阻力和粒子间的相互作用均不计，则下列说法正确的是（ ）
A．带电粒子可以沿竖直方向射出磁场
B．粒子在磁场中运动的最长时间大于
C．不可能有粒子从M点射出磁场
D．不可能有粒子从N点射出磁场
【解答】解：A.粒子在磁场中做匀速圆周运动，当粒子轨迹的圆心如下图中的O1时，粒子恰好以竖直向上的速度射出磁场，故A正确；
B.要使带电粒子在圆形磁场中的运动时间最长，则粒子圆周运动的轨迹应以磁场的圆形区域的直径PQ为弦，此粒子的运动轨迹如上图中圆心为O2的圆弧轨迹，设此轨迹在磁场中的偏转角为θ，根据几何关系得：，可得：30°，即θ＜60°，可得粒子在磁场中运动的最长时间满足：，故B错误；
CD.由上图所示，当入射速度的方向合适时，粒子轨迹的圆心分别为O3、O4时，粒子可分别从N点、M点射出，故CD错误。
故选：A。
（2024 江西模拟）如图所示，粒子甲垂直ab边界进入垂直纸面向外的匀强磁场时发生核反应：甲→乙+丙，产生的乙和丙粒子垂直经过磁场的轨迹如图所示。已知乙和丙的电荷量大小相等，轨迹半径之比为5：3，不计重力及空气阻力，则（ ）
A．甲带正电
B．乙带负电
C．甲、乙的动量大小之比为8：5
D．乙、丙的动量大小之比为1：1
【解答】解：AB、粒子乙在磁场中顺时针偏转，粒子丙在磁场中逆时针偏转，由左手定则判断，乙带正电，丙带负电。已知乙和丙的电荷量大小相等，根据电荷守恒定律，可知甲不带电，故AB错误；
CD、粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，可得：
qvB＝m
又有动量p＝mv
联立可得：p＝qBr
可见粒子的动量大小与圆周运动半径为正比关系，已知乙和丙的电荷量大小相等，轨迹半径之比为5：3，则乙、丙的动量大小之比为p乙：p丙＝5：3。
粒子甲发生核反应的过程满足动量守恒定律，以甲的运动方向为正方向，则有：
p甲＝p乙+p丙，可得甲、乙的动量大小之比为8：5，故C正确，D错误。
故选：C。
（2024 浑南区校级三模）如图所示，射线AB、AC为一足够大的匀强磁场区域的边界，内部磁场方向垂直纸面向里。两个质量相同且带异种电荷的粒子a、b以相同的速度先后从AB边上的D点垂直AB边射入磁场，两粒子运动的轨迹均与AC相切，忽略粒子受到的重力及粒子间的相互作用力，sin∠BAC＝0.6，下列说法正确的是（ ）
A．a粒子带负电
B．a、b两粒子运动轨迹半径之比为3：1
C．a、b两粒子所带的电荷量之比为1：4
D．b粒子在磁场中的轨迹直径等于两切点的距离
【解答】解：A、a粒子受洛伦兹力向左，根据左手定则可分析a粒子带正电，故A错误；
B、根据题意作出粒子的运动轨迹如图：
由sin∠BAC＝0.6可得：O2AR2
由几何知识可知，在△O1AC中，sin∠BAC
解得：R1＝4R2，所以a、b两粒子运动轨迹半径之比为4：1，故B错误；
C、根据洛伦兹力提供向心力可得：qvB＝m，解得：R
所以有：，故C正确；
D、设R1＝4R2＝4R，由几何知识可知两切点间的距离为：d＝AC﹣AE＝4RR4R＝R1，故D错误。
故选：C。
（2024 碑林区校级模拟）如图所示，真空区域内有宽度为d、磁感应强度为B的匀强磁场，方向垂直纸面向里，MN、PQ是磁场的边界。质量为m、电荷量为q的带正电的粒子（不计重力），沿着与MN夹角θ为30°的方向以某一速度射入磁场中，粒子恰好未能从PQ边界射出磁场。下列说法不正确的是（ ）
A．可求出粒子在磁场中运动的半径
B．可求出粒子在磁场中运动的加速度大小
C．若仅减小射入速度，则粒子在磁场中运动的时间一定变短
D．若仅增大磁感应强度，则粒子在磁场中运动的时间一定变短
【解答】解：A、粒子恰好未能从PQ边界射出磁场，其在磁场中的匀速圆周运动轨迹与PQ边界相切，如下图所示。
由几何关系可得圆周运动半径r满足：r+rcosθ＝d，据此关系式可求出粒子在磁场中运动的半径，故A正确；
B、粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有：qvB，据此关系式可求出线速度v，根据牛顿第二定律得：qvB＝ma，据此可求出粒子在磁场中运动的加速度大小，故B正确；
C、由qvB，可得：r，若仅减小射入速度，粒子运动半径变小，如上图所示，粒子从MN边界离开磁场，轨迹圆心角不变（设为α）。
粒子运动周期为T，在磁场中运动时间t，因周期T与圆心角α均不变，故粒子在磁场中运动的时间不变，故C错误；
D、根据C的分析，若仅增大磁感应强度，粒子运动半径变小，轨迹圆心角不变，运动周期变小，则粒子在磁场中运动的时间一定变短，故D正确。
本题选择错误的选项，故选：C。
（2024 青羊区校级三模）如图所示，在该区域存在一个方向垂直于纸面向里、磁感应强度大小为B的圆形磁场区域（图中未画出）。一个质量为m、电荷量为q的带正电粒子从M点以水平向左的初速度射入磁场中，M点在磁场中，一段时间后从N点穿过竖直线MN，在N点时运动方向MN成30°，MN的长度为3L，不计粒子重力，下列说法不正确的是（ ）
A．粒子在磁场中做圆周运动的半径为L
B．粒子从M到N所用的时间为
C．从M到N过程中粒子所受洛伦兹力的冲量大小为BqL
D．圆形匀强磁场区域的最小面积为
【解答】解：A.根据题意作出粒子运动的轨迹图像，如图所示
由几何关系可得
解得粒子圆周运动的半径为
r＝L，故A正确；
C.根据几何关系，粒子从M到N速度的变化量为
根据动量定理，粒子从M到N过程洛伦兹力的冲量大小为
根据牛顿第二定律，由洛伦兹力提供向心力有
联立解得
，，故C正确；
B.根据几何知识可知，粒子从M到D转过的圆心角为120°，故粒子从M到D所用的时间为
粒子从D到N做匀速直线运动，根据运动学公式可知，所用的时间为
所以粒子从M到N所用的时间
，故B错误；
D.圆形磁场直径的最小值为MD的长度
所以圆形磁场的最小面积
，故D正确。
本题选不正确选项，故选：B。
（2024 郫都区校级二模）如图所示，一半径为R的光滑绝缘半球面开口向下，固定在水平面上。整个空间存在磁感应强度为B、方向竖直向下的匀强磁场。一电荷量为q（q＞0）、质量为m的小球P在球面上做水平的匀速圆周运动，圆心为O′。球心O到该圆周上任一点的连线与竖直方向的夹角为θ＝60°。若重力加速度为g，以下说法正确的是（ ）
A．从上面俯视小球沿顺时针方向运转
B．球面对小球的弹力大小为
C．小球的速率越大，则小球受到的洛伦兹力越大
D．磁感应强度的大小可能为
【解答】解：A.对小球受力分析如图所示
小球所受洛伦兹力指向圆心O′，根据左手定则可知，从上面俯视小球沿逆时针方向运转，故A错误；
B.竖直方向受力平衡，根据平衡条件有
Ncosθ﹣mg＝0
解得
N＝2mg，故B错误；
C.根据洛伦兹力的公式
F＝qvB
可知，粒子的速度越大，洛伦兹力越大，故C正确；
D.根据牛顿第二定律有
整理可得
由于v是实数，必须满足
解得
，故D错误。
故选：C。
（2023 文昌模拟）如图所示，空间中存在着正交的匀强磁场和匀强电场，已知电场强度大小为E，方向竖直向下，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面。一个电子由O点以一定初速度v0水平向右飞入其中，运动轨迹如图所示，其中O、Q和P分别为轨迹在一个周期内的最高点和最低点，不计电子的重力。下列说法正确的是（ ）
A．磁感应强度方向垂直纸面向外
B．电子的初速度v0小于
C．由P点至Q点的运动过程中，电子的速度增大
D．调整电子的初速度大小与方向可以使其做匀加速直线运动
【解答】解：A．电子从O点开始轨迹向下弯曲，电子受到的电场力向上，则伦兹力向下，根据左手定则，则磁感应强度方向垂直纸面向里，故A错误；
B．电子从O运动到P，合外力指向轨迹凹侧，有qv0B＞qE
则
故B错误；
C．由P点至Q点的运动过程中，电场力做正功，洛伦兹力不做功，根据动能定理可知电子的速度逐渐增大，故C正确；
D．电子受力平衡，可以做匀速直线运动，初速度方向与磁场平行，电子做类平抛运动，所以电子不可能做匀加速直线运动，故D错误。
故选：C。
（2023 西城区一模）如图所示，圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，一带电粒子从圆周上的P点沿半径方向射入磁场。若粒子射入磁场时的速度大小为v1，运动轨迹为PN；若粒子射入磁场时的速度大小为v2，运动轨迹为PM。不计粒子的重力，下列判断正确的是（ ）
A．粒子带负电
B．速度v1大于速度v2
C．粒子以速度v1射入时，在磁场中运动时间较长
D．粒子以速度v1射入时，在磁场中受到的洛伦兹力较大
【解答】解：A、根据左手定则可知粒子带正电，故A错误；
B、根据牛顿第二定律有：，变形解得：，根据图中轨迹可知，R1＜R2，则有v1＜v2，故B错误；
D、粒子在磁场中受到的洛伦兹力大小为：F＝qvB，由于v1＜v2，可知F1＜F2，故粒子以速度v1射入时，在磁场中受到的洛伦兹力较小，故D错误。
C、粒子在磁场中的运动周期为：，粒子在磁场中的运动时间为：，画出两轨迹的圆心如下图，
由图可知运动轨迹为PN对应的圆心角大于运动轨迹为PM对应的圆心角，故粒子以速度v1射入时，在磁场中运动时间较长，故C正确；
故选：C。
（2023 长春模拟）质谱仪可测定同位素的组成。，现有一束一价的钾39和钾41离子经电场加速后，沿着与磁场边界垂直的方向进入匀强磁场中，如图所示。测试时规定加速电压大小为U0，但在实验过程中加速电压有较小的波动，可能偏大或偏小ΔU．为使钾39和钾41打在照相底片上的区域不重叠，不计离子的重力，则ΔU不得超过（ ）
A．U0 B．U0 C．U0 D．U0
【解答】解：设加速电压为U，磁场的磁感应强度为B，电荷的电荷量为q，质量为m，运动半径为R，则
由qUmv2，qvB＝m，
解得R
由此式可知，在B、q、U相同时，m小的半径小，所以钾39半径小，钾41半径大；在m、B、q相同时，U大半径大。
设：钾39质量为m1，电压为U0+ΔU时，最大半径为R1；钾41质量为m2，电压为U0﹣ΔU时，钾41最小半径为R则
R1
R2
令R1＝R2，则m1（U0+ΔU）＝m2（U0﹣ΔU）
解得：
ΔUU0U0U0。
故ABC错误，D正确。
故选：D。
（2023 沙坪坝区校级模拟）实验中，将离子束从回旋加速器中引出可以采用磁屏蔽通道法。使用磁屏蔽通道法引出离子的原理如图所示：离子从P点以速度v进入通道时，由于引出通道内的磁场强度发生改变，离子运动轨迹半径增大，可使离子引出加速器。已知回旋加速器D型盒的半径为R，圆心在O点，D型盒区域中磁场垂直纸面向里，磁感应强度为B，引出通道外侧末端Q点到O点距离为L，OQ与OP的夹角为θ，离子带电为q，质量为m，则（ ）
A．离子经过引出通道后的速度大于v
B．引出通道内的磁感应强度大于B
C．若离子恰能从引出通道的Q点引出，引出通道中的磁感应强度
D．若引出通道中磁场为B2时，该离子能引出加速器，则此时将一带电量2q，质量为2m的离子一定不能从加速器中引出
【解答】解：A、离子在磁场中受到洛伦兹力作用，而洛伦兹力对离子不做功，不能改变离子的速率，因此离子经过引出通道后的速度等于v，故A错误；
B、离子在磁场中做匀速圆周运动时，根据洛伦兹力提供向心力得，解得：。
设离子在引出通道内的轨道半径为r，同理可得
因离子在引出通道内的轨道半径大于D型盒半径，则引出通道内的磁感应强度小于D型盒内磁感应强度B，故B错误；
C、若离子恰能从引出通道的Q点引出，设圆弧半径为r，轨迹如图所示
则有：
O′Q＝r，OQ＝L，O′O＝r﹣R
根据几何关系得：
r2＝L2+（r﹣R）2+2L（r﹣R）cosθ
解得：
由洛伦兹力提供向心力得：
解得：
联立可得：
，故C正确；
D、由C项分析可知，离子能否离开加速器与粒子的电量和质量均无关，若引出通道中磁场为B2时，该离子能引出加速器，则此时将一带电量2q，质量为2m的离子也一定能从加速器中引出，故D错误。
故选：C。
（2023 东莞市校级模拟）如图所示，质量为m、电荷量为q的带正电粒子从M点以大小为v0、方向与竖直方向成θ角斜向下的初速度垂直于磁场方向射入边界线竖直的匀强磁场，最后从边界上的N点射出磁场。已知磁场的磁感应强度大小为B，不计粒子受到的重力，则M、N两点间的距离为（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：设粒子在磁场中做圆周运动的半径为r，根据牛顿第二定律：
根据几何关系可知，M、N两点间的距离：d＝2rcos（90°﹣θ）
联立解得：，故ABC错误，D正确。
故选：D。
（2023 碑林区校级模拟）一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，其中射线bc足够长，∠abc＝135°。其他地方磁场的范围足够大。一束质量为m、电荷量为q的带正电粒子，在纸面内从a点垂直于ab射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子之间的相互作用。以下说法正确的是（ ）
A．从bc边射出的粒子在磁场中运动的时间都相等
B．若从a点入射的速度越大，则在磁场中运动的时间越长
C．粒子在磁场中最长运动时间不大于
D．粒子在磁场中最长运动时间不大于
【解答】解：AB．画出带电粒子在磁场中运动的动态分析图，如图1所示。粒子入射的速度越大，其做圆周运动的半径越大，当粒子都从ab边射出，所用时间均为半个周期，用时相等；当粒子从bc边射出时，速度越大，轨道半径越大，圆心角越大，运动时间越长，故AB错误；
CD．当粒子的速度足够大，半径足够大时，忽略ab段长度，运动情况可简化为如图2所示，在直线边界磁场问题中，根据粒子运动轨迹的对称性，结合几何关系可知此时圆心角大小为α＝270°，可得粒子在磁场中运动的最长时间为t，故C错误，D正确。
故选：D。
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